浙江省宁波市2020年中考数学试卷

这是一份浙江省宁波市2020年中考数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


浙江省宁波市2020年中考数学试卷
一、选择题(每小题4分，共40分)（共10题；共40分）
1.-3的相反数为（   ）
A. -3                                         B.                                          C.                                          D. 3
2.下列计算正确的是（   ）
A.                         B.                         C.                         D. 
3.2019年宁波舟山港货物吞吐量为1 120 000 000吨，比上年增长3.3%，连续11年蝉联世界首位.数1 120 000 000用科学记数法表示为（   ）
A.                        B.                      C.                      D. 
4.如图所示的几何体是由一个球体和一个长方体组成的，它的主视图是（   ）

A.                                                    B. 
C.                             D. 
5.一个不透明的袋子里装有4个红球和2个黄球，它们除颜色外其余都相同.从袋中任意摸出一个球是红球的概率为（   ）
A.                                           B.                                           C.                                           D. 
6.二次根式 中字母x的取值范围是（   ）
A.                                    B.                                    C.                                    D. 
7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE=BC，连结DE，F为DE中点，连结BF.若AC=8，BC=6，则BF的长为（   ）

A. 2                                          B. 2.5                                          C. 3                                          D. 4
8.我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何?”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺?如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（   ）
A.                   B.                   C.                   D.    
9.如图，一次函数 (a>0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线x=-1.则下列选项中正确的是（   ）

A.             B.             C.             D. 当 (n为实数)时，
10.△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内.若求五边形DECHF的周长，则只需知道（   ）

A. △ABC的周长             B. △AFH的周长             C. 四边形FBGH的周长             D. 四边形ADEC的周长
二、填空题(每小题5分，共30分)（共6题；共30分）
11.实数8的立方根是________．

12.分解因式： ________.
13.今年某果园随机从甲、乙、丙三个品种的枇杷树中各选了5棵，每棵产量的平均数 (单位：千克)及方差 (单位：千克2)如下表所示：
 
甲
乙
丙

45
45
42

1.8
2.3
1.8
明年准备从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种________.
14.如图，折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°，图中 的长为________cm(结果保留 ).

15.如图，⊙O的半径OA=2，B是⊙O上的动点(不与点A重合)，过点B作⊙O的切线BC，BC=OA，连结OC，AC.当△OAC是直角三角形时，其斜边长为________.

16.如图，经过原点O的直线与反比例函数 (a>0)的图象交于A，D两点(点A在第一象限)，点B，C，E在反比例函数 (b<0)的图象上，AB∥y轴，AE∥CD∥x轴，五边形ABCDE的面积为56，四边形ABCD的面积为32，则 的值为________， 的值为________.

三、解答题(本大题有8小题，共80分)（共8题；共80分）
17.计算
（1）计算： .
（2）解不等式： .
18.图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边角形已涂上阴影.请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影：

（1）使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形.
（2）使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形.
(请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形)
19.图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成.当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中(底盒固定在地面下)，此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位.图2是其示意图，经测量，钢条AB=AC=50cm， .

（1）求车位锁的底盒长BC.
（2）若一辆汽车的底盘高度为30cm，当车位锁上锁时，问这辆汽车能否进入该车位?
(参考数据： ， ， )
20.如图，在平面直角坐标系中，二次函数 图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D.点B的坐标是(1，0).

（1）求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y>0时x的取值范围.
（2）平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式.
21.某学校开展了防疫知识的宣传教育活动.为了解这次活动的效果，学校从全校1500名学生中随机抽取部分学生进行知识测试(测试满分100分，得分x均为不小于60的整数)，并将测试成绩分为四个等级：基本合格(60≤x<70)，合格(70≤x<80)，良好(80≤x<90)，优秀(90≤x≤100)，制作了如下统计图(部分信息未给出).

由图中给出的信息解答下列问题：
（1）求测试成绩为合格的学生人数，并补全频数直方图.
（2）求扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数.
（3）这次测试成绩的中位数是什么等级?
（4）如果全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校获得优秀的学生有多少人?
22.A，B两地相距200千米.早上8:00货车甲从A地出发将一批物资运往B地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与B地联系.B地收到消息后立即派货车乙从B地出发去接运甲车上的物资.货车乙遇到甲后，用了18分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后开往B地.两辆货车离开各自出发地的路程y(千米)与时间x(小时)的函数关系如图所示.(通话等其他时间忽略不计)

（1）求货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程y关于x的函数表达式.
（2）因实际需要，要求货车乙到达B地的时间比货车甲按原来的速度正常到达B地的时间最多晚1个小时，问货车乙返回B地的速度至少为每小时多少千米?
23.如图

（1）【基础巩固】
如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD=∠B.求证： .
（2）【尝试应用】
如图2，在 中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE=∠A.若BF=4，BE=3，求AD的长.
（3）【拓展提高】
如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC=2EF， ，AE=2，DF=5，求菱形ABCD的边长.
24.定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角.

（1）如图1，∠E是△ABC中A的遥望角，若 ，请用含a的代数式表示∠E.
（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O， ，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E.求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角.
（3）如图3，在(2)的条件下，连结AE，AF，若AC是⊙O的直径.
①求∠AED的度数；
②若AB=8，CD=5，求△DEF的面积.

答案解析部分
一、选择题(每小题4分，共40分)
1.【解析】【解答】解： -3的相反数为 3；
故答案为：D.

【分析】相反数是指绝对值相等，正负号相反的两个数称作互为相反数，求一个数的相反数只要在这个数前加负号就可求得，0的相反数是0。
2.【解析】【解答】解：A、  ,不符合题意；
B、  , 不符合题意；
C、  ,符合题意；
D、a2和a3不是同类项，不能合并，不符合题意.
 故答案为：C.

【分析】同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数相除，底数不变，指数相减；只有同类项才能相加减.
3.【解析】【解答】解： 1 120 000 000 =1.12×109.
故答案为：B.

【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数-1.
4.【解析】【解答】解：从前向后看，上面的球在正面的投影是一个圆，下面的长方体在正面的投影是一个矩形.
∴主视图是B.
故答案为：B.

【分析】主视图是由从前向后看物体在正面形成的投影，据此分析即可判断.
5.【解析】【解答】解： 从袋中任意摸出一个球有6种情况，其中摸出一个球是红色的有4种情况，
∴P=.
故答案为：D.
 
【分析】 首先确定从袋中任意摸出一个球共有几种情况，再确定摸出一个球是红色的有几种情况，然后用概率公式求概率即可.
6.【解析】【解答】解：由题意得：x-2≥0，
∴ .
故答案为：C.

【分析】二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此列不等式即可求出x的取值范围.
7.【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，
∴AB= ，
∵CD为中线，
∴CD=AB=5，
∵ BE=BC，F为DE中点，
∴BF为△CDF的中位线，
∴BF=CD=2.5，
故答案为：B.

【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半求出CD的长，最后结合三角形的中位线定理即可求出BF的长.
8.【解析】【解答】 解：设木条长x尺，绳子长y尺，
根据题意可得： .
故答案为：A.

【分析】设木条长x尺，绳子长y尺，由“ 用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺”可得y=x+4.5, 由“ 将绳子对折再量木条，木条剩余1尺， ”可得0.5y=x-1,；将两式联立为二元一次方程组即可.
9.【解析】【解答】解：A、∵图象开口向上，∴a>0，
∵对称轴在y轴左侧，
∴x=-<0,
∴b>0；
∵图象与y轴的交点在y轴上方，
∴c>0，
∴abc>0, 不符合题意；
B、∵抛物线与x轴有两个交点，
∴  ，
即  ,不符合题意；
C、设图象的顶点为（1，k）,
∴k<0，则y=a(x+1)2+k=ax2+2ax+a+k,
∴c=a+k,
∴c-a=k<0,
不符合题意；
D、∵当x≥0, y≥c, 又∵n2≥0,  ，
∴x=-n2-2,
由对称的性质可知这时的y≥c.
故答案为：D.

【分析】根据图象的张口即可得出a的正负，再结合对称轴方程可得b的正负，C的正负可由抛物线与y轴的交点得到c>0，于是得出abc>0；由抛物线与x轴有两个交点，即二次方程有两个不相等的实数根，可得△>0，则；设图象设图象的顶点为（1，k）, 结合k<0，据此列解析式，可得c=a+k, 于是可得c-a=k<0；由于n2≥0，结合x≥0, y≥c和二次函数对称的性质可得x=-n2-2, y≥c.
10.【解析】【解答】解： ∵ △BDE和△FGH是等边三角形， △BDE≌△FGH，
∴DE=FH=BE,
∴DE+EC=BE+EC=BC，FH+FD=BD+DF=BF，
∵∠EHG=60°，
∴∠AHF+∠GHC=120°，
∵∠A=60°，
∴∠AFH+∠AHF=120°，
∴∠AFH=∠GHC，
∵FH=GH，∠A=∠C，
∴△AFH≌△CHC（AAS），
∴HC=FA，
∴FH+FD+HC=BF+FA=BA，
∴ 五边形DECHF的周长=DE+EC+HC+FH+FD=BC+BA= △ABC的周长 ，
故答案为：A.

【分析】根据等边三角形的性质，结合全等三角形的性质和等式的性质可得DE+EC=BC，FH+FD=BF，再利用角角边定理证明△AFH≌△CHC可得HC=FA，推出FH+FD+HC=BA，最后可得五边形DECHF的周长是△ABC的周长的 ， 据此可知答案.
二、填空题(每小题5分，共30分)
11.【解析】【解答】∵ 23=8，
∴ 8的立方根是2．
故答案为：2．
【分析】本题考查了立方根的定义，找出2的立方是8是解题的关键．
12.【解析】【解答】解：原式=2（a2-9）
=2(a+3)(a-3).
故答案为：2(a+3)(a-3).

【分析】先提取公因式，再用平方差公式分解即可得出结果.
13.【解析】【解答】解：∵甲、乙、丙作比较，甲、乙平均数较大，
∴产量高，
甲、乙比较，甲的方差较小，
∴产量较稳.
∴甲的产量既高又稳定.
故答案为：甲.

【分析】先比平均数，平均数越大，则产量越高，再比方差，方差较小，产量越稳定，据此分步分析可得结果.
14.【解析】【解答】解： == 18π (cm).
故答案为： 18π .

【分析】已知扇形圆心角和半径，利用弧长公式求值即可.
15.【解析】【解答】解：如图，连接OB，

∵OA=OB，OA=BC，
∴BC=OC=2，
∵BC为切线，
∴OB⊥BC，
∴OC=，
当AC为斜边，
∠AOC=90°，
∴AC=，
当OC为斜边，
OC=2.
故答案为： 2  或2 .

【分析】连接OB，利用切线的性质，结合同圆的半径相等，利用勾股定理求出OC的长，然后在△AOC中，分别设OC和AC为斜边求值即可.
16.【解析】【解答】解：1、如图，作EH⊥x轴，DK⊥x轴，连接KD交x轴于点M，

∵△ADE的面积=五边形ABCDE的面积-四边形ABCD的面积=56-32=24，
∴△ADE的面积=S△AON+S矩形ONEH+S△EHM+S△MDO
=S△AON+S矩形ONEH+S△EHM+S△DOK-S△DMK
=a-b+S△EHM+a-S△DMK,
∵A、D关于原点对称，
∴DK=yA,
∵AE∥x轴，
∴EH=yA，
∴EH=DK，
∵∠EHM=∠DKM=90°，∠KMH=∠KMD，
∴△DKM≌△EHM（AAS），
∴S△EHM=S△DMK,
∴△ADE的面积=a-b=24；
2、∵A，D关于原点对称，
∴A，D的纵坐标的绝对值相等，
∵AE∥CD，
∴E，C的纵坐标的绝对值相等，
∵E，C在反比例函数y＝的图象上，
∴E，C关于原点对称，
∴E，O，C共线，
∵OE＝OC，OA＝OD，
∴四边形ACDE是平行四边形，
∴S△ADE＝S△ADC＝24，
∴S△AOE＝S△DEO＝12，
∵S△AOC＝S△AOB＝12，
∴BC∥AD，
∴，
∵S△ACB＝S四边形ABCD-S△ACD=32﹣24＝8，
∴S△ADC：S△ABC＝24：8＝1：3，
∴BC：AD＝1：3，
∴QB：QA＝1：3，
设QB＝k，则QA＝3k，
∴AP＝QP＝1.5k，BP＝0.5k，
∴AP：BP＝3：1，
∴，

∴    ．

【分析】（1）作EH⊥x轴，DK⊥x轴，连接KD交x轴于点M，由△ADE的面积=五边形ABCDE的面积-四边形ABCD的面积求得△ADE的面积为24，然后根据反比例函数图象点的坐标特点列出△ADE的代数式，由于A、D关于原点对称，结合AE∥CD，利用角角边定理可证△DKM≌△EHM，即此两个三角形面积相等，最后推得△ADE的面积=a-b=24；
（2）连接AC，OE，OC，OB，延长AB交DC的延长线于Q，设AB交x轴于P．根据反比例函数图象关于原点对称的特点，结合AE∥CD，求出证明四边形ACDE是平行四边形，从而推出S△ADE＝S△ADC，推出S△AOC＝S△AOB，可得BC∥AD，根据平行线分线段成比例的性质可得AD＝3BC，从而推出QB：QA＝1：3，，可求AP＝3BP，根据面积的关系可求 的值．
三、解答题(本大题有8小题，共80分)
17.【解析】【分析】（1）第一项利用完全平方式展开，第二项用单项式乘以多项式展开，然后合并同类项即得结果；
（2）先去括号、移项，然后合并同类项，最后根据不等式的性质将x的系数化为1可得结果.
18.【解析】
【分析】（1）分别取A、B、C、D、E，图1可以BE为对称轴，或以BD为对称轴根据对称的定义作图即可；图2可以MN为对称轴，根据对称的定义作图即可；

（2）由于平行四边形是中心对称图形，在图1或图2的基础上选取一个三角形补充形成一个平行四边形即可.

 
19.【解析】【分析】（1） 过点A作AH⊥BC于点H， 根据等腰三角形的性质可知BH=HC，再利用三角函数知识求出BH，则BC长可求；
（2）利用三角形函数知识求出AH，由于汽车底盘低于车位锁底边BC上的高AH，可知上锁时，这辆汽车不能进入该车位.
20.【解析】【分析】（1）把B点坐标代入函数式即可求出a值，然后用配方法求出抛物线的顶点A的坐标，再利用对称的性质即可求出C点的坐标，现知B、C点坐标，看图可知 10；
（2）令x=0, 即可得出D点坐标，比较A、D点坐标，可知D是由A向右平移2个单位，向上平移4个单位得到，再根据平移的特点即可得出这时的二次函数表达式.
21.【解析】【分析】（1）根据“基本合格”的人数和其频率求得抽取部分学生的人数，则测试合格的人数等于抽取的学生数减去已知的人数，然后根据求得的数据补充直方图即可；
（2） 扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数=360°×“良好”人数的频率；
（3）由于30+50<100, 30+50+80=160>100, 可知中位数是等级良好；
（4） 该校获得优秀的学生数=该校总人数×优秀等级的频率.
 
22.【解析】【分析】（1）根据货车乙的图象，在货车乙在遇到货车甲前这段图象取两点，利用待定系数法即可求出其函数关系式；
（2）先算出货车乙返回B地所需时间，然后根据速度公式求出其最小速度，关键是求出货车乙返回B地所需时间，先根据（1）的函数关系式求出甲车正常到达B地的时间，则货车乙返回B地所需时间=甲车正常到达B地的时间+晚点一小时-乙车从B到故障点时间-搬运上货的时间.
23.【解析】【分析】（1）利用两个角相等的两个三角形相似，再根据相似三角形的性质列比例式即可得出结果；
（2）由平行四边形的性质得出AD=BC，∠A=∠C，再根据两个角分别相等的两个三角形相似求出 △BFE∽△BCF，于是由对应边成比例可得BF2=BE·BC，则BC的长可求，AD的长也可知；
（3）分别延长EF，DC相交于点G，由两组对边分别平行可得四边形A EGC为平行四边形，可得 △EDF∽△EGD，于是由相似三角形的性质得出DE2=EF·EG，结合EG=AC=2EF, 可得DE=EF，再根据相似三角形的性质列式，两者结合可得求得DG的长， 则DC的长可求.
24.【解析】【分析】（1）由三角形的外角的性质把∠E转化为 ∠ECD-∠EBD，结合角平分线的性质可得
∠E=  (∠ACD-∠ABC)，于是根据外角的性质可得∠E=∠A，则∠E和α的关系可知；
（2）用圆内接四边形的一个外角等于它的内对角可得∠FDE=∠FBC， 再由DF平分∠ADE，
 结合同弧所对的圆周角相等，可得∠ABF=∠FBC， 于是BE是∠ABC的平分线， 然后由 同弧所对的圆周角相等  ， 结合圆内接四边形对角互补和角平分线的定义得出CE是△ABC的外角平分线，于是由题（1）可得∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角；
（3） ① 连结CF ，由遥望角的性质可得 ∠BAC=2∠BEC， 再由同弧所对的圆周角相等，结合三角形的外角的性质可得∠BEC=∠FCE， 再结合∠FCE=∠FAD，得出 ∠BEC=∠FAD， 于是利用角角边定理可证 △FDE≌△FDA ，则对应边DE=AD，结合直径所对的圆周角是直角可得△ADE是等腰直角三角形，则∠AED的度数可知；
② 过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点Ｍ ，由直径所对的圆周角是直角，结合 BE平分∠ABC， 可得 ∠FAC=45°， 于是推得∠AEG =∠CAD， 结合 ∠EGA=∠ADC=90°， 可证 △EGA∽△ADC， 根据三角形的性质列比例式，结合AE=  AD， 求得AD和AC的比值， 设AD=4x，AC=5x， 在Rt△ADC中， 根据勾股定理列式求出x，则ED、CE的长可求，从而求出DM，由等腰直角三角形的性质求出FM，最后根据三角形面积公式求面积即可.