2020年江苏省镇江市中考数学试卷
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2020年江苏省镇江市中考数学试卷
题号
一
二
三
四
总分
得分
一、选择题(本大题共6小题,共18.0分)
1. 下列计算正确的是( )
A. a3+a3=a6 B. (a3)2=a6 C. a6÷a2=a3 D. (ab)3=ab3
2. 如图,将棱长为6的正方体截去一个棱长为3的正方体后,得到一个新的几何体,这个几何体的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
3. 一次函数y=kx+3(k≠0)的函数值y随x的增大而增大,它的图象不经过的象限是( )
A. 第一 B. 第二 C. 第三 D. 第四
4. 如图,AB是半圆的直径,C、D是半圆上的两点,∠ADC=106°,则∠CAB等于( )
A. 10° B. 14° C. 16° D. 26°
5. 点P(m,n)在以y轴为对称轴的二次函数y=x2+ax+4的图象上.则m-n的最大值等于( )
A. B. 4 C. - D. -
6. 如图①,AB=5,射线AM∥BN,点C在射线BN上,将△ABC沿AC所在直线翻折,点B的对应点D落在射线BN上,点P,Q分别在射线AM、BN上,PQ∥AB.设AP=x,QD=y.若y关于x的函数图象(如图②)经过点E(9,2),则cosB的值等于( )
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共12小题,共24.0分)
7. 的倒数等于______.
8. 使有意义的x的取值范围是______.
9. 分解因式:9x2-1=______.
10. 2020年我国将完成脱贫攻坚目标任务.从2012年底到2019年底,我国贫困人口减少了93480000人,用科学记数法把93480000表示为______.
11. 一元二次方程x2-2x=0的两根分别为______.
12. 一只不透明的袋子中装有5个红球和1个黄球,这些球除颜色外都相同,搅匀后从中任意摸出1个球,摸出红球的概率等于______.
13. 圆锥底面圆半径为5,母线长为6,则圆锥侧面积等于______.
14. 点O是正五边形ABCDE的中心,分别以各边为直径向正五边形的外部作半圆,组成了一幅美丽的图案(如图).这个图案绕点O至少旋转______°后能与原来的图案互相重合.
15. 根据数值转换机的示意图,输出的值为______.
16. 如图,点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点,∠1=∠2,则∠BPC的度数为______°.
17. 在从小到大排列的五个数x,3,6,8,12中再加入一个数,若这六个数的中位数、平均数与原来五个数的中位数、平均数分别相等,则x的值为______.
18. 如图,在△ABC中,BC=3,将△ABC平移5个单位长度得到△A1B1C1,点P、Q分别是AB、A1C1的中点,PQ的最小值等于______.
三、计算题(本大题共3小题,共25.0分)
19. 如图,点E与树AB的根部点A、建筑物CD的底部点C在一条直线上,AC=10m.小明站在点E处观测树顶B的仰角为30°,他从点E出发沿EC方向前进6m到点G时,观测树顶B的仰角为45°,此时恰好看不到建筑物CD的顶部D(H、B、D三点在一条直线上).已知小明的眼睛离地面1.6m,求建筑物CD的高度(结果精确到0.1m).(参考数据:≈1.41,≈1.73.)
20. 如图,▱ABCD中,∠ABC的平分线BO交边AD于点O,OD=4,以点O为圆心,OD长为半径作⊙O,分别交边DA、DC于点M、N.点E在边BC上,OE交⊙O于点G,G为的中点.
(1)求证:四边形ABEO为菱形;
(2)已知cos∠ABC=,连接AE,当AE与⊙O相切时,求AB的长.
21. 【算一算】
如图①,点A、B、C在数轴上,B为AC的中点,点A表示-3,点B表示1,则点C表示的数为______,AC长等于______;
【找一找】
如图②,点M、N、P、Q中的一点是数轴的原点,点A、B分别表示实数-1、+1,Q是AB的中点,则点______是这个数轴的原点;
【画一画】
如图③,点A、B分别表示实数c-n、c+n,在这个数轴上作出表示实数n的点E(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
【用一用】
学校设置了若干个测温通道,学生进校都应测量体温,已知每个测温通道每分钟可检测a个学生.凌老师提出了这样的问题:假设现在校门口有m个学生,每分钟又有b个学生到达校门口.如果开放3个通道,那么用4分钟可使校门口的学生全部进校;如果开放4个通道,那么用2分钟可使校门口的学生全部进校.在这些条件下,a、m、b会有怎样的数量关系呢?
爱思考的小华想到了数轴,如图④,他将4分钟内需要进校的人数m+4b记作+(m+4b),用点A表示;将2分钟内由4个开放通道检测后进校的人数,即校门口减少的人数8a记作-8a,用点B表示.
①用圆规在小华画的数轴上分别画出表示+(m+2b)、-12a的点F、G,并写出+(m+2b)的实际意义;
②写出a、m的数量关系:______.
四、解答题(本大题共7小题,共53.0分)
22. (1)计算:4sin60°-+(-1)0;
(2)化简(x+1)÷(1+).
23. (1)解方程:=+1;
(2)解不等式组:
24. 如图,AC是四边形ABCD的对角线,∠1=∠B,点E、F分别在AB、BC上,BE=CD,BF=CA,连接EF.
(1)求证:∠D=∠2;
(2)若EF∥AC,∠D=78°,求∠BAC的度数.
25. 教育部发布的义务教育质量监测结果报告显示,我国八年级学生平均每天的睡眠时间达9小时及以上的比例为19.4%.某校数学社团成员采用简单随机抽样的方法,抽取了本校八年级50名学生,对他们一周内平均每天的睡眠时间t(单位:小时)进行了调查,将数据整理后绘制成下表:
平均每天的睡眠时间分组
5≤t<6
6≤t<7
7≤t<8
8≤t<9
9小时及以上
频数
1
5
m
24
n
该样本中学生平均每天的睡眠时间达9小时及以上的比例高于全国的这项数据,达到了22%.
(1)求表格中n的值;
(2)该校八年级共400名学生,估计其中平均每天的睡眠时间在7≤t<8这个范围内的人数是多少.
26. 智慧的中国古代先民发明了抽象的符号来表达丰富的含义.例如,符号“”有刚毅的含义,符号“”有愉快的含义.符号中的“”表示“阴”,“”表示“阳”,类似这样自上而下排成的三行符号还有其他的含义.所有这些三行符号中,每一行只有一个阴或一个阳,且出现阴、阳的可能性相同.
(1)所有这些三行符号共有______种;
(2)若随机画一个这样的三行符号,求“画出含有一个阴和两个阳的三行符号”的概率.
27. 如图,正比例函数y=kx(k≠0)的图象与反比例函数y=-的图象交于点A(n,2)和点B.
(1)n=______,k=______;
(2)点C在y轴正半轴上.∠ACB=90°,求点C的坐标;
(3)点P(m,0)在x轴上,∠APB为锐角,直接写出m的取值范围.
28. 如图①,直线l经过点(4,0)且平行于y轴,二次函数y=ax2-2ax+c(a、c是常数,a<0)的图象经过点M(-1,1),交直线l于点N,图象的顶点为D,它的对称轴与x轴交于点C,直线DM、DN分别与x轴相交于A、B两点.
(1)当a=-1时,求点N的坐标及的值;
(2)随着a的变化,的值是否发生变化?请说明理由;
(3)如图②,E是x轴上位于点B右侧的点,BC=2BE,DE交抛物线于点F.若FB=FE,求此时的二次函数表达式.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解:a3+a3=2a3,因此选项A不正确;
(a3)2=a3×2=a6,因此选项B正确;
a6÷a2=a6-2=a4,因此选项C不正确;
(ab)3=a3b3,因此选项D不正确;
故选:B.
根据同底数幂的乘除法、幂的乘方的计算法则进行计算即可.
本题考查同底数幂的乘除法、幂的乘方的计算方法,掌握计算方法是正确计算的前提.
2.【答案】A
【解析】解:从正面看是一个正方形,正方形的右上角是一个小正方形,
故选:A.
根据从正面看得到的视图是主视图,可得答案.
本题考查了简单组合体的三视图,从正面看得到的视图是主视图.
3.【答案】D
【解析】解:∵一次函数y=kx+3(k≠0)的函数值y随x的增大而增大,
∴k>0,该函数过点(0,3),
∴该函数的图象经过第一、二、三象限,不经过第四象限,
故选:D.
根据一次函数y=kx+3(k≠0)的函数值y随x的增大而增大,可以得到k>0,与y轴的交点为(0,3),然后根据一次函数的性质,即可得到该函数图象经过哪几个象限,不经过哪个象限,从而可以解答本题.
本题考查一次函数的性质,解答本题的关键是明确题意,利用一次函数的性质解答.
4.【答案】C
【解析】解:连接BD,如图,
∵AB是半圆的直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠BDC=∠ADC-∠ADB=106°-90°=16°,
∴∠CAB=∠BDC=16°.
故选:C.
连接BD,如图,根据圆周角定理得到∠ADB=90°,则可计算出∠BDC=16°,然后根据圆周角定理得到∠CAB的度数.
本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.
5.【答案】C
【解析】解:∵点P(m,n)在以y轴为对称轴的二次函数y=x2+ax+4的图象上,
∴a=0,
∴n=m2+4,
∴m-n=m-(m2+4)=-m2+m-4=-(m-)2-,
∴当m=时,m-n取得最大值,此时m-n=-,
故选:C.
根据题意,可以得到a的值,m和n的关系,然后将m、n作差,利用二次函数的性质,即可得到m-n的最大值,本题得以解决.
本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征,解答本题的关键是明确题意,利用二次函数的性质解答.
6.【答案】D
【解析】解:∵AM∥BN,PQ∥AB,
∴四边形ABQP是平行四边形,
∴AP=BQ=x,
由图②可得当x=9时,y=2,
此时点Q在点D下方,且BQ=x=9时,y=2,如图①所示,
∴BD=BQ-QD=x-y=7,
∵将△ABC沿AC所在直线翻折,点B的对应点D落在射线BN上,
∴BC=CD=BD=,AC⊥BD,
∴cosB===,
故选:D.
由题意可得四边形ABQP是平行四边形,可得AP=BQ=x,由图象②可得当x=9时,y=2,此时点Q在点D下方,且BQ=x=9时,y=2,如图①所示,可求BD=7,由折叠的性质可求BC的长,由锐角三角函数可求解.
本题考查了动点问题的函数图象,平行四边形的判定和性质,折叠的性质,锐角三角函数等知识,理解函数图象上的点的具体含义是本题的关键.
7.【答案】
【解析】解:∵×=1,
∴的倒数是,
故答案为:.
根据倒数的意义求解即可.
本题考查倒数的意义,理解乘积为1的两个数是互为倒数是正确求解的关键.
8.【答案】x≥2
【解析】解:根据二次根式的意义,得
x-2≥0,解得x≥2.
故答案为:x≥2.
当被开方数x-2为非负数时,二次根式才有意义,列不等式求解.
主要考查了二次根式的意义和性质.概念:式子(a≥0)叫二次根式.性质:二次根式中的被开方数必须是非负数,否则二次根式无意义.
9.【答案】(3x+1)(3x-1)
【解析】解:9x2-1,
=(3x)2-12,
=(3x+1)(3x-1).
符合平方差公式的结构特点,利用平方差公式分解即可.
本题考查了平方差公式因式分解,熟记平方差公式的特点:两项平方项,符号相反是解题的关键.
10.【答案】9.348×107
【解析】解:93480000=9.348×107.
故答案为:9.348×107.
科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值是易错点,由于93480000有8位,所以可以确定n=8-1=7.
此题考查科学记数法表示较大的数的方法,准确确定n值是关键.
11.【答案】x1=0,x2=2
【解析】解:∵x2-2x=0,
∴x(x-2)=0,
∴x=0或x-2=0,
解得x1=0,x2=2.
利用因式分解法求解可得.
本题主要考查解一元二次方程的能力,熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法:直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法,结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.
12.【答案】
【解析】解:∵袋子中共有5+1=6个小球,其中红球有5个,
∴搅匀后从中任意摸出1个球,摸出红球的概率等于,
故答案为:.
用红球的个数除以球的总个数即可得.
本题主要考查概率公式,解题的关键是掌握随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数.
13.【答案】30π
【解析】解:圆锥侧面积=×2π×5×6=30π.
故答案为30π.
利用扇形的面积公式计算圆锥侧面积.
本题考查了圆锥的计算:圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长.
14.【答案】72
【解析】解:连接OA,OE,则这个图形至少旋转∠AOE才能与原图象重合,
∠AOE==72°.
故答案为:72.
直接利用旋转图形的性质进而得出旋转角.
此题主要考查了旋转图形,正确掌握旋转图形的性质是解题关键.
15.【答案】
【解析】解:当x=-3时,31+x=3-2=,
故答案为:.
利用代入法和负整数指数幂的计算方法进行计算即可.
本题考查代数式求值,用具体的数值代替代数式中的字母,按照代数式规定的运算,求出的结果即为代数式的值.
16.【答案】135
【解析】解:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ACB=∠BAC=45°,
∴∠2+∠BCP=45°,
∵∠1=∠2,
∴∠1+∠BCP=45°,
∵∠BPC=180°-∠1-∠BCP,
∴∠BPC=135°,
故答案为:135.
由正方形的性质可得∠ACB=∠BAC=45°,可得∠2+∠BCP=45°=∠1+∠BCP,由三角形内角和定理可求解.
本题考查了正方形的性质,三角形内角和定理,掌握正方形的性质是本题的关键.
17.【答案】1
【解析】解:从小到大排列的五个数x,3,6,8,12的中位数是6,
∵再加入一个数,这六个数的中位数与原来五个数的中位数相等,
∴加入的一个数是6,
∵这六个数的平均数与原来五个数的平均数相等,
∴(x+3+6+8+12)=(x+3+6+6+8+12),
解得x=1.
故答案为:1.
原来五个数的中位数是6,如果再加入一个数,变成了偶数个数,则中位数是中间两位数的平均数,由此可知加入的一个数是6,再根据平均数的公式得到关于x的方程,解方程即可求解.
本题属于基础题,考查了确定一组数据的中位数和平均数的能力.一些学生往往对这个概念掌握不清楚,计算方法不明确而错误,注意找中位数的时候一定要先排好顺序,然后再根据奇数和偶数个来确定中位数,如果数据有奇数个,则正中间的数字即为所求,如果是偶数个则找中间两个数的平均数.
18.【答案】
【解析】解:取AC的中点M,A1B1的中点N,连接PM,MQ,NQ,PN,
∵将△ABC平移5个单位长度得到△A1B1C1,
∴B1C1=BC=3,PN=5,
∵点P、Q分别是AB、A1C1的中点,
∴NQ=B1C1=,
∴5-≤PQ≤5+,
即≤PQ≤,
∴PQ的最小值等于,
故答案为:.
取AC的中点M,A1B1的中点N,连接PM,MQ,NQ,PN,根据平移的性质和三角形的三边关系即可得到结论.
本题考查了平移的性质,三角形的三边关系,熟练掌握平移的性质是解题的关键.
19.【答案】解:如图,延长FH,交CD于点M,交AB于点N,
∵∠BHN=45°,BA⊥MH,
则BN=NH,
设BN=NH=x,
∵HF=6,∠BFN=30°,
∴tan∠BFN==,
即tan30°=,
解得x=8.19,
根据题意可知:
DM=MH=MN+NH,
∵MN=AC=10,
则DM=10+8.19=18.19,
∴CD=DM+MC=DM+EF=18.19+1.6=19.79≈19.8(m).
答:建筑物CD的高度约为19.8m.
【解析】延长FH,交CD于点M,交AB于点N,求CD,只需求出DM即可,即只要求出HN就可以,在Rt△BNF中,设BN=NH=x,则根据tan∠BFN=就可以求出x的值,再根据等腰直角三角形的性质和线段的和可求得CD的长.
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题,解决本题的关键是掌握仰角俯角定义.
20.【答案】解:(1)证明:∵G为的中点,
∴∠MOG=∠MDN.
∵四边形ABCD是平行四边形.
∴AO∥BE,∠MDN+∠A=180°,
∴∠MOG+∠A=180°,
∴AB∥OE,
∴四边形ABEO是平行四边形.
∵BO平分∠ABE,
∴∠ABO=∠OBE,
又∵∠OBE=∠AOB,
∴∠ABO=∠AOB,
∴AB=AO,
∴四边形ABEO为菱形;
(2)如图,过点O作OP⊥BA,交BA的延长线于点P,过点O作OQ⊥BC于点Q,设AE交OB于点F,
则∠PAO=∠ABC,
设AB=AO=OE=x,则
∵cos∠ABC=,
∴cos∠PAO=,
∴=,
∴PA=x,
∴OP=OQ=x
当AE与⊙O相切时,由菱形的对角线互相垂直,可知F为切点,
∴由勾股定理得:+=82,
解得:x=2(舍负).
∴AB的长为2.
【解析】(1)先由G为的中点及同弧所对的圆周角和圆心角的关系得出∠MOG=∠MDN,再由平行四边形的性质得出AO∥BE,∠MDN+∠A=180°,进而判定四边形ABEO是平行四边形,然后证明AB=AO,则可得结论;
(2)过点O作OP⊥BA,交BA的延长线于点P,过点O作OQ⊥BC于点Q,设AB=AO=OE=x,则由cos∠ABC=,可用含x的式子分别表示出PA、OP及OQ,由勾股定理得关于x的方程,解得x的值即可.
本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、解直角三角形、切线的性质及勾股定理等知识点,熟练掌握相关性质及定理是解题的关键.
21.【答案】5 8 N m=4a
【解析】解:(1)【算一算】:记原点为O,
∵AB=1-(-3)=4,
∴AB=BC=4,
∴OC=OB+BC=5,AC=2AB=8.
所以点C表示的数为5,AC长等于8.
故答案为:5,8;
(2)【找一找】:记原点为O,
∵AB=+1-(-1)=2,
∴AQ=BQ=1,
∴OQ=OB-BQ=+1-1=,
∴N为原点.
故答案为:N.
(3)【画一画】:记原点为O,
由AB=c+n-(c-n)=2n,
作AB的中点M,
得AM=BM=n,
以点O为圆心,
AM=n长为半径作弧交数轴的正半轴于点E,
则点E即为所求;
(4)【用一用】:在数轴上画出点F,G;2分钟后,校门口需要进入学校的学生人数为:m=4a.
∵4分钟内开放3个通道可使学生全部进校,
∴m+4b=3×a×4,即m+4b=12a(Ⅰ);
∵2分钟内开放4个通道可使学生全部进校,
∴m+2b=4×a×2,即m+2b=8a(Ⅱ);
①以O为圆心,OB长为半径作弧交数轴的正半轴于点F,则点F即为所求.
作OB的中点E,则OE=BE=4a,在数轴负半轴上用圆规截取OG=3OE=12a,
则点G即为所求.
+(m+2b)的实际意义:2分钟后,校门口需要进入学校的学生人数;
②方程(Ⅱ)×2-方程(Ⅰ)得:m=4a.
故答案为:m=4a.
(1)根据数轴上点A对应-3,点B对应1,求得AB的长,进而根据AB=BC可求得AC的长以及点C表示的数;
(2)可设原点为O,根据条件可求得AB中点表示的数以及线段AB的长度,根据AB=2,可得AQ=BQ=1,结合OQ的长度即可确定N为数轴的原点;
(3)设AB的中点为M,先求得AB的长度,得到AM=BM=n,根据线段垂直平分线的作法作图即可;
(4)①根据每分钟进校人数为b,每个通道每分钟进入人数为a,列方程组,根据m+2b=OF,m+4b=12a,即可画出F,G点,其中m+2b表示两分钟后,校门口需要进入学校的学生人数;
②解①中的方程组,即可得到m=4a.
本题考查了二元一次方程组的应用、实数与数轴、作图-复杂作图,解决本题的关键是根据题意找到等量关系.
22.【答案】解:(1)原式=4×-2+1
=2-2+1
=1;
(2)原式=(x+1)÷(+)
=(x+1)÷
=(x+1)•
=x.
【解析】(1)先代入三角函数值、化简二次根式、计算零指数幂,再计算乘法,最后计算加减可得;
(2)先计算括号内分式的加法,再将除法转化为乘法,最后约分即可得.
本题主要考查分式和实数的混合运算,解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则.
23.【答案】解:(1)=+1,
2x=1+x+3,
2x-x=1+3,
x=4,
经检验,x=4是原方程的解,
∴此方程的解是x=4;
(2),
①4x-x>-2-7,
3x>-9,
x>-3;
②3x-6<4+x,
3x-x<4+6,
2x<10,
x<5,
∴不等式组的解集是-3<x<5.
【解析】(1)解分式方程的步骤有:去分母,去括号,移项,合并同类项,系数化为1,检验;
(2)先求出每个不等式的解集,再在数轴上表示出其解集,然后根据是否存在公共部分求解即可.
本题主要考查了解分式方程以及解一元一次不等式组,熟练掌握解分式方程的步骤以及不等式的性质是解答本题的关键.
24.【答案】证明:(1)在△BEF和△CDA中,
,
∴△BEF≌△CDA(SAS),
∴∠D=∠2;
(2)∵∠D=∠2,∠D=78°,
∴∠D=∠2=78°,
∵EF∥AC,
∴∠2=∠BAC=78°.
【解析】(1)由“SAS”可证△BEF≌△CDA,可得∠D=∠2;
(2)由(1)可得∠D=∠2=78°,由平行线的性质可得∠2=∠BAC=78°.
本题考查了全等三角形的判定和性质,平行线的性质,证明△BEF≌△CDA是本题的关键.
25.【答案】解:(1)n=50×22%=11;
(2)m=50-1-5-24-11=9,
所以估计该校平均每天的睡眠时间在7≤t<8这个范围内的人数是400×=72(人).
【解析】(1)根据频率=求解可得;
(2)先根据频数的和是50及n的值求出m的值,再用总人数乘以样本中平均每天的睡眠时间在7≤t<8这个范围内的人数所占比例即可得.
本题主要考查加权平均数、样本估计总体及频数(率)分布表,解题的关键是掌握频率=、频数的和是50.
26.【答案】8
【解析】解:(1)根据题意画图如下:
共有8种等可能的情况数,
故答案为:8;
(2)根据第(1)问一个阴、两个阳的共有3种,
则有一个阴和两个阳的三行符号”的概率是.
(1)根据题意画出树状图得出所有等可能的结果数即可;
(2)根据(1)列举的结果数和概率公式即可得出答案.
此题考查的是用列举法求概率.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
27.【答案】-4 -
【解析】解:(1)把A(n,2)代入反比例函数y=-中,得n=-4,
∴A(-4,2),
把A(-4,2)代入正比例函数y=kx(k≠0)中,得k=-,
故答案为:-4;-;
(2)过A作AD⊥y轴于D,过B作BE⊥y轴于E,
∵A(-4,2),
∴根据双曲线与正比例函数图象的对称性得B(4,-2),
设C(0,b),则CD=b-2,AD=4,BE=E,CE=b+2,
∵∠ACO+∠OCB=90°,∠OCB+∠CBE=90°,
∴∠ACO=∠CBE,
∵∠ADC=∠CEB=90°,
∴△ACD∽△CBE,
∴,即,
解得,b=2,或b=-2(舍),
∴C(0,2);
(3)如图2,过A作AM⊥x轴于M,过B作BN⊥x轴于N,在x轴上原点的两旁取两点P1,P2,使得OP1=OP2=OA=OB,
∴,
∴P1(-2,0),P2(2,0),
∵OP1=OP2=OA=OB,
∴四边形AP1BP2为矩形,
∴AP1⊥P1B,AP2⊥BP2,
∵点P(m,0)在x轴上,∠APB为锐角,
∴P点必在P1的左边或P2的右边,
∴m<-2或m>2.
(1)把A点坐标代入反比例函数解析式求得n,再把求得的A点坐标代入正比例函数解析式求得k;
(2)可设点C(0,b),只要求出b的值就行,求值一般的方法是相似和勾股定理,此题用相似,只需证明△ACD∽△CBE即可;
(3)在x轴上找到点P1,P2,使AP1⊥P1B,AP2⊥BP2,则点P在P1的左边,在P2的右边就符合要求了.
本题主要考查了反比例函数图象与性质,正比例函数的图象与性质,相似三角形的性质与判定,矩形的判定,待定系数法,第(2)小题关键是证明相似三角形,第(3)小题关键在于构造矩形.
28.【答案】解:(1)分别过点M、N作ME⊥CD于点E,NF⊥DC于点F,
∵ME∥FN∥x轴,
∴△DME∽△DAC,△DCB∽△DFN,
∴,,
∵a=-1,则y=-x2+2x+c,
将M(-1,1)代入上式并解得:c=4,
∴抛物线的表达式为:y=-x2+2x+4,
则点D(1,5),N(4,-4),
则ME=2,DE=4,DC=5,FN=3,DF=9,
∴,解得:AC=,BC=,
∴=;
(2)不变,理由:
∵y=ax2-2ax+c过点M(-1,1),则a+2a+c=1,
解得:c=1-2a,
∴y=ax2-2ax+(1-2a),
∴点D(1,1-4a),N(4,1+5a),
∴ME=2,DE=-4a,
由(1)的结论得:AC=,BC=,
∴=;
(3)过点F作FH⊥x轴于点H,则FH∥l,则△FHE∽△DCE,
∵FB=FE,FH⊥BE,
∴BH=HE,
∵BC=2BE,
则CE=6HE,
∵CD=1-4a,
∴FH=,
∵BC=,
∴CH=×=,
∴F(-+1,-a),
将点F的坐标代入y=ax2-2ax+(1-3a)=a(x+1)(x-3)+1得:
-a=a(-+1+1)(-+1-3)+1,
解得:a=-或(舍弃),
经检验a=-,
故y=-x2+x+.
【解析】(1)证明△DME∽△DAC,△DCB∽△DFN,则,,求出AC=,BC=,即可求解;
(2)点D(1,1-4a),N(4,1+5a),则ME=2,DE=-4a,由(1)的结论得:AC=,BC=,即可求解;
(3)利用△FHE∽△DCE,求出F(-,-a),即可求解.
本题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数的性质、三角形相似等,综合性强,难度较大.
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