湖北省襄阳市2020年中考数学试卷

这是一份湖北省襄阳市2020年中考数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


湖北省襄阳市2020年中考数学试卷
一、选择题（共10题；共20分）
1.-2的绝对值是（   ）

A. -2                                         B. 2                                         C.                                          D. 
2.如图， ，直线 分别交 ， 于点E，F， 平分 ，若 ，则 的大小是（   ）

A.                                  B.                                  C.                                  D. 
3.下列运算一定正确的是（   ）
A.                         B.                         C.                         D. 
4.下列说法正确的是（   ）
A. “买中奖率为 的奖券10张，中奖”是必然事件
B. “汽车累积行驶 ，从未出现故障”是不可能事件
C. 襄阳气象局预报说“明天的降水概率为 ”，意味着襄阳明天一定下雨
D. 若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定
5.如图所示的三视图表示的几何体是（   ）

A.                                 B.                                 C.                                 D. 
6.不等式组 中两个不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ）
A.            B.            C.            D. 
7.如图， 中， ，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（   ）

A.                   B.                   C.                   D. 
8.我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦，求小马，大马各有多少匹，若设小马有x匹，大马有y匹，则下列方程组中正确的是（   ）
A.                 B.                 C.                 D. 
9.已知四边形 是平行四边形， ， 相交于点O，下列结论错误的是（   ）
A. ，
B. 当 时，四边形 是菱形
C. 当 时，四边形 是矩形
D. 当 且 时，四边形 是正方形
10.二次函数 的图象如图所示，下列结论：① ；② ；③ ；④当 时，y随x的增大而减小，其中正确的有（   ）

A. 4个                                       B. 3个                                       C. 2个                                       D. 1个
二、填空题（共6题；共7分）
11.函数y= 中，自变量x的取值范围是________；实数2﹣ 的倒数是________．
12.如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=20°，则∠C=________ ．
 
13.《易经》是中国传统文化的精髓.如图是易经的一种卦图，图中每一卦由三根线组成（线形为 或 ），如正北方向的卦为 .从图中三根线组成的卦中任取一卦，这一卦中恰有2根 和1根 的概率为________.

14.汽车刹车后行驶的距离s与行驶时间t（秒）的函数关系是s＝15t﹣6t2 ， 汽车从刹车到停下来所用时间是________秒.
15.在⊙O中，若弦 垂直平分半径 ，则弦 所对的圆周角等于________°.
16.如图，矩形 中，E为边 上一点，将 沿 折叠，使点A的对应点F恰好落在边 上，连接 交 于点N，连接 .若 ， ，则矩形 的面积为________.

三、解答题（共9题；共80分）
17.先化简，再求值： ，其中 .
18.襄阳东站的建成运营标志者我市正式进入高铁时代，郑万高速铁路襄阳至万州段的建设也正在推进中.如图，工程队拟沿 方向开山修路，为加快施工进度，需在小山的另一边点E处同时施工，要使A，C，E三点在一条直线上，工程队从 上的一点B取 ， 米， .那么点E与点D间的距离是多少米？（参考数据： ， ， ）

19.在襄阳市创建全国文明城市的工作中，市政部门绿化队改进了对某块绿地的灌浇方式.改进后，现在每天用水量是原来每天用水量的 ，这样120吨水可多用3天，求现在每天用水量是多少吨？
20.   3月14日是国际数学日，“数学是打开科学大门的钥匙.”为进一步提高学生学习数学的兴趣，某校开展了一次数学趣味知识竞賽（竞赛成绩为百分制），并随机抽取了50名学生的竞赛成绩（本次竞赛没有满分），经过整理数据得到以下信息：
信息一：50名学生竞赛成绩频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组（每组数据含前端点值，不含后端点值）.

信息二：第三组的成绩（单位：分）为74  71  73  74  79  76  77  76  76  73  72  75
根据信息解答下列问题：
（1）补全第二组频数分布直方图（直接在图中补全）；
（2）第三组竞赛成绩的众数是________分，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是________分；
（3）若该校共有1500名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩不低于80分的约为________人.
21.如图，反比例函数 和一次函数 的图象都经过点 和点 .

（1）________， ________；
（2）求一次函数的解析式，并直接写出 时x的取值范围；
（3）若点P是反比例函数 的图象上一点，过点P作 轴，垂足为M，则 的面积为________.
22.如图， 是⊙O的直径，E，C是 上两点，且 ，连接 ， ，过点C作 交 的延长线于点D.

（1）判定直线 与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若 ， ，求图中阴影部分的面积.
23.受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售.“一方有难，八方支援.”某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售.专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售.设经销商购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示.

（1）直接写出当 和 时，y与x之间的函数关系式；
（2）若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于40千克，但又不超过60千克.如何分配甲，乙两种水果的则进量，才能使经销商付款总金额w（元）最少？
（3）若甲，乙两种水果的销售价格分別为40元/千克和36元/千克，经销商按（2）中甲，乙两种水果购进量的分配比例购进两种水果共a千克，且销售完a千克水果获得的利润不少于1650元，求a的最小值.
24.在 中， ， .点D在边 上， 且 ， 交边 于点F，连接 .

（1）特例发现：如图1，当 时，①求证： ；②推断： ▲ .；
（2）探究证明：如图2，当 时，请探究 的度数是否为定值，并说明理由；
（3）拓展运用：如图3，在（2）的条件下，当 时，过点D作 的垂线，交 于点P，交 于点K，若 ，求 的长.
25.如图，直线 交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线 经过点A，点C，且交x轴于另一点B.
   
（1）直接写出点A，点B，点C的坐标及抛物线的解析式；
（2）在直线 上方的抛物线上有一点M，求四边形 面积的最大值及此时点M的坐标；
（3）将线段 绕x轴上的动点 顺时针旋转90°得到线段 ，若线段 与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围.

答案解析部分
一、选择题
1.【答案】 B
【解析】【解答】解：依题可得：|-2|=2.

故答案为B.
【分析】根据正数和0的绝对值是它们本身，负数的绝对值是它的相反数.
2.【答案】 C
【解析】【解答】解： ，
 
 
 
平分 ，
 
 
 
 
故答案为：C.
【分析】利用平行线的性质求解 ，利用角平分线求解 ，再利用平行线的性质可得答案.
3.【答案】 C
【解析】【解答】解：A、 ，故原式错误；
B、 ，故原式错误；
C、 ，原式正确；
D、 ，故原式错误，
故答案为：C.
【分析】利用合并同类项，同底数幂乘法，幂的乘方与积的乘方运算法则逐一进行判断即可.
4.【答案】 D
【解析】【解答】A. “买中奖率为 的奖券10张，中奖”是随机事件，故不符合题意；
B. “汽车累积行驶 ，从未出现故障”是随机事件，故不符合题意；
C. 襄阳气象局预报说“明天的降水概率为 ”，但是襄阳明天只是有可能下雨，故不符合题意；
D. 若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定，该说法正确，故符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型，以及方差的性质逐一分析即可.
5.【答案】 B
【解析】【解答】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是圆可判断出这个几何体应该是圆柱．
故选B．
【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
6.【答案】 A
【解析】【解答】解： ，
解不等式①：去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ；
解不等式②：去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ；
故原不等式组的解集为 .
故答案为：A.
【分析】分别解不等式①和②，求得原不等式组的解集为 ，即可选出答案.
7.【答案】 D
【解析】【解答】解：由尺规作图可知，AD是∠CAB角平分线，DE⊥AC，
在△AED和△ABD中：
∵ ，∴△AED≌△ABD(AAS)，
∴DB=DE，AB=AE，选项A、B都正确，
又在Rt△EDC中，∠EDC=90°-∠C，
在Rt△ABC中，∠BAC=90°-∠C，
∴∠EDC=∠BAC，选项C正确，
选项D，题目中缺少条件证明，故答案为：D错误.
故答案为：D.
【分析】由尺规作图可知AD是∠CAB角平分线，DE⊥AC，由此逐一分析即可求解.
8.【答案】 C
【解析】【解答】解：设小马有x匹，大马有y匹，由题意可得：
，
故答案为：C.
【分析】设小马有x匹，大马有y匹，根据题意可得等量关系：①大马数+小马数=100；②大马拉瓦数+小马拉瓦数=100，根据等量关系列出方程组即可.
9.【答案】 B
【解析】【解答】解： 四边形 是平行四边形，
，故A正确，
四边形 是平行四边形， ，
不能推出四边形 是菱形，故 错误，
四边形 是平行四边形， ，
 四边形 是矩形，故C正确，
四边形 是平行四边形， ， ，
 四边形 是正方形.故D正确.
故答案为：B.
【分析】（1）根据平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC，OB=OD；
（2）根据菱形的判定“一组邻边相等的平行四边形是菱形”可知当AB=CD时，四边形ABCD是菱形错误；
（3）根据一个角是直角的平行四边形是矩形可知 当∠ABC=90°时，四边形  是矩形；
（4）根据对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形可知， 当  且  时，四边形  是正方形.  
10.【答案】 B
【解析】【解答】解：①∵抛物线开口向上与y轴交于负半轴，
∴a＞0,c＜0
∴ac＜0
故①正确；②∵抛物线的对称轴是x=1，
∴
∴b=-2a
∵当x=-1时，y=0
∴0=a-b+c
∴3a+c=0
故②正确；③∵抛物线与x轴有两个交点，即一元二次方程 有两个不相等的实数解
∴
∴
故③正确；④当-1＜x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时y随x的增大而增大.
故④错误
所以正确的答案有①、②、③共3个
故答案为：B
【分析】根据抛物线的开口向上，得到a＞0，由于抛物线与y轴交于负半轴，得到c＜0，于是得到ac＜0，故①正确；根据抛物线的对称轴为直线x＝− ，于是得到2a＋b＝0，当x=-1时，得到 故②正确；把x＝2代入函数解析式得到4a＋2b＋c＜0，故③错误；抛物线与x轴有两个交点，也就是它所对应的方程有两个不相等的实数根，即可得出③正确根据二次函数的性质当x＞1时，y随着x的增大而增大，故④错误.
二、填空题
11.【答案】 x≥2；2+
【解析】【解答】解：y= 中，自变量x的取值范围是 x≥2；
实数2﹣ 的倒数是 2+ ，
故答案为：x≥2，2+ ．
【分析】根据被开方数是非负数，倒数的定义，可得答案．
12.【答案】40°
【解析】【解答】解：∵AB=AD，∠BAD=20°，
∴ ，
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=80°+20°=100°，
∵AD=DC，
∴ ．
【分析】先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出∠B的度数，再根据三角形外角的性质可求出∠ADC的度数，再由三角形内角和定理解答即可．
13.【答案】
【解析】【解答】解： 观察图形可得，一共有8种情况，恰有2根 和1根 的的情况有3种，
所以P= ，
故答案为： .
【分析】观察图像可知：所有可能的结果有8种，符合题意的只有3种，由概率公式计算即可求解.
14.【答案】 1.25
【解析】【解答】∵s＝15t﹣6t2＝﹣6（t﹣1.25）2+9.375，
∴汽车从刹车到停下来所用时间是1.25秒.
故答案为：1.25.
【分析】由题意得，先将函数解析式根据公式y=ax2+bx+c=a(x+)2+化为顶点式，再根据二次函数的性质即可求解.
15.【答案】 120或60
【解析】【解答】设弦 垂直平分半径 于点E，连接OB、OC、AB、AC，且在优弧BC上取点F，连接BF、CF，

∴OB=AB，OC=AC，
∵OB=OC，
∴四边形OBAC是菱形，
∴∠BOC=2∠BOE，
∵OB=OA，OE= ,
∴cos∠BOE= ，
∴∠BOE=60°，
∴∠BOC=∠BAC=120°，
∴∠BFC= ∠BOC=60°，
∴ 弦 所对的圆周角为120°或60°，
故答案为：120或60.
【分析】根据弦 垂直平分半径 及OB=OC证明四边形OBAC是菱形，再根据OB=OA，OE= 求出∠BOE=60°，即可求出答案.
16.【答案】
【解析】【解答】解：由折叠可得： ， ， ，
∴
∵ ，
且易得 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
在 中， ，
解得 ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： .
【分析】根据折叠的性质以及矩形的性质推导出 ，故 ，在 中应用勾股定理，得到 ，即可求解.
三、解答题
17.【答案】 解：原式

.
当 时代入：
原式 .
故答案为： .
【解析】【分析】由题意先将整式根据完全平方公式“（a+b）2=a2+2ab+b2”和平方差公式“（a+b）（a-b）=a2-b2”化简，再把xy的值代入女化简后的多项式计算即可求解.
18.【答案】 解：∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，解得 （米），
答：点E与点D间的距离是358.4米.
【解析】【分析】由 ，根据三角形外角的性质可得 ，故 为直角三角形，根据 的余弦值即可求解.
19.【答案】 解：设原来每天用水量为x吨，则现在每天用水量为 吨，根据题意得，
- =3
解得，x=10，
经检验，x=10是原方程的根.
∴ 吨，
答：现在每天用水量是8吨.
【解析】【分析】设原来每天用水量为x吨，则现在每天用水量为 吨，原来使用的天数为 天，现在使用的天数为 天，根据120吨水现在使用的天数比原来使用的天数多用3天列出方程求解即可.
20.【答案】 （1）解：第二组人数为：50-4-12-20-4=10（人）
补全统计图如下：


（2）76；78
（3）720
【解析】【解答】解：（2）第三组竞赛成绩中76分出现次数最多，出现了3次，故众数为76分；
50个数据中，最中间的两个数据分别是第25个和26个数据，对应的分数为：77分和79分，它们的平均数为： （分），故中位数为78（分）；
故答案为：76；78；（3）1500× =720（人），
故答案为：720.
【分析】（1）用抽取的总人数减去第一组、第三组、第四组与第五组的人数即可得第二组的人数，然后再补全频数分布直方图即可；（2）根据众数和中位数的定义求解即可；（3）样本估计总体，样本中不低于80分的占 ，进而估计1500名学生中不低于80分的人数.
21.【答案】 （1）4；2
（2）解：把A(1,4)，B(2,2)分别代入 得
解得
∴y2=-2x+6
当y1＜y2时，从图象看得出：1
（3）2
【解析】【解答】解：（1）把x=1,y=4代入 得，
4= ，
解得m=4
∴
当y=2时，2=
解得，n=2设P点横坐标为a,则纵坐标为 ，

∴OM=a，PM= ,
∴S△POM=
【分析】（1）把A(1,4)代入 求出m的值；再将y=2代入反比例函数式，即可求出n的值；（2）由（1）可知A、B两点的坐标，将这两点的坐标代入求出k、b的值即可，再根据t图象判定出 时x的取值范围；（3）设P点横坐标为a,则纵坐标为 ，即可知道OM、PM，进而求出面积即可.
22.【答案】 （1）证明：直线DC与⊙O相切.
理由如下：连接OC，如图，

∵
∴∠EAC＝∠OAC
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠OAC，
∴∠ACO＝∠DAC，
∴OC∥AD，
∵CD⊥AE，
∴OC⊥CD，
∴DC是⊙O的切线；

（2）解：连接OC、OE、CB，过C作CH⊥AB于H，

∵CH⊥AB，CD⊥AE
∴∠ADC=∠AHC，
∵∠EAC＝∠OAC，AC=AC
∴△ADC≌△AHC
∴CH= ，AH=AD，
∵∠CAH+∠ACH=∠BCH+∠ACH=90°
∴∠CAH=∠BCH，
又∵∠CHA=∠BHC，
∴△CAH∽△BCH
∴
∴
∴AH=3或1（舍去1）
∴BH= 1
∴S△ACH=
在Rt△CHB中，BH=1，HC=
∴∠BCH=30°=∠CAB
∴∠COB=∠EOC=60°
∴S阴影=S梯形OCDE-S扇形OCE=S△ACD-S扇形OCE= S△ACH-S扇形OCE= - = -
【解析】【分析】（1）连接OC，如图，由圆周角的的定理推论得到∠EAC＝∠OAC，加上∠ACO＝∠OAC，则∠ACO＝∠DAC，于是可判断OC∥AD，则根据平行线的性质得到OC⊥CD，然后根据直线与圆的位置关系的判定方法可判断DC是⊙O的切线；（2）连接OE、BC，作CH⊥AB于H，如图，先利用角平分线的性质得到CH＝CD＝ ，求出△ACH的面积，再根据三角形全等的判定和性质得出△ADC的面积=△ACHD的面积，再利用S阴影=S梯形OCDE-S扇形OCE=S△ACD-S扇形OCE= S△ACH-S扇形OCE ， 即可得出答案.
23.【答案】 （1）解：当 时，设y=kx，
将（50，1500）代入得1500=50k，
解得k=30，
所以 ；
当 时，设y=k1x+b，
将（50，1500）、（70，1980）分别代入得
，
解得： ，
所以 ；
综上 ；

（2）解：甲进货x千克，则乙进货（100－x）千克
①40≤x≤50
w=30x+（100－x）×25
=5x+2500
∵k＞0
∴当x=40时，w有最小值为2700；
②50＜x≤60，
w=24x+300+（100－x）×25，
=﹣x+2800，
∵k＜0，
∴当x=60时w有最小值为2740，
∵2700＜2740，
∴当甲进40千克，乙进60千克时付款总金额最少；

（3）解：由题可设甲为 ，乙为 ；
当0≤ ≤50时，即0≤a≤125
则甲的进货价为30元/千克，
×（40－30）＋ ×（36－25）≥1650，
∴a≥ ＞125，
与0≤a≤125矛盾，故舍去，
当 ＞50时，即a＞125，
则甲的进货价为24元/千克，
×（40－24）＋ ×（36－25）≥1650，
∴a≥ ＞125 ，
∴a的最小值为
答：a的最小值为 ，利润不低于1650元.
【解析】【分析】（1）根据函数图像利用选定系数法即可求出y与x之间的函数关系式.（2）甲进x千克，则乙进（100－x）千克，根据甲水果进货量的取值范围，第一，当40≤x≤50时，甲水果进货量x与付款y的关系式为 ，结合乙水果花费的金额，表示出w关于x的一次函数关系式，根据x取值范围求出w的最小值；第二，当50＜x≤60时，甲水果进货量x与付款y的关系式为 ，同样加上乙水果花费金额，表示出w函数关系式，再根据x的取值范围求出w最小值，比较w谁最小，从而确定甲乙两种水果进货量.（3）通过甲，乙两种水果购进量的分配比例，用a表示出甲乙进货量，分类讨论甲不同的进货量得出不同的进货价格，表示出利润不低于1650元的不等式，从而求出a的最小值.
24.【答案】 （1）证明：①
②90°
（2）证明： 为定值，
理由如下：
由（1）得：
 
 
 
 
 
 
 

（3）解： ，
设 则
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
，
解得：
 
【解析】【解答】（1）②推断： 理由如下：
【分析】（1）①利用已知条件证明 即可得到结论，②先证明 利用相似三角形的性质再证明 结合相似三角形的性质可得答案；（2）由（1）中②的解题思路可得结论；（3）设 则 利用等腰直角三角形的性质分别表示： 由 表示 再证明 利用相似三角形的性质建立方程求解 ，即可得到答案.
25.【答案】 （1）解：对直线 ，当x=0时，y=2，当y=0时，x=4，
∴点A的坐标是（0，2），点C的坐标是（4，0），
把点A、C两点的坐标代入抛物线的解析式，得：
，解得： ，
∴抛物线的解析式为 ，
∵抛物线的对称轴是直线 ，C（4，0），
∴点B的坐标为（﹣2，0）；
∴A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0），抛物线的解析式是 ；

（2）解：过点M作ME⊥x轴于点E，交直线AC于点F，如图1所示.

设M（m， ），则F（m， ），
∴ ，
∴S四边形ABCM=S△ABC+S△AMC
=


，
∵0＜m＜4，
∴当m=2时，四边形 面积最大，最大值为8，此时点M的坐标为（2，2）；

（3）解：若m＞0，当旋转后点 落在抛物线上时，如图2，线段 与抛物线只有一个公共点，

∵点 的坐标是（m+2，m），
∴ ，解得： 或 （舍去）；
当旋转后点 落在抛物线上时，如图3，线段 与抛物线只有一个公共点，
∵点 的坐标是（m，m），

∴ ，解得：m=2或m=﹣4（舍去）；
∴当m＞0时，若线段 与抛物线只有一个公共点，m的取值范围是： ；
若m＜0，当旋转后点 落在抛物线上时，如图4，线段 与抛物线只有一个公共点，
∵点 的坐标是（m，m），
∴ ，解得：m=﹣4或m=2（舍去）；

当旋转后点 落在抛物线上时，如图5，线段 与抛物线只有一个公共点，
∵点 的坐标是（m+2，m），

∴ ，解得： 或 （舍去）；
∴当m＜0时，若线段 与抛物线只有一个公共点，m的取值范围是： ；
综上，若线段 与抛物线只有一个公共点，m的取值范围是： 或 .
【解析】【分析】（1）对直线 ，分别令x=0，y=0求出相应的y，x的值即得点A、C的坐标，根据待定系数法即可求出抛物线的解析式，利用抛物线的对称性即可求出点B的坐标；（2）过点M作ME⊥x轴于点E，交直线AC于点F，如图1所示.设点M的横坐标为m，则MF的长可用含m的代数式表示，然后根据S四边形ABCM=S△ABC+S△AMC即可得出S四边形ABCM关于m的函数关系式，再利用二次函数的性质即可求出四边形 面积的最大值及点M的坐标；（3）当m＞0时，分旋转后点 与点 落在抛物线上时，分别画出图形如图2、图3，分别用m的代数式表示出点 与点 的坐标，然后代入抛物线的解析式即可求出m的值，进而可得m的范围；当m＜0时，用同样的方法可再求出m的一个范围，从而可得结果.