吉林省长春市2020年中考数学试卷

这是一份吉林省长春市2020年中考数学试卷，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


吉林省长春市2020年中考数学试卷
一、单选题（共8题；共16分）
1.如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为（    ）

A. =1                                       B. -1.5                                       C. -3                                       D. -4.2
2.为了增加青少年的校外教育活动场所，长春市将建成面积约为79000平方米的新少年宫，预计2020年12月正式投入使用．79000这个数用科学记数法表示为（    ）
A.                              B.                              C.                              D. 
3.下列图形是四棱柱的侧面展开图的是（   ）
A.       B.         C.       D. 
4.不等式 的解集在数轴上表示正确的是（    ）
A.                                           B. 
C.                                            D. 
5.比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示．设塔顶中心点为点B，塔身中心线 与垂直中心线 的夹角为 ，过点B向垂直中心线 引垂线，垂足为点D．通过测量可得 、 、 的长度，利用测量所得的数据计算 的三角函数值，进而可求 的大小．下列关系式正确的是（    ）

A.                   B.                   C.                   D. 
6.如图， 是⊙O的直径，点C、D在⊙O上， ，则 的大小为（    ）

A.                                   B.                                   C.                                   D. 
7.如图，在 中， ， ．按下列步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，大于 一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；②作直线 ，与边 相交于点D，连结 ．下列说法不一定正确的是（    ）

A.                                            B. 
C.                                             D. 
8.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ， 轴于点B，点C是线段 上的点，连结 ．点P在线段 上，且 ．函数 的图象经过点P．当点C在线段 上运动时，k的取值范围是（    ）

A.                          B.                          C.                          D. 
二、填空题（共6题；共6分）
9.长春市净月潭国家森林公园门票的价格为成人票每张30元，儿童票每张15元．若购买m张成人票和n张儿童票，则共需花费________元．
10.分解因式： ________.
11.若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值是________．
12.正五边形的一个外角的大小为________度．
13.如图，在 中， ， ，以点C为圆心，线段 的长为半径作 ，交 的延长线于点D，则阴影部分的面积为________（结果保留 ）．

14.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ．若抛物线 （h、k为常数）与线段 交于C、D两点，且 ，则k的值为________．

三、解答题（共10题；共100分）
15.先化简，再求值： ，其中 ．
16.现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“神舟首飞”，第三张卡片的正面图案为“保卫和平”，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率．（图案为“神舟首飞”的两张卡片分别记为 、 ，图案为“保卫和平”的卡片记为B）

17.图①、图②、图③均是 的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段 的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以 为边画 ．

要求：
a.在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形；
b.三个图中所画的三角形的面积均不相等；
c.点C在格点上．
18.在国家精准扶贫的政策下，某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认证，绿标的认证，使该村企的黑木耳在市场上更有竞争力，今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元．预计今年的销量是去年的3倍，年销售额为360万元．已知去年的年销售额为80万元，问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤？
19.如图，在 中，O是对角线 、 的交点， ， ，垂足分别为点E、F．

（1）求证： ．
（2）若 ， ，求 的值．
20.空气质量按照空气质量指数大小分为六个级别，分别为：一级优、二级良、三级轻度污染、四级中度污染、五级重度污染、六级严重污染．级别越高，说明污染的情况越严重，对人体的健康危害也就越大．空气质量达到一级优或二级良的天气为达标天气．下图是长春市从2014年到2019年的空气质量级别天数的统计图表．
2014—-2019年长春市空气质量级别天数统计表：
空气质量级别
天数
年份
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
2014
30
215
73
28
13
6
2015
43
193
87
19
15
8
2016
51
237
58
15
5
0
2017
65
211
62
16
9
2
2018
123
202
39
0
1
0
2019
126
180
38
16
5
0
2014-2019年长春市空气质量为“达标”和“优”的天数折线统计图：

根据上面的统计图表回答下列问题：
（1）长春市从2014年到2019年空气质量为“达标”的天数最多的是________年．
（2）长春市从2014年到2019年空气质量为“重度污染”的天数的中位数为________天，平均数为________天．
（3）长春市从2015年到2019年，和前一年相比，空气质量为“优”的天数增加最多的是________年，这一年空气质量为“优”的天数的年增长率约为________（精确到 ）．（空气质量为“优”=[（今年空气质量为优的天数-去年空气质量为优的天数）÷去年空气质量为优的天数]×100％
（4）你认为长春市从2014年到2019年哪一年的空气质量好？请说明理由．
21.已知A、B两地之间有一条长240千米的公路．甲车从A地出发匀速开往B地，甲车出发两小时后，乙车从 地出发匀速开往A地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和y（千米）与甲车行驶的时间x（时）之间的函数关系如图所示．

（1）甲车的速度为________千米/时，a的值为________．
（2）求乙车出发后，y与x之间的函数关系式．
（3）当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间．
22.（教材呈现）下图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．

（1）（问题解决）
如图①，已知矩形纸片 ，将矩形纸片沿过点 的直线折叠，使点A落在边 上，点A的对应点为 ，折痕为 ，点E在 上．求证：四边形 是正方形．
（2）（规律探索）由（问题解决）可知，图①中的 为等腰三角形．现将图①中的点 沿 向右平移至点 处（点 在点 的左侧），如图②，折痕为 ，点 在 上，点P在 上，那么 还是等腰三角形吗？请说明理由．
（3）（结论应用）在图②中，当 时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点C与点P重合，折痕为 ，点G在 上．要使四边形 为菱形，则 ________．
23.如图①，在 中， ， ， ．点P从点A出发，沿
折线AB- BC以每秒5个单位长度的速度向点C运动，同时点D从点C出发,沿CA以
每秒2个单位长度的速度向点A运动，点P到达点C时，点P、D同时停止运动.当
点P不与点A、C重合时，作点P关于直线AC的对称点2，连结PQ交AC于点E，
连结DP、DQ.设点P的运动时间为t秒.。

（1）当点P与点B重合时，求t的值．
（2）用含 的代数式表示线段 的长．
（3）当 为锐角三角形时，求t的取值范围．
（4）如图②，取 的中点M，连结 ．当直线 与 的一条直角边平行时，直接写出t的值．
24.在平面直角坐标系中，函数 （ 为常数）的图象与y轴交于点A．

（1）求点A的坐标．
（2）当此函数图象经过点 时，求此函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而增大时x的取值范围．
（3）当 时，若函数 （a为常数）的图象的最低点到直线 的距离为2，求a的值．
（4）设 ， 三个顶点的坐标分别为 、 、 ．当函数 （ 为常数）的图象与 的直角边有交点时，交点记为点P．过点P作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为 （ 与P不重合），过点A作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为 ．若 ，直接写出a的值．

答案解析部分
一、单选题
1.【解析】【解答】解：根据题意可知，墨水遮盖区域的数在-4和-2之间
∴数字可能为-3.
故答案为：C.
【分析】根据数轴上有理数的大小和顺序进行判断即可。
2.【解析】【解答】解：79000用科学记数法表示为7.9×104
故答案为：B.
【分析】根据科学记数法的含义，表示得到数字即可。
3.【解析】【解答】解：由分析知：四棱柱的侧面展开图是四个矩形组成的图形． 故选：A．
【分析】根据四棱柱的侧面展开图是矩形图进行解答即可．
4.【解析】【解答】解：∵x+2≥3
∴x≥1
∴在数轴上表示正确的为D.
故答案为：D.
【分析】根据题意，解出不等式的解集，在数轴上进行表示即可。
5.【解析】【解答】解：根据题意可知，在直角三角形ABD中，求∠A可由以下方法求得
①sinA=
②cosA=
③tanA=
故答案为：A.
【分析】根据题意，结合锐角三角函数的定义，表示得到∠A的式子，进行判断即可得到答案。
6.【解析】【解答】解：∵∠BDC=20°
∴∠BOC=2×20°=40°
∴∠AOC=180°-40°=140°
故答案为：B.
【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的的一半，即可得到∠BOC的度数，继而根据补角的含义，求出∠AOC的度数即可。
7.【解析】【解答】解：根据题意可知，MN为线段BC的垂直平分线
∴BD=DC，∠B=∠DCB
∴∠BDN=∠CDN，正确；
∵∠ADC为△BDC的外角
∴∠ADC=∠B+∠DCB
∵∠B=∠DCB
∴∠ADC=2∠B，正确；
∴2∠B+∠ACD=90°，正确；
故答案为：C.
【分析】根据尺规作图可知，线段MN为线段BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，结合三角形外角的性质，计算得到答案。
8.【解析】【解答】解：

∵点A的坐标为（3,2），AB⊥x轴于点B
∴OB=3，AB=2
设点C（c，0）（0≤x≤3），过点P作PD⊥x轴于点D
则BC=3-c，PD∥AB，OC=c
∴△PCD∽△ACB
∴
∵AP=2PC
∴AP=2PC
∴
∴PD=， CD=1-c
∴OD=OC+CD=1+c
∴点P的坐标为（1+c，）
将点P代入反比例函数y=（x＞0）中，得
k=+c
∵0≤c≤3
∴≤k≤2
故答案为：C.
【分析】根据题意，由点A的坐标，计算得到OB和AB的长度，继而证明△PCD∽△ACB，根据相似三角形的对应边成比例，即可得到点P的坐标，代入反比例函数中，求出k的范围即可。
二、填空题
9.【解析】【解答】解：根据题意可知，一共的花费为30m+15n
【分析】根据题意，列式表示得到数量关系即可。
10.【解析】【解答】解：  x2-4=(x+2)(x-2) .
故答案为：(x+2)(x-2) .

【分析】因为 x2-4符合平方差公式，利用平方差公式分解即可.
11.【解析】【解答】根据题意可得：   解得：m=1
故答案为：1
【分析】因为关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，故 ，代入求解即可.
12.【解析】【解答】解：正五边形的外角和为360°
∴一个外角的度数为360°÷5=72°
【分析】根据题意，结合多边形的外交和为60°，由正五边形的边数即可得到一个外角的度数。
13.【解析】【解答】解：在直角三角形ABC中
∵AB=BC=90°
∴∠C=45°，AC==2
∴扇形ACD的面积==π
直角三角形ABC的面积=×BC×AB=2
∴阴影部分的面积为π-2
【分析】根据题意，计算扇形ACD的面积以及三角形ABC的面积，根据作差法即可得到阴影部分的面积。
14.【解析】【解答】解：∵抛物线与线段AB交于C、D两点，且点A的坐标为（0,2），点B的坐标为（4，2）
∴点C和点D的纵坐标为2
当y=2时，抛物线的解析式为2=（x-h）2+k
解得，x=±+h
即x1=+h，x2=-+h
∴CD=x1-x2=2=AB=2
∴k=
【分析】结合抛物线的交点以及点A和点B的坐标，即可得到C，D两个点的纵坐标，将抛物线的解析式进行运算，利用求根公式得到两个根，根据两个根之间的距离公式即可得到k的值。
三、解答题
15.【解析】【分析】根据完全平方公式以及去括号法则，继而将式子合并同类项化简，代入a的值即可。
16.【解析】【分析】根据题意，采用树状图或利用列表法，表示出符合题意的所有可能，根据概率公式进行计算得到答案即可。
17.【解析】【分析】根据三角形的定义以及三角形的面积作出符合要求的图即可。
18.【解析】【分析】根据题意，由等量关系，列出分式方程，计算得到答案即可。
19.【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，求出DF∥BE，根据平行线的性质，结合题意证明△DFO≌△BEO，根据全等三角形的对应边相等，即可得到答案；
（2）根据题意，求出∠OEB为90°，在直角三角形OBE中，根据锐角三角函数的定义，计算得到答案即可。
20.【解析】【分析】（1）根据达标的定义，得到答案即可；
（2）由中位数以及平均数的计算方法，计算得到答案即可；
（3）结合数据表，计算增加量以及增长率即可得到答案；
（4）根据达标天气的数量，即可得到空气质量好的年份。
21.【解析】【解答】解：（1）甲车的速度为80÷2=40千米/小时；根据题意可知，函数y为两车行驶的路程之和，∴a=240+240=480
（2）设y与x的函数关系式为y=kx+b（k≠0），将点（2,80）和点（6，480）代入函数关系式
∴
②-①得，4k=400，k=100，b=-120
∴y与x的函数关系式为y=100x-120
（3）①两个车相遇前距离为100时，根据题意可知，80+100（x-2）=240-100
解得，x=
②两车相遇后距离为100时，根据题意可知，80+100（x-2）=240+100
解得，x=
【分析】（1）根据图象，结合题意，即可得到答案；
（2）设y与x的函数关系是y=kx+b，根据待定系数法求出答案即可；
（3）根据题意，在两车相遇前或相遇后各有一次距离为100的情形，计算得到答案即可。
22.【解析】【分析】（1）结合矩形的性质以及折叠的性质，即可得到四边形AEA'D为矩形，根据AD=A'D，证明矩形为正方形即可；
（2）根据矩形的性质结合折叠的性质，即可得到PQ=DQ，从而证明三角形为等腰三角形；
（3）同理，根据结论，结合其性质即可得到答案。
23.【解析】【解答】解：（1）当点P与点B重合时，5t=4，解得t=；
（2）在直角三角形ABC中，AB=4，BC=3，∴AC=5，sinA=， cosA=
如图3

当点P在AB上时，在直角三角形APE中，AE=AP×ocsA=4t
∴CE=AC+AE=5-4t
如图4，当点P在BC上时，在直角三角形PCE中，PC=7-5t
cosC=sinA=
∴CE=PC×cosC=（7-5t）=-3t

（3）考虑临界值等腰直角三角形PDQ，那么OE=DE
如图5，当点P在AB上时，在直角三角形APE中，PE=AP×sinA=3t

而DE=AC-AE-CD=5-4t-2t=5-6t
由PE=DE，得3t=5-6t，解得t=
如图6，当点P在BC上时，在直角三角形PCE中
PE=PC×sinC=（7-5t）=-4t

而DE=CD-CE=2t-（7-5t）=5t-
由PE=DE，得-4t=5t-， 解得t=
根据数形结合
当三角形PDQ为锐角三角形时，0＜t＜或＜t＜
（4）如图7，当点P在 上时，延长 交 于点N．

作 于G，作 于H．
由 ，M是 的中点，可知N是 的中点．
在 中， ，所以 ．
在 中， ．
由 ，解得 ．
如图8，当点P在 上时，作 于K．

由 ，M是 的中点，可知 ．
在 中， ，所以 ．
在 中， ．
由 ，得 ，解得 ．

【分析】（1）根据重合情形，即可得到5t=4，求出t的值即可；
（2）在直角三角形中，根据锐角三角函数的定义，表示得到答案即可；
（3）根据三角形PDQ的形状，进行分类讨论，即可得到t的取值范围；
（4）结合中点的性质以及直线平行的性质，求出答案即可。
 
24.【解析】【解答】解：（1）令x=0，y=x2-2ax-1=-1，即点A的坐标为（0，-1）
（2）将点（1,2）代入函数关系式，2=1-2a-1，解得a=-1
∴函数y=x2+2x-1=（x+1）2-2
∵函数的开口向上，对称轴为x=-1
∴当x＞-1时，y随x的增大而增大
（3）抛物线y=x2-2ax-1=（x-a）2-a2-1的对称轴为x=a，顶点坐标为（a，-a2-1）
如图2，当a＞0时，对称轴位于y轴右侧，最低点为（0，-1），已知最低点到直线y=2a的距离为2，∴2a-（-1）=2，解得a=
如图1，当a＜0时，对称轴在y轴的左侧，顶点（a，-a2-1）就是最低点
∴2a-（-a2-1）=2，整理可得（a+1）2=2
解得a=1-（如图3）或a=-1+（舍去正值）

（4）抛物线 的对称轴为 ，
，所以 ．
①如图4，当点P在 边上时， ．

因为 ，所以点P在对称轴 的左侧．所以 ．
由 ，得 ．解得 ．
②如图5，当点P在 边上时， ．

解方程 ，得 ．所以 ．
由 ，得 ．
解得 ，或 （舍去）．

【分析】（1）根据函数的关系式，令x=0，即可得到点A的坐标；
（2）将点（1,2）的坐标代入函数解析式，将式子化为顶点式，即可根据其开口方向以及对称轴确定函数的增减范围。
（3）根据函数关系式，计算得到其对称轴以及顶点的坐标，根据a的取值范围分类讨论，即可得到答案；
（4）根据抛物线的函数关系式，结合点P位置的不同，进行分类讨论，即可得到答案。