上海市徐汇区2021年中考数学一模试卷附答案

中考数学一模试卷

一、单选题（共6题；共12分）

1.将抛物线 先向右平移 个单位，再向下平移 个单位后，所得抛物线的表达式是（   ）           

A.            B.            C.            D. 

2.在 中， ， ， ，那么下列结论正确的是（   ）           

A.                          B.                          C.                          D. 

3.已知抛物线 经过点 ，那么下列各点中，该抛物线必经过的点是（   ）           

A.                                    B.                                    C.                                    D. 

4.已知海面上一艘货轮 在灯塔 的北偏东 方向，海监船 在灯塔 的正东方向 海里处，此时海监船 发现货轮 在它的正北方向，那么海监船 与货轮 的距离是（   ）           

A. 海里                            B. 海里                            C. 海里                            D. 海里

5.下列说法中，正确的是（   ）           

A. 两个矩形必相似                                                  B. 两个含 角的等腰三角形必相似
C. 两个菱形必相似                                                  D. 两个含 角的直角三角形必相似

6.定义： 表示不超过实数 的最大整数例如： ， ， 根据你学习函数的经验，下列关于函数 的判断中，正确的是（   ）           

A. 函数 的定义域是一切整数
B. 函数 的图像是经过原点的一条直线
C. 点 在函数 图像上
D. 函数 的函数值 随 的增大而增大

二、填空题（共12题；共13分）

7.如果 ，那么代数式 的值是________．   

8.如图， ，如果 ， ， ，那么 的长是________． 

9.已知点 在线段 上，如果 ， ，那么 的长是________．   

10.已知二次函数 的图像在直线 的左侧部分是下降的，那么a的取值范围是________．   

11.如图，在 中，点 分别在边 上，  ，如果 和四边形 的面积相等， ，那么 DE的长是 ________ ． 

12.如图，在坡度为1：3的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，则斜坡上相邻两树间的坡面距离是________米（结果保留根号）

13.已知甲、乙两楼相距 米，如果从甲楼底看乙楼顶，测得仰角为 ，从乙楼顶看甲楼顶，测得俯角为 ，那么甲楼高是________米．   

14.如图，点 在线段 上， ， ，  ，如果 ， ，  ，那么  的长是 ________ ． 

15.如图，已知 是边长为 的等边三角形，正方形 的顶点 分别在边 上，点 在边 上，那么 的长是________． 

16.《周髀算经》中的“赵爽弦图”（如图），图中的四个直角三角形都全等，如果正方形 的面积是正方形 面积的 倍，那么 的余切值是________．

17.如图，在 中，点 分别在边 、  上， ，将 沿直线 翻折后与  重合， 、 分别与边 交于点 、 ，如果  ， ，那么 的长是 ________ ． 

18.如图，在 中， ， ，点 在边 上，点 在边 上， ， ，如果 的面积是 ，那么 的长是________． 

三、解答题（共7题；共75分）

19.计算： ．   

20.如图，在 中， 平分 ， 与 交于点 ， ， ． 

（1）求 的值；   

（2）设 ， = ，求向量 （用向量 、 表示）．   

21.已知抛物线 与 轴交于点 ，它的顶点为 ，对称轴是直线 ．   

（1）求此抛物线的表达式及点 的坐标；   

（2）将上述抛物线向下平移 个单位，所得新抛物线经过原点 ，设新抛物线的顶点为 ，请判断 的形状，并说明理由．   

22.为加强对市内道路交通安全的监督，王警官利用无人机进行检测．某高架路有一段限速每小时 千米的道路 （如图所示），当无人机在限速道路的正上方 处时，测得限速道路的起点 的俯角是 ，无人机继续向右水平飞行 米到达 处，此时又测得起点 的俯角是 ，同时测得限速道路终点 的俯角是 （注：即四边形 是梯形）． 

（1）求限速道路 的长（精确到 米）；   

（2）如果李师傅在道路 上行驶的时间是 分 秒，请判断他是否超速？并说明理由．（参考数据： ， ， ， ）   

23.如图，在 中，点 、 分别在边 、 上， ， ， 与 交于点 ，且 ． 

求证：

（1）；   

（2）．   

24.已知二次函数 的大致图像如图所示，这个函数图像的顶点为点  ． 

（1）求该函数图像的开口方向、对称轴及点 的坐标；   

（2）设该函数图像与 轴正半轴交于点 ，与 轴正半轴交于点 ，图像的对称轴与 轴交于点 ，如果  ， ，求该二次函数的解析式；   

（3）在（2）的条件下，设点 在第一象限该函数的图像上，且点 的横坐标为 ，如果  的面积是 ，求点 的坐标．   

25.如图，在 中， ， ， ，点 是边 上的动点，以 为边在 外作正方形 ，分别联结 、 ， 与 交于点 ． 

（1）当 时，求正方形 的面积；   

（2）延长 交 于点 ，如果 和 相似，求 的值；   

（3）当 时，求 的长．   

答案解析部分

一、单选题

1.【解析】【解答】将抛物线 先向右平移 个单位，再向下平移 个单位后，所得抛物线的表达式是 ，即 ，

故答案为：A．

【分析】根据二次函数图象的平移规律即可得．

2.【解析】【解答】根据勾股定理可得： ，

则 ； ； ； ；

故答案为：D．

【分析】先根据勾股定理解出AB，再逐项根据三角函数的定义判断即可．

3.【解析】【解答】解：∵抛物线 经过点 ，

∴ ，

∴ ，

∴物线的解析式为： ，

∵ 时， ，

∴抛物线必经过的点是 ．

故答案为：B．

【分析】将已知点的坐标代入 确定抛物线的解析式，再计算出自变量为0时所对应的函数值即可求解．

4.【解析】【解答】根据题意建立如图所示Rt△ABC，其中∠C=90°，∠B=60°，BC=5，

∴ ，

故答案为：B．

【分析】根据题意先建立直角三角形，然后结合三角函数中正切的定义求解即可．

5.【解析】【解答】A、两个矩形的对应角相等，但对应边不一定成比例，则不一定相似，此项不符合题意；

B、如果一个等腰三角形的顶角是 ，另一等腰三角形的底角是 ，则不相似，此项不符合题意；

C、两个菱形的对应边成比例，但四个内角不一定对应相等，则不一定相似，此项不符合题意；

D、两个含 角的直角三角形必相似，此项符合题意；

故答案为：D．

【分析】根据相似多边形、相似三角形的判定逐项判断即可得．

6.【解析】【解答】A、对于原函数，自变量显然可取一切实数，则其定义域为一切实数，故不符合题意；

B、因为原函数的函数值是一些整数，则图象不会是一条过原点的直线，故不符合题意；

C、由题意可知 ，则点 在函数 图像上，故符合题意；

D、例如 ， ，即当 ， 时，函数值均为 ，不是 随 的增大而增大，故不符合题意；

故答案为：C．

【分析】根据题意描述的概念逐项分析即可．

二、填空题

7.【解析】【解答】由题意： ，

∴ ，

故答案为： ．

【分析】根据比例的性质可得 ，则代入原代数式计算即可．

8.【解析】【解答】解：∵直线 ， ， ， ，

∴ ，

∴ ．

故答案为：3.75．

【分析】直接根据平行线分线段成比例定理即可得出结论．

9.【解析】【解答】解：设AP=x，则PB=4-x，

由题意，x2=4（4-x），

解得x= 或 （舍弃）

故答案为： ．

【分析】设AP=x，则PB=4-x，根据AP2=AB•PB列出方程求解即可，另外，注意舍去负数解．

10.【解析】【解答】 二次函数 的图象在直线 的左侧部分是下降的，

即在直线 的左侧部分，y随x的增大而减小，

，

故答案为： ．

【分析】根据二次函数的增减性即可得．

11.【解析】【解答】∵ ，

∴△ADE∽△ABC，

∴ ，

又∵ 和四边形 的面积相等，

∴ ，

∴ ，即： ，

故答案为：2．

【分析】根据题意可得△ADE∽△ABC，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解．

12.【解析】【解答】如图

Rt△ABC中，∠C=90°，tanA= ，AC=6，

∴BC=AC•tanA=6× =2．

根据勾股定理，得：AB=

= 即斜坡上相邻两树间的坡面距离是 米．

【分析】在由每两棵树构建的直角三角形中，已知了水平宽为6米，根据坡度可求出坡面的铅直高度，进而可根据勾股定理求得坡面长，即相邻两树间的坡面距离．

13.【解析】【解答】由题意，画出图形如下，其中AD长表示甲楼的高度，BC长表示乙楼的高度，AB表示地面，且 ， ， 米，

过点D作 于点F，则四边形ABFD是矩形，

， 米，

，

是等腰三角形，

米，

，

，

在 中， （米），

（米），

则甲楼高 （米），

故答案为： ．

【分析】先依据题意画出图形，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得 米，再根据解直角三角形可得CF的长，然后根据线段的和差即可得．

14.【解析】【解答】解：∵ ， ， ，

∴ ， ， ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∵ ， ，

∴ ， ，

设 的长是x，

∵ ，

∴ ，

∴ ，即 ，

解得 或 （舍去负值），

故答案为： ．

【分析】由已知条件，根据同角的余角相等得 ，根据 得 ，求出 ，得出 ，利用 和勾股定理即可得 的长．

15.【解析】【解答】根据题可知，△ADE为等边三角形，即：AD=DE，

根据正方形的性质可知DE=DG，DG⊥BC，∠C=60°，

设AD=x，则DG=x，DC=AC-AD=2-x，

∴在Rt△CDG中， ，

即： ，

解得： ，

经检验 是上述分式方程的解，

故答案为： ．

【分析】根据等边三角形以及正方形的性质，在Rt△CDG中运用正弦的定义建立方程求解即可．

16.【解析】【解答】设小正方形的面积为 ，则大正方形的面积为 ，其中 ，

∴ ， ，

∵△ADH≌△BAE，

∴ ，设 ，则 ，

则： ，

解得： ， （舍去），

∴ ， ，

∴ ，

故答案为： ．

【分析】根据题意可设小正方形EFGH面积是 ，则大正方形ABCD的面积是 ，则小正方形EFGH边长是a，则大正方形ABCD的面积是 ，设AE=DH=x，利用勾股定理求出x，最后利用三角函数即可解答．

17.【解析】【解答】设 ，则 ，

，

，

由翻折的性质得： ，

，

，

，即点M是DF的中点，

又 ，

是 的中位线，

，

故答案为：4．

【分析】设 ，从而可得 ，先根据平行线的性质可得 ，再根据翻折的性质可得 ，从而可得 ，然后根据等腰三角形的判定可得 ，从而可得 ，最后根据三角形的中位线定理即可得．

18.【解析】【解答】解；过点F作 交AC于F，

∵ ，

又∵ ，

∴ ，

∴ ，

又∵ ，

∴ ， ，

过点A作BC的垂线交CB的延长线于点H，

∴ ，

又∵ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

在 和 中，

即

【分析】过点F作 交AC于F，过点A作BC的垂线交CB的延长线于点H，通过解直角三角形、勾股定理及三角形面积公式求出CF，再通过解直角三角形求出CH，即可解得答案．

三、解答题

19.【解析】【分析】先计算特殊角的三角函数值，再化简绝对值、计算实数的混合运算即可得．

20.【解析】【分析】（1）先证∆BFE∼∆DFA，得出 ，在利用角平分线的性质进行等量代换，得到 再结合平行四边形的性质即可求得答案．

（2）利用第（1）小问的结论，得到DF与DB的数量关系，进而得到 与 的关系，根据向量 = 即可求解．

21.【解析】【分析】（1）根据对称轴是直线 ，可求b，再代入点C，可求抛物线解析式，把 ，代入解析式，可求M点坐标；

（2）由原抛物线与y轴交点可知，抛物线向下平移2个单位，可求新顶点坐标，再求出MO、ON、MN的长，可判断三角形形状．

22.【解析】【分析】（1）如图（见解析），先根据矩形的判定与性质可得 米，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得 ，设 ，在 中，利用直角三角形的性质可得 ，从而可得 ，然后在 中，解直角三角形可得x的值，最后根据线段的和差即可得；

（2）根据“速度 路程 时间”求出李师傅行驶的速度，由此即可得出答案．

23.【解析】【分析】（1）根据题意证明△AFE∽△BFD，即可得到∠FDB=∠AEF，故可求解；

（2）根据题意证明△AEF∽△CBA，得到 ,再得到AB=CD，故可求解．

24.【解析】【分析】（1）根据二次函数图象与系数之间的关系即可判断开口方向，对称轴以及顶点坐标；

（2）过点D作DE⊥y轴，即可判断出△CDE∽△BCO，然后结合 ，可推出 ，从而通过相似三角形的性质列式求解a，即可得出解析式；

（3）首先根据M的坐标求出直线CM的解析式，从而得到直线CM与对称轴的交点P的坐标，进而利用割补法建立关于 面积的等式，求解出t的值即可．

25.【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出AB的长，设CD=x，则AD=12-x，利用勾股定理得出13²=x²+（12-x）²+（5+x）²+x²，求出x的值，再利用正方形的面积公式求解即可；

（2）先证∠BAC=∠EBF，设边长为x，利用三角函数求出x的值，再求∠ABE的正弦值即可；

（3）设边长为x，利用△BCG∽△EDG，得出 ，然后联立 ，根据AG=AE，求解即可．