2021届高三文科数学《大题精练》 (3)

2021届高三数学（文）“大题精练”3

17．（本小题满分12分）

记首项为1的数列的前项和为，且 ．

（1）求证：数列是等比数列；

（2）若，求数列的前项和．

18．（本小题满分12分）

如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点．

（1）求证：EF∥平面PAD；

（2）求证：EF⊥CD；

19．（本小题满分12分）

环保部门要对所有的新车模型进行广泛测试，以确定它的行车里程的等级，右表是对 100 辆新车模型在一个耗油单位内行车里程（单位：公里）的测试结果．

（Ⅰ）做出上述测试结果的频率分布直方图，并指出其中位数落在哪一组；

（Ⅱ）用分层抽样的方法从行车里程在区间[38，40)与[40，42)的新车模型中任取5辆，并从这5辆中随机抽取2辆，求其中恰有一个新车模型行车里程在[40，42)内的概率．

20．（本小题满分12分）

记抛物线的焦点为，点在抛物线上，，斜率为的直线与抛物线交于两点．

（1）求的最小值；

（2）若，直线的斜率都存在，且；探究：直线是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．

21．（本小题满分12分）

已知函数．

(1)讨论极值点的个数；

(2)若是的一个极值点，且，证明： ．

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）

在平面直角坐标系中，直线的普通方程是，曲线的参数方程是（为参数）．在以为极点，轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线的极坐标方程是．

（1）写出及的极坐标方程；

（2）已知，，与交于两点，与交于两点，求的最大值．

23．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）

已知函数 ．

（Ⅰ）解关于的不等式 ；

（Ⅱ）若函数的最大值为，设，且，求的最小值．

2020届高三数学（文）“大题精练”3（答案解析）

17．（本小题满分12分）

记首项为1的数列的前项和为，且 ．

（1）求证：数列是等比数列；

（2）若，求数列的前项和．

【解析】（1）依题意，，，

两式相减可得，，故，

而，故，故数列是以1为首项，3为公比的等比数列．

（2）由（1）可

所以，

故，

记数列的前项和为，则．

18．（本小题满分12分）

如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点．

（1）求证：EF∥平面PAD；

（2）求证：EF⊥CD；

【解析】(1）证明：(1)取的中点，连结，，则，

又，，四边形为平行四边形，则∥，

又，EF∥平面PAD．

(2)又由矩形知，，由（1）问证明知∥．

19．（本小题满分12分）

环保部门要对所有的新车模型进行广泛测试，以确定它的行车里程的等级，右表是对 100 辆新车模型在一个耗油单位内行车里程（单位：公里）的测试结果．

（Ⅰ）做出上述测试结果的频率分布直方图，并指出其中位数落在哪一组；

（Ⅱ）用分层抽样的方法从行车里程在区间[38，40)与[40，42)的新车模型中任取5辆，并从这5辆中随机抽取2辆，求其中恰有一个新车模型行车里程在[40，42)内的概率．

【解析】（Ⅰ）由题意可画出频率分布直方图如图所示：

前组频率总和为，第组频率为，且，则由图可知，中位数在区间．

（Ⅱ）由题意，设从中选取的车辆为，从中选取的车辆为，则从这5辆车中抽取2辆的所有情况有10种，分别为，其中符合条件的有6种，，所以所求事件的概率为．

20．（本小题满分12分）

记抛物线的焦点为，点在抛物线上，，斜率为的直线与抛物线交于两点．

（1）求的最小值；

（2）若，直线的斜率都存在，且；探究：直线是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．

【解析】（1）设抛物线的准线为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，如图：

则，即的最小值为．

（2）设直线的方程为，，将直线与抛物线的方程联立得，， ①

又，

即，

，

将①代入得，，即，得或，

当时，直线为，此时直线恒过；

当时，直线为，此时直线恒过（舍去）．

综上所述，直线l过定点．

21．（本小题满分12分）

已知函数．

(1)讨论极值点的个数；

(2)若是的一个极值点，且，证明： ．

【解析】（1）．

①当时，，当时，；当时，，

在上单调递减；在上单调递增，

为的唯一极小值点，无极大值点，即此时极值点个数为：个；

②当时，令，解得：，，

⑴当时，，和时，；时，，

在，上单调递增；在上单调递减，

为的极大值点，为的极小值点，即极值点个数为：个；

⑵当时，，此时恒成立且不恒为，

在上单调递增，无极值点，即极值点个数为：个；

⑶当时，，和时，；时，，

在，上单调递增；在上单调递减，

为的极大值点，为的极小值点，即极值点个数为：个．

综上所述：当时，无极值点；当时，有个极值点；当或时，有个极值点．

（2）由（1）知，若是的一个极值点，则，

又，即，，

，，

，

令，则，，，

则，

当时，，，当时，；当时，，

在上单调递增；在上单调递减，，即，．

22．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）

在平面直角坐标系中，直线的普通方程是，曲线的参数方程是（为参数）．在以为极点，轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线的极坐标方程是．

（1）写出及的极坐标方程；

（2）已知，，与交于两点，与交于两点，求的最大值．

【解析】（1）把，代入得，

所以的极坐标方程是，

的普通方程是，其极坐标方程是．

（2）：，：，分别代入，得，．

所以．

因为，所以，则当时，，此时取得最大值为，所以的最大值为．

23．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）

已知函数 ．

（Ⅰ）解关于的不等式 ；

（Ⅱ）若函数的最大值为，设，且，求的最小值．

【解析】（Ⅰ）由题意，

当时，，可得，即；

当时，，可得，即；

当时，，可得，即．

综上，不等式的解集为．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得函数的最大值，且，

即，当且仅当时“=”成立，

可得，即，因此的最小值为2．