湖南省常德市2020年中考数学试卷

这是一份湖南省常德市2020年中考数学试卷，共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

湖南省常德市2020年中考数学试卷
一、单选题（共8题；共16分）
1.4的倒数为（   ）
A.                                           B. 2                                          C. 1                                          D. ﹣4
2.下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是（   ）
A.                 B.                 C.                 D. 
3.如图，已知AB∥DE ， ∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（   ）

A. 70°                                       B. 65°                                       C. 35°                                       D. 5°
4.下列计算正确的是（   ）
A. a2+b2＝（a+b）2                   B. a2+a4＝a6                   C. a10÷a5＝a2                   D. a2•a3＝a5
5.下列说法正确的是（   ）
A. 明天的降水概率为80%，则明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨
B. 抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上
C. 了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式
D. 一组数据的众数一定只有一个
6.一个圆锥的底面半径r＝10，高h＝20，则这个圆锥的侧面积是（   ）
A. 100 π                          B. 200 π                          C. 100 π                          D. 200 π
7.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（   ）

A. 4                                           B. 3                                           C. 2                                           D. 1
8.如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k次移动k个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（   ）

A. C、E                                B. E、F                                C. G、C、E                                D. E、C、F
二、填空题（共8题；共8分）
9.分解因式： ________．
10.若代数式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是________．
11.计算： ﹣ ＝________．
12.如图，若反比例函数y＝ （x＜0）的图象经过点A ， AB⊥x轴于B ， 且△AOB的面积为6，则k＝________．

13.4月23日是世界读书日，这天某校为了解学生课外阅读情况，随机收集了30名学生每周课外阅读的时间，统计如表：
阅读时间（x小时）
x≤3.5
3.5＜x≤5
5＜x≤6.5
x＞6.5
人数
12
8
6
4
若该校共有1200名学生，试估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为________．
14.今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是________次．
15.如图1，已知四边形ABCD是正方形，将 ， 分别沿DE ， DF向内折叠得到图2，此时DA与DC重合（A、C都落在G点），若GF＝4，EG＝6，则DG的长为________．

16.阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：
x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．
理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，
因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．
解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为________．
三、解答题（共10题；共90分）
17.计算：20+（ ）﹣1• ﹣4tan45°．
18.解不等式组 ．
19.先化简，再选一个合适的数代入求值：（x+1﹣ ）÷ ．
20.第5代移动通信技术简称5G ， 某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？
21.已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过A（3，18）和B（﹣2，8）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝ （m≠0）的图象只有一个交点，求交点坐标．
22.如图1是自动卸货汽车卸货时的状态图，图2是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆BC的底部支撑点B在水平线AD的下方，AB与水平线AD之间的夹角是5°，卸货时，车厢与水平线AD成60°，此时AB与支撑顶杆BC的夹角为45°，若AC＝2米，求BC的长度．（结果保留一位小数）

（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75， ≈1.41）
23.今年2﹣4月某市出现了200名新冠肺炎患者，市委根据党中央的决定，对患者进行了免费治疗．图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图（不完整），图2是这三类患者的人均治疗费用统计图．请回答下列问题．

（1）轻症患者的人数是多少？
（2）该市为治疗危重症患者共花费多少万元？
（3）所有患者的平均治疗费用是多少万元？
（4）由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的A、B、C、D、E五位患者任选两位转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中B、D两位患者的概率．
24.如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D是AB上的一点，DE⊥AB于D ， DE交BC于F ， 且EF＝EC ．

（1）求证：EC是⊙O的切线；
（2）若BD＝4，BC＝8，圆的半径OB＝5，求切线EC的长．
25.如图，已知抛物线y＝ax2过点A（﹣3， ）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）已知直线l过点A ， M（ ，0）且与抛物线交于另一点B ， 与y轴交于点C ， 求证：MC2＝MA•MB；
（3）若点P ， D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O ， C ， P ， D的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标．
26.已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，连接CE并延长CE到P ， 使EP＝CE ， 连接BE ， FP ， BP ， 设BC与DE交于M ， PB与EF交于N ．

（1）如图1，当D ， B ， F共线时，求证：
①EB＝EP；
②∠EFP＝30°；
（2）如图2，当D ， B ， F不共线时，连接BF ， 求证：∠BFD+∠EFP＝30°．

答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 A
2.【答案】 C
3.【答案】 B
4.【答案】 D
5.【答案】 C
6.【答案】 C
7.【答案】 B
8.【答案】 D
二、填空题
9.【答案】

10.【答案】 x＞3
11.【答案】 3
12.【答案】 ﹣12
13.【答案】 400
14.【答案】 4
15.【答案】 12
16.【答案】 x＝2或x＝﹣1+ 或x＝﹣1﹣
三、解答题
17.【答案】 解：20+（ ）﹣1• ﹣4tan45°
＝1+3×2﹣4×1
＝1+6﹣4
＝3．
18.【答案】 解： ，
由①得：x＜5，
由②得：x≥﹣1，
不等式组的解集为：﹣1≤x＜5．
19.【答案】 解：（x+1﹣ ）÷
＝
＝
＝
＝ ，
当x＝2时，原式＝ ＝﹣ ．
20.【答案】 解：设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆，
由题意得： ﹣ ＝140，
解得：x＝4，
经检验：x＝4是原分式方程的解，且符合题意，
15x =15×4＝60，
答：该地4G的下载速度是每秒4兆，则该地5G的下载速度是每秒60兆．
21.【答案】 （1）解：把（3，18），（﹣2，8）代入一次函数y＝kx+b（k≠0），得
，
解得 ，
∴一次函数的解析式为y＝2x+12；

（2）解：∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝ （m≠0）的图象只有一个交点，
∴ 只有一组解，
即2x2+12x﹣m＝0有两个相等的实数根，
∴△＝122﹣4×2×（﹣m）＝0，
∴m＝-18．
把m＝-18代入求得该方程的解为：x＝-3，
把x＝-3代入y＝2x+12得：y＝6，
即所求的交点坐标为（-3，6）．
22.【答案】 解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，

∵在Rt△ACE中，∠C＝180°﹣65°﹣45°＝70°，
∴cosC＝cos70°＝ ，即CE＝AC×cos70°≈2×0.34＝0.68，
sinC＝sin70°＝ ，AE＝AC×sin70°≈2×0.94＝1.88，
又∵在Rt△AEB中，∠ABC＝45°，
∴△AEB是等腰直角三角形
∴AE＝BE，
∴BC＝BE+CE＝0.68+1.88＝2.56≈2.6，
答：所求BC的长度约为2.6米．
23.【答案】 （1）解：轻症患者的人数＝200×80%＝160（人）；
（2）解：该市为治疗危重症患者共花费钱数＝200×（1﹣80%﹣15%）×10＝100（万元）；
（3）解：所有患者的平均治疗费用＝ ＝2.15（万元）；
（4）解：列表得：

A
B
C
D
E
A

（B，A）
（C，A）
（D，A）
（E，A）
B
（A，B）

（C，B）
（D，B）
（E，B）
C
（A，C）
（B，C）

（D，C）
（E，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）

（E，D）
E
（A，E）
（B，E）
（C，E）
（D，E）

由列表格，可知：共有20种等可能的结果，恰好选中B、D两位同学的有2种情况，
∴P（恰好选中B、D）＝ ＝ ．
24.【答案】 （1）解：连接OC，

∵OC＝OB，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵DE⊥AB，
∴∠OBC+∠DFB＝90°，
∵EF＝EC，
∴∠ECF＝∠EFC＝∠DFB，
∴∠OCB+∠ECF＝90°，
∴OC⊥CE，
∴EC是⊙O的切线；

（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OB＝5，
∴AB＝10，
∴AC＝ ＝ ＝6，
∵cos∠ABC＝ ，
∴ ，
∴BF＝5，
∴CF＝BC﹣BF＝3，
∵∠ABC+∠A＝90°，∠ABC+∠BFD＝90°，
∴∠BFD＝∠A，
∴∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，
∴△OAC∽△ECF，
∴ ，
∴EC＝ ＝ ＝ ．
25.【答案】 （1）解：把点A（﹣3， ）代入y＝ax2 ，
得到 ＝9a，
∴a＝ ，
∴抛物线的解析式为y＝ x2 ．

（2）解：设直线l的解析式为y＝kx+b，则有 ，
解得 ，
∴直线l的解析式为y＝﹣ x+ ，
令x＝0，得到y＝ ，
∴C（0， ），
由 ，解得 或 ，
∴B（1， ），
如图1中，过点A作AA1⊥x轴于A1 ， 过B作BB1⊥x轴于B1 ， 则BB1∥OC∥AA1 ，

∴ ＝ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
即MC2＝MA•MB．

（3）解：如图2中，设P（t， t2）

∵OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，
∴PD∥OC，PD＝OC，
∴D（t，﹣ t+ ），
∴| t2﹣（﹣ t+ ）|＝ ，
整理得：t2+2t﹣6＝0或t2+2t＝0，
解得t＝﹣1﹣ 或﹣1＝ 或﹣2或0（舍弃），
∴P（﹣1﹣ ，2+ ）或（﹣1+ ，2﹣ ）或（﹣2，1）．
26.【答案】 （1）解：①∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°
∴∠A＝90°﹣30°＝60°
同理∠EDF＝60°
∴∠A＝∠EDF＝60°
∴AC∥DE
∴∠DMB＝∠ACB＝90°
∵D是Rt△ABC斜边AB的中点，AC∥DM
∴
即M是BC的中点
∵EP＝CE，即E是PC的中点
∴ED∥BP
∴∠CBP＝∠DMB＝90°
∴△CBP是直角三角形
∴BE＝ PC＝EP
②∵∠ABC＝∠DFE＝30°
∴BC∥EF
由①知：∠CBP＝90°
∴BP⊥EF
∵EB＝EP
∴EF是线段BP的垂直平分线
∴PF＝BF
∴∠PFE＝∠BFE＝30°

（2）解：如图2，延长DE到Q，使EQ＝DE，连接CD，PQ，FQ

∵EC＝EP，∠DEC＝∠QEP
∴△QEP≌△DEC（SAS）
则PQ＝DC＝DB
∵QE＝DE，∠DEF＝90°
∴EF是DQ的垂直平分线
∴QF＝DF
∵CD＝AD
∴∠CDA＝∠A＝60°
∴∠CDB＝120°
∴∠FDB＝120°﹣∠FDC＝120°﹣（60°+∠EDC）＝60°﹣∠EDC＝60°﹣∠EQP＝∠FQP
∴△FQP≌△FDB（SAS）
∴∠QFP＝∠BFD
∵EF是DQ的垂直平分线
∴∠QFE＝∠EFD＝30°
∴∠QFP+∠EFP＝30°
∴∠BFD+∠EFP＝30°