2021届高三文科数学《大题精练》 (5)

2021届高三数学（文）“大题精练”5

17．（本小题满分12分）

已知数列满足，，其中为的前项和，．

（1）求；

（2）若数列满足，求的值．

18．（本小题满分12分）

如图，在三棱柱中，是棱的中点．

（1）证明：平面．

（2）若是棱上的任意一点，且三棱柱的体积为，求三棱锥的体积．

19．（本小题满分12分）

某县一中学的同学为了解本县成年人的交通安全意识情况，利用假期进行了一次全县成年人安全知识抽样调查．已知该县成年人中的拥有驾驶证，先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了100名成年人，然后对这100人进行问卷调查，所得分数的频率分布直方图如下图所示．规定分数在80以上（含80）的为“安全意识优秀”．

（1）补全上面的列联表，并判断能否有超过的把握认为“安全意识优秀与是否拥有驾驶证”有关？

（2）若规定参加调查的100人中分数在70以上（含70）的为“安全意识优良”，从参加调查的100人中根据安全意识是否优良，按分层抽样的方法抽出5人，再从5人中随机抽取3人，试求抽取的3人中恰有一人为“安全意识优良”的概率．

附表及公式：，其中．

20．（本小题满分12分）

已知椭圆：的左右顶点分别为，，点是椭圆上异于、的任意一点，设直线，的斜率分别为、，且，椭圆的焦距长为4．

（1）求椭圆的离心率；

（2）过右焦点且倾斜角为的直线交椭圆于、两点，分别记，的面积为、，求的值．

21．（本小题满分12分）

已知函数．

（1）讨论的单调性．

（2）试问是否存在，使得对恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）

已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程（为参数）．

（1）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（2）设曲线经过伸缩变换得到曲线，设曲线上任一点为，求点到直线距离的最大值．

23．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）

已知关于x的不等式．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若该不等式有实数解，求实数a的取值范围．

2020届高三数学（文）“大题精练”5（答案解析）

17．（本小题满分12分）

已知数列满足，，其中为的前项和，．

（1）求；

（2）若数列满足，求的值．

【解析】（1），，，两式相减得，

注意到，，于是，所以．

（2），于是，

所以．

18．（本小题满分12分）

如图，在三棱柱中，是棱的中点．

（1）证明：平面．

（2）若是棱上的任意一点，且三棱柱的体积为，求三棱锥的体积．

【解析】（1）连接交于点，连接．

因为四边形是平行四边形，所以是的中点．

因为是的中点，所以．

又平面，平面，所以平面．

（2）设三棱柱的高为，底面的面积为，

则三棱柱的体积．

又，，所以．

19．（本小题满分12分）

某县一中学的同学为了解本县成年人的交通安全意识情况，利用假期进行了一次全县成年人安全知识抽样调查．已知该县成年人中的拥有驾驶证，先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了100名成年人，然后对这100人进行问卷调查，所得分数的频率分布直方图如下图所示．规定分数在80以上（含80）的为“安全意识优秀”．

（1）补全上面的列联表，并判断能否有超过的把握认为“安全意识优秀与是否拥有驾驶证”有关？

（2）若规定参加调查的100人中分数在70以上（含70）的为“安全意识优良”，从参加调查的100人中根据安全意识是否优良，按分层抽样的方法抽出5人，再从5人中随机抽取3人，试求抽取的3人中恰有一人为“安全意识优良”的概率．

附表及公式：，其中．

【解析】（1）由题意可知拥有驾驶证的人数为：人，则拥有驾驶证且得分为优秀的人数为：人，由频率分布直方图知得分优秀的人数为：人，没有驾驶证且得分优秀的人数为：人，则没有驾驶证且得分不优秀的人数为：人，可得列联表如下：

，

有超过的把握认为“安全意识优秀与是否拥有驾驶证”有关．

（2）由频率分布直方图可求得以上（含）的人数为：，

按分层抽样的方法抽出人时，“安全意识优良”的有人，记为；

其余的人记为，从中随机抽取人，基本事件有：，，，，，，，，，共个，恰有一人为“安全意识优良”的事件有个，恰有一人为“安全意识优良”的概率为：，

20．（本小题满分12分）

已知椭圆：的左右顶点分别为，，点是椭圆上异于、的任意一点，设直线，的斜率分别为、，且，椭圆的焦距长为4．

（1）求椭圆的离心率；

（2）过右焦点且倾斜角为的直线交椭圆于、两点，分别记，的面积为、，求的值．

【解析】（1）设点，则，①

∵，②

∴联立①②得，∴，∴，∴．

（2）由题意知，，即，

由（1）知，，∴，∴，，∴椭圆的方程为：．

由已知得：，联立，可得．

设，，根据韦达定理，得，

于是．

21．（本小题满分12分）

已知函数．

（1）讨论的单调性．

（2）试问是否存在，使得对恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．

【解析】（1），．

当时，，在上单调递增；

当时，，在上单调递减，在上单调递增；

当时，在上单调递减，在，上单调递增；

当时，在上单调递减，在，上单调递增．

（2）假设存在，使得对恒成立．

则，即，

设，则存在，使得，

因为，所以在上单调递增，

因为，所以时即．

又因为对恒成立时，需，

所以由（1）得：

当时，在上单调递增，所以，

且成立，从而满足题意；

当时，在上单调递减，在，上单调递增，

所以所以（*）．

设，，则在上单调递增，

因为，所以的零点小于2，从而不等式组（*）的解集为，所以即．

综上，存在，使得对恒成立，且的取值范围为．

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）

已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程（为参数）．

（1）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（2）设曲线经过伸缩变换得到曲线，设曲线上任一点为，求点到直线距离的最大值．

【解析】（1）直线的普通方程：，曲线的直角坐标方程：．

（2）曲线：，设，，其中为辅助角，当时，取最大值为．

23．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）

已知关于x的不等式．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若该不等式有实数解，求实数a的取值范围．

【解析】（1）当时，令，

当时，，解得；

当时，，不等式恒成立；

当时，，解得．

综上所述，不等式的解集为．

（2），所以，

即，解得