上海市虹口区2021届高三下学期4月第二次模拟考试（二模）数学试题（含答案）

2021届上海市虹口区高三下学期4月第二次模拟考试（二模）

数学试题　　 　 

（时间120分钟，满分150分）                   2021.4

一．填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题5分，本大题满分54分）

1．已知集合，，则         ．

2．_____________.

3．在的二项展开式中，常数项是        ．

4．某班级要从4名男生和3名女生中选取3名同学参加志愿者活动，则选出的3人中既有男生又要有女生的概率等于     ．

5．给出下列命题：

①若两条不同的直线垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行；

②若两个不同的平面垂直于一条直线，则这两个平面互相平行；

③若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直．

其中所有正确命题的序号为　      ．

6．已知为抛物线上一点，点到抛物线的焦点的距离为7，到轴的距离为5，则　      　．

7．若，则的值等于　      　（用表示）．

8．设函数的定义域为.若对于内的任意,，都有，则称函数为“Z函数”.有下列函数：①；②；③；④.其中“Z函数”的序号是        　（写出所有的正确序号）

9．已知直三棱柱的各棱长都相等，体积等于()．若该三棱柱的所有顶点都在球的表面上，则球的体积等于________().

10．在平面直角坐标系中，定义，两点的折线距离.设点，，，，若，则的取值范围        ．

11．已知为圆的一条直径，点的坐标满足不等式组，则的取值范围是       ．

12．在数列中，对任意，，当且仅当，若满足，则的最小值为_______.

二．选择题（每小题5分，满分20分）

13．双曲线的两条渐近线的夹角的大小等于……………………（    ）

14．已知函数，则“”是“为偶函数”的（    ）条件

充分非必要条件    必要非充分条件    充要条件   既非充分也非必要条件

15．复数满足，且使得关于的方程有实根，则这样的复数的个数为…………（     ）

1个            2个          3个         4个

16．在平面上，已知定点，动点．当在区间上变化时，动线段所形成图形的面积为……………………（     ）．

三．解答题（本大题满分76分）

17．（本题满分14分.第（1）小题7分，第（2）小题7分.）

在三棱锥中，，，是线段的中点，是线段的中点．

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成的角的大小．

18．（本题满分14分.第（1）小题7分，第（2）小题7分.）

设且，，已知函数．

（1）当时，求不等式的解；

（2）若函数在区间上有零点，求的取值范围．

19．（本题满分14分.第（1）小题6分，第（2）小题8分.）

如图某公园有一块直角三角形的空地，其中，，长千米，现要在空地上围出一块正三角形区域建文化景观区，其中、、分别在、、上．设.

（1）若，求的边长；

    （2）当多大时，的边长最小？并求出最小值.

20．（本题满分16分.第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分）

已知椭圆的方程为.

（1）设是椭圆上的点，证明：直线与椭圆有且只有一个公共点；

（2）过点作两条与椭圆只有一个公共点的直线，公共点分别记为、，点在直线上的射影为点，求点的坐标；

（3）互相垂直的两条直线与相交于点，且、都与椭圆只有一个公共点，求点的轨迹方程．

21．（本题满分18分.第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）.

若数列满足“对任意正整数，，，都存在正整数，使得”，则称数列具有“性质”．

（1）判断各项均等于的常数列是否具有“性质”，并说明理由；

（2）若公比为的无穷等比数列具有“性质”，求首项的值；

（3）若首项的无穷等差数列具有“性质”，求公差的值.

虹口区2020学年度第二学期期中学生学习能力诊断测试

高三数学试题答案

一.  填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题5分，本大题满分54分）

1. ；     2. 1；    3. 20；    4. ；    5. ②③；   6. 4；    7. ；

8. ③④；    9. ；   10. ；    11. ；    12. 512；

二. 选择题（每小题5分，满分20分）

13.；     14.；      15.；      16.；

三. 解答题（本大题满分76分）

17.（14分）解:（1）由，，有，从而有， 且.…………………………3分

又是边长等于的等边三角形， ， .又 ，从而有 ，，.又，平面.………7分

（2）过点作交于点，连.

由（1）知平面，得，又，平面，是直线与平面所成的角.………………10分

   由（1）证，从而为线段的中点，，，，.

   所以直线与平面所成的角的大小等于.……………………14分

注：用空间向量解答的相应给分

18.（14分）解：(1)，不等式可化为

若，则，解得，不等式的解集为.

若，则，解得，不等式的解集为.

综上所述：，的解集为；，的解集为.…7分

（2）.…………8分

令，即，∵，∴，

∴；∴.……………………11分

设，， 得：，解得.……………………………………14分

19.（14分）解：（1）设的边长为千米.

由，得，.

在中，，，为等边三角，得,解得.

所以的边长等于千米. ………………6分                       

   （2）设的边长为千米.

，……8分

在中，，，，，解得，当，时，.………………13分

所以当时，的边长取得最小值为千米.……14分

20.（16分）解：解：（1）当时，，直线即直线，与椭圆只有一个公共点.

当时，由得，，又，有，从而方程组只有一组解，直线与椭圆的有且只有一个公共点.…………4分

（2）设，.则两条直线为，，又是它们的交点，，，从而有，的坐标满足直线方程，所以直线：.………………8分

直线的方程为，由解得，即，………………10分

由得，由，得，得，……，相应的给分）

（3）设.

当直线与有一条斜率不存在时，，.…………11分

当直线与的斜率都存在时，设为和，由得，

由，整理得，，和是这个方程的两个根，有，得，

所以点的轨迹方程是.…………………………16分

21.（18分）解：（1）若数列具有“性质”，由已知对于任意正整数，，，，都存在正整数，使得，所以,解得或.…………3分

所以当或时，常数数列满足“性质”的所有条件，数列具有“性质”；当且时，数列不具有“性质”.……………………4分

（2）对于任意正整数，，，存在正整数，使得，即，，令，则.……6分

当且时，则，对任意正整数，，，由得,得，而是正整数，所以存在正整数使得成立,数列具有“性质”.……8分

当且时，取，则，正整数不存在，数列不具有“性质”.

综上所述，且.………………10分

（3）.对于任意的正整数,存在整数，使得得.…………12分

对于任意的正整数,存在整数和，使得，，两式相减得.

当时，显然不合题意.

当时，得，是整数，从而得到公差也是整数.…………14分

若时，此数列是递减的等差数列，取满足正整数，解得，由，所以不存在正整数使得成立.从而时，不具有“性质”.…………16分

当时，数列2，3，4，……，，……，对任意正整数，，，由得,得，而是正整数，从而数列具有“性质”.

当时，数列2，4，6，……，，……，对任意正整数，，，由得,得，而是正整数，从而数列具有“性质”.

综上所述或.……………………18分