北京市东城区2021年中考数学一模试卷附答案

这是一份北京市东城区2021年中考数学一模试卷附答案，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


中考数学一模试卷
一、单选题（共8题；共16分）
1.2019年上半年北京市实现地区生产总值15212.5亿元，同比增长6.3%．总体来看，经济保持平稳运行，高质量发展．将数据15212.5用科学记数法表示应为（   ）
A. 1.52125×105                 B. 1.52125×104                 C. 0.152125×105                 D. 0.152125×106
2.如图是某几何体的三视图，则该几何体是（   ）
 
A. 长方体                                    B. 正方体                                    C. 圆柱                                    D. 球
3.如图，将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若∠1＝48°，那么∠2的度数是（   ）

A. 48°                                      B. 78°                                      C. 92°                                      D. 102°
4.把 分解因式，结果正确的是(   )
A.                          B.                          C.                          D. 
5.点 在数轴上的位置如图所示， 为原点， ， ．若点 所表示的数为 ，则点 所表示的数为（   ）

A.                                B.                                C.                                D. 
6.已知锐角∠AOB ， 如图，（1）在射线OA上取一点C ， 以点O为圆心，OC长为半径作 ，交射线OB于点D ， 连接CD；（2）分别以点C ， D为圆心，CD长为半径作弧，两弧交于点P ， 连接CP ， DP；（3）作射线OP交CD于点Q ． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（   ）

A. CP∥OB                         B. CP＝2QC                         C. ∠AOP＝∠BOP                         D. CD⊥OP
7.将4张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积之和为S1 ， 阴影部分的面积之和为S2 ． 若S1＝ S2 ， 则a ， b满足（   ）

A. 2a＝5b                                B. 2a＝3b                                C. a＝3b                                D. a＝2b
8.党的十八大以来，全国各地认真贯彻精准扶贫方略，扶贫工作力度、深度和精准度都达到了新的水平，为2020年全面建成小康社会的战略目标打下了坚实基础．以下是根据近几年中国农村贫困人口数量（单位：万人）及分布情况绘制的统计图表的一部分．
年份
人数
地区
2017
2018
2019
东部
300
147
47
中部
1112

181
西部
1634
916
323

（以上数据来源于国家统计局）
根据统计图表提供的信息，下面推断错误的是（   ）
A. 2018年中部地区农村贫困人口为597万人
B. 2017﹣2019年，农村贫困人口数量都是东部最少
C. 2016﹣2019年，农村贫困人口减少数量逐年增多
D. 2017﹣2019年，虽然西部农村贫困人口减少数量最多，但是相对于东、中部地区，它的降低率最低
二、填空题（共8题；共9分）
9.若 在实数范围内有意义，则x的取值范围是________．
10.随机从1，2，3，4中任取两个不同的数，分别记为a和b ， 则a+b＞4的概率是________．
11.若x2+x﹣3＝0，则代数式2（x﹣2）（x+2）﹣x（x﹣1）的值是________．
12.如果一个正n边形的每个内角为108°，那么这个正n边形的边数为________．
13.《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为x斗，行酒为y斗，则可列二元一次方程组为________．
14.如图，半径为 的⊙ 与边长为 的等边三角形 的两边 、 都相切，连接 ，则 ________.

15.甲、乙两队参加了“端午情，龙舟韵”赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程s（米）与时间t（秒）之间的函数图象如图所示，根据图象有以下四个判断：
①乙队率先到达终点；
②甲队比乙队多走了126米；
③在47.8秒时，两队所走路程相等；
④从出发到13.7秒的时间段内，甲队的速度比乙队的慢．
所有正确判断的序号是________．

16.从﹣1，0，2，3四个数中任取两个不同的数（记作ak ， bk）构成一个数对Mk＝{ak ， bk）（其中k＝1，2，…，s ， 且将{ak ， bk}与{bk ， ak}视为同一个数对），若满足：对于任意的Mi＝{ai ， bi}和Mj＝{aj ， bj）（i≠j ， 1≤i≤s ， 1≤j≤s）都有ai+bi≠aj+bj ， 则s的最大值是________．
三、解答题（共12题；共102分）
17.计算：|﹣ |﹣（3﹣π）0+2cos60°+（ ）﹣1 ．
18.解不等式组： ．
19.观察下列分式方程的求解过程，指出其中错误的步骤，说明错误的原因，并直接给出正确结果．
解分式方程：1﹣ ＝ ．
解：去分母，得2x+2﹣（x﹣3）＝3x ， …步骤1
去括号，得2x+2﹣x﹣3＝3x ， …步骤2
移项，得2x﹣x﹣3x＝2﹣3，…步骤3
合并同类项，得﹣2x＝﹣1，…步骤4
解得x＝ ．…步骤5
所以，原分式方程的解为x＝ ．…步骤6
20.已知关于x的方程ax2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）若此方程的一个实数根为1，求a的值及方程的另一个实数根．
21.如图，在菱形ABCD中，BE⊥CD于点E ， DF⊥BC于点F ．

（1）求证：BF＝DE；
（2）分别延长BE和AD ， 交于点G ， 若∠A＝45°，求 的值．
22.如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝ （m≠0，x＞0）的图象在第一象限内交于点A ， B ， 且该一次函数的图象与y轴正半轴交于点C ， 过A ， B分别作y轴的垂线，垂足分别为D ， E ． 已知A（1，4）， ＝ ．

（1）求m的值和一次函数的解析式；
（2）若点M为反比例函数图象在A ， B之间的动点，作射线OM交直线AB于点N ， 当MN长度最大时，直接写出点M的坐标．
23.如图，直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A ， 与⊙O相交于点P ， OA＝5．C是直线l上一点，连接CP并延长，交⊙O于点B ， 且AB＝AC ．

（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若tan∠ACB＝ ，求线段BP的长．
24.人口数据又称为人口统计数据，是指国家和地区的相关人口管理部门通过户口登记、人口普查等方式统计得出的相关数据汇总．人口数据对国家和地区的人口状况、管理以及各项方针政策的制定都具有重要的意义．下面是关于人口数据的部分信息．
a.2018年中国大陆（不含港澳台）31个地区人口数量（单位：千万人）的频数分布直方图（数据分成6组：0≤x＜2，2≤x＜4，4≤x＜6，6≤x＜8，8≤x＜10，10≤x≤12）：

b ． 人口数量在2≤x＜4这一组的是：
2.2 2.4 2.5 2.5 2.6 2.7 3.1 3.6 3.7 3.8 3.9 3.9
c.2018年中国大陆（不含港澳台）31个地区人口数量（单位：千万人）、出生率（单位：‰）、死亡率（单位：‰）的散点图：

d ． 如表是我国三次人口普查中年龄结构构成情况：

0～14岁人口比例
15～59岁人口比例
60岁以上人口比例
第二次人口普查
40.4%
54.1%
5.5%
第五次人口普查
22.89%
66.78%
10.33%
第六次人口普查
16.6%
70.14%
13.26%
e ． 世界各国的人口出生率差别很大，出生率可分为五等，最高＞50‰，最低＜20‰，2018年我国人口出生率降低至10.94‰，比2017年下降1.43个千分点．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）2018年北京人口为2.2千万人，我国大陆（不含港澳台）地区中，人口数量从低到高排列，北京排在第________位．
（2）人口增长率＝人口出生率﹣人口死亡率，我国大陆（不含港澳台）地区中人口在2018年出现负增长的地区有________个，在这些地区中，人口数量最少的地区人数为________千万人（保留小数点后一位）．
（3）下列说法中合理的是________．
①我国人口基数较大，即使是人口出生率和增长率都缓慢增长的前提下，人口总数仍然是在不断攀升的，所以我国计划生育的基本国策是不变的；
②随着我国老龄化越来越严重，所以出台了“二孩政策”，目的是为了缓解老龄化的压力．
25.如图，P是线段AB上的一点，AB＝6cm ， O是AB外一定点．连接OP ， 将OP绕点O顺时针旋转120°得OQ ， 连接PQ ， AQ ． 小明根据学习函数的经验，对线段AP ， PQ ， AQ的长度之间的关系进行了探究．

下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）对于点P在AB上的不同位置，画图、测量，得到了线段AP ， PQ ， AQ的长度（单位：cm）的几组值，如表：
 
位置1
位置2
位置3
位置4
位置5
位置6
位置7
AP
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
PQ
4.00
2.31
0.84
1.43
3.07
4.77
6.49
AQ
4.00
3.08
2.23
1.57
1.40
1.85
2.63
在AP ， PQ ， AQ的长度这三个量中，确定________的长度是自变量，________的长度和________的长度都是这个自变量的函数；
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当AQ＝PQ时，线段AP的长度约为________cm ．
26.在平面直角坐标系xOy中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．直线y＝ax与抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1（a≠0）围成的封闭区域（不包含边界）为W ．
（1）求抛物线顶点坐标（用含a的式子表示）；
（2）当a＝ 时，写出区域W内的所有整点坐标；
（3）若区域W内有3个整点，求a的取值范围．
27.如图，在正方形ABCD中，AB＝3，M是CD边上一动点（不与D点重合），点D与点E关于AM所在的直线对称，连接AE ， ME ， 延长CB到点F ， 使得BF＝DM ， 连接EF ， AF ．

（1）依题意补全图1；
（2）若DM＝1，求线段EF的长；
（3）当点M在CD边上运动时，能使△AEF为等腰三角形，直接写出此时tan∠DAM的值．
28.在△ABC中，CD是△ABC的中线，如果 上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称 为△ABC的中线弧．

（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，D是AB的中点．
①如图1，若∠A＝45°，画出△ABC的一条中线弧 ，直接写出△ABC的中线弧 所在圆的半径r的最小值；
②如图2，若∠A＝60°，求出△ABC的最长的中线弧 的弧长l ．
（2）在平面直角坐标系中，已知点A（2，2），B（4，0），C（0，0），在△ABC中，D是AB的中点．求△ABC的中线弧 所在圆的圆心P的纵坐标t的取值范围．

答案解析部分
一、单选题
1.【解析】【解答】15212.5用科学记数法表示应为1.52125×104 ，
故答案为：B ．

【分析】利用科学记数法的定义及书写要求求解即可。
2.【解析】【解答】解：依题可得，
左视图和正视图都是长方体，俯视图是圆，从而可得该几何体为圆柱.
故答案为：C.
【分析】正视图：从物体正面观察所得到的图形；左视图：从物体侧面观察所得到的图形；俯视图：从物体上面观察所得到的图形；依此分析即可得出答案.
3.【解析】【解答】解：如图：

∵将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，∠1＝48°，
∴∠2＝∠3＝180°﹣48°﹣30°＝102°
故答案为：D.
【分析】根据平角的定义，由∠3=180°-30°-∠1算出∠3的度数，再根据二直线平行，同位角相等得出由∠2=∠3算出答案.
4.【解析】【解答】
=
= ，
故答案为：C．

【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解即可.
5.【解析】【解答】 为原点， ， ，点 所表示的数为 ，
点 表示的数为 ，
点 表示的数为： ，
故答案为： ．

【分析】根据实数在数轴上的表示结合题意可得出答案
6.【解析】【解答】由作图可知：射线OP即为∠AOB的角平分线，
∴∠AOP＝∠BOP ，
故C不符合题意；
由作图（1）（2）可知：OC＝OD ， CP＝DP ，
∴OP是CD的垂直平分线，
∴CD⊥OP ，
故D不符合题意；
由作图（2）可知：CD＝CP＝PD ，
∴△CDP是等边三角形，
∵CD⊥OP ，
∴CP＝2CQ ，
故B不符合题意；
∵∠AOP＝∠BOP ，
当OC＝CP时，∠AOP＝∠CPO ，
∴∠CPO＝∠BOP ，
∴CP∥OB ，
故A符合题意；
故答案为：A ．

【分析】由作图可知CO=OD，CD=CP=DP，根据等边三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质及判定、角平分线的基本作图，逐一判断即可。
7.【解析】【解答】由题意得：
S2＝ ab×4＝2ab ，
S1＝（a+b）2﹣2ab＝a2+b2 ，
∵S1＝ S2 ，
∴3S1＝5S2
∴3a2+3b2＝5×2ab ，
∴3a2﹣10ab+3b2＝0，
∴（3a﹣b）（a﹣3b）＝0，
∴3a＝b（舍），或a＝3b ．
故答案为：C ．
【分析】先用含a、b的代数式分别表示出S1、S2 ， 再根据S1＝ S2 ， 得到关于a、b的等式整理求解即可。
8.【解析】【解答】A、2018年中部地区农村贫困人口为：1660﹣147﹣916＝597（万人）．故A的说法不符合题意；
B、由统计表可知B选项说法不符合题意；
C、∵4335﹣3046＝1289，3046﹣1660＝1386，1660﹣551＝1109，
∴1109＜1289＜1386，故C符合题意，
D、∵ ≈0.843， ≈0.837， ≈0.802，
∴0.802＜0.837＜0.843，
∴D说法不符合题意．
∴只有C推断符合题意．
故答案为：C ．

【分析】根据题干中的图表分析求解即可。
二、填空题
9.【解析】【解答】由题意得，2x﹣1≥0，
解得x≥ ．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
10.【解析】【解答】画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，任取两个不同的数，a+b＞4的有8种结果，
∴a+b＞4的概率是 ＝ ，
故答案为： ．

【分析】利用列表法或树状图法求出所有情况，再利用概率公式求解即可。
11.【解析】【解答】2（x﹣2）（x+2）﹣x（x﹣1）
＝2（x2﹣4）﹣x2+x
＝2x2﹣8﹣x2+x
＝x2+x﹣8，
∵x2+x﹣3＝0，
∴x2+x＝3，
则原式＝3﹣8＝﹣5，
故答案为：﹣5．

【分析】先根据整式的混合运算法则化简原式，再将式子代入计算即可。
12.【解析】【解答】由题意得， ＝108°，
解得，n＝5，
故答案为：5．

【分析】利用正多边形的内角和求解即可。
13.【解析】【解答】设买美酒x斗，买普通酒y斗，
依题意得： ，
故答案是： ．
【分析】设买美酒x斗，买普通酒y斗，根据“美酒一斗的价格是50钱、买两种酒2斗共付30钱”列出方程组．
14.【解析】【解答】解：连接OB，设圆O与△ABC的BC边相切，切点为D，连接OD，

⊙ 与等边三角形 的两边 、 都相切，
∴∠ODB=∠ODC=90°
，
，
，
，
.
故答案为 .
【分析】连接OB，设圆O与△ABC的BC边相切，切点为D，连接OD，利用切线的性质，可证∠ODB=∠ODC=90°，利用等边三角形的性质及切线长定理，求出∠OBC的度数；在Rt△BOD中，利用解直角三角形求出BD的长，就可得到CD的长；然后在Rt△COD中，利用锐角三角函数的定义就可求出tan∠OCB的值。
15.【解析】【解答】由函数图象可知，甲走完全程需要82.3秒，乙走完全程需要90.2秒，甲队率先到达终点，故①不符合题意；
由函数图象可知，甲、乙两队都走了300米，路程相同，故②不符合题意；
由函数图象可知，在47.8秒时，两队所走路程相等，均为174米，故③符合题意；
由函数图象可知，从出发到13.7秒的时间段内，甲队的速度慢，故④符合题意．
∴正确判断的有：③④．
故答案为：③④．

【分析】根据函数图像分析求解即可。
16.【解析】【解答】∵﹣1+1＝0，﹣1+2＝1，﹣1+3＝2，0+2＝2，0+3＝3，2+3＝5，
∴ai+bi共有5个不同的值．
又∵对于任意的Mi＝{ai ， bi}和Mj＝{aj ， bj）（i≠j ， 1≤i≤s ， 1≤j≤s）都有ai+bi≠aj+bj ，
∴s的最大值是5．
故答案为：5．

【分析】找出 ai+bi 的值，结合对于任意的Mi＝{ai ， bi}和Mj＝{aj ， bj）（i≠j ， 1≤i≤s ， 1≤j≤s）都有ai+bi≠aj+bj ， 即可得出s的最大值。
三、解答题
17.【解析】【分析】先利用特殊角的三角函数值、负指数幂及0指数幂的性质化简，再求解即可。
18.【解析】【分析】本题可根据不等式组分别求出x的取值，然后画出数轴，数轴上相交的点的集合就是该不等式的解集．若没有交集，则不等式无解.
19.【解析】【分析】先去分母，再利用整式方程的计算方法求解即可。
20.【解析】【分析】（1）利用根的判别式列出不等式求解即可；（2）将x=1带入方程求出a的值，再求方程即可。
21.【解析】【分析】（1）根据菱形的性质得到CB=CD，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据菱形的性质得到∠C＝∠A＝45°，AG∥BC，推出△DEG与△BEC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论。
22.【解析】【分析】（1）先把点A坐标代入反比例函数求出m得到反比例函数解析式，再证明△CDA∽△CEB，利用相似比求出BE=4，则利用反比例函数解析式确定B点的坐标，然后利用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）利用点A与点B关于直线y=x对称，反比例函数关于y=x对称可判断OM的解析式为y=x时，MN的长度最大，然后联立方程求解即可。
23.【解析】【分析】（1）连接OB，由等腰三角形的性质可得∠ACB＝∠ABC，∠OBP＝∠OPB＝∠CPA，利用余角的性质求出∠ABO＝90°，可得到结论；
（2）如图，过点O作OD⊥BP于D，设AP＝x，AC＝2x，由勾股定理可求出AP=2，AC=4，利用勾股定理求出CP的长，通过证明△ACP∽△DOP，求出PD的长，由等腰三角形的性质求出BP的长。
24.【解析】【解答】解：（1）∵人口为0≤x＜2千万人的有5的地区，
又∵人口数量在2≤x＜4这一组的是：2.2 2.4 2.5 2.5 2.6 2.7 3.1 3.6 3.7 3.8 3.9 3.9，北京在第一位，
∴我国大陆（不含港澳台）地区中，人口数量从低到高排列，北京排在第6位．
故答案为6．
（2）由散点图可知：在2018年出现负增长的地区有2个，在这些地区中，人口数量最少的地区人数为3.8千万人，
故答案为2，3.8．
（3）①我国人口基数较大，即使是人口出生率和增长率都缓慢增长的前提下，人口总数仍然是在不断攀升的，所以我国计划生育的基本国策是不变的，符合题意．
②随着我国老龄化越来越严重，所以出台了“二孩政策”，目的是为了缓解老龄化的压力，符合题意．
故答案为①②．

【分析】（1）观察统计图结合已知条件即可判断；
（2）观察散点图可得结论；
（3）根据题意①②说法都是合理的。
25.【解析】【解答】解：（1）根据变量的定义，AP是自变量，PQ、AQ是因变量，即PQ、AQ是AP的函数，
故答案为：AP、PQ、AQ；
（3）当AQ＝PQ时，即为两个函数图象的交点，
从图上看，交点的横坐标大约为3.07cm ，
故答案为：3.07（答案不唯一）．

【分析】（1）根据变量的定义即可求解；
（2）依据表格中的数据描点，连线即可；
（3）两函数图象交点的横坐标即可所求。
26.【解析】【分析】（1）将抛物线化成顶点式表达式即可求解；
（2）根据表达式画出函数图象，通过函数图象求解即可；
（3）分a>0，a<0两种情况，结合（2）的结论，逐次探究即可求解。
27.【解析】【分析】（1）根据题意作出图形即可；
（2）连接BM，先证明 △ADM≌△ABF ，再证明 △FAE≌△MAB ，求得BM，即可求出EF；
（3） 设DM＝x（x＞0），则CM＝3﹣x， 求出AE、AF、EF， 当△AEF为等腰三角形时，只能有两种情况：AE＝EF，或AF＝EF， 列出方程求出x的值，进而求得最后结果。
28.【解析】【分析】（1）① 如图1中，当直线弧  的圆心是AC或BC的中点时，  所在圆的半径r的最小；② 如图2中，当中线弧  所在的圆与AC，AB都相切时，  的弧长最大；
（2）分两种情况： 如图3中，若中线弧  在 线段CD的下方时， 如图4中，若中线弧  在 线段CD的上方时， 分别求解即可解决问题。