辽宁省丹东市2020年中考数学试卷

这是一份辽宁省丹东市2020年中考数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


辽宁省丹东市2020年中考数学试卷
一、选择题（共8题；共16分）
1.－5的绝对值等于（   ）
A. －5                                        B. 5                                        C.                                         D. 
2.下面计算正确的是（   ）
A.                  B.                  C.                  D. 
3.如图所示，该几何体的俯视图为（   ）

A.            B.            C.            D. 
4.在函数 中，自变量 的取值范围是（   ）
A.                                    B.                                    C.                                    D. 
5.四张背面完全相同的卡片，正面分别印有等腰三角形、圆、平行四边形、正六边形，现在把它们的正面向下，随机的摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽到的卡片正面是中心对称图形的概率是（   ）
A.                                           B.                                           C.                                           D. 1
6.如图， 是 的角平分线，过点 作 交 延长线于点 ，若 ， ，则 的度数为（   ）

A. 100°                                    B. 110°                                    C. 125°                                    D. 135°
7.如图，在四边形 中， ， ， ， ，分别以 和 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 和 ，直线 与 延长线交于点 ，连接 ，则 的内切圆半径是（   ）

A. 4                                        B.                                         C. 2                                        D. 
8.如图，二次函数 （ ）的图象与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，点 坐标为 ，点 在 与 之间（不包括这两点），抛物线的顶点为 ，对称轴为直线 ，有以下结论：① ；②若点 ，点 是函数图象上的两点，则 ；③ ；④ 可以是等腰直角三形.其中正确的有（   ）

A. 1个                                       B. 2个                                       C. 3个                                       D. 4个
二、填空题（共8题；共8分）
9.据有关报道，2020年某市斥资约5 800 000元改造老旧小区，数据5 800 000科学记数法表示为________.
10.因式分解： ________.
11.一次函数 ，且 ，则它的图象不经过第________象限.
12.甲、乙两人进行飞镖比赛，每人投5次，所得平均环数相等，其中甲所得环数的方差为5，乙所得环数如下：2，3，5，7，8，那么成绩较稳定的是________（填“甲”或“乙”）.
13.关于 的方程 有两个实数根，则 的取值范围是________.
14.如图，矩形 的边 在 轴上，点 在反比例函数 的图象上，点 在反比例函数 的图象上，若 ， ，则 ________.

15.如图，在四边形 中， ， ， ， ，点 和点 分别是 和 的中点，连接 ， ， ，若 ，则 的面积是________.

16.如图，在矩形 中， ， ，连接 ，以 为边，作矩形 使 ，连接 交 于点 ；以 为边，作矩形 ，使 ，连接 交 于点 ；以 为边，作矩形 ，使 ，连接 交 于点 ；…按照这个规律进行下去，则 的面积为________.

三、解答题（共10题；共92分）
17.先化简，再求代数式的值： ，其中 .
18.如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点 ， ， 的坐标分别为 ， ， ，先以原点 为位似中心在第三象限内画一个 ，使它与 位似，且相似比为2：1，然后再把 绕原点 逆时针旋转90°得到 .

（  1）画出 ，并直接写出点 的坐标；
（ 2 ）画出 ，直接写出在旋转过程中，点 到点 所经过的路径长.
19.某校为了解疫情期间学生居家学习情况，以问卷调查的形式随机调查了部分学生居家学习的主要方式（每名学生只选最主要的一种），并将调查结果绘制成如下不完整的统计图.
种类





学习方式
老师直播
教学课程
国家教育云平台
教学课程
电视台播放
教学课程
第三方
网上课程
其他
   
根据以上信息回答下列问题：
（1）参与本次问卷调查的学生共有________人，其中选择 类型的有________人；
（2）在扇形统计图中，求 所对应的圆心角度数，并补全条形统计图；
（3）该校学生人数为1250人，选择 、 、 三种学习方式大约共有多少人？
20.在一个不透明的口袋中装有4个依次写有数字1，2，3，4的小球，它们除数字外都相同，每次摸球前都将小球摇匀.
（1）从中随机摸出一个小球，小球上写的数字不大于3的概率是________；
（2）若从中随机摸出一球不放回，再随机摸出一球，请用画树状图或列表的方法，求两次摸出小球上的数字和恰好是偶数的概率.
21.为帮助贫困山区孩子学习，某学校号召学生自愿捐书，已知七、八年级同学捐书总数都是1800本，八年级捐书人数比七年级多150人，七年级人均捐书数量是八年级人均捐书数量的1.5倍，求八年级捐书人数是多少？
22.如图，已知 ，以 为直径的 交 于点 ，连接 ， 的平分线交 于点 ，交 于点 ，且 .

（1）判断 所在直线与 的位置关系，并说明理由；
（2）若 ， ，求 的半径.
23.如图，小岛 和 都在码头 的正北方向上，它们之间距离为 ，一艘渔船自西向东匀速航行，行驶到位于码头 的正西方向 处时，测得 ，渔船速度为 ，经过 ，渔船行驶到了 处，测得 ，求渔船在 处时距离码头 有多远？（结果精确到 ）
（参考数据： ， ， ， ， ， ）

24.某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元，规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量 （件）与每件的售价 （元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价 （元/件）
60
65
70
销售量 （件）
1400
1300
1200
（1）求出 与 之间的函数表达式；（不需要求自变量 的取值范围）
（2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
（3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为 （元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
25.已知：菱形 和菱形 ， ，起始位置点 在边 上，点 在 所在直线上，点 在点 的右侧，点 在点 的右侧，连接 和 ，将菱形 以 为旋转中心逆时针旋转 角（ ）.
（1）如图1，若点 与 重合，且 ，求证： ；

（2）若点 与 不重合， 是 上一点，当 时，连接 和 ， 和 所在直线相交于点 ；
①如图2，当 时，请猜想线段 和线段 的数量关系及 的度数；

②如图3，当 时，请求出线段 和线段 的数量关系及 的度数；

③在②的条件下，若点 与 的中点重合， ， ，在整个旋转过程中，当点 与点 重合时，请直接写出线段 的长.
26.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ， 两点， 点坐标为 ，与 轴交于点 ，直线 与抛物线交于 ， 两点.

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求 的值和 点坐标；
（3）点 是直线 上方抛物线上的动点，过点 作 轴的垂线，垂足为 ，交直线 于点 ，过点 作 轴的平行线，交 于点 ，当 是线段 的三等分点时，求 点坐标；
（4）如图2， 是 轴上一点，其坐标为 ，动点 从 出发，沿 轴正方向以每秒5个单位的速度运动，设 的运动时间为 （ ），连接 ，过 作 于点 ，以 所在直线为对称轴，线段 经轴对称变换后的图形为 ，点 在运动过程中，线段 的位置也随之变化，请直接写出运动过程中线段 与抛物线有公共点时 的取值范围.


答案解析部分
一、选择题
1.【解析】【解答】解：因为－5的绝对值等于5，所以B正确；
故答案为：B.
【分析】根据绝对值的概念即可得出答案.
2.【解析】【解答】解：A. ，所以A错误；
B. ，所以B错误；
C. ，所以C错误；
D. ，所以D正确；
故答案为：D.
【分析】根据整式的计算法则依次计算即可得出正确选项.
3.【解析】【解答】解：从上边看是一些等宽的矩形，其中有两条宽是虚线，
故答案为：C.
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案.
4.【解析】【解答】解：根据二次根式有意义，
所以，9-3x≥0，
解得，x≤3.
故答案为：A.
【分析】根据二次根式有意义，列不等式9-3x≥0，求出x的取值范围即可.
5.【解析】【解答】解：∵四张质地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分别画有等腰三角形、圆、平行四边形、正六边形四个图案.中心对称图形的是圆、平行四边形，正六边形，
∴从中任意抽出一张，则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为： .
故答案为：C.
【分析】由四张质地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分别画有等腰三角形、圆、平行四边形、正六边形四个图案.中心对称图形的是圆、平行四边形，正六边形，直接利用概率公式求解即可求得答案.
6.【解析】【解答】解： ，

是 的角平分线



则在 中，
故答案为：B.
【分析】先根据三角形的外角性质可求出 ，再根据角平分线的定义、平行线的性质可得 ，然后根据三角形的内角和定理即可得.
7.【解析】【解答】解：有题意得PQ为BC的垂直平分线，
∴EB=EC，
∵∠B=60°，
∴△EBC为等边三角形，
作等边三角形EBC的内切圆，设圆心为M，
∴M在直线PQ上，
连接BM，过M作MH垂直BC于H，垂足为H，

∵
∴BH= BC= AD= ，
∵∠MBH= ∠B=30°，
∴在Rt△BMH中,MH=BH×tan30°= × =4.
∴ 的内切圆半径是4.
故答案为：A.
【分析】分别以 和 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 和 ，连接P，Q则PQ为BC的垂直平分线，可得EB=EC，又∠B=60°，所以△EBC为等边三角形，作等边三角形EBC的内切圆，设圆心为M，则M在直线PQ上，连接BM，过M作BC垂线垂足为H，在Rt△BMH中，BH= BC= AD= ，∠MBH= ∠B=30°，通过解直角三角形可得出MH的值即为△BCE的内切圆半径的长.
8.【解析】【解答】解：①由开口可知：a＜0，
∴对称轴x=−    ＞0， 
∴b＞0，
由抛物线与y轴的交点可知：c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
②由于 ＜2＜ ，且（ ，y1）关于直线x=2的对称点的坐标为（ ，y1），
∵ ＜ ，
∴y1＜y2 ， 故②正确，
③∵− =2，
∴b=-4a，
∵x=-1，y=0，
∴a-b+c=0，
∴c=-5a，
∵2＜c＜3，
∴2＜-5a＜3，
∴ ，故③正确
④根据抛物线的对称性可知，AB=6，
∴ ，
假定抛物线经过（0，2），（-1，0），（5，0），
设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-5)，则a=- ，
 ∴y=- (x-2)2+
∵ ＞3
∴ 不可以是等腰直角三形.故④错误.  
所以正确的是②③，共2个.
故答案为：B.
【分析】观察抛物线的开口方向，可确定出a的取值范围，抛物线与y轴的交点位置，可以确定出c的取值范围，根据对称轴的位置：左同右异，结合a的值，可确定出b的取值范围，由此可得到abc的符号，可对①作出判断；利用二次函数的增减性，可得到y1和y2的大小关系，可对②作出判断；利用二次函数的对称轴为直线x=2，可得到b=-4a，再根据当x=-1时y=0，可推出c=-5a，然后由函数图像可知2＜c＜3，由此可得到a的取值范围，可对③作出判断；利用二次函数的对称性，可以设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-5)，由a的值及等腰直角三角形的性质，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数。
二、填空题
9.【解析】【解答】解：5800 000=5.8×106 ，
故答案为：5.8×106.
【分析】绝对值较大的数利用科学记数法表示，一般形式为a×10n ， 指数n=原数位数-1，且1≤a＜10.
10.【解析】【解答】解： ；
故答案为： .
【分析】先提公因式，然后利用平方差公式进行因式分解，即可得到答案.
11.【解析】【解答】解：在一次函数 中，
∵ ， ，
∴它的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限；
故答案为：三
【分析】直线y=kx+b,当k>0，图象必过一三象限；k<0，图象必过二四象限，当b＞0时，图像必过第一二象限，当b＜0时，图像必过第三四象限，当b=0时图像过原点。利用一次函数解析式中k，b的取值范围，可得答案。
 
12.【解析】【解答】解：∵乙所得环数为：2，3，5，7，8，
∴乙所得环数的平均数为 ，
∴乙所得环数的方差为 ，
∵ ，
∴成绩较稳定的是甲，
故答案为：甲.
【分析】求出乙所得环数的方差，然后和甲所得环数的方差进行比较即可.
13.【解析】【解答】解：由题意得：这个方程是一元二次方程

解得
又 关于 的方程 有两个实数根
此方程的根的判别式
解得
综上，m的取值范围是 且
故答案为： 且 .
【分析】利用一元二次方程的定义可知m+1≠0，利用一元二次方程根的判别式b2-4ac≥0，建立关于m的不等式，解不等式可得m的取值范围。
14.【解析】【解答】解：设C（x， ）（x＞0），
， ，
∵四边形ABCD是矩形，
， ，
，
，
，即 ，
解得， ， （舍去），
， ，
，
，即 ，
，
，
，
，
∵D在函数 的图象上，
.
故答案为：-10.
【分析】设C（x， ），根据 求出OB，BC，再根据 求出AC，由勾股定理求出AB，从而得出AO，得到D的坐标，进而求出k的值.
15.【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴△ADC为等腰直角三角，
∵CD=8，
∴AD=AC= CD= ，
∵E,F为AC，DC的中点，
∴FE∥AD，EF= AD= ，
∴BE= AC= ，
∵AD=AC，
∴EF=EB，△EFB为等腰三角形，
又∵EF∥AD，
∴EF⊥AC，
∴∠FEC=90°，
又EB=EA，
∴∠EAB=∠EBA=105°－90°=15°，
∴∠CEB=30°，
∴∠FEB=120°，
∴∠EFB=∠EBF=30°，
过E作EH垂直于BF于H点，

∴BH=FH，
在Rt△EFH中，
∵∠EFH=30°，
∴EH=EF·sin30°= × = ，
FH=EF·cos30°= × = ，
∴BF=2× = ，
∴SBEF= BF·EH= × × = ，
故答案为： .
【分析】由题可得△ACD为等腰直角三角形，CD=8，可求出AD=AC= ，点 和点 分别是 和 的中点，根据中位线定理和直角三角形斜边中线定理可得到EF= AD，BE= AC，从而得到EF=EB，又 ，得∠CAB=15°，∠CEB=30°进一步得到∠FEB=120°，又△EFB为等腰三角形，所以∠EFB=∠EBF=30°，过E作EH垂直于BF于H点，在Rt△EFH中，解直角三角形求出EH，FH,以BF为底，EH为高，即可求出△BEF的面积.
16.【解析】【解答】解：∵四边形 为矩形，
∴∠A=∠B=90°， ， ， ，
∴ ，
∴ , ， ，
∵ ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理可证 ， ，
依次类推 ， ，
故 ，
在矩形 中，设 ，则 ，
根据勾股定理 ，
即 ，解得 ，
∵ ，即 ，
同理可证 ，
∴
同理可证
故答案为： .
【分析】先寻找规律求得 的面积，再结合勾股定理以及三角形中线平分三角形的面积求得三角形面积是它所在矩形面积的 ，依此即可求得 的面积.
三、解答题
17.【解析】【分析】先利用分式的减法与除法法则化简分式，再根据特殊角的余弦值、负整数指数幂求出x的值，然后代入求值即可.
18.【解析】【分析】（1）连接AO、BO、CO，并延长到2AO、2BO、2CO，长度找到各点的对应点，顺次连接即可；（2）根据网格结构找出点A、B、C绕点O逆时针旋转90°后的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可，再根据勾股定理列式求出OA，然后利用弧长公式列式计算即可得解.
19.【解析】【解答】解：（1）参与调查的学生总人数为 （人）
选择 类型的学生人数为 （人）
故答案为：400，40；
【分析】（1）根据A类型的条形统计图和扇形统计图信息可得参与调查的学生总人数，再利用总人数乘以 即可得；（2）先求出D类型的学生的占比，再乘以 可得圆心角的度数，然后利用总人数乘以 可得C类型的学生人数，由此补全条形统计图即可；（3）先求出选择 、 、 三种学习方式的学生的占比，再乘以1250即可得.
20.【解析】【解答】解：（1）一共有4个小球，不大于3的小球有3个，
因此从中随机摸出一个小球，小球上写的数字不大于3的概率是 ；
【分析】（1）根据口袋中数字不大于3的小球有3个，即可确定概率；（2）通过列表或画树状图写出所有的等可能结果，然后数出两次摸出小球上的数字和恰好是偶数的结果，即可得到概率.
21.【解析】【分析】设七年级捐书人数为x，则八年级捐书人数为（x+150），根据七年级人均捐书数量是八年级人均捐书数量的1.5倍，列出方程求解并检验即可.
22.【解析】【分析】（1）由AB为直径，则∠ADB=90°，由等边对等角，三角形的外角性质，得到 ，然后得到 ，即可得到结论成立；（2）由 ，DF=2，则求出BD=6，然后利用勾股定理，求出AB的长度，即可得到半径.
23.【解析】【分析】根据题意，可求出 km, km，则可得 km,在 中利用三角函数可得 ，所以 km,然后在 中，根据三角函数列出关于 的方程，解方程即可得出答案.
24.【解析】【分析】（1）根据题意可以设出y与x之间的函数表达式，然后根据表格中的数据即可求得y与x之间的函数表达式；（2）根据“总利润=每件商品的利润×销售量”列出方程并求解，最后根据尽量给客户实惠，对方程的解进行取舍即可；（3）求出w的函数解析式，将其化为顶点式，然后求出定价的取值，即可得到售价为多少万元时获得最大利润，最大利润是多少.
25.【解析】【分析】（1）证明△ADD′≌△BAB′（SAS）可得结论；（2）①证明△AA′C∽△MAB，可得结论；②证明方法类似①，即证明△AA′C∽△MAB即可得出结论；③求出A′C，利用②中结论计算即可.
26.【解析】【分析】(1)根据A，C两点坐标，代入抛物线解析式，利用待定系数法即可求解.(2)通过(1)中的二次函数解析式求出B点坐标，代入一次函数 ,即可求出m的值，联立二次函数与一次函数可求出D点坐标.(3)设出P点坐标，通过P点坐标表示出N，F坐标，再分类讨论PN=2NF，NF=2PN，即可求出P点(4)由A，D两点坐标求出AD的函数关系式，因为以 所在直线为对称轴，线段 经轴对称变换后的图形为 ，所以 ∥AD，即可求出 的函数关系式，设直线 与抛物线交于第一象限P点，所以当 与P重合时，t有最大值，利用中点坐标公式求出PQ中点H点坐标,进而求出MH的函数关系式，令y=0求出函数与x轴交点坐标，从而可求出t的值,求出t的取值范围.