四川省内江市2020年中考数学试卷

这是一份四川省内江市2020年中考数学试卷，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


四川省内江市2020年中考数学试卷
一、单选题（共12题；共24分）
1.下列四个数中，最小的数是（    ）
A. 0                                      B.                                       C. 5                                      D. 
2.下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（　　）

A.             B.             C.             D. 
3.如图，已知直线 ， ，则 的度数为（    ）

A.                                    B.                                    C.                                    D. 
4.小明参加学校举行的“保护环境”主题演讲比赛，五位评委给出的评分分别为：90，85，80，90，95，则这组数据的中位数和众数分别是（    ）
A. 80，90                               B. 90，90                               C. 90，85                               D. 90，95
5.将直线 向上平移两个单位，平移后的直线所对应的函数关系式为（    ）
A.                    B.                    C.                    D. 
6.如图，在 中，D、E分别是AB和AC的中点， ，则 （    ）

A. 30                                       B. 25                                       C. 22．5                                       D. 20
7.如图，点A,B,C,D在⊙O上， ，点B是 的中点，则 的度数是（    ）

A.                                     B.                                     C.                                     D. 
8.如图，点A是反比例函数 图象上的一点，过点A作 轴，垂足为点C ， D为AC的中点，若 的面积为1，则k的值为（    ）

A.                                           B.                                           C. 3                                          D. 4
9.我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺．则正确的方程是（    ）
A.              B.              C.              D. 
10.如图，矩形ABCD中，BD为对角线，将矩形ABCD沿BE、BF所在直线折叠，使点A落在BD上的点M处，点C落在BD上的点N处，连结EF ． 已知 ，则EF的长为（    ）

A. 3                                       B. 5                                       C.                                        D. 
11.在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线 （ ）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则t的取值范围是（    ）
A.                        B.                        C.                        D. 且
12.的倒数是（    ）
A.                                           B.                                           C.                                           D. 
二、填空题（共8题；共8分）
13.函数 中，自变量 的取值范围是________ ．
14.2020年6月23日9时43分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功发射北斗系统第五十五颗导航卫星，标志着北斗三号卫星导航定位系统正式建成．根据最新数据，目前兼容北斗的终端产品至少有7亿台，其中7亿用科学记数法表示为________
15.已知关于x的一元二次方程 有一实数根为 ，则该方程的另一个实数根为________
16.如图，在矩形ABCD中， ， ，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则 的最小值为________．

17.分解因式： ________
18.若数a使关于x的分式方程 的解为非负数，且使关于y的不等式组 的解集为 ，则符合条件的所有整数a的积为________
19.如图，在平面直角坐标系中，点A（-2，0），直线 与x轴交于点B ， 以AB为边作等边 ，过点 作 轴，交直线l于点 ，以 为边作等边 ，过点 作 轴，交直线l于点 ，以 为边作等边 ，以此类推……，则点 的纵坐标是________

20.已知抛物线 （如图）和直线 ．我们规定：当x取任意一个值时，x对应的函数值分别为 和 ．若 ，取 和 中较大者为M；若 ，记 ．①当 时，M的最大值为4；②当 时，使 的x的取值范围是 ；③当 时，使 的x的值是 ， ；④当 时，M随x的增大而增大．上述结论正确的是________（填写所有符合题意结论的序号）

三、解答题（共8题；共84分）
21.计算：
22.如图，点C ， E ， F ， B在同一直线上，点A ， D在BC异侧，AB∥CD ， AE＝DF ， ∠A＝∠D ．

（1）求证：AB=CD；
（2）若AB＝CF ， ∠B＝40°，求∠D的度数．
23.我市某中学举行“法制进校园”知识竞赛，赛后将学生的成绩分为A、B、C、D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图．请你根据统计图解答下列问题．

（1）成绩为“B等级”的学生人数有________名；
（2）在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角度数为________，图中m的值为________；
（3）学校决定从本次比赛获得“A等级”的学生中选出2名去参加市中学生知识竞赛．已知“A等级”中有1名女生，请用列表或画树状图的方法求出女生被选中的概率．
24.为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东 方向上，海监船继续向东航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东 方向上．

（1）求B处到灯塔P的距离；
（2）已知灯塔P的周围50海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？
25.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点， 于点D ， 过点C作⊙O 的切线，交OD的延长线于点E ， 连结BE ．

（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）设OE交⊙O于点F ， 若 ，求线段EF的长；
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
26.我们知道，任意一个正整数x都可以进行这样的分解： （m ， n是正整数，且 ），在x的所有这种分解中，如果m ， n两因数之差的绝对值最小，我们就称 是x的最佳分解．并规定： ．
例如：18可以分解成 ， 或 ，因为 ，所以 是18的最佳分解，所以 ．
（1）填空：f(6)=________；f(9)=________   ；
（2）一个两位正整数t（ ， ，a ， b为正整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有的两位正整数；并求 的最大值；
（3）填空：
① ；
② ；
③ ；
④ ．
27.如图，正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），连结BP ， 将BP绕点B顺时针旋转 到BQ ， 连结QP交BC于点E ， QP延长线与边AD交于点F ．

（1）连结CQ ， 求证： ；
（2）若 ，求 的值；
（3）求证： ．
28.如图，抛物线 经过A（-1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点，点D（x ， y）为抛物线上第一象限内的一个动点．

（1）求抛物线所对应的函数表达式；
（2）当 的面积为3时，求点D的坐标；
（3）过点D作 ，垂足为点E ， 是否存在点D ， 使得 中的某个角等于 的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．

答案解析部分
一、单选题
1.【解析】【解答】∵ ，
∴最小的数是 ，
故答案为：D．
【分析】先根据有理数的大小比较法则比较大小，即可得出选项．
2.【解析】【解答】由中心对称的定义知，绕一个点旋转180°后能与原图重合，只有选项B是中心对称图形．故选：B

【分析】根据中心对称图形的定义和图形的特点即可求解．
3.【解析】【解答】如图，∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝50°，
∴∠2＝180°−50°＝130°，
故答案为：B．

【分析】利用平行线的性质即可解决问题．
4.【解析】【解答】把分数从小到大排列为：80,85,90,90,95
故中位数为90，众数为90
故答案为：B．
【分析】根据中位数、众数的定义即可求解．
5.【解析】【解答】解：原直线的k=-2，b=-1；向上平移两个单位得到了新直线，
那么新直线的k=-2，b=-1+2=1．
∴新直线的解析式为y=-2x+1．
故答案为：C．
【分析】向上平移时，k的值不变，只有b发生变化．
6.【解析】【解答】解：根据题意，点D和点E分别是AB和AC的中点，则DE∥BC且DE= BC，故可以判断出△ADE∽△ABC,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可知 ： =1：4，则 ： =3：4，题中已知 ，故可得 =5， =20
故本题选择D
【分析】首先判断出△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出△ABC的面积．
7.【解析】【解答】连接OB，
∵点B是 的中点，
∴∠AOB＝ ∠AOC＝60°，
由圆周角定理得，∠D＝ ∠AOB＝30°，
故答案为：A．

【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOB＝ ∠AOC，再根据圆周角定理解答．
8.【解析】【解答】点A的坐标为（m，2n），
∴ ，
∵D为AC的中点，
∴D（m，n），
∵AC⊥ 轴，△ADO的面积为1，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：D．
【分析】先设出点A的坐标，进而表示出点D的坐标，利用△ADO的面积建立方程求出 ，即可得出结论．
9.【解析】【解答】设索为 尺，杆子为( )尺，
根据题意得： ( ) ．
故答案为：A．
【分析】设索为 尺，杆子为( )尺，则根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出关于 一元一次方程．
10.【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=4，
∴BD= =5，
设AE的长度为x，
由折叠可得：△ABE≌△MBE，
∴EM=AE=x，DE=4-x，BM=AB=3，DM=5-3=2，
在Rt△EMD中，EM2+DM2=DE2 ，
∴x2+22=（4-x）2 ，
解得：x= ，ED=4- = ，
设CF的长度为y，
由折叠可得：△CBF≌△NBF，
∴NF=CF=y，DF=3-y，BN=BC=4，DN=5-4=1，
在Rt△DNF中，DN2+NF2=DF2 ，
∴y2+12=（3-y）2 ，
解得：x= ，DF=3- = ，
在Rt△DEF中，EF= ，
故答案为：C．
【分析】由矩形的性质和已知求出BD=5，根据折叠的性质得△ABE≌△MBE，设AE的长度为x，在Rt△EMD中，由勾股定理求出DE的长度，同理在Rt△DNF中求出DF的长度，在Rt△DEF中利用勾股定理即可求出EF的长度．
11.【解析】【解答】∵ ，
∴当y=0时，x= ；当x=0时，y=2t+2，
∴直线 与x轴的交点坐标为（ ，0），与y轴的交点坐标为（0，2t+2），
∵t>0，
∴2t+2>2，
当t= 时，2t+2=3，此时 =-6，由图象知：直线 （ ）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，如图1，
当t=2时，2t+2=6，此时 =-3，由图象知：直线 （ ）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，如图2，
当t=1时，2t+2=4， =-4，由图象知：直线 （ ）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点，如图3，
∴ 且 ，
故答案为：D.

【分析】画出函数图象，利用图象可得t的取值范围.
12.【解析】【解答】∵ ，∴ 的倒数是 .
故答案为：C
【分析】由互为倒数的两数之积为1，即可求解.
二、填空题
13.【解析】【解答】根据函数可知： ,解得： ．
故答案为： ．
【分析】分式有意义的条件：分母不为0，据此解答即可.
14.【解析】【解答】7亿=700000000= ，
故答案为： ．
【分析】科学记数法的表示形式为： ，其中1≤∣ ∣﹤10，n为整数，确定a值和n值即可解答．
15.【解析】【解答】解：把x=-1代入 得m2-5m+4=0，解得m1=1,m2=4，
∵(m-1)2≠0，
∴m 1．
∴m=4.
∴方程为9x2+12x+3=0.
设另一个根为a,则-a= .
∴a=- .
故答案为:- ．
【分析】根据一元二次方程的解的定义把x=-1代入原方程得到关于m的一元二次方程，解得m的值，然后根据一元二次方程的定义确定m的值．
16.【解析】【解答】解：如图，过A作 于 ，延长 ，使 ，过 作 于 ，交 于 ，则 最短，
 四边形 为矩形， ， ，
 
 
 
 
 
 
 
 
即 的最小值为
故答案为：

【分析】如图，过A作 于 ，延长 ，使 ，过 作 于 ，交 于 ，则 最短，再利用矩形的性质与锐角三角函数求解 即可得到答案．
17.【解析】【解答】
故答案为： ．
【分析】先根据十字相乘法，再利用平方差公式即可因式分解．
18.【解析】【解答】解：分式方程 的解为x= 且x≠1，
∵分式方程 的解为非负数，
∴ 且 ≠1.
∴a 5且a≠3.

解不等式①，得 .
解不等式②，得y ∵关于y的不等式组 的解集为 ，
∴a>0.
∴0 又a为整数，则a的值为1，2，4，5.
符合条件的所有整数a的积为 .
故答案为：40.
【分析】根据分式方程的解为正数即可得出a 5且a≠3，根据不等式组的解集为 ，即可得出a>0，找出0 19.【解析】【解答】如图，过A1作A1C⊥AB与C，过A2作A2C1⊥A1B1于C1 ， 过A3作A3C2⊥A2B2于C2 ， 先根据直线方程与x轴交于点B（-1，0），与y轴交于点D（0， ），
∴OB=1,OD= ,
∴∠DBO=30º
由题意可得：∠A1B1B=∠A2B2B1=30º,∠B1A1B=∠B2A2B1=60º
∴∠A1BB1=∠A2B1B2=90º，
∴AB=1，A1B1=2A1B=21 ， A2B2=2A2B1=22 ， A3B3=2A3B2=23 ， …AnBn=2n
∴A1C= AB= ×1，
A1纵坐标为 ×1= ；
A2C1= A1B1= ，
A2的纵坐标为 ×1+ = = = ；
A3C2= A2B2= ,
A3的纵坐标为 ×1+ + = = = ；
…
由此规律可得：AnCn-1= ,
An的纵坐标为 = ，
∴A2020= ，
故答案为：

【分析】如图，过A1作A1C⊥AB与C，过A2作A2C1⊥A1B1于C1 ， 过A3作A3C2⊥A2B2于C2 ， 先根据直线方程与x轴交于点B（-1，0），且与x轴夹角为30º，则有AB=1，然后根据平行线的性质、等边三角形的性质、含30º的直角三角形的性质，分别求的A1、A2、A3、的纵坐标，进而得到An的纵坐标，据此可得A2020的纵坐标，即可解答．
20.【解析】【解答】解：对于①：当 时， ， ，显然只要 ，则M的值为 ，故①不符合题意；
对于②：当 时，在同一直角坐标系内画出 的图像，如下图所示，其中红色部分即表示M，联立 的函数表达式，即 ，求得交点横坐标为 和 ，观察图形可知 的x的取值范围是 ，故②符合题意；

对于③：当 时，在同一直角坐标系内画出 的图像，如下图所示，其中红色部分即表示M，

联立 的函数表达式，即 ，求得其交点的横坐标为 和 ，
故M=3时分类讨论：当 时，解得 或 ，当 时，解得 (舍)，故③符合题意；
对于④：当 时，函数 ，此时 图像一直在 图像上方，如下图所示，故此时M= ，故M随x的增大而增大，故④符合题意．

故答案为：②③④．
【分析】根据题目中的较大者M的定义逐个分析即可．
三、解答题
21.【解析】【分析】根据负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、二次根式和零次幂的运算法则分别对每项进行化简，再进行加减计算即可．
22.【解析】【分析】（1）根据平行线的性质求出∠B=∠C，根据AAS推出△ABE≌△CDF，根据全等三角形的性质得出即可；（2）根据全等得出AB=CD，BE=CF，∠B=∠C，求出CF=CD，推出∠D=∠CFE，即可求出答案．
23.【解析】【解答】（1）学生总人数为3÷15%=20（人）
∴成绩为“B等级”的学生人数有20-3-8-4=5（人）
故答案为：5；（2）“D等级”的扇形的圆心角度数为
m= ，
故答案为：72°；40；
【分析】（1）先根据“A等级”的人数及占比求出学生总人数，再减去各组人数即可求出成绩为“B等级”的学生人数；（2）根据“D等级”的占比即可求出其圆心角度数，根据“C等级”的人数即可求出m的值；（3）根据题意画树状图，再根据概率公式即可求解．
24.【解析】【分析】（1）作PD⊥AB于D．求出∠PAB、∠PBA、∠P的度数，证得△ABP为等腰三角形，即可解决问题；（2）在Rt△PBD中，解直角三角形求出PD的值即可判定．
25.【解析】【分析】（1）连接OC，如图，根据垂径定理由OD⊥BC得到CD=BD，则OE为BC的垂直平分线，所以EB=EC，根据等腰三角形的性质得∠EBC=∠ECB，加上∠OBC=∠OCB，则∠OBE=∠OCE；再根据切线的性质得∠OCE=90°，所以∠OBE=90°，然后根据切线的判定定理得BE与⊙O相切；（2）设⊙O的半径为R，则OD=R-DF=R-2，OB=R，在Rt△OBD，利用勾股定理解得R=4，再利用含30º角的直角三角形边角关系可求得OE，利用EF=OE-OF即可解答；（3）利用（2）中可求得∠BOC=120º,然后利用 代入数值即可求解．
26.【解析】【解答】（1）6＝1×6＝2×3，
∵6−1＞3−2，
∴ ＝ ；
9=1×9=3×3，
∵9−1＞3−3，
∴ =1，
故答案为： ；1；（3）①∵ =20×21
∴ ；
② =28×30
∴ ；
③∵ =56×30
∴ ；
④∵ =56×60
∴ ，
故答案为： ．
【分析】（1）6＝1×6＝2×3，由已知可求 ＝ ；9=1×9=3×3，由已知可求 =1； （2）由题意可得：交换后的数减去交换前的数的差为：10b＋a−10a−b＝9（b−a）＝54，得到b−a＝6，可求t的值，故可得到 的最大值；（3）根据 的定义即可依次求解．
27.【解析】【分析】(1)由旋转知△PBQ为等腰直角三角形，得到PB=QB，∠PBQ=90°，进而证明△APB≌△CQB即可；(2)设AP=x ， 则AC=4x ， PC=3x ， 由(1)知CQ=AP=x ， 又△ABC为等腰直角三角形，所以BC= ，PQ= ，再证明△BQE∽△BCQ，由此求出BE，进而求出CE:BC的值；(3)在CE上截取CG，并使CG=FA，证明△PFA≌△QGC，进而得到PF=QG，然后再证明∠QGE=∠QEG即可得到QG=EQ，进而求解．
28.【解析】【分析】（1）根据点A、B、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）根据三角形面积公式可求与BC平行的经过点D的y轴上点M的坐标，再根据待定系数法可求DM的解析式，再联立抛物线可求点D的坐标；（3）分∠DCE＝2∠ABC及∠CDE＝2∠ABC两种情况考虑：①当∠DCE＝2∠ABC时，取点F（0，−2），连接BF，则CD∥BF，由点B，F的坐标，利用待定系数法可求出直线BF，CD的解析式，联立直线CD及抛物线的解析式组成方程组，通过解方程组可求出点D的坐标；②当∠CDE＝2∠ABC时，过点C作CN⊥BF于点N，交OB于H．作点N关于BC的对称点P，连接NP交BC于点Q，由△OCH∽△OBF求出H点坐标，利用待定系数法求出直线CN的解析式，联立直线BF及直线CN成方程组，通过解方程组可求出点N的坐标，利用对称的性质可求出点P的坐标，由点C、P的坐标，利用待定系数法可求出直线CP的解析式，将直线CP的解析式代入抛物线解析式中可得出关于x的一元二次方程，解之取其非零值可得出点D的横坐标．依此即可得解．