黑龙江省鹤岗市2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题（word版 含答案）

2020～2021学年度高一下学期期中考试

数学试题

一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求）

1、在用斜二测画法画水平放置的时，若的两边分别平行于轴、轴，则在直观图中等于（   ）

A.          B.         C.         D. 或

2、已知，且与互为共轭复数，则（   ）

A.           B.            C.           D.      

3、已知球的表面积为，则该球的体积为（   ）

A.       B.          C.        D.

4、复数，则在复平面内的对应点所在的象限是（   ）

A．第一象限 B．第二象限     C．第三象限     D．第四象限

5、若平面平面，直线，直线，则与的位置关系是

A.平行       B.异面           C.相交          D.平行或异面

6、“存在实数，使”是“”的（   ）

A.充分不必要条件                   B.必要不充分条件          

C.充分必要条件                     D. 既不充分也不必要条件

7、棱台的上下底面的面积分别是和，高为，则该棱台的体积是（   ）

A.       B.      C.          D.

8、已知三点不共线，若，点为线段的中点，且，则（   ）

A.            B.         C.          D.

9、在棱长为的正方体中，为的中点，则过三点的平面截正方体所得的截面面积为（   ）

A. B.        C.        D.

10、中，，，则（   ）

A.             B.       C.         D.

11、的外接圆的圆心为，，，则（   ）­A.            B.         C.            D.

12、如图，各棱长均为的正三棱柱，分别为线段和上的动点，且平面，线段的中点的轨迹的长度为，则正三棱柱的体积为（   ）

A.        B.       C.           D.

二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）

13、已知单位向量满足，则_____

14、是虚数单位，复数是关于的方程 （为实数）的一个根，则_____

15、已知单位向量与单位向量的夹角为，若向量与的夹角为，则实数_____

16、如图所示，在长方体中，点是棱上的一个动点，若平面交棱于点，给出下列命题：

①四棱锥的体积恒为定值；

②对于棱上任意一点，在棱上均有相应的点，使得平面；

③为底面对角线和的交点，在棱上存在点，使平面；

④存在唯一的点，使得截面四边形的周长取得最小值．

其中为真命题的是_____．（填写所有正确答案的序号）

三、解答题（本大题共有6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17、（10分）在底面半径为2母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱.

（1）求该圆锥的体积；（2）求内接圆柱的表面积.

18、（12分）已知向量，．

（1）若与平行，求的值；

（2）若与垂直，求的值．

19、（12分）在长方体中，是与的交点，长方体体对角线交截面于点，求证：三点在同一条直线上.

20、（12分）已知中内角所对的边分别为，且，.

（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）求的取值范围.

21、（12分）已知中，过重心的直线交边于，交边于，设的面积为，的面积为，，.

（1）求证：；（2）求的取值范围.

22、（12分）如图，在矩形和矩形中，，，矩形可沿任意翻折.

（1）求证：当点不共线时，线段总平行于平面.

（2）“不管怎样翻折矩形，线段总与线段平行”这个结论正确吗？如果正确，请证明；如果不正确，请说明能否改变个别已知条件使上述结论成立，并给出理由.

鹤岗一中2020～2021学年度高一下学期期中考试

数学试题参考答案

一、1、D  2、C  3、C  4、B  5、D  6、A 

7、B  8、B  9、B  10、C  11、A  12、D

13、    14、    15、   16、①③④

二、17、解：（1）由题意，圆锥的高为，

底面面积为，……………………………………………………2分

圆锥的体积,……………………………………..4分

（2）设圆锥的底面半径为，圆柱的底面半径为，表面积为，

底面半径为2母线长为4的圆锥的高为，

则圆柱的上底面为中截面，可得，……………………………………..6分

，，…………………………………………..………..8分

.……………………………………………….………..………..10分

18、解：（1）因为向量，，

所以，，…………………………………2分

因为与平行，所以，…………4分

即，所以.…………………………………6分

（2）因为向量，，

所以，，…………………………………8分

因为与垂直，所以，

所以，…………………………………10分

解得.…………………………………12分

19、证明：因为∈平面，∈平面，.…………………………………2分

∈平面，∈平面，.…………………………………4分

所以平面∩平面..…………………………………6分

又因为∩平面，

所以直线平面，.…………………………………8分

所以平面，.…………………………………10分

所以直线，

即三点在同一条直线上．.…………………………………12分

20、解：（Ⅰ）由题意知，

结合余弦定理，整理得，.…………………………………3分

因为，所以，.…………………………………4分

又因为，所以..…………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，

所以

，.…………………………………8分

因为，所以，.…………………………………9分

所以，所以，.…………………………11分

即的取值范围..…………………………………12分

21、（1）证明：设,

，，

，，.…………………………………2分

三点共线，

则存在，使得，即，.…………………………4分

即，

，整理得，.…………………………………6分

即，即，即；.…………………………………7分

（2）由（1），，

，.………………8分

，，可知，

，.…………………………………10分

，，

则当时，取得最小值，当时，取得最大值，

，则的取值范围为..…………………………………12分

22、（1）证明：在平面图形中，连接MN，与AB交于点G. ………………………1分

∵四边形ABCD和四边形ABEF都是矩形，，

∴且，

∴四边形ADBE是平行四边形，∴.

又，∴四边形ADNM是平行四边形，∴.………………………3分

当点F，A，D不共线时，如图，，，

平面，平面，所以平面ADF，

同理平面ADF，又，

平面，∴平面平面ADF.

又平面GNM，∴平面ADF.

故当点F，A，D不共线时，线段MN总平行于平面FA D. ………………………5分

（2）解：这个结论不正确. …………………………………………6分

要使上述结论成立，M，N应分别为AE和DB的中点.理由如下：

当点F，A，D共线时，由（1）得.

当点F，A，D不共线时，如图，

由（1）知平面平面FDA，则要使总成立，

根据面面平行的性质定理，只要FD与共面即可. ………………………7分

若要使FD与共面，连接FM，只要FM与DN相交即可，

∵平面ABEF，平面ABCD，

平面平面，

∴若FM与DN相交，则交点只能为点B，

由于四边形为平行四边形，与的交点为的中点，

则只有M，N分别为AE，DB的中点才满足. ………………………9分

由，

可知它们确定一个平面，即F，D，N，M四点共面. ………………………10分

∵平面平面，

平面平面，

平面平面FDA，∴.………………………12分