湖南省长沙市2020-2021学年高一下学期期中数学试题（word版 含答案）

2020—2021学年度高一第二学期期中考试

数学

时量：120分钟  满分：150分

得分：_________

一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设，则（    ）

A．6    B．5    C．4    D．3

2．下列说法正确的是（    ）

A．任意三点确定一个平面

B．两个不重合的平面和有不同在一条直线上的三个交点

C．梯形一定是平面图形

D．一条直线和一个点确定一个平面

3．在边长为3的等边三角形中，，则（    ）

A．    B．    C．    D．

4．一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为1的正方形（如下图所示），则原平面图形的周长为（    ）

A．8    B．    C．4    D．

5．已知，若且，则（    ）

A．5    B．4    C．2    D．1

6．某正方体的平面展开图如下图所示，则在这个正方体中（    ）

A．与相交    B．与平行    C．与平行    D．与异面

7．如图所示，是附中校园内一标志性雕像，小明同学为了估算该雕像的高度，在学校教学楼，高为，与雕像之间的地面上的点M处（B，M，D三点共线）测得楼顶A及雕像顶C的仰角分别是和，在楼顶A处又测得雕塑顶C的仰角为，假设、和点M在同一平面内，则小明估算该雕像的高度为（    ）

A．    B．    C．    D．

8．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图在堑堵中，，且．下列说法错误的是（    ）

A．四棱锥为“阳马”

B．四面体为“鳖臑”

C．四棱锥体积最大为

D．过A点分别作于点E，于点F，则

二、多选题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．对任意平面向量，下列命题中真命题是（    ）

A．若，则      B．若，则

C．          D．

10，已知a，b表示直线，表示平面，则下列推理不正确的是（    ）

A．               B．，且

C．      D．

11．在中，内角A，B、C所对的边分别为a、b、c，的面积为S，下列与有关的结论，正确的是（    ）

A．若为锐角三角形，则

B．若，则

C．若，则一定是等腰三角形

D．若为非直角三角形，则

12．如图，直角三角形中，P是斜边上一点，且满足，点M、N在过点P的直线上，若，则下列结论正确的是（    ）

A．为常数                  B．的最小值为3

C．的最小值为           D．m、n的值可以为：

三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．

13．若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为1的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是________．

14．如图，正方体中，与异面且与所成角为的面对角共有_______条．

15．在中，a、b、c分别为角A，B，C的对边，已知，，且，则的值等于___________．

16．如图，在中，，分别取三边的中点D、E，F，将、、分别沿三条中位线折起，使得A、B、C重合于点P，则当三棱锥的外接球的体积最小时，其外接球的半径为___________，三棱锥的体积为__________．（第一空3分，第二空2分）

四、解答题：本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

已知复数是实数．

（1）求复数z；

（2）若复数是关于x的方程的根，求实数b和c的值．

18．（本小题满分12分）

在如图所示的平面直角坐标系中，已知点和点，且，其中O为坐标原点．

（1）若，设点D为线段上的动点，求的最小值；

（2）若，向量，求的最小值及对应的值．

19．（本小题满分12分）

在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题．

已知锐角中，a、b、c分别为内角A，B、C的对边，，_________．

（1）求角C；

（2）求的取值范围．

（注意：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）．

20．（本小题满分12分）

如图所示，在四棱锥中，，，平面，，设M、N分别为、的中点．

（1）求证：平面平面；

（2）求三棱锥的侧面积．

21．（本小题满分12分）

党的十九大报告指出，农业农村农民问题是关系国计民生的根本性问题，必须始终把解决好“三农”问题作为全党工作的重中之重，实施乡村振兴战略．如图，A村、B村分别位于某河流的南、北两岸，公里，，现需将A村的农产品运往B村加工．乡政府经过调研知，在每次运输农产品总量相同的条件下，公路运输价格为a元/公里，水路运输价格为元/公里．

（1）给出两种运输方案：第一种，直接从A村通过水路运输到B村；第二种，先从A村通过公路运输到与B村相对的南岸近岸处C，再通过水路运输到B村．试比较两种方案，哪种方案更优？

（2）为尽可能节约成本，乡政府决定在该河流南岸上选择一个中转站D，先将A村的农产品通过公路运往中转站D，再将农产品通过水路运往B村加工．试问：中转站应选址何处最佳？请说明你的理由．

22．（本小题满分12分）

已知的外心为O，内心为Ⅰ．

（1）如图1，若．

①试用表示；

②求的值．

（2）如图2，若存在实数，使，试求的值．

2020—2021学年度高一第二学期期中考试

数学参考答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．B  【解析】因为，所以，解得，

所以，故选B．

2．C  【解析】A选项，不共线的三点确定一个平面，A错；

B选项，两个平面有公共点，则有一条过该公共点的公共直线，如没有公共点，则两平面平行，B错；

D选项，一条直线和直线外的一点可以确定一个平面，D错；

C选项，两条平行直线，确定一个平面，梯形中有一组对边平行，C对，故选C．

3．C  【解析】，故选C．

4．A  【解析】直观图中，，由此画出直观图对应的原图如下图所示，其中，所以，所以原平面图形的周长为，故选A．

5．C  【解析】由及，∴，∴．故选C．

6．B  【解析】根据题意得其立体图形如图所示：

A选项，与是异面直线，故不相交；

B选项，与平行，故正确；

C选项，与位于两个平行平面内，故不正确；

D选项，与是相交的．故答案为B．

7．D  【解析】在中，；在中，由正弦定理得，；在中，．故选D．

8．C  【解析】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”．

所以在堑堵中，，侧棱平面．

在选项A中．所以，又，且，则平面．

所以四棱锥为“阳马”，故A正确．

在选项B中．由，即，又且，所以平面．所以，则为直角三角形．又由平面，得为直角三角形．由“堑堵”的定义可得为直角三角形，为直角三角形．所以四面体为“鳖臑”，故B正确．

在选项C中．在底面有，即，当且仅当时取等号．，所以C不正确．

在选项D中．由上面有平面，则且，则平面，所以且，则平面，则，所以D正确．故选：C．

二、多选题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．BD  【解析】若，则，反例，则与具有任意性，所以A不正确；

若，则，向量相等具有传递性，所以B正确；

，如果，则不等式不成立，所以C不正确；

，所以D正确．故选BD．

10．ABC  【解析】A．因为，则a，b平行或相交，故错误；

B．因为，则或或，故错误；

C．因为，则平行或相交，故错误；

D．因为，由面面平行的性质定理得，故正确；

故选：ABC．

11．ABD  【解析】对于A中，若为锐角三角形，可得且，

可得，且，根据正弦函数的单调性，可得，所以，

所以A正确；

对于B中，在中，由知，根据正弦定理可得，所以B正确；

对于C中，由正弦定理知，可得，故或，是等腰三角形或直角三角形，所以C不正确；

对于D中，在中，可得，则，所以，即，可得，

则，所以D正确．故选：ABD．

12．ABD  【解析】由得

∴，若，，

∴，∵M、P、N三点共线，∴，

∴．当，D选项正确；

，当且仅当时等号成立，B选项正确；

，当且仅当时等号成立，C选项错误．故选ABD．

三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．

13．  【解析】设圆锥的底面半径为r，则底面周长为，故展开后的扇形弧长为，又扇形的圆心角为，半径为1，故，所以圆锥的侧面积为．表面积为，故表面积与侧面积的比是．

14．1  【解析】与面对角线异面，所成的角是，由于，又，

以，而与正方体其它异面的面对角线都不垂直，

所以与异面且与所成角为的面对角线共有1条，故填：1．

15．  【解析】∵，

整理可得：，

可得．

∵A为三角形内角，，∴．

∴，解得，

由余弦定理得，

解得．

16．  【解析】由题意得三棱锥的对棱分别相等，设，则，

将三棱锥补充成长方体，则对角线长分别为，

三棱锥的外接球即为长方体的外接球．设长方体的长宽高分别为x、y、z，

则，所以，

则外接球半径，

当时，半径最小，此时三棱锥的外接球的体积最小，此时，

解得，

所以三棱锥．

故答案为：．

四、解答题：本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．【解析】（1）因为，

可得，

又由是实数，可得，解得，所以．          5分

（2）因为是方程的根，

所以，即，

可得，解得．        10分

18．【解析】（1）设由题意，，则，          2分

所以，所以，          4分

所以当时，最小，最小值为．        5分

（2）由题意得，则      7分

，             9分

因为，所以，           10分

所以当，即时，取得最大值1，此时取得最小值．所以的最小值为，此时．         12分

19．【解析】（1）选条件①：，

由及正弦定理得

，                2分

即，所以，             4分

因为C为锐角，所以．              5分

（1）选条件②：由及正弦定理，

得，                  2分

即，

∴．                 4分

∵，∴，可得，∵，∴．          5分

（1）选条件③，．

由及正弦定理得，            2分

即，

由余弦定理得，              4分

∵，∴．            5分

（2）又∵是锐角三角形，∴解得，        6分

由正弦定理得，

∴，                  9分

∵，∴，∴，        11分

∴．         12分

20．【解析】（1）∵M、N分别为、的中点，∴，

又平面平面，∴平面，          2分

在中，，∴，

又，∴，

∵平面平面，∴平面．         4分

又，平面平面．           5分

（2）∵平面，平面，平面，

由（1）可知，∴，         6分

∵，

∴，

由（1）可知，

在中，，          8分

∴，            9分

又，                    10分

在中，，∴边上的高，

∴，          11分

∴三棱锥的侧面积．              12分

21．【解析】（1）由于10公里，公里．

第一种运输方案所需费用为元；             2分

第二种运输方案所需费用为元；                4分

可得，

故第二种方案比第一种方案更优．                 5分

（2）令，则公里，公里，

公里，          8分

于是，所需总费用为，          10分

令，则，

所以，又，则，

当时，公里，

即当中转站选址在南岸位于A东边公里的D处是最佳的．              12分

22．【解析】（1）由已知得O为中点，且A，I，O三点共线，

①；                2分

②由于，内切圆半径，

，

故．               5分

（2）如图3，设的外接圆半径、内切圆半径分别为R，r，记中点为M，于D．

由知，又

则，

，

则，

即．             9分

以下用两种方式变形上式：

方法1：上式即

，

即．                12分

方法2：利用积化和差有，

则．             12分