江苏省常州市2020年中考数学试卷

这是一份江苏省常州市2020年中考数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


江苏省常州市2020年中考数学试卷
一、选择题（共8题；共16分）
1.2的相反数是（   ）
A.                                           B.                                         C. 2                                        D. -2
2.计算 的结果是（   ）
A.                                         B.                                         C.                                         D. 
3.如图是某几何体的三视图，该几何体是（   ）

A. 圆柱                                 B. 三棱柱                                 C. 四棱柱                                 D. 四棱锥
4.8的立方根是（　　）

A. 2                                      B. ±2                                      C. ±2                                      D. 2
5.如果 ，那么下列不等式正确的是（   ）
A.                       B.                       C.                       D. 
6.如图，直线a、b被直线c所截， ， ，则 的度数是（   ）

A. 30°                                       B. 40°                                       C. 50°                                       D. 60°
7.如图， 是 的弦，点C是优弧 上的动点（C不与A、B重合）， ，垂足为H，点M是 的中点.若 的半径是3，则 长的最大值是（   ）

A. 3                                           B. 4                                           C. 5                                           D. 6
8.如图，点D是 内一点， 与x轴平行， 与y轴平行， .若反比例函数 的图像经过A、D两点，则k的值是（   ）

A.                                         B. 4                                        C.                                         D. 6
二、填空题（共10题；共10分）
9.计算：|－2|＋(π－1)0＝________.
10.若代数式 有意义，则实数x的取值范围是________.
11.地球半径大约是 ，将6400用科学记数法表示为________.
12.分解因式：x3－x=________．
13.若一次函数 y=kx+2 的函数值y随自变量x增大而增大，则实数k的取值范围是________.
14.若关于x的方程 有一个根是1，则 ________.
15.如图，在 中， 的垂直平分线分别交 、 于点E、F.若 是等边三角形，则 ________°.

16.数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短.在菱形 中， .如图，建立平面直角坐标系 ，使得边 在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标是________.

17.如图，点C在线段 上，且 ，分别以 、 为边在线段 的同侧作正方形 、 ，连接 、 ，则 ________.

18.如图，在 中， ，D、E分别是 、 的中点，连接 ，在直线 和直线 上分别取点F、G，连接 、 .若 ，且直线 与直线 互相垂直，则 的长为________.

三、解答题（共10题；共85分）
19.先化简，再求值： ，其中 .
20.解方程和不等式组：
（1）；
（2）
21.为了解某校学生对球类运动的喜爱情况，调查小组就打排球、打乒乓球、打篮球、踢足球四项球类运动对该校学生进行了“你最喜爱的球类运动”的抽样调查，并根据调查结果绘制成如下统计图.

（1）本次抽样调查的样本容量是________；
（2）补全条形统计图；
（3）该校共有2000名学生，请你估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数.
22.在3张相同的小纸条上分别标上1、2、3这3个号码，做成3支签，放在一个不透明的盒子中.
（1）搅匀后从中随机抽出1支签，抽到1号签的概率是________；
（2）搅匀后先从中随机抽出1支签（不放回），再从余下的2支签中随机抽出1支签，求抽到的2支签上签号的和为奇数的概率.
23.已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上， .

（1）求证： ；
（2）若 ，求 的度数.
24.某水果店销售苹果和梨，购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千克梨共需22元.
（1）求每千克苹果和每千克梨的售价；
（2）如果购买苹果和梨共15千克，且总价不超过100元，那么最多购买多少千克苹果？
25.如图，正比例函数 的图像与反比例函数 的图像交于点 .点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图像于点C，交正比例函数的图像于点D.

（1）求a的值及正比例函数 的表达式；
（2）若 ，求 的面积.
26.如图1，点B在线段 上，Rt△ ≌Rt△ ， ， ， .
   
（1）点F到直线 的距离是________；
（2）固定△ ，将△ 绕点C按顺时针方向旋转30°，使得 与 重合，并停止旋转.
①请你在图1中用直尺和圆规画出线段 经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）该图形的面积为________；
②如图2，在旋转过程中，线段 与 交于点O，当 时，求 的长.
27.如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点（Q在P、H之间）.我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点”，把 的值称为⊙I关于直线a的“特征数”.
   
（1）如图2，在平面直角坐标系 中，点E的坐标为 ，半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、B、C、D.
①过点E画垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点_▲__（填“A”、“B”、“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为_▲__；
②若直线n的函数表达式为 ，求 关于直线n的“特征数”；
（2）在平面直角坐标系 中，直线l经过点 ，点F是坐标平面内一点，以F为圆心， 为半径作⊙F.若⊙F与直线l相离，点 是⊙F关于直线l的“远点”，且⊙F关于直线l的“特征数”是 ，求直线l的函数表达式.
28.如图，二次函数 的图像与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，抛物线过点 ，且顶点为D，连接 、 、 、 .
   
（1）填空： ________；
（2）点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线 交直线 于点Q.若 ，求点P的坐标；
（3）点E在直线 上，点E关于直线 对称的点为F，点F关于直线 对称的点为G，连接 .当点F在x轴上时，直接写出 的长.

答案解析部分
一、选择题
1.【解析】【解答】2的相反数是-2，
故答案为：D.
【分析】根据相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数”即可求解.
2.【解析】【解答】解： .
故答案为：B.
【分析】直接利用同底数幂除法的运算法则：底数不变，指数相减解答即可.
3.【解析】【解答】解：由图可知：该几何体是四棱柱.
故答案为：C.
【分析】通过俯视图为矩形得到几何体为柱体，然后通过主视图和左视图可判断几何体为四棱柱.
4.【解析】【解答】解：∵23=8，

∴8的立方根是2，
故选：D．
【分析】根据立方根的定义，即可解答．
5.【解析】【解答】解：A、由x＜y可得： ，故此选项成立；
B、由x＜y可得： ，故此选项不成立；
C、由x＜y可得： ，故此选项不成立；
D、由x＜y可得： ，故此选项不成立.
故答案为：A.
【分析】根据不等式的性质:在不等式的两边都乘以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边都乘以同一个负数不等号的方向改变；在不等式的两边都加上或减去同一个数，不等号的方向不变，对各选项分析判断后利用排除法求解.
6.【解析】【解答】解：如图，

∵∠1+∠3=180°，
∴∠3=180°-∠1=180°-140°=40°
∵
∴∠2=∠3=40°.
故答案为：B.
【分析】先根据邻补角相等求得∠3，然后再根据两直线平行、内错角相等即可解答.
7.【解析】【解答】解：∵
∴∠BHC=90°
∵在Rt△BHC中，点M是 的中点
∴MH= BC
∵BC为 的弦
∴当BC为直径时，MH最大
∵ 的半径是3
∴MH最大为3.
故答案为：A.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知MH= BC，当BC为直径时长度最大，即可求解.
8.【解析】【解答】解：作 交BD的延长线于点E，作 轴于点F

∵
∴
∴ 为等腰直角三角形
∵
∴ ，即
∴DE=AE=
∵BC=AO，且 ，
∴
∴
∴
∴
设点A ，
∴
解得：
∴
故答案为：D.
【分析】作 交BD的延长线于点E,作 轴于点F,计算出AE长度,证明△BCD≌△AOF ，得出AF长度，设出点A的坐标，表示出点D的坐标，使用 ，可计算出 值.
二、填空题
9.【解析】【解答】解：原式=2＋1=3.
故答案为：3.
【分析】根据绝对值和0次幂的性质求解即可.
10.【解析】【解答】解：依题意得：x-1≠0，
解得x≠1，
故答案为：x≠1.
【分析】分式有意义时，分母不能为0，据此求得x的取值范围.
11.【解析】【解答】解：6400= .
故答案为： .
【分析】对于一个绝对值较大的数，用科学记数法写成 的形式，其中 ，n是比原整数位数少1的数.
12.【解析】【解答】本题可先提公因式x，分解成x（x2-1），而x2-1可利用平方差公式分解．
x3-x，
=x（x2-1），
=x（x+1）（x-1）．
【分析】由题意可知，先提公因式x，分解成x（x2-1），而x2-1可利用平方差公式分解．
13.【解析】【解答】解：∵一次函数 的函数值y随自变量x增大而增大
∴k＞0.
故答案为：k＞0.
【分析】直角利用一次函数增减性与系数的关系解答即可.
14.【解析】【解答】解：把x=1代入方程 得1+a-2=0，
解得a=1.
故答案是：1.
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得到关于a的一次方程，然后解此一次方程即可.
15.【解析】【解答】解：∵EF垂直平分BC，
∴BF=CF，
∴∠B=∠BCF，
∵△ACF为等边三角形，
∴∠AFC=60°，
∴∠B=∠BCF=30°.
故答案为：30.
【分析】根据垂直平分线的性质得出BF=CF，进而根据等边对等角得到∠B=∠BCF，再利用等边三角形的性质得到∠AFC=60°，从而可得∠B.
16.【解析】【解答】解：∵四边形 为菱形，
∴AD=AB=CD=2，
∵
∴
在Rt△DOA中，
∴OD=
∴点C的坐标是(2， ).
故答案为：(2， ).
【分析】根据菱形的性质可知AD=AB=CD=2，∠OAD=60°，由三角函数即可求出线段OD的长度，即可得到答案.
17.【解析】【解答】解：如图，

设BC=a，则AC=2a
∵正方形
∴EC= ，∠ECD=
同理：CG= ,∠GCD=    
∴ .
故答案为： .
【分析】设BC=a，则AC=2a，然后利用正方形的性质求得CE、CG的长、∠GCD=ECD=45°，进而说明△ECG为直角三角形，最后运用正切的定义即可解答.
18.【解析】【解答】解：如图，当点F在点D右侧时，

过点F作FM∥DG，交直线BC于点M，过点B作BN⊥DE，交直线DE于点N，
∵D，E分别是AB和AC中点，AB= ，
∴DE∥BC，BD=AD= ，∠FBM=∠BFD，
∴四边形DGMF为平行四边形，
则DG=FM，
∵DG⊥BF，BF=3DG，
∴∠BFM=90°，
∴tan∠FBM= =tan∠BFD，
∴ ，
∵∠ABC=45°=∠BDN，
∴△BDN为等腰直角三角形，
∴BN=DN= ，
∴FN=3BN=9，DF=GM=6，
∵BF= = ，
∴FM= = ，
∴BM= ，
∴BG=10-6=4；
当点F在点D左侧时，过点B作BN⊥DE，交直线DE于N，过点B作BM∥DG，交直线DE于M，延长FB和DG，交点为H，

可知：∠H=∠FBM=90°，四边形BMDG为平行四边形，
∴BG=MD，BM=DG，
∵BF=3DG，
∴tan∠BFD= ，
同理可得：△BDN为等腰直角三角形，BN=DN=3，
∴FN=3BN=9，
∴BF= ，
设MN=x，则MD=3-x，FM=9+x，
在Rt△BFM和Rt△BMN中，
有 ，
即 ，
解得：x=1，即MN=1，
∴BG=MD=ND-MN=2.
综上：BG的值为4或2.
故答案为：4或2.
【分析】分当点F在点D右侧时，当点F在点D左侧时，两种情况，分别画出图形，结合三角函数，勾股定理以及平行四边形的性质求解即可.
三、解答题
19.【解析】【分析】先利用完全平方公式和单项式乘多项式法则去括号，再合并同类项化简，最后代入x的值计算即可.
20.【解析】【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，根据“大小小大取中间”找出两解集的公共部分即可.
21.【解析】【解答】解：（1）本次抽样调查的样本容量是25÷25%=100；
故答案为：100；
【分析】（1）用条形统计图中最喜爱打排球的人数除以扇形统计图中最喜爱打排球的人数所占百分比即可求出本次抽样调查的样本容量；
（2）用总人数乘以最喜爱打乒乓球的人数所占百分比即可求出最喜爱打乒乓球的人数，用总人数减去最喜爱其它三项运动的人数即得最喜爱踢足球的人数，进而可补全条形统计图；
（3）用最喜爱打篮球的人数除以总人数再乘以2000即可求出结果.
22.【解析】【解答】解：（1）∵共有3个号码，
∴抽到1号签的概率是 ，
故答案为： ；
【分析】（1）由概率公式即可得出答案；
（2）画出树状图，由图可知： 所有等可能的情况有6种，其中抽到的2支签上签号的和为奇数的有4种 ，从而再利用概率公式求解即可.
23.【解析】【分析】（1）根据已知条件证明△ACE≌△BDF，即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到∠D=∠ACE=80°，再利用三角形内角和定理求出结果.
24.【解析】【分析】（1）设每千克苹果售价x元，每千克梨y千克，根据“ 购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千克梨共需22元. ”列出方程组，解之即可；
（2）设购买苹果a千克，则购买梨（15-a）千克，由购买两种水果的总价不超过100元列出a的不等式，解之即可解答.
25.【解析】【分析】（1）已知反比例函数解析式，点A在反比例函数图象上，故a可求；求出点A的坐标后，点A同时在正比例函数图象上，将点A坐标代入正比例函数解析式中，故正比例函数的解析式可求；
（2）根据题意以及第一问的求解结果，我们可设B点坐标为(b，0)，则D点坐标为(b，2b)，根据BD=10，可求b值，然后确认三角形的底和高，最后根据三角形面积公式即可求解.
26.【解析】【解答】解：（1）∵ ， ，∴∠ACB=60°，
∵Rt△ ≌Rt△ ，
∴∠ECF=∠BAC=30°，EF=BC=1，
∴∠ACF=30°，∴∠ACF=∠ECF=30°，
∴CF是∠ACB的平分线，
∴点F到直线 的距离=EF=1；
故答案为：1；
（ 2 ）①线段 经旋转运动所形成的平面图形如图3中的阴影所示：

在Rt△CEF中，∵∠ECF=30°，EF=1，
∴CF=2，CE= ，
由旋转的性质可得：CF=CA=2，CE=CG= ，∠ACG=∠ECF=30°，
∴S阴影=（S△CEF+S扇形ACF）－（S△ACG+S扇形CEG）=S扇形ACF－S扇形CEG= ；
故答案为： ；
【分析】（1）根据直角三角形的性质和全等三角形的性质可得∠ACF=∠ECF=30°，即CF是∠ACB的平分线，然后根据角平分线的性质可得点F到直线 的距离即为EF的长，于是可得答案；
（2）①易知E点和F点的运动轨迹是分别以CF和CE为半径、圆心角为30°的圆弧,据此即可画出旋转后的平面图形；在图3中，先解Rt△CEF求出CF和CE的长，然后根据S阴影=（S△CEF+S扇形ACF）－（S△ACG+S扇形CEG）即可求出阴影面积；②作EH⊥CF于点H，如图4，先解Rt△EFH求出FH和EH的长，进而可得CH的长，设OH=x，则CO和OE2都可以用含x的代数式表示，然后在Rt△BOC中根据勾股定理即可得出关于x的方程，解方程即可求出x的值，进一步即可求出结果.
27.【解析】【解答】解：（1）①⊙O关于直线m的“远点”是点D，
⊙O关于直线m的“特征数”为DB·DE=2×5=10；
故答案为：D，10；
【分析】（1）①根据题干中“远点”及“特征数”的定义直接作答即可；②过圆心O作OH⊥直线n，垂足为点H，交⊙O于点P、Q，首先判断直线n也经过点E（0，4），在Rt△EOF中，利用三角函数求出∠EFO=60°，进而求出PH的长，再根据“特征数”的定义计算即可；
（2）连接NF并延长，设直线l的解析式为y=kx+b1,用待定系数法得到 ，再根据两条直线互相垂直，两个一次函数解析式的系数k互为负倒数的关系可设直线NF的解析式为y= x+b2,用待定系数法同理可得 ，消去b1和b2 ， 得到关于m、n的方程组 ；根据⊙F关于直线l的“特征数”是 ，得出NA= ，再利用两点之间的距离公式列出方程(m+1)2+n2=10，把 代入，求出k的值，便得到m、n的值即点A的坐标，再根据待定系数法求直线l的函数表达式.注意有两种情况，不要遗漏.
28.【解析】【解答】解：（1）∵抛物线过点C（1，0），
∴将C（1，0）代入 得0=1+b+3，
解得b=-4，
故答案为：-4；
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）分点Q在CD上方和点Q在CD下方时，两种情况，结合三角函数，勾股定理等知识求解；
（3）设点C关于BD的对称点为C′，BD中点为点R，直线AC与直线BD交于N′，设C′（p，q），利用点R到点C和点C′的距离相等以及点N′到点C和点C′的距离相等，求出点C′的坐标，从而得到C′N′直线的解析式，从而求出点F坐标，再利用点F和点G关于直线BC对称，结合BC的表达式可求出点G坐标，最后得到AG的长.