湖南省邵阳市2020年中考数学试卷

这是一份湖南省邵阳市2020年中考数学试卷，共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

湖南省邵阳市2020年中考数学试卷
一、单选题（共10题；共20分）
1.2020的倒数是（    ）
A.                               B.                               C.                               D. 
2.下列四个立体图形中，它们各自的三视图都相同的是(    )
A.                         B.                         C.                         D. 
3.2020年6月23日，中国第55颗北斗号航卫星成功发射，标志着拥有全部知识产权的北斗导航系统全面建成．据统计：2019年，我国北斗卫星导航与位置服务产业总体产值达3450亿元，较2018年增长14.4%．其中，3450亿元用科学记数法表示为（    ）
A. 元                B. 元                C. 元                D. 元
4.设方程 的两根分别是 ，则 的值为（    ）
A. 3                                       B.                                        C.                                        D. 
5.已知正比例函数 的图象过点 ，把正比例函数 的图象平移，使它过点 ，则平移后的函数图象大致是（    ）
A.                  B.                  C.                  D. 
6.下列计算正确的是（    ）
A.                                               B. 
C.                                                D. 
7.如图，四边形 是平行四边形，点E ， B ， D ， F在同一条直线上，请添加一个条件使得 ，下列错误的是（    ）

A.                 B.                 C.                 D. 
8.已知 ，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（    ）

A.                              B.                              C.                              D. 
9.如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为 ，宽为 的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计实验结果），他将若干次有效实验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（    ）

A.                                      B.                                      C.                                      D. 
10.将一张矩形纸片 按如图所示操作：（1）将 沿 向内折叠，使点A落在点 处，（2）将 沿 向内继续折叠，使点P落在点 处，折痕与边 交于点M ．
若 ，则 的大小是（    ）

A. 135°                                   B. 120°                                   C. 112.5°                                   D. 115°
二、填空题（共8题；共8分）
11.因式分解： =________.
12.如图，已知点A在反比例函数 的图象上，过点A作 轴于点B ， 的面积是2．则k的值是________．

13.据统计：2019年，邵阳市在教育扶贫方面，共资助学生91.3万人次，全市没有一名学生因贫失学，其中，某校老师承担了对甲，乙两名学生每周“送教上门”的任务，以下是甲、乙两名学生某十周每周接受“送教上门”的时间（单位：小时）：
甲：7，8，8，9，7，8，8，9，7，9；
乙：6，8，7，7，8，9，10，7，9，9．
从接受“送教上门”的时间波动大小来看，________学生每周接受送教的时间更稳定．（填“甲”或“乙”）
14.如图，线段 ，用尺规作图法按如下步骤作图．

①过点B作 的垂线，并在垂线上取 ；
②连接 ，以点C为圆心， 为半径画弧，交 于点E；
③以点A为圆心， 为半径画弧，交 于点D ． 即点D为线段 的黄金分割点．
则线段 的长度约为________ （结果保留两位小数，参考数据： ）
15.在如图方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则2个空格的实数之积为________．

2

1

6

3

16.中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为________．
17.如图①是山东舰航徽的构图，采用航母45度破浪而出的角度，展现山东舰作为中国首艘国产舰母橫空出世的气势，将舰徽中第一条波浪抽象成几何图形，则是一条长为 的弧，若该弧所在的扇形是高为12的圆锥侧面展开图（如图②），则该圆锥的母线长 为________．

18.如图，在 中， ，斜边 ，过点C作 ，以 为边作菱形 ，若 ，则 的面积为________．

三、解答题（共8题；共78分）
19.计算： ．
20.已知： ，
（1）求m ， n的值；
（2）先化简，再求值： ．
21.如图，在等腰 中， ，点D是 上一点，以 为直径的 过点A ， 连接 ， ．

（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ，求 的半径．
22.2019年12月23日，湖南省政府批准，全国“十三五”规划重大水利工程一邵阳资水犬木塘水库，将于2020年开工建设施工测绘中，饮水干渠需经过一座险峻的石山，如图所示， 表示需铺设的干渠引水管道，经测量，A ， B ， C所处位置的海拔 分别为 ， ， ．若管道 与水平线 的夹角为30°，管道 与水平线 夹角为45°，求管道 和 的总长度（结果保留根号）．

23.“新冠病毒”疫情防控期间，我市积极开展“停课不停学”网络教学活动，为了了解和指导学生有效进行网络学习，某校对学生每天在家网络学习时间进行了随机问卷调查（问卷调查表如图所示），并用调查结果绘制了图①，图②两幅统计图（均不完整），请根据统计图解答以下问题：

XX学校“停课不停学”网络学习时间
调查表
亲爱的同学，你好！
为了了解和更好地指导你进行“停课不停学”网络学习，请在表格中选择一项符合你学习时间的选项，在其后的空格内打“√”．
平均每天利用网络学习时间问卷调查表
选项
学习时间（小时）

A


B


C


D


（1）本次接受问卷调查的学生共有________人；
（2）请补全图①中的条形统计图；
（3）图②中，D选项所对应的扇形圆心角为________度；
（4）若该校共有1500名学生，请你估计该校学生“停课不停学”期间平均每天利用网络学习时间在C选项的有多少人？
24.2020年5月，全国“两会”召开以后，应势复苏的“地摊经济”带来了市场新活力，小丹准备购进A、B两种类型的便携式风扇到地摊一条街出售．已知2台A型风扇和5台B型风扇进价共100元，3台A型风扇和2台B型风扇进价共62元．
（1）求A型风扇、B型风扇进货的单价各是多少元？
（2）小丹准备购进这两种风扇共100台，根据市场调查发现，A型风扇销售情况比B型风扇好，小丹准备多购进A型风扇，但数量不超过B型风扇数量的3倍，购进A、B两种风扇的总金额不超过1170元．根据以上信息，小丹共有哪些进货方案？
25.已知：如图①，将一块45°角的直角三角板 与正方形 的一角重合，连接 ，点M是 的中点，连接 ．

（1）请你猜想 与 的数量关系是________．
（2）如图②，把正方形 绕着点D顺时针旋转 角（ ）．
① 与 的数量关系是否仍成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（温馨提示：延长 到点N ， 使 ，连接 ）
②求证： ；
③若旋转角 ，且 ，求 的值．（可不写过程，直接写出结果）
26.如图，在平面直角坐标系中，矩形 的边 与x轴、y轴的交点分别为 ，抛物线 过B ， C两点，动点M从点D开始以每秒5个单位长度的速度沿 的方向运动到达C点后停止运动．动点N从点O以每秒4个单位长度的速度沿 方向运动，到达C点后，立即返回，向 方向运动，到达O点后，又立即返回，依此在线段 上反复运动，当点M停止运动时，点N也停止运动，设运动时间为 ．

（1）求抛物线的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）当点M ， N同时开始运动时，若以点M ， D ， C为顶点的三角形与以点B ， O ， N为顶点的三角形相似，求t的值；
（4）过点D与x轴平行的直线，交抛物线的对称轴于点Q ， 将线段 沿过点B的直线翻折，点A的对称点为 ，求 的最小值．

答案解析部分
一、单选题
1.【解析】【解答】2020的倒数是 ，
故答案为：C.
【分析】根据倒数的定义解答.
2.【解析】【解答】A、球的三视图都是圆，故本选项符合题意；
B、圆锥的主视图和左视图是三角形，俯视图是带有圆心的圆，故本选项不符合题意；
C、圆柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是圆，故本选项不符合题意；
D、三棱柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是三角形，故本选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形解答即可．
3.【解析】【解答】解：根据科学计数法的表示形式为 ，其中 ，n为整数，则3450亿=345000000000=3.45×1011元．
故答案为：D
【分析】根据科学计数法的表示形式为 ，其中 ，n为整数，即可做出选择．
4.【解析】【解答】由 可知，其二次项系数 ，一次项系数 ，
由韦达定理： ，
故答案为：A．
【分析】本题可利用韦达定理，求出该一元二次方程的二次项系数以及一次项系数的值，代入公式求解即可．
5.【解析】【解答】解：把点 代入 得
解得 ，
∴正比例函数解析式为 ，
设正比例函数平移后函数解析式为 ，
把点 代入 得 ，
∴ ，
∴平移后函数解析式为 ，
故函数图象大致 ．
故答案为：D
【分析】先求出正比例函数解析式，再根据平移和经过点 求出一次函数解析式，即可求解．
6.【解析】【解答】解：A. ，故A选项不符合题意；
B. ，故B选项不符合题意；
C. ，故C选项不符合题意；   
D. ，故D选项符合题意．
故答案为D．
【分析】分别运用二次根式、整式的运算、分式的运算法则逐项排除即可．
7.【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABD=∠BDC，
∵∠ABE+∠ABD=∠BDC+∠CDF，
∴∠ABE=∠CDF，
A.若添加 ，则无法证明 ，故A符合题意；
B.若添加 ，运用AAS可以证明 ，B不符合题意；
C.若添加 ，运用ASA可以证明 ，C不符合题意；
D.若添加 ，运用SAS可以证明 ，D不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据平行四边形的性质结合全等三角形的判定，逐项进行判断即可.
8.【解析】【解答】∵
∴
A： 在第一象限
B： 在第二象限
C： 在第三象限
D： 在第四象限
小手盖住的点位于第二象限
故答案为：B
【分析】根据 ，得出 ，判断选项中的点所在的象限，即可得出答案．
9.【解析】【解答】假设不规则图案面积为x，
由已知得：长方形面积为20，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为： ，
当事件A实验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35，
综上有： ，解得 ．
故答案为：B．
【分析】本题分两部分求解，首先假设不规则图案面积为x，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解．
10.【解析】【解答】解：∵折叠，且 ，
∴ ，即 ，
∵折叠，
∴ ，
∴在 中， ，
故答案为：C．
【分析】由折叠前后对应角相等且 可先求出 ，进一步求出 ，再由折叠可求出 ，最后在 中由三角形内角和定理即可求解．
二、填空题
11.【解析】【解答】解： =2（x2-9）=2（x+3）（x-3）.
故答案为：2（x+3）（x-3）.
【分析】先提公因式2后，再利用平方差公式分解即可。
12.【解析】【解答】解：设点A的坐标为( )， ，
由题意可知： ，
∴ ，
又点A在反比例函数图像上，
故有 ．
故答案为： ．
【分析】根据△OAB的面积等于2即可得到线段OB与线段AB的乘积，进而得到A点横坐标与纵坐标的乘积，进而求出k值．
13.【解析】【解答】解：甲的“送教上门”时间的平均数为： ，
乙的“送教上门”时间的平均数为： ，
甲的方差： ，
乙的方差： ，
，
所以甲的方差小，故甲学生每周接受送教的时间更稳定．
故答案为：甲．
【分析】先算出甲、乙送教上门时间的平均数，进而求出方差，方差越小，则接受送教的时间更稳定．
14.【解析】【解答】解：由作图得△ABC为直角三角形， ，AE=AD,
∴ cm，
∴ cm，
∴ cm．
故答案为：6.18
【分析】根据作图得△ABC为直角三角形， ，AE=AD,
根据勾股定理求出AC，再求出AE，即可求出AD．
15.【解析】【解答】解：由题意可知，第一行三个数的乘积为： ，
设第二行中间数为x ， 则 ，解得 ，
设第三行第一个数为y ， 则 ，解得 ，
∴2个空格的实数之积为 ．
故答案为： ．
【分析】先将表格中最上一行的3个数相乘得到 ，然后中间一行的三个数相乘以及最后一行的三个数相等都是 ，即可求解．
16.【解析】【解答】因为宽为x，且宽比长少12，所以长为x+12，
故根据矩形面积公式列方程：x(x+12)=864，
故答案：x(x+12)=864．
【分析】本题理清题意后，可利用矩形面积公式，根据假设未知数表示长与宽，按要求列方程即可．
17.【解析】【解答】解：∵圆锥底面周长=侧面展开后扇形的弧长=
∴OB= ，
在Rt△AOB中，AB= ，
所以，该圆锥的母线长 为13.
故答案为：13．
【分析】由扇形弧长求出底面半径，由勾股定理即可求出母线AB的长．
18.【解析】【解答】
如图，分别过点E、C作EH、CG垂直AB，垂足为点H、G，
∵根据题意四边形ABEF为菱形，
∴AB=BE= ，
又∵∠ABE=30°
∴在RT△BHE中，EH= ，
根据题意，AB∥CF，
根据平行线间的距离处处相等，
∴HE=CG= ，
∴ 的面积为 ．
【分析】如下图，先利用直角三角形中30°角的性质求出HE的长度，然后利用平行线间的距离处处相等，可得CG的长度，即可求出直角三角形ABC面积．
三、解答题
19.【解析】【分析】分别利用零指数幂、负指数幂的性质，绝对值的性质和特殊角的三角函数值分别化简即可．
20.【解析】【分析】（1）分别根据绝对值的非负数、二次根式的非负数列出m、n的方程，解之即可求出m、n的值；（2）先利用整式的运算法则化简，再代入m、n值计算即可求解．
21.【解析】
【分析】（1）连接OA，由圆的性质可得OA=OB，即∠OBA=∠OAB；再由AB=AC，即∠OBA=∠C，再结合 ，可得∠OAB=∠CAD,然后由∠BAD=90°说明∠OAC=90°即可完成证明；（2）试题错误．
22.【解析】【分析】先根据题意得到BO，CB2的长，在Rt△ABO中，由三角函数可得AB的长度，在Rt△BCB2中，由三角函数可得BC的长度，再相加即可得到答案．
23.【解析】【解答】（1）15÷15%=100（人）（3）360 o × =18 o
【分析】根据扇形图和条形图A选项的联系可以算出来总人数，进而求出B选项的人数，D选项圆心角和1500人中C选项的人数．
24.【解析】【分析】（1）设A型风扇、B型风扇进货的单价各是x元和y元，再根据“2台A型风扇和5台B型风扇进价共100元”和“ 3台A型风扇和2台B型风扇进价共62元”两个等量关系列二元一次方程组解答即可；（2）设购进A型风扇a台、则B型风扇购进（100-a）台，再根据    “购进A、B两种风扇的总金额不超过1170元”和“A型风扇不超过B型风扇数量的3倍”两个不等关系列不等式组求出a的整数解的个数即可．
25.【解析】【解答】（1）猜想 与 的数量关系是AF=2DM，
故答案为：AF=2DM；
【分析】（1）根据题意合理猜想即可；（2）①延长 到点N ， 使 ，连接 ，先证明△MNC≌△MDE，再证明△ADF≌△DCN，得到AF=DN，故可得到AF=2DM；
②根据全等三角形的性质和直角的换算即可求解；
③依题意可得∠AFD=∠EDM=30°，可设AG=k,得到DG,AD,FG,ED的长，故可求解．
26.【解析】【分析】（1）将 代入 计算即可；（2）作 于点E，证明 ，可得CE，DE长度，进而得到点D的坐标；（3）分为点Ｍ在AD，BC上两种情况讨论，当点M在AD上时，分为 和 两种情况讨论；当点M在BC上时，分为 和 两种情况讨论；（4）作点D关于x轴的对称F，连接QF，可得 的最小值；连接BQ减去 可得 的最小值，综上可得 的最小值．