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北京理工附中2021年中考数学模拟试卷附答案
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这是一份北京理工附中2021年中考数学模拟试卷附答案，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
中考数学模拟试卷
一、单选题（共8题；共16分）
1.若代数式 有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A. x＝0 B. x＝2 C. x≠0 D. x≠2
2.如图，在△ABC中，过点B作PB⊥BC于B，交AC于P，过点C作CQ⊥AB，交AB延长线于Q，则△ABC的高是（ ）
A. 线段PB B. 线段BC C. 线段CQ D. 线段AQ
3.如图，数轴上每相邻两点距离表示1个单位，点A ， B互为相反数，则点C表示的数可能是（ ）
A. 0 B. 1 C. 3 D. 5
4.不等式组 中，不等式①和②的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为( )
A. 0.7米 B. 1.5米 C. 2.2米 D. 2.4米
6.一个正多边形的每个内角的度数都等于相邻外角的度数，则该正多边形的边数是（ ）
A. 3 B. 4 C. 6 D. 12
7.“龟兔赛跑”是同学们熟悉的寓言故事.如图所示，表示了寓言中的龟、兔的路程S和时间t的关系（其中直线段表示乌龟，折线段表示兔子）.下列叙述正确的是（ ）
A. 赛跑中，兔子共休息了50分钟 B. 乌龟在这次比赛中的平均速度是0.1米/分钟
C. 兔子比乌龟早到达终点10分钟 D. 乌龟追上兔子用了20分钟
8.在平面直角坐标系 中，函数 的图象与直线 ： 交于点 ，与直线 ： 交于点 ，直线 与 交于点 ，记函数 的图象在点 、 之间的部分与线段 ，线段 围城的区域（不含边界）为 ，当 时，区域 的整点个数为（ ）
A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 没有
二、填空题（共8题；共10分）
9.北京大力拓展绿色生态空间，过去5年，共新增造林绿化面积134万亩．将1 340 000用科学记数法表示为________．
10.林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下图是这种幼树在移植过程中幼树成活率的统计图：
估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为________（结果精确到0.01）．
11.计算： ________．
12.如图，测量小玻璃管口径的量具ABC上，AB的长为10毫米，AC被分为60等份，如果小管口中DE正好对着量具上20份处（DE∥AB），那么小管口径DE的长是________毫米．
13.已知：a2+a=4，则代数式a（2a+1）﹣（a+2）（a﹣2）的值是________．
14.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=10，CD=8，则BE=________．
15.如图，在△ABC中，点E，F分别是AC，BC的中点，若S四边形ABFE=9，则S三角形EFC=________．
16.▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O ， E是边AB上的一个动点（不与A、B重合），连接EO并延长，交CD于点F ， 连接AF ， CE ， 下列四个结论中：
①对于动点E ， 四边形AECF始终是平行四边形；
②若∠ABC＜90°，则至少存在一个点E ， 使得四边形AECF是矩形；
③若AB＞AD ， 则至少存在一个点E ， 使得四边形AECF是菱形；
④若∠BAC＝45°，则至少存在一个点E ， 使得四边形AECF是正方形．
以上所有正确说法的序号是________．
三、解答题（共11题；共92分）
17.计算：（ ）﹣1﹣（π﹣ ）0+|1﹣ |﹣2sin60°．
18.解不等式组 ，并写出它的所有整数解．
19.如图，在 中， ，点 是 边上一点， ．交 于点 ，连结 ，过点 作 于点 ，求证： 为线段 中点．
20.关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根.
（1）求k的取值范围；
（2）当k为正整数时，求此时方程的根.
21.如图，在平面直角坐标系 中，函数 的图象与直线 交于点 ．
（1）求 ， 的值；
（2）连结 ，点 是函数 上一点，且满足 ，直接写出点 的坐标（点 除外）．
22.如图，已知平行四边形ABCD，延长 到E使 ，连接 ， ， ，若 ．
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）连接 ，若 ， ，求 的长．
23.为了解某区初二年级数学学科期末质量监控情况，进行了抽样调查，过程如下，请将有关问题补充完整．收集数据：随机抽取甲乙两所学校的名学生的数学成绩进行分析：
甲 91 89 77 86 71 31 97 93 72 91 81 92 85 85 95 88 88 90 44 91
乙 84 93 66 69 76 87 77 82 85 88 90 88 67 88 91 96 68 97 59 88
（1）整理、描述数据：
按如下数据段整理、描述这两组数据，分析数据：
分段
学校
甲
1
1
0
0
3
7
8
乙
（2）两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
统计量
学校
平均数
中位数
众数
方差
甲
81.85
91
268.43
乙
81.95
86
88
115.25
经统计，表格中 的值是________．
（3）得出结论
①若甲学校有600名初二学生，估计这次考试成绩80分以上人数为________．
②可以推断出________学校学生的数学水平较高，理由为：________．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）
24.如图，以 为直径作 ，过点 作 的切线 ，连结 ，交 于点 ，点 是 边的中点，连结 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．
25.在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于点 ，将点 向左平移4个单位长度，得到点 ，点 在抛物线上．
（1）求点 的坐标（用含a的式子表示）；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）已知点 ， ．若抛物线与线段 恰有一个公共点，结合函数图象，求 的取值范围．
26.如图1，在 中， ， ，过点 的直线 垂直于线段 所在的直线．设点 ， 关于直线 的对称点分别为点 ，
（1）在图1中画出 关于直线 对称的三角形 ．
（2）若 ，求 的度数．（用 表示）
（3）若点 关于直线 的对称点为 ，连接 ， ．请写出 、 之间的数量关系和位置关系，并证明你的结论．
27.已知图形 和图形 上的两点 、 ，如果 上的所有点都在图形 的内部或边上，则称 为图形 的内弧．特别的，在 中， ， 分别是 两边的中点，如果 上的所有点都在 的内部或边上，则称 为 的中内弧．（注： 是指劣弧或半圆）在平面直角坐标系中，已知点 ．设内弧所在圆的圆心为 ．
（1）当 时，连接 、 并延长．
①请在图1中画出一条 的内弧 ________；
②请直接写出 的内弧 长度的最大值________．
（2）连接 、 并延长．
当 时，请直接写出 的所有内弧 ̂所在圆的圆心 的纵坐标的取值范围________；
（3）连接 、 并延长．若直线 上存在 的内弧 ̂所在圆的圆心 ，请求出 的取值范围．
（4）作点 关于点 的对称点 ，作点 关于点 的对称点 ，连接 、 、 ．令 ，当 的中内弧 所在的圆的圆心 在 的外部时， 的所有中内弧 都存在，请直接写出 的取值范围________．
答案解析部分
一、单选题
1.【解析】【解答】解：∵代数式 有意义，
∴x-2≠0,即x≠2,
故答案为：D.
【分析】根据分式有意义的条件列出不等式x-2≠0,求解即可。
2.【解析】【解答】解：当AB为△ABC的底时，过点C向AB所在直线作垂线段即为高,故CQ是△ABC的高,
故答案为：C.
【分析】根据三角形高线的定义即可解题.
3.【解析】【解答】∵点A ， B互为相反数，
∴AB的中点就是这条数轴的原点，
∵数轴上每相邻两点距离表示1个单位，且点C在正半轴距原点3个单位长度，
∴点C表示的数为3.
故答案为：C.
【分析】先根据相反数的定义及数在数轴上的表示求出原点，再计算即可。
4.【解析】【解答】解：解不等式①，得：x＜1，
解不等式②，得：x≥﹣3，
则不等式组的解集为﹣3≤x＜1，
故选：B．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
5.【解析】【解答】在Rt△ACB中，
∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，∴AB2=0.72+2.42=6.25．
在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=2米，BD2+A′D2=A′B′2 ， ∴BD2+22=6.25，∴BD2=2.25，∵BD＞0，∴BD=1.5米，∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米．故答案为：C．
【分析】在Rt△ACB中，根据勾股定理算出AB的长，题中抓住AB=A'B,在Rt△A′BD中，根据勾股定理算出BD，再根据线段的和差即可算出答案。
6.【解析】【解答】由题意得外角+相邻的内角=180°且外角=相邻的内角，∴外角=90°，360÷90=4，正多边形是正方形，故答案为：B.
【分析】根据题意可得，正多边形的每个内角都等于相邻外角的度数=90° ，根据任意多边形的外角和都等于360°，即可求出该正多边形的边数.
7.【解析】【解答】解：由图象可知，在赛跑中，兔子共休息了：50-10＝40（分钟），故A不符合题意；
乌龟跑500米用了50分钟，平均速度为： （米/分钟），故B不符合题意；
兔子是用60分钟到达终点，乌龟是用50分钟到达终点，兔子比乌龟晚到达终点10分钟，故C不符合题意；
在比赛20分钟时，乌龟和兔子都距起点200米，即乌龟追上兔子用了20分钟，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】观察函数图像及已知信息，可知折线兔的路程s与时间t之间的关系，线段是乌龟的路程s与时间t之间的关系，兔子休息的时间就是与x轴平行的线段两端点的横坐标之差，可对A作出判断；由图像可知乌龟跑500米用了50分钟，利用速度=路程÷时间，可对B作出判断；根据兔子到达终点的时间和乌龟到达终点的时间可对C作出判断；观察两图像的交点坐标为（20，200），就可对D作出判断。
8.【解析】【解答】∵ ，过整点（-1，-2），（-2，-1），
当b= 时，如图：区域W内没有整点，
当b= 时，区域W内没有整点，
∴ 时图形W增大过程中，图形内没有整点，
故答案为：D.
【分析】根据函数的表达式画出函数图象，根据图象W得到整点个数进行选择即可。
二、填空题
9.【解析】【解答】解：
.
故答案为： .
点睛：在把一个绝对值较大的数用科学记数法表示为 的形式时，我们要注意两点：① 必须满足： ；② 比原来的数的整数位数少1（也可以通过小数点移位来确定 ）.
【分析】利用科学记数法的定义及书写要求求解即可。
10.【解析】【解答】解： 故答案为：0.88
【分析】求出表中所有概率的平均数即为该种幼树在此条件下移植成活的概率。
11.【解析】【解答】解：原式 ，
故答案为： ．
【分析】根据乘方的定义及乘法的定义求解即可。
12.【解析】【解答】解：∵DE∥AB ，
∴△CDE∽△CAB ，
∴CD：CA=DE：AB ，
∴20：60=DE：10，
∴DE= （毫米），
∴小管口径DE的长是 毫米.
【分析】根据DE//AB，得到△CDE∽△CAB ， 再利用相似三角形的性质列出比例式求解即可。
13.【解析】【解答】解：原式=2a2+a﹣（a2﹣4）
=2a2+a﹣a2+4
=a2+a+4，
当a2+a=4时，原式=4+4=8．
故答案为8．
【分析】利用整式的混合运算化简，再将a2+a=4整体代入计算即可。
14.【解析】【解答】解：连接OC
∵弦CD⊥AB ， CD=8，
∴CE= CD=4，
在Rt△OCE中，
∵OC=5，CE=4，
由勾股定理得，
∴OE= ，
∴BE=OB−OE=5−3=2．
故答案为：2．
【分析】连接OC，利用垂径定哦求出CE，再利用勾股定理求解出OE的长，最后利用OB-OE即可。
15.【解析】【解答】解：∵点E，F分别是AC，BC的中点，
∴AB=2EF，EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴ = ，
∴S四边形ABFE=9=3S△CEF ，
∴S△CEF=3，
故答案为：3
【分析】先利用相似三角形的判定定理得到△CEF∽△CAB，再通过三角形的面积比等于对应边长比的平方，再通过S四边形ABFE=3S△CEF求出面积。
16.【解析】【解答】解：（1）如图1，
∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O ，
∴AB∥DC ， AB＝DC ， OA＝OC ， OB＝OD ，
∴∠OAE＝∠OCF ，
∵∠AOE＝∠COF ，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE＝CF ，
又∵AE∥CF ，
∴四边形AECF为平行四边形，
即E在AB上任意位置（不与A、B重合）时，四边形AECF恒为平行四边形，
①符合题意；
（2）如图2，当∠ABC＜90°,
当CE⊥AB时，四边形AECF为矩形，
在图2中，AB>AD时，存在一点E, 使得四边形AECF是矩形；
而图2-2中，AB
②不符合题意．
（3）如图3，
当EF⊥AC时，四边形AECF为菱形，
∵AB＞AD ，
∴在AB上一定存在一点E, 使得四边形AECF是矩形；
③符合题意．
（4）如图4，
当CE⊥AB且∠BAC＝45°时，四边形AECF为正方形，④符合题意．
故答案为：①③④．
【分析】由于EF经过平行四边形ABCD的中心O，故四边形AECF一定也是平行四边形，这可以通过证明BE与CF相等来说明，然后只要让平行四边形AECF再满足适当的特殊条件可以变成对应的特殊的平行四边形。
三、解答题
17.【解析】【分析】先利用0指数幂、负指数幂的性质及特殊角的三角函数化简，再计算即可。
18.【解析】【分析】利用不等式组的解法求出解集，再取特殊解即可。
19.【解析】【分析】根据等腰三角形的性质和平行线的性质以及线段中点的判定解答即可。
20.【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式与根的关系列出不等式即可求出k的取值范围；（2）根据（1）中的k的取值范围和k为正整数得出k的值，再解方程即可，
21.【解析】【分析】（1）将点A（2，a）代入y=x+1，求出a的值，得到A点坐标，再把A点坐标代入反比例函数，求出k的值；
（2） 设点P(x， ), 根据OP=OA列出方程 ， 解方程即可。
22.【解析】【分析】（1）证明四边形BECD是平行四边形，根据题意得到BC=DE，根据矩形的判定定理证明即可；
（2）根据矩形的性质得到∠ABD=90°，根据勾股定理求出BD，再根据勾股定理计算即可。
23.【解析】【解答】解：分析数据
（2）经统计表格，得到总人数=1+1+0+0+3+7+8=20(人)，
中间两个数据都是88，
∴ 的值是88．
故答案为：88；
（3）①甲学校600名初二学生在这次考试成绩80分以上人数为 （人）
故答案为：450．
②答案不唯一，理由须支撑推断结论．
答案为：甲，甲的中位数及众数均高于乙校，说明甲校学生的数学水平较高.
【分析】（1）根据数据填表即可；
（2）利用众数、平均数、中位数及方差的定义及计算公式求解即可；
（3）根据表格的数据分析求解即可。
24.【解析】【分析】（1）根据切线的性质证明即可；
（2）连接AD，根据三角函数解答即可。
25.【解析】【分析】（1）根据 抛物线 与 轴交于点 ， 将点 向左平移4个单位长度，得到点 ， 可以先求出点A的坐标，再根据平移的性质得到点B的坐标；
（2）根据题目中的点A的坐标和（1）中求得的点B的坐标关于对称轴对称，可以求得该抛物线的对称轴；
（3）根据题意，可以画出相应的函数图象，然后利用分类讨论的方法得到a的取值范围即可。
26.【解析】【分析】（1）根据要求画出即可；
（2）证明∠AP'B=∠APP'。利用三角形的外角解决问题即可；
（3）结论：PA=PM，PA与PM所成锐角为60°，证明△PAM是等边三角形即可解决问题。
27.【解析】【解答】解：（1）②以线段AB为直径的半圆即是 的内弧 长度的最大值，
∵A(4，0)，B(0，4)，
∴OA=OB=4，
∴AB= ，
∴ 的内弧 长度的最大值= = ，
故答案为： ；
（2）∵A(4，0)，B(0， )，
∴OA=4，OB= ,
∴AB= ，
如图，当 在线段AB上方时，此时以AB为直径的半圆的弧线最长，过圆心P作PH⊥x轴于H，则PH= ，
∴ ，
如图，当 在线段AB下方时，过A、B两点的圆P与x轴相切，过点A作x轴的垂线，与线段AB的垂直平分线交于点P，交AB于点H，此时 最长，连接BP，
∵OA=4，OB= ,
∴tan∠OAB= ，
∴∠OAB=30°，
∴∠BAP=60°，
∵PH垂直平分AB，
∴AP=BP，
∴△ABP是等边三角形，
∴AP=AB= ，
∴ ，
综上， 或 ；
（4）作AO的垂直平分线，交x轴于点D，交CD于点P，交AB于点E，
当 在线段AO的下方时，当AO是直径时， 最大，此时DP=OD=AD=2
∵PE⊥AO
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴当 的中内弧 所在的圆的圆心 在 的外部时， 的所有中内弧 都存在，n的取值范围是 .
【分析】（1） ①根据内弧的定义画出图形即可；②线段AB为直径的半圆即是 的内弧 长度的最大值，再利用弧长公公式计算即可；
（2）求出两种yp的值即可判断；
（3） 如图，取直线x=6上一点P，连接BP，过点P作PC⊥AB于C，直线x=6交x轴于点D， 先证明 △AOB∽△BCP， 再利用相似的性质求解即可；
（4）先利用相切求出n的值，再根据当 的中内弧 所在的圆的圆心 在 的外部时， 的所有中内弧 都存在，n的取值范围是 。
中考数学模拟试卷
一、单选题（共8题；共16分）
1.若代数式 有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A. x＝0 B. x＝2 C. x≠0 D. x≠2
2.如图，在△ABC中，过点B作PB⊥BC于B，交AC于P，过点C作CQ⊥AB，交AB延长线于Q，则△ABC的高是（ ）
A. 线段PB B. 线段BC C. 线段CQ D. 线段AQ
3.如图，数轴上每相邻两点距离表示1个单位，点A ， B互为相反数，则点C表示的数可能是（ ）
A. 0 B. 1 C. 3 D. 5
4.不等式组 中，不等式①和②的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为( )
A. 0.7米 B. 1.5米 C. 2.2米 D. 2.4米
6.一个正多边形的每个内角的度数都等于相邻外角的度数，则该正多边形的边数是（ ）
A. 3 B. 4 C. 6 D. 12
7.“龟兔赛跑”是同学们熟悉的寓言故事.如图所示，表示了寓言中的龟、兔的路程S和时间t的关系（其中直线段表示乌龟，折线段表示兔子）.下列叙述正确的是（ ）
A. 赛跑中，兔子共休息了50分钟 B. 乌龟在这次比赛中的平均速度是0.1米/分钟
C. 兔子比乌龟早到达终点10分钟 D. 乌龟追上兔子用了20分钟
8.在平面直角坐标系 中，函数 的图象与直线 ： 交于点 ，与直线 ： 交于点 ，直线 与 交于点 ，记函数 的图象在点 、 之间的部分与线段 ，线段 围城的区域（不含边界）为 ，当 时，区域 的整点个数为（ ）
A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 没有
二、填空题（共8题；共10分）
9.北京大力拓展绿色生态空间，过去5年，共新增造林绿化面积134万亩．将1 340 000用科学记数法表示为________．
10.林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下图是这种幼树在移植过程中幼树成活率的统计图：
估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为________（结果精确到0.01）．
11.计算： ________．
12.如图，测量小玻璃管口径的量具ABC上，AB的长为10毫米，AC被分为60等份，如果小管口中DE正好对着量具上20份处（DE∥AB），那么小管口径DE的长是________毫米．
13.已知：a2+a=4，则代数式a（2a+1）﹣（a+2）（a﹣2）的值是________．
14.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=10，CD=8，则BE=________．
15.如图，在△ABC中，点E，F分别是AC，BC的中点，若S四边形ABFE=9，则S三角形EFC=________．
16.▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O ， E是边AB上的一个动点（不与A、B重合），连接EO并延长，交CD于点F ， 连接AF ， CE ， 下列四个结论中：
①对于动点E ， 四边形AECF始终是平行四边形；
②若∠ABC＜90°，则至少存在一个点E ， 使得四边形AECF是矩形；
③若AB＞AD ， 则至少存在一个点E ， 使得四边形AECF是菱形；
④若∠BAC＝45°，则至少存在一个点E ， 使得四边形AECF是正方形．
以上所有正确说法的序号是________．
三、解答题（共11题；共92分）
17.计算：（ ）﹣1﹣（π﹣ ）0+|1﹣ |﹣2sin60°．
18.解不等式组 ，并写出它的所有整数解．
19.如图，在 中， ，点 是 边上一点， ．交 于点 ，连结 ，过点 作 于点 ，求证： 为线段 中点．
20.关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根.
（1）求k的取值范围；
（2）当k为正整数时，求此时方程的根.
21.如图，在平面直角坐标系 中，函数 的图象与直线 交于点 ．
（1）求 ， 的值；
（2）连结 ，点 是函数 上一点，且满足 ，直接写出点 的坐标（点 除外）．
22.如图，已知平行四边形ABCD，延长 到E使 ，连接 ， ， ，若 ．
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）连接 ，若 ， ，求 的长．
23.为了解某区初二年级数学学科期末质量监控情况，进行了抽样调查，过程如下，请将有关问题补充完整．收集数据：随机抽取甲乙两所学校的名学生的数学成绩进行分析：
甲 91 89 77 86 71 31 97 93 72 91 81 92 85 85 95 88 88 90 44 91
乙 84 93 66 69 76 87 77 82 85 88 90 88 67 88 91 96 68 97 59 88
（1）整理、描述数据：
按如下数据段整理、描述这两组数据，分析数据：
分段
学校
甲
1
1
0
0
3
7
8
乙
（2）两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
统计量
学校
平均数
中位数
众数
方差
甲
81.85
91
268.43
乙
81.95
86
88
115.25
经统计，表格中 的值是________．
（3）得出结论
①若甲学校有600名初二学生，估计这次考试成绩80分以上人数为________．
②可以推断出________学校学生的数学水平较高，理由为：________．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）
24.如图，以 为直径作 ，过点 作 的切线 ，连结 ，交 于点 ，点 是 边的中点，连结 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．
25.在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于点 ，将点 向左平移4个单位长度，得到点 ，点 在抛物线上．
（1）求点 的坐标（用含a的式子表示）；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）已知点 ， ．若抛物线与线段 恰有一个公共点，结合函数图象，求 的取值范围．
26.如图1，在 中， ， ，过点 的直线 垂直于线段 所在的直线．设点 ， 关于直线 的对称点分别为点 ，
（1）在图1中画出 关于直线 对称的三角形 ．
（2）若 ，求 的度数．（用 表示）
（3）若点 关于直线 的对称点为 ，连接 ， ．请写出 、 之间的数量关系和位置关系，并证明你的结论．
27.已知图形 和图形 上的两点 、 ，如果 上的所有点都在图形 的内部或边上，则称 为图形 的内弧．特别的，在 中， ， 分别是 两边的中点，如果 上的所有点都在 的内部或边上，则称 为 的中内弧．（注： 是指劣弧或半圆）在平面直角坐标系中，已知点 ．设内弧所在圆的圆心为 ．
（1）当 时，连接 、 并延长．
①请在图1中画出一条 的内弧 ________；
②请直接写出 的内弧 长度的最大值________．
（2）连接 、 并延长．
当 时，请直接写出 的所有内弧 ̂所在圆的圆心 的纵坐标的取值范围________；
（3）连接 、 并延长．若直线 上存在 的内弧 ̂所在圆的圆心 ，请求出 的取值范围．
（4）作点 关于点 的对称点 ，作点 关于点 的对称点 ，连接 、 、 ．令 ，当 的中内弧 所在的圆的圆心 在 的外部时， 的所有中内弧 都存在，请直接写出 的取值范围________．
答案解析部分
一、单选题
1.【解析】【解答】解：∵代数式 有意义，
∴x-2≠0,即x≠2,
故答案为：D.
【分析】根据分式有意义的条件列出不等式x-2≠0,求解即可。
2.【解析】【解答】解：当AB为△ABC的底时，过点C向AB所在直线作垂线段即为高,故CQ是△ABC的高,
故答案为：C.
【分析】根据三角形高线的定义即可解题.
3.【解析】【解答】∵点A ， B互为相反数，
∴AB的中点就是这条数轴的原点，
∵数轴上每相邻两点距离表示1个单位，且点C在正半轴距原点3个单位长度，
∴点C表示的数为3.
故答案为：C.
【分析】先根据相反数的定义及数在数轴上的表示求出原点，再计算即可。
4.【解析】【解答】解：解不等式①，得：x＜1，
解不等式②，得：x≥﹣3，
则不等式组的解集为﹣3≤x＜1，
故选：B．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
5.【解析】【解答】在Rt△ACB中，
∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，∴AB2=0.72+2.42=6.25．
在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=2米，BD2+A′D2=A′B′2 ， ∴BD2+22=6.25，∴BD2=2.25，∵BD＞0，∴BD=1.5米，∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米．故答案为：C．
【分析】在Rt△ACB中，根据勾股定理算出AB的长，题中抓住AB=A'B,在Rt△A′BD中，根据勾股定理算出BD，再根据线段的和差即可算出答案。
6.【解析】【解答】由题意得外角+相邻的内角=180°且外角=相邻的内角，∴外角=90°，360÷90=4，正多边形是正方形，故答案为：B.
【分析】根据题意可得，正多边形的每个内角都等于相邻外角的度数=90° ，根据任意多边形的外角和都等于360°，即可求出该正多边形的边数.
7.【解析】【解答】解：由图象可知，在赛跑中，兔子共休息了：50-10＝40（分钟），故A不符合题意；
乌龟跑500米用了50分钟，平均速度为： （米/分钟），故B不符合题意；
兔子是用60分钟到达终点，乌龟是用50分钟到达终点，兔子比乌龟晚到达终点10分钟，故C不符合题意；
在比赛20分钟时，乌龟和兔子都距起点200米，即乌龟追上兔子用了20分钟，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】观察函数图像及已知信息，可知折线兔的路程s与时间t之间的关系，线段是乌龟的路程s与时间t之间的关系，兔子休息的时间就是与x轴平行的线段两端点的横坐标之差，可对A作出判断；由图像可知乌龟跑500米用了50分钟，利用速度=路程÷时间，可对B作出判断；根据兔子到达终点的时间和乌龟到达终点的时间可对C作出判断；观察两图像的交点坐标为（20，200），就可对D作出判断。
8.【解析】【解答】∵ ，过整点（-1，-2），（-2，-1），
当b= 时，如图：区域W内没有整点，
当b= 时，区域W内没有整点，
∴ 时图形W增大过程中，图形内没有整点，
故答案为：D.
【分析】根据函数的表达式画出函数图象，根据图象W得到整点个数进行选择即可。
二、填空题
9.【解析】【解答】解：
.
故答案为： .
点睛：在把一个绝对值较大的数用科学记数法表示为 的形式时，我们要注意两点：① 必须满足： ；② 比原来的数的整数位数少1（也可以通过小数点移位来确定 ）.
【分析】利用科学记数法的定义及书写要求求解即可。
10.【解析】【解答】解： 故答案为：0.88
【分析】求出表中所有概率的平均数即为该种幼树在此条件下移植成活的概率。
11.【解析】【解答】解：原式 ，
故答案为： ．
【分析】根据乘方的定义及乘法的定义求解即可。
12.【解析】【解答】解：∵DE∥AB ，
∴△CDE∽△CAB ，
∴CD：CA=DE：AB ，
∴20：60=DE：10，
∴DE= （毫米），
∴小管口径DE的长是 毫米.
【分析】根据DE//AB，得到△CDE∽△CAB ， 再利用相似三角形的性质列出比例式求解即可。
13.【解析】【解答】解：原式=2a2+a﹣（a2﹣4）
=2a2+a﹣a2+4
=a2+a+4，
当a2+a=4时，原式=4+4=8．
故答案为8．
【分析】利用整式的混合运算化简，再将a2+a=4整体代入计算即可。
14.【解析】【解答】解：连接OC
∵弦CD⊥AB ， CD=8，
∴CE= CD=4，
在Rt△OCE中，
∵OC=5，CE=4，
由勾股定理得，
∴OE= ，
∴BE=OB−OE=5−3=2．
故答案为：2．
【分析】连接OC，利用垂径定哦求出CE，再利用勾股定理求解出OE的长，最后利用OB-OE即可。
15.【解析】【解答】解：∵点E，F分别是AC，BC的中点，
∴AB=2EF，EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴ = ，
∴S四边形ABFE=9=3S△CEF ，
∴S△CEF=3，
故答案为：3
【分析】先利用相似三角形的判定定理得到△CEF∽△CAB，再通过三角形的面积比等于对应边长比的平方，再通过S四边形ABFE=3S△CEF求出面积。
16.【解析】【解答】解：（1）如图1，
∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O ，
∴AB∥DC ， AB＝DC ， OA＝OC ， OB＝OD ，
∴∠OAE＝∠OCF ，
∵∠AOE＝∠COF ，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE＝CF ，
又∵AE∥CF ，
∴四边形AECF为平行四边形，
即E在AB上任意位置（不与A、B重合）时，四边形AECF恒为平行四边形，
①符合题意；
（2）如图2，当∠ABC＜90°,
当CE⊥AB时，四边形AECF为矩形，
在图2中，AB>AD时，存在一点E, 使得四边形AECF是矩形；
而图2-2中，AB
②不符合题意．
（3）如图3，
当EF⊥AC时，四边形AECF为菱形，
∵AB＞AD ，
∴在AB上一定存在一点E, 使得四边形AECF是矩形；
③符合题意．
（4）如图4，
当CE⊥AB且∠BAC＝45°时，四边形AECF为正方形，④符合题意．
故答案为：①③④．
【分析】由于EF经过平行四边形ABCD的中心O，故四边形AECF一定也是平行四边形，这可以通过证明BE与CF相等来说明，然后只要让平行四边形AECF再满足适当的特殊条件可以变成对应的特殊的平行四边形。
三、解答题
17.【解析】【分析】先利用0指数幂、负指数幂的性质及特殊角的三角函数化简，再计算即可。
18.【解析】【分析】利用不等式组的解法求出解集，再取特殊解即可。
19.【解析】【分析】根据等腰三角形的性质和平行线的性质以及线段中点的判定解答即可。
20.【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式与根的关系列出不等式即可求出k的取值范围；（2）根据（1）中的k的取值范围和k为正整数得出k的值，再解方程即可，
21.【解析】【分析】（1）将点A（2，a）代入y=x+1，求出a的值，得到A点坐标，再把A点坐标代入反比例函数，求出k的值；
（2） 设点P(x， ), 根据OP=OA列出方程 ， 解方程即可。
22.【解析】【分析】（1）证明四边形BECD是平行四边形，根据题意得到BC=DE，根据矩形的判定定理证明即可；
（2）根据矩形的性质得到∠ABD=90°，根据勾股定理求出BD，再根据勾股定理计算即可。
23.【解析】【解答】解：分析数据
（2）经统计表格，得到总人数=1+1+0+0+3+7+8=20(人)，
中间两个数据都是88，
∴ 的值是88．
故答案为：88；
（3）①甲学校600名初二学生在这次考试成绩80分以上人数为 （人）
故答案为：450．
②答案不唯一，理由须支撑推断结论．
答案为：甲，甲的中位数及众数均高于乙校，说明甲校学生的数学水平较高.
【分析】（1）根据数据填表即可；
（2）利用众数、平均数、中位数及方差的定义及计算公式求解即可；
（3）根据表格的数据分析求解即可。
24.【解析】【分析】（1）根据切线的性质证明即可；
（2）连接AD，根据三角函数解答即可。
25.【解析】【分析】（1）根据 抛物线 与 轴交于点 ， 将点 向左平移4个单位长度，得到点 ， 可以先求出点A的坐标，再根据平移的性质得到点B的坐标；
（2）根据题目中的点A的坐标和（1）中求得的点B的坐标关于对称轴对称，可以求得该抛物线的对称轴；
（3）根据题意，可以画出相应的函数图象，然后利用分类讨论的方法得到a的取值范围即可。
26.【解析】【分析】（1）根据要求画出即可；
（2）证明∠AP'B=∠APP'。利用三角形的外角解决问题即可；
（3）结论：PA=PM，PA与PM所成锐角为60°，证明△PAM是等边三角形即可解决问题。
27.【解析】【解答】解：（1）②以线段AB为直径的半圆即是 的内弧 长度的最大值，
∵A(4，0)，B(0，4)，
∴OA=OB=4，
∴AB= ，
∴ 的内弧 长度的最大值= = ，
故答案为： ；
（2）∵A(4，0)，B(0， )，
∴OA=4，OB= ,
∴AB= ，
如图，当 在线段AB上方时，此时以AB为直径的半圆的弧线最长，过圆心P作PH⊥x轴于H，则PH= ，
∴ ，
如图，当 在线段AB下方时，过A、B两点的圆P与x轴相切，过点A作x轴的垂线，与线段AB的垂直平分线交于点P，交AB于点H，此时 最长，连接BP，
∵OA=4，OB= ,
∴tan∠OAB= ，
∴∠OAB=30°，
∴∠BAP=60°，
∵PH垂直平分AB，
∴AP=BP，
∴△ABP是等边三角形，
∴AP=AB= ，
∴ ，
综上， 或 ；
（4）作AO的垂直平分线，交x轴于点D，交CD于点P，交AB于点E，
当 在线段AO的下方时，当AO是直径时， 最大，此时DP=OD=AD=2
∵PE⊥AO
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴当 的中内弧 所在的圆的圆心 在 的外部时， 的所有中内弧 都存在，n的取值范围是 .
【分析】（1） ①根据内弧的定义画出图形即可；②线段AB为直径的半圆即是 的内弧 长度的最大值，再利用弧长公公式计算即可；
（2）求出两种yp的值即可判断；
（3） 如图，取直线x=6上一点P，连接BP，过点P作PC⊥AB于C，直线x=6交x轴于点D， 先证明 △AOB∽△BCP， 再利用相似的性质求解即可；
（4）先利用相切求出n的值，再根据当 的中内弧 所在的圆的圆心 在 的外部时， 的所有中内弧 都存在，n的取值范围是 。
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