2021届高三文科数学《大题精练》 (7)

2021届高三数学（文）“大题精练”7

17．（12分）已知等差数列的前n项和为，公差d为整数，，且，，成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列满足，求数列的前n项和.

18．（12分）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点为的中点．

（1）证明：．

（2）求点到平面的距离．

19．（12分）某高校健康社团为调查本校大学生每周运动的时长，随机选取了80名学生，调查他们每周运动的总时长（单位：小时），按照共6组进行统计，得到男生、女生每周运动的时长的统计如下（表1、2），规定每周运动15小时以上（含15小时）的称为“运动合格者”，其中每周运动25小时以上（含25小时）的称为“运动达人”.

表1：男生

表2：女生

（1）从每周运动时长不小于20小时的男生中随机选取2人，求选到“运动达人”的概率；

（2）根据题目条件，完成下面列联表，并判断能否有99%的把握认为本校大学生是否为“运动合格者”与性别有关.

参考公式：，其中.

参考数据：

20．（12分）已知直线与抛物线：交于，两点，且的面积为16（为坐标原点）.

（1）求的方程；

（2）直线经过的焦点且不与轴垂直，与交于，两点，若线段的垂直平分线与轴交于点，证明：为定值.

21．（12分）已知函数.

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）若有两个零点，求实数的取值范围.

(二)、选考题：共10分. 请考生从22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.

22．（10分）在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

（1）求圆的极坐标方程；

（2）已知直线与圆交于，两点，若，求直线的直角坐标方程.

23. （10分）已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若，使得不等式成立，求实数的最大值.

2020届高三数学（文）“大题精练”7（答案解析）

17．（12分）已知等差数列的前n项和为，公差d为整数，，且，，成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列满足，求数列的前n项和.

【解析】（1）由，得，由，，成等比数列，得，即，整理得，又因为公差d为整数，所以，所以数列的通项公式为.

（2），所以.

18．（12分）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点为的中点．

（1）证明：．

（2）求点到平面的距离．

【解析】（1）取的中点，连接．在直角梯形中，,，，所以．又因为为的中点，所以．因为平面，平面，所以，又因为，所以平面，所以．在直角中，，，分别为的中点，因为，所以，所以，所以．

又因为平面，，所以平面，则．

（2）设点到平面的距离为，由（1）可知平面，所以，整理得，

所以点到平面的距离为．

19．（12分）某高校健康社团为调查本校大学生每周运动的时长，随机选取了80名学生，调查他们每周运动的总时长（单位：小时），按照共6组进行统计，得到男生、女生每周运动的时长的统计如下（表1、2），规定每周运动15小时以上（含15小时）的称为“运动合格者”，其中每周运动25小时以上（含25小时）的称为“运动达人”.

表1：男生

表2：女生

（1）从每周运动时长不小于20小时的男生中随机选取2人，求选到“运动达人”的概率；

（2）根据题目条件，完成下面列联表，并判断能否有99%的把握认为本校大学生是否为“运动合格者”与性别有关.

参考公式：，其中.

参考数据：

【解析】（1）每周运动的时长在中的男生有4人，在中的男生有2人，则共有个基本事件，其中中至少有1人被抽到的可能结果有个，

所以抽到“运动达人”的概率为；

（2）每周运动的时长小于15小时的男生有26人，女生有16人；每周运动的时长不小于15小时的男生有14人，女生有24人.可得下列列联表：

，

所以没有99%的把握认为本校大学生是否为“运动合格者”与性别有关.

20．（12分）已知直线与抛物线：交于，两点，且的面积为16（为坐标原点）.

（1）求的方程；

（2）直线经过的焦点且不与轴垂直，与交于，两点，若线段的垂直平分线与轴交于点，证明：为定值.

【解析】（1）将代入，得，所以的面积为.

因为，所以，故的方程为.

（2）证明：由题意设直线的方程为，由，得.设，，则，所以.因为线段的中点的横坐标为，纵坐标为，所以线段的垂直平分线的方程为，令，得，所以的横坐标为，所以，故为定值.

21．（12分）已知函数.

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）若有两个零点，求实数的取值范围.

【解析】（Ⅰ）函数的定义域为，.

①当时，由，知函数在内单调递增；

②当时，由，即得；由，即得.所以，函数在内单调递增，在内单调递减.因此，当时，在内单调递增；当时，在内单调递增；在内单调递减；

（Ⅱ）当时，则函数在上为增函数，函数最多一个零点，不合乎题意，舍去；当时，由（Ⅰ）知，函数在内单调递增，在内单调递减.

且当时，，当时，，则，即，解得.因此，实数的取值范围是.

 (二)、选考题：共10分. 请考生从22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.

22．（10分）在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

（1）求圆的极坐标方程；

（2）已知直线与圆交于，两点，若，求直线的直角坐标方程.

【解析】（1）由圆的参数方程（为参数），得圆的普通方程为，得，圆的极坐标方程为；

（2）将直线的极坐标方程代入圆的极坐标方程，得，又，，，得，所以，所以或.所以直线的直角坐标方程为.

23. （10分）已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若，使得不等式成立，求实数的最大值.

【解析】（1），当时，，解得；

当时，，不成立；当时，，解得.综上可知，不等式的解集为.

（2），使得不等式成立，即，所以在时有解，，当时，，，所以