湖北省鄂州市2020年中考数学试卷

这是一份湖北省鄂州市2020年中考数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


湖北省鄂州市2020年中考数学试卷
一、选择题（共10题；共20分）
1.-2020的相反数是（    ）
A. 2020                               B. -2020                               C.                                D. －
2.下列运算正确的是（   ）
A.           B.           C.           D. 
3.如图是由5个小正方体组合成的几何体，则其俯视图为（   ）

A.               B.               C.               D. 
4.面对2020年突如其来的新冠疫情，党和国家及时采取“严防严控”措施，并对新冠患者全部免费治疗.据统计共投入约21亿元资金.21亿用科学记数法可表示为（   ）
A.                         B.                         C.                         D. 
5.如图， ，一块含 的直角三角板的一个顶点落在其中一条直线上，若 ，则 的度数为（   ）

A.                                        B.                                        C.                                        D. 
6.一组数据4，5，x，7，9的平均数为6，则这组数据的众数为（   ）
A. 4                                           B. 5                                           C. 7                                           D. 9
7.目前以 等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展.某市2019年底有 用户2万户，计划到2021年底全市 用户数累计达到8.72万户.设全市 用户数年平均增长率为 ，则 值为（   ）
A.                                     B.                                     C.                                     D. 
8.如图，在 和 中， ， ， ， .连接 、 交于点M，连接 .下列结论：

① ；② ；③ 平分 ；④ 平分
其中正确的结论个数有（   ）个.
A. 4                                           B. 3                                           C. 2                                           D. 1
9.如图，抛物线 与 轴交于点 和B，与y轴交于点 .下列结论：① ；② ；③ ；④ ，其中正确的结论个数为（   ）

A. 4                                        B. 2个                                        C. 3个                                        D. 4个
10.如图，点 在反比例函数 的图象上，点 在 轴上，且 ，直线 与双曲线 交于点 ，则 （n为正整数）的坐标是（   ）

A.                          B.                          C.                          D. 
二、填空题（共6题；共6分）
11.因式分解： =________.
12.关于x的不等式组 的解集是________.
13.用一个圆心角为120°，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为________．
14.如图，点A是双曲线 上一动点，连接 ，作 ，且使 ，当点A在双曲线 上运动时，点B在双曲线 上移动，则k的值为________.

15.如图，半径为 的 与边长为 的正方形 的边 相切于E，点F为正方形的中心，直线 过 点.当正方形 沿直线 以每秒 的速度向左运动________秒时， 与正方形重叠部分的面积为 .

16.如图，已知直线 与x、y轴交于A、B两点， 的半径为1，P为 上一动点， 切 于Q点.当线段 长取最小值时，直线 交y轴于M点，a为过点M的一条直线，则点P到直线a的距离的最大值为________.

三、解答题（共8题；共86分）
17.先化简 ，再从 ， ，0，1，2中选一个合适的数作为x的值代入求值.
18.如图，在平行四边形 中，对角线 与 交于点O，点M，N分别为 、 的中点，延长 至点E，使 ，连接 .

（1）求证： ；
（2）若 ，且 ， ，求四边形 的面积.
19.某校为了了解全校学生线上学习情况，随机选取该校部分学生，调查学生居家学习时每天学习时间（包括线上听课及完成作业时间）.以下是根据调查结果绘制的统计图表.请你根据图表中的信息完成下列问题：
频数分布表
学习时间分组
频数
频率
A组（ ）
9
m
B组（ ）
18
0.3
C组（ ）
18
0.3
D组（ ）
n
0.2
E组（ ）
3
0.05

（1）频数分布表中 ________， ________，并将频数分布直方图补充完整；________
（2）若该校有学生1000名，现要对每天学习时间低于2小时的学生进行提醒，根据调查结果，估计全校需要提醒的学生有多少名？
（3）已知调查的E组学生中有2名男生1名女生，老师随机从中选取2名学生进一步了解学生居家学习情况.请用树状图或列表求所选2名学生恰为一男生一女生的概率.
20.已知关于x的方程 有两实数根.
（1）求k的取值范围；
（2）设方程两实数根分别为 、 ，且 ，求实数k的值.
21.鄂州市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度 .如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的左岸C处的俯角为 ，无人机沿水平线 方向继续飞行50米至B处，测得正前方河流右岸D处的俯角为30°.线段 的长为无人机距地面的铅直高度，点M、C、D在同一条直线上.其中 米.

（1）求无人机的飞行高度 ；（结果保留根号）
（2）求河流的宽度 .（结果精确到1米，参考数据： ）
22.如图所示： 与 的边 相切于点C，与 、 分别交于点D、E， . 是 的直径.连接 ，过C作 交 于G，连接 、 ， 与 交于点F.

（1）求证：直线 与 相切；
（2）求证： ；
（3）若 时，过A作 交 于M、N两点（M在线段 上），求 的长.
23.一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：
x（元/件）
4
5
6
y（件）
10000
9500
9000
（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件.若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？
（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元（ ），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大.请直接写出m的取值范围.
24.如图，抛物线 与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C.直线 经过B、C两点.
   
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上的一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线 及x轴分别交于点D、M. ，垂足为N.设 .
①点P在抛物线上运动，若P、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）.请直接写出符合条件的m的值；
②当点P在直线 下方的抛物线上运动时，是否存在一点P，使 与 相似.若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

答案解析部分
一、选择题
1.【解析】【解答】-2020的相反数是2020，
故答案为：A.
【分析】根据相反数直接得出即可.
2.【解析】【解答】解：A. ，选项错误；
B. ，选项错误；
C. ，选项正确；
D. ，选项错误；
故答案为：C.
【分析】利用合并同类项、积的乘方、单项式乘单项式、多项式乘多项式直接计算判断即可.
3.【解析】【解答】解：从该组合体的俯视图看从左至右共有三列，从左到右第一列有一个正方形，第二列有一个正方形，第三列有两个正方形，可得只有选项A符合题意.
故答案为：A.
【分析】从该组合体的俯视图看从左至右共有三列，从左到右第一列有一个正方形，第二列有一个正方形，第三列有两个正方形，据此找到答案即可.
4.【解析】【解答】21亿=2100000000=2.1×109.
故答案为：C.
【分析】科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a10n的形式，其中，n=整数位数-1.根据科学记数法的意义即可求解.
5.【解析】【解答】如图所示,过直角顶点作c∥a，

∵ ，
∴a∥b∥c，
∴ ,
∴ ,
∴ .
故答案为：A.
【分析】作平行a和b的平行线,再根据平行的性质可知 ,再算出 即可得出 .
6.【解析】【解答】解：∵4，5，x，7，9的平均数为6，
∴ ，
解得：x=5，
∴这组数据为：4，5，5，7，9，
∴这组数据的众数为5.
故答案为：B.
【分析】先根据平均数的公式计算出x的值，再求这组数据的众数即可.
7.【解析】【解答】解：设全市 用户数年平均增长率为x，根据题意，得：
，
解这个方程，得： ， （不合题意，舍去）.
∴x的值为40%.
故答案为：C.
【分析】先用含x的代数式表示出2020年底、2021年底 用户的数量，然后根据2019年底到2021年底这三年的 用户数量之和=8.72万户即得关于x的方程，解方程即得答案.
8.【解析】【解答】∵∠AOB＝∠COD＝36°，
∴∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC，
即∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确；
∴∠OAC＝∠OBD，

由三角形的外角性质得：∠AMB＋∠OBD＝∠AOB＋∠OAC，
∴∠AMB＝∠AOB＝36°，②正确；
作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如图所示：

则∠OGC＝∠OHD＝90°，
在△OCG和△ODH中，
，
∴△OCG≌△ODH（AAS），
∴OG＝OH，
∴ 平分 ，④正确；
∵∠AOB＝∠COD，
∴当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，
假设∠DOM＝∠AOM
∵△AOC≌△BOD，
∴∠COM＝∠BOM，
∵MO平分∠BMC，
∴∠CMO＝∠BMO，
在△COM和△BOM中，
，
∴△COM≌△BOM（ASA），
∴OB＝OC，
∵OA＝OB
∴OA＝OC
与 矛盾，
∴③错误；
正确的有①②④；
故答案为：B.
【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD，得到∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB＋∠OBD＝∠AOB＋∠OAC，得出∠AMB＝∠AOB＝36°，①正确；
根据全等三角形的性质得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确；
作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如图所示：则∠OGC＝∠OHD＝90°，由AAS证明△OCG≌△ODH（AAS），得出OG＝OH，由角平分线的判定方法得出MO平分 ，④正确；
由∠AOB＝∠COD，得出当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM＝∠AOM，由△AOC≌△BOD得出∠COM＝∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO＝∠BMO，推出△COM≌△BOM，得OB＝OC，而OA＝OB，所以OA＝OC，而 ，故③错误；即可得出结论.
9.【解析】【解答】∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∵对称轴在y轴右边，
∴ ，即b<0 ，
∵抛物线与 轴的交点在 轴的下方，
∴ ，
∴ ，故①错误；
对称轴在1左侧，∴
∴-b<2a，即2a+b>0，故②错误；
当x=-2时，y=4a-2b+c>0，故③正确；
当x=-1时，抛物线过x轴，即a-b+c=0，
∴b=a+c，
又2a+b>0，
∴2a+a+c>0，即3a+c>0，故④正确；
故答案为：B.
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，进而判断①；根据对称轴<1求出2a与b的关系，进而判断②；根据x=﹣2时，y＞0可判断③；由x=-1和2a与b的关系可判断④.
10.【解析】【解答】解：联立 ，解得 ，
∴ ， ，
由题意可知 ，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
过 作 交y轴于H，则容易得到 ，

设 ，则 ，
∴ ，
解得 ， （舍），
∴ ， ，
∴ ，
用同样方法可得到 ，
因此可得到 ，即
故答案为：D.
【分析】先求出 的坐标，由题意容易得到 为等腰直角三角形，即可得到 ，然后过 作 交y轴于H， ，通过反比例函数解析式可求出x，从而能够得到 ，再同样求出 ，即可发现规律.
二、填空题
11.【解析】【解答】原式 .
【分析】先提取公因式2，再根据完全平方公式分解因式即可得到结果.
12.【解析】【解答】解：由 ，得 ，
由 ，得 ，
∴不等式组 的解集是 ，
故答案为： .
【分析】直接解不等式组即可.
13.【解析】【解答】解： ，解得r= ． 故答案为： ．
【分析】利用底面周长=展开图的弧长可得．
14.【解析】【解答】解：如图作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D.

∵
∴ =
∵点A是双曲线 上
∴S△OAC=
∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
又∵直角△AOC中，∠AOC+∠CAO=90°，
∴∠BOD=∠OAC，
又∵∠ACO=∠BDO=90°，
∴△OAC∽△BOD，
∴ =
∴
∴ =9
∵函数图像位于第四象限
∴ｋ＝﹣9
故答案为：﹣9
【分析】首先根据反比例函数的比例系数k的几何意义求得△AOC的面积，然后证明△OAC∽△BOD，根据相似三角形的面积的性质求得△BOD的面积，依据反比例函数的比例系数k的几何意义即可求解.
15.【解析】【解答】解：①当正方形运动到如图1位置，连接OA，OB，AB交OF于点E

此时正方形与圆的重叠部分的面积为S扇形OAB-S△OAB
由题意可知：OA=OB=AB=2，OF⊥AB
∴△OAB为等边三角形
∴∠AOB=60°，OE⊥AB
在Rt△AOE中，∠AOE=30°，∴AE= ，OE=
∴S扇形OAB-S△OAB
∴OF=
∴点F向左运动 个单位
所以此时运动时间为 秒
②同理，当正方形运动到如图2位置，连接OC，OD，CD交OF于点E

此时正方形与圆的重叠部分的面积为S扇形OCD-S△OCD
由题意可知：OC=OD=CD=2，OF⊥CD
∴△OCD为等边三角形
∴∠COD=60°，OE⊥CD
在Rt△COE中，∠COE=30°，∴CE= ，OE=
∴S扇形OCD-S△OCD
∴OF=
∴点F向左运动 个单位
所以此时运动时间为 秒
综上，当运动时间为1或 秒时，⊙O与正方形重叠部分的面积为
故答案为：1或 .
【分析】将正方形向左平移，使得正方形与圆的重叠部分为弓形，根据题目数据求得此时弓形面积符合题意，由此得到OF的长度，然后结合运动速度求解即可，特别要注意的是正方形沿直线运动，所以需要分类讨论.
16.【解析】【解答】解：如图，

在直线 上，x=0时，y=4，y=0时，x= ，
∴OB=4，OA= ，
∴ ，
∴∠OBA=30°，
由 切 于Q点，可知OQ⊥PQ，
∴ ，
由于OQ=1，因此当OP最小时 长取最小值，此时OP⊥AB，
∴ ，此时 ， ，
∴ ，即∠OPQ=30°，
若使P到直线a的距离最大，则最大值为PM，且M位于x轴下方，
过P作PE⊥y轴于E，
， ，
∴ ，
∵ ，∴∠OPE=30°，
∴∠EPM=30°+30°=60°，即∠EMP=30°，
∴ ，
故答案为： .
【分析】先找到 长取最小值时P的位置即为OP⊥AB时，然后画出图形，由于PM即为P到直线a的距离的最大值，求出PM长即可.
三、解答题
17.【解析】【分析】先化简分式，然后在确保分式有意义的前提下，确定x的值并代入计算即可.
18.【解析】【分析】(1)由四边形ABCD是平行四边形得出AB=CD，AB CD，进而得到∠BAC=∠DCA，再结合AO=CO，M,N分别是OA和OC中点即可求解；(2)证明△ABO是等腰三角形，结合M是AO的中点，得到∠BMO=∠EMO=90°，同时△DOC也是等腰三角形，N是OC中点，得到∠DNO=90°，得到EM DN，再由(1)得到EM=DN，得出四边形EMND为矩形，进而求出面积.
19.【解析】【解答】解：（1）随机选取学生数为：18÷0.3=60人
则m=9÷60=0.15，n=60×0.2=12；
故答案为0.15,12；
【分析】（1）先求出选取的学生数，再根据频率计算频数，根据频数计算频率；（2）先求出选取该校部分学生每天学习时间低于2小时的学生的频率，然后再估计该校有学生1000名中，每天学习时间低于2小时的学生数即可；（3）先通过列表法确定所有情况数和所需情况数，然后用概率的计算公式计算即可.
20.【解析】【分析】（1）根据方程有两个实数根得出△＝ ≥0，解之可得.（2）利用根与系数的关系可用k表示出x1＋x2和x1x2的值，根据条件可得到关于k的方程，可求得k的值，注意利用根的判别式进行取舍.
21.【解析】【分析】（1）根据正切的定义即可求出AM的长；（2）过点B作BH⊥MD，根据三角函数求出DH的长，利用CD=DH-CH即可求解.
22.【解析】【分析】(1)由两组平行条件推出∠DEO=∠BOE,即可利用SAS证明△BOE≌△BOC,进而推出AB是圆的切线;(2)将DG与OE的交点作为H,根据直角的性质得出AE//DF,可得△AEC∽△DFC,得出 ,再根据圆周角定理求出∠ECD=∠EDF,再由一组公共角可得△FED∽△DEC,得出 ,进而推出 ,即 ;(3)先根据题意算出EC,再根据勾股定理得出直径CD,从而得出半径,再利用(2)中的比例条件将AC算出来,延长BO到I,连接ON,根据垂径定理可得OI垂直AN,即可利用勾股定理分别求出AI和IN,即可得出AN.
23.【解析】【分析】（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，代入表中的数据求解即可；（2）设这一周该商场销售这种商品获得的利润为w，根据总利润=单件利润×销售量列出函数关系式求最大值，注意x的取值范围；（3）写出w关于x的函数关系式，根据当x≤15时，利润仍随售价的增大而增大，可得 ，求解即可.
24.【解析】【分析】（1）根据直线 经过B、C两点求出B、C两点的坐标，将B、C坐标代入抛物线 可得答案；（2）①由题意得P（m， ），D（m， ）；根据P、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点列式计算即可求得m的值；②先证明 ，得出 ，再根据 与 相似得出 ，则 ，可得出 ，求出点P的纵坐标，代入抛物线 ，即可求得点P的横坐标.