甘肃省2019年中考数学试卷

这是一份甘肃省2019年中考数学试卷，共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

甘肃省2019年中考数学试卷
一、单选题（共10题；共20分）
1.下列四个图案中，是中心对称图形的是(    )
A.           B.              C.           D. 
2.在0，2，﹣3，﹣ 这四个数中，最小的数是（   ）
A. 0                                        B. 2                                        C. ﹣3                                        D. ﹣
3.使得式子 有意义的x的取值范围是（   ）
A. x≥4                                     B. x＞4                                     C. x≤4                                     D. x＜4
4.计算（﹣2a）2•a4的结果是（   ）
A. ﹣4a6                                   B. 4a6                                   C. ﹣2a6                                   D. ﹣4a8
5.如图，将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若∠1＝48°，那么∠2的度数是（   ）

A. 48°                                      B. 78°                                      C. 92°                                      D. 102°
6.已知点 在 轴上，则点 的坐标是（   ）
A.                                  B.                                  C.                                  D. 
7.若一元二次方程x2﹣2kx+k2＝0的一根为x＝﹣1，则k的值为（    ）
A. ﹣1                                     B. 0                                     C. 1或﹣1                                     D. 2或0
8.如图，AB是⊙O的直径，点C，D是圆上两点，且∠AOC＝126°，则∠CDB＝（   ）

A. 54°                                       B. 64°                                       C. 27°                                       D. 37°
9.甲，乙两个班参加了学校组织的2019年“国学小名士”国学知识竞赛选拔赛，他们成绩的平均数、中位数、方差如下表所示，规定成绩大于等于95分为优异，则下列说法正确的是（   ）

参加人数
平均数
中位数
方差
甲
45
94
93
5.3
乙
45
94
95
4.8
A. 甲、乙两班的平均水平相同                                B. 甲、乙两班竞赛成绩的众数相同
C. 甲班的成绩比乙班的成绩稳定                             D. 甲班成绩优异的人数比乙班多
10.如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，对于下列说法：①ac＞0，②2a+b＞0，③4ac＜b2 ， ④a+b+c＜0，⑤当x＞0时，y随x的增大而减小，其中正确的是（   ）

A. ①②③                                B. ①②④                                C. ②③④                                D. ③④⑤
二、填空题（共8题；共8分）
11.分解因式：x3y﹣4xy=________．
12.不等式组 的最小整数解是________.
13.分式方程 的解为________.
14.在△ABC中∠C＝90°，tanA＝ ，则cosB＝________.
15.已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则该几何体的左视图的面积为________.

16.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，点D是AB的中点，以A、B为圆心，AD、BD长为半径画弧，分别交AC、BC于点E、F，则图中阴影部分的面积为________.

17.如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，E为BC上一点，把△CDE沿DE折叠，使点C落在AB边上的F处，则CE的长为________．

18.如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有2019个菱形，则n＝________.

三、解答题（共10题；共95分）
19.计算：（﹣ ）﹣2+（2019﹣π）0﹣ tan60°﹣|﹣3|.
20.如图，在△ABC中，点P是AC上一点，连接BP，求作一点M，使得点M到AB和AC两边的距离相等，并且到点B和点P的距离相等.（不写作法，保留作图痕迹）

21.中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？
22.为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制.中小学楼梯宽度的范围是260mm～300mm含（300mm），高度的范围是120mm～150mm（含150mm）.如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，各踏步互相平行，AB＝CD，AC＝900mm，∠ACD＝65°，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定.（结果精确到1mm，参考数据：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423）

23.在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为n.
（1）请用列表或画树状图的方法表示出所有（m，n）可能的结果；
（2）若m，n都是方程x2﹣5x+6＝0的解时，则小明获胜；若m，n都不是方程x2﹣5x+6＝0的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？
24.良好的饮食对学生的身体、智力发育和健康起到了极其重要的作用，荤菜中蛋白质、钙、磷及脂溶性维生素优于素食，而素食中不饱和脂肪酸、维生素和纤维素又优于荤食，只有荤食与素食适当搭配，才能强化初中生的身体素质.某校为了了解学生的体质健康状况，以便食堂为学生提供合理膳食，对本校七年级、八年级学生的体质健康状况进行了调查，过程如下：
收集数据：从七、八年级两个年级中各抽取15名学生，进行了体质健康测试，测试成绩（百分制）如下：
七年级：748175767075757981707480916982
八年级：819483778380817081737882807050
整理数据：
年级
x＜60
60≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
七年级
0
10
4
1
八年级
1
5
8
1
（说明：90分及以上为优秀，80～90分（不含90分）为良好，60～80分（不含80分）为及格，60分以下为不及格）
分析数据：
年级
平均数
中位数
众数
七年级
  
75
75
八年级
77.5
80
  
得出结论：
（1）根据上述数据，将表格补充完整；
（2）可以推断出几年级学生的体质健康状况更好一些，并说明理由；
（3）若七年级共有300名学生，请估计七年级体质健康成绩优秀的学生人数.
25.如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于 两点，与 轴相交于点 .

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）若点 与点 关于 轴对称，求 的面积；
（3）若 是反比例函数 上的两点，当 时，比 与 的大小关系.
26.如图，在正方形 中，点 是 的中点，连接 ，过点 作 交 于点 ，交 于点 .

（1）证明： ；
（2）连接 ，证明： .
27.如图，在 中， ，以 为直径的⊙ 交 于点 ，切线 交 于点 .

（1）求证： ；
（2）若 ，求 的长.
28.如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C.

（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；
（3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标.

答案解析部分
一、单选题
1.【解析】【解答】解：A、是中心对称图形，符合题意；
B、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心图形，不符合题意；
D、既不是轴对称，也不是中心对称图形.
故答案为：A
【分析】根据轴对称和中心对称图形特点分别分析判断，轴对称图形沿一条轴折叠180°，被折叠两部分能完全重合，中心对称图形绕一个点旋转180°后图形仍和原来图形重合。
2.【解析】【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得
﹣3＜﹣ ＜0＜2
所以最小的数是﹣3
故答案为：C.
【分析】根据正数大于0，0大于负数，两个负数绝对值大的反而小即可一一比较得出答案.
3.【解析】【解答】解：使得式子 有意义，则：4﹣x＞0，
解得：x＜4
即x的取值范围是：x＜4
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数及分母不能为0，列出不等式组，求解即可.
4.【解析】【解答】解：（﹣2a）2•a4＝4a2•a4＝4a6
故答案为：B.
【分析】先根据积的乘方法则计算乘方，再根据单项式乘以单项式的法则算出结果.
5.【解析】【解答】解：如图：

∵将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，∠1＝48°，
∴∠2＝∠3＝180°﹣48°﹣30°＝102°
故答案为：D.
【分析】根据平角的定义，由∠3=180°-30°-∠1算出∠3的度数，再根据二直线平行，同位角相等得出由∠2=∠3算出答案.
6.【解析】【解答】解： 点 在 轴上，
，
解得： ，
，
则点 的坐标是： .
故答案为：A.
【分析】根据x轴上的点，纵坐标为0列出方程，求解得出m的值，从而即可求出点P的坐标.
7.【解析】【解答】解：把x＝﹣1代入方程得：1+2k+k2＝0，
解得：k＝﹣1，
故答案为：A．

【分析】将x=-1代入原方程即可得到关于字母系数k的一元二次方程，求解即可。
8.【解析】【解答】解：∵∠AOC＝126°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝54°，
∴∠CDB＝ ∠BOC＝27°
故答案为：C.
【分析】根据平角的定义得出∠BOC的度数，进而根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半由∠CDB＝ ∠BOC＝27°得出答案.
9.【解析】【解答】解：A、甲、乙两班的平均水平相同；正确；
B、甲、乙两班竞赛成绩的众数相同；不正确；
C、甲班的成绩比乙班的成绩稳定；不正确；
D、甲班成绩优异的人数比乙班多；不正确；
故答案为：A.
【分析】根据平均数、众数、中位数方差的定义即可一一判断得出答案.
10.【解析】【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，
∴ac＜0，故①错误；
②由于对称轴可知： ＜1，
∴2a+b＞0，故②正确；得出
③由于抛物线与x轴有两个交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，故③正确；
④由图象可知：x＝1时，y＝a+b+c＜0，
故④正确；
⑤当x＞ 时，y随着x的增大而增大，故⑤错误；
故答案为：C.
【分析】根据抛物线的图象与系数的关系，由图象开口向上可知a＞0，图象与y轴交于负半轴得出c＜0，故ac＜0；根据抛物线的对称轴直线公式及对称轴直线的位置得出 ＜1，故2a+b＞0；根据抛物线与x轴有两个交点得出b2﹣4ac＞0，即 4ac＜b2 ；由图象可知：x＝1时，y＝a+b+c＜0；根据抛物线的增减性可知当x＞ 时，y随着x的增大而增大，综上所述即可得出答案.
二、填空题
11.【解析】【解答】解：x3y﹣4xy，
=xy（x2﹣4），
=xy（x+2）（x﹣2）．
【分析】此多项式有两项，有公因式，先提取公因式，再用平方差公式分解即可。
12.【解析】【解答】解：不等式组整理得： ，
∴不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
则最小的整数解为0，
故答案为：0
【分析】分别解出不等式组中每一个不等式的解集，然后根据大小小大取中间得出其解集，最后再在解集范围内得出其最小整数解即可.
13.【解析】【解答】解：去分母得：3x+6＝5x+5，
解得：x＝ ，
经检验x＝ 是分式方程的解.
故答案为： .
【分析】方程两边都乘以（x+1）(x+2)约去分母，将分式方程转化为整式方程，然后解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程的解.
14.【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝ ，
设a＝ x ， b＝3x ， 则c＝2 x ，
∴cosB＝ .
故答案为： .
【分析】根据正切函数的定义，由tanA＝ ，可设a＝ x ， b＝3x ， 根据勾股定理得出c＝2 x ， 进而即可根据余弦函数的定义求出 cosB 的值.
15.【解析】【解答】解：该几何体是一个三棱柱，底面等边三角形边长为2cm，高为 cm，三棱柱的高为3，所以，其左视图的面积为：3×2=6cm2
故答案为：6cm2.
【分析】根据三视图提供的信息可知：该几何体是一个三棱柱，底面是一个边长为2的等边三角形，,高为3，其左视图的面积就是一个长为3，宽为2的矩形，根据矩形的面积计算方法即可算出答案.
16.【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，CA＝CB＝2，
∴AB＝2 ，∠A＝∠B＝45°，
∵D是AB的中点，
∴AD＝DB＝ ，
∴S阴＝S△ABC﹣2•S扇形ADE＝ ＝ ，
故答案为：
【分析】首先根据勾股定理算出AB的长，根据中点的定义得出AD的长，进而根据三角形的面积计算方法及扇形的面积计算方法，由S阴＝S△ABC﹣2•S扇形ADE即可算出答案.
17.【解析】【解答】解：设CE＝x，则BE＝6﹣x由折叠性质可知，EF＝CE＝x，DF＝CD＝AB＝10，
在Rt△DAF中，AD＝6，DF＝10，
∴AF＝8，
∴BF＝AB﹣AF＝10﹣8＝2，
在Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2 ，
即（6﹣x）2+22＝x2 ，
解得x＝ ，
故答案为 ．

【分析】设CE＝x，则BE＝6﹣x，由折叠性质表示出EF＝CE＝x，DF＝CD＝AB＝10。在Rt△DAF中，利用勾股定理求得AF＝8，则BF＝AB﹣AF＝2，,再在Rt△BEF中，利用勾股定理得BE2+BF2＝EF2列出方程求解即可。
18.【解析】【解答】解：根据题意分析可得：第1幅图中有1个.
第2幅图中有2×2﹣1＝3个.
第3幅图中有2×3﹣1＝5个.
第4幅图中有2×4﹣1＝7个.
….
可以发现，每个图形都比前一个图形多2个.
故第n幅图中共有（2n﹣1）个.
当图中有2019个菱形时，
2n﹣1＝2019
n＝1010，
故答案为：1010.
【分析】探寻图形规律的题，分别找出前几个图形中菱形的个数，通过观察即可发现：每个图形都比前一个图形多2个菱形，而且从第一个图形开始，菱形的个数依次是1、3、5……故第n幅图中共有（2n﹣1）个，从而即可列出方程，求解即可.
三、解答题
19.【解析】【分析】根据负指数、0指数、绝对值的意义及特殊锐角三角函数值分别化简，再根据实数的混合运算法则算出答案即可.
20.【解析】【分析】根据角平分线的定理 可知：到AB和AC两边的距离相等的点应该再∠BAC的角平分线上，根据线段垂直平分线的定理， 到点B和点P的距离相等的点应该在线段BP的中垂线上，故利用尺规作图法，作出线段BP的中垂线及∠BAC的角平分线，两线的交点就是所求的点M.
21.【解析】【分析】 设共有x人， 若每3人共乘一车，则可坐满的车的数量为 辆，一共有车的数量为（+2）辆， 若每2人共乘一车 ，则可坐车的数量为辆，根据车的总数量不变列出方程，求解即可.
22.【解析】【分析】 连接BD，作DM⊥AB于点M， 首先判断出四边形ABCD是平行四边形， 根据平行四边形的性质得出 ∠C＝∠ABD，AC＝BD， 根据锐角三角函数的定义，由 BM＝BD•cos65° 及 DM＝BD•sin65° 即可求出BM,DM的长，进而即可判断 楼梯踏步的高度及宽度是否符合题意.
23.【解析】【分析】（1）根据题意画出树状图，由图即可得出所有等可能的结果；
（2）利用因式分解法求出方程 x2﹣5x+6＝0的解， 得出 m＝2，n＝3，或m＝3，n＝2， 由树状图得：共有12个等可能的结果，m，n都是方程x2﹣5x+6＝0的解的结果有2个， 由树状图得：共有12个等可能的结果，m，n都不是方程x2﹣5x+6＝0的解的结果有2个， 根据概率公式即可算出各自获胜的概率，再比大小即可得出结论.
24.【解析】【分析】（1）根据统计提供的数据，利用平均数的计算公式算出七年级的体质健康状况平均数；然后根据众数的定义，找出八年级体质健康状况数据中出现次数最多的数据，即可求出八年级学生体质健康状况的众数；
（2） 八年级学生的体质健康状况的平均数、中位数以及众数均高于七年级，说明八年级学生的体质健康情况更好一些；
（3）利用样本估计总体，用七年级的学生总人数乘以样本中七年级体质健康成绩优秀的学生人数所占的百分比即可估算出该校七年级体质健康成绩优秀的学生人数.
25.【解析】【分析】（1）将点B的坐标代入 反比例函数 即可算出m的值，从而求出反比例函数的解析式；再将点 代入所求的反比例函数的解析式即可算出n的值，从而求出点A的坐标， 把 两点的坐标分别代入 ， 即可得出关于k,b的二元一次方程组，求解得出k,b的值从而求出一次函数的解析式；
（2）根据直线与y轴交点的坐标特点，求出点C的坐标，进而根据关于x轴对称的点的坐标特点求出点D的坐标，进而利用S△ABD=即可算出答案；
（3）由于反比例函数的比例系数k=-2＜0，图象的两支分别位于第二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大，由于 ， 故M,N两点都在第二象限，所以 ＜ .
26.【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得出 ，然后根据同角的余角相等得出 ， 从而利用ASA判断出 ；
（2） 如图所示，延长 交 的延长线于 ， 首先利用ASA判断出 ，根据全等三角形的对应边相等及正方形的性质得出 ， 进而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出 .
27.【解析】【分析】（1） 连接 ， 根据切线的性质得出 ， 根据平角的定义得出 ， 根据直角三角形的两锐角互余得出 ，根据等边对等角得出∠B=∠BDO，进而根据等角的余角相等得出 ；
（2） 连接 ，根据等角对等边得出AE=DE，根据垂直于半径的外端点的直线是圆的切线得出 是⊙ 的切线， 根据切线长定理得出AE=EC，故AE=EC，从而得出AC的长，进而在 中利用勾股定理建立方程算出BD的长，最后再根据勾股定理即可算出BC的长.
28.【解析】【分析】（1）由于此题给出了抛物线的二次项系数及与x轴两交点的坐标，故可以利用交点式直接得出解析式；
（2） ①当AB为平行四边形一条边时，如图1， 根据平行四边形的性质及抛物线的对称性及点的坐标与图形的性质即可求出点P的坐标； ②当AB是四边形的对角线时，如图2， 根据中点坐标公式得出 AB中点坐标为（2，0） ， 设点P的横坐标为m，点F的横坐标为2，其中点横坐标为： ，从而列出方程，求解得出m的值，从而求出点P的坐标，综上所述即可得出答案；
（3）利用待定系数法求出直线BC的解析式，根据点的坐标与图形的性质用含x的式子表示出点E,D的坐标，然后根据 S四边形AEBD＝ AB（yD﹣yE） 建立函数关系式，由所得函数的性质即可解决问题.