吉林省吉林市普通中学2021届高三下学期第四次调研测试 数学（理）（含答案）

这是一份吉林省吉林市普通中学2021届高三下学期第四次调研测试 数学（理）（含答案），共15页。试卷主要包含了【解析】等内容，欢迎下载使用。
吉林市普通中学2020—2021学年度高中毕业班第四次调研测试理科数学本试卷共23小题，共150分，共6页，考试时间120分钟，考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回. 注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案    无效. 4．作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮    纸刀.第I卷（共60分）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求.1.  已知全集，，则集合=A.                  B. C.                D.  2.  已知是第二象限角，则A.          B. C.         D. 3.  已知为虚数单位，若复数为纯虚数，则A.                 B. C. 或                        D.  4.  甲，乙，丙三名运动员在某次测试中各射击20次，三人测试成绩的频率分布条形图分别如图1，图2和图3，若，，分别表示他们测试成绩的标准差，则      A．    B．    C．     D．5.  已知随机变量，且，，则为A．         B．         C．          D．6.  若点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为A．                     B．  C．                     D．7.  设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是A．B．C．D．8.  已知分别为三个内角的对边，且，则为A.                    B. C.                   D. 9.  已知,则的大小关系是A.                       B.    C.                        D. 10. 一副三角板有两种规格，一种是等腰直角三角形，另一种是有一个锐角是的直角三角形，如图两个三角板斜边之比为. 四边形就是由三角板拼成的，，则的值为    B.     C.   D. 11. 已知函数在区间上单调递增，且在区间上有且仅有一个解，则的取值范围是        B.     C.         D. 12．已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，以线段为直径的圆与轴交于两点，设线段的中点为，若抛物线上存在一点到焦点的距离等于.下面四个命题：    ① 抛物线的方程是    ② 抛物线的准线方程是③ 的最小值是    ④ 线段长的最小值是其中正确的命题的个数是A．    B．    C．    D． 第II卷（共90分） 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分. 其中第16题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分.13. 已知变量和需满足约束条件，则的最小值为________.14. 宋元时期是我国古代数学非常辉煌的时期，涌现了一大批卓有成就的数学家，其中秦九韶、李冶、杨辉和朱世杰成就最为突出，被誉为“宋元数学四大家”.数学周老师将秦九韶的《数书九章》、李冶的《测圆海镜》《益古演段》、杨辉的《详解九章算法》、朱世杰的《算学启蒙》《四元玉鉴》这六部著作平均分给班级的3个数学兴趣小组，则有________种不同的分配方式.15．已知函数，设,其中且，则            . 16．如图所示，在长方体中，，点是棱上的一个动点，若平面交棱于点，则四棱锥的体积为       ,截面四边形的周长的最小值为      .三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（本小题满分12分）已知等比数列的前项和.（Ⅰ）求的值，并求出数列的通项公式；（Ⅱ）令，设为数列的前项和，求. 18.（本小题满分12分）已知斜三棱柱，侧面与底面垂直，，，，且.   （Ⅰ）试判断与平面是否垂直，并说明理由；   （Ⅱ）求二面角的余弦值.  19.（本小题满分12分）江苏卫视推出的大型科学竞技真人秀《最强大脑(8)》现已进入联盟抢分赛环节，由12强选手组建的凌霄、逐日、登峰联盟三支队伍(每队四人)将进行“12进6”的登顶预备战，每局有两队参加，没有平局. 按12强历次成绩统计得出，在一局比赛中，逐日联盟胜凌霄联盟的概率为，逐日联盟胜登峰联盟的概率为，凌霄联盟胜登峰联盟的概率为. 联盟抢分赛规则如下：按抽签决定由逐日联盟和凌霄联盟先进行第一局的比赛，然后每局的获胜队与未参加此局比赛的队伍进行下一局的比赛. 在比赛中，有队伍先获胜两局，就算取得比赛的胜利，直接晋级6强的全国脑王争霸赛.（Ⅰ）求只进行两局比赛，逐日联盟晋级6强的概率；（Ⅱ）求只进行两局比赛，就能确定晋级6强联盟队的概率；（Ⅲ）求逐日联盟晋级6强的概率. 20.（本小题满分12分）已知点为椭圆的右焦点，椭圆上任意一点到点距离的最大值为，最小值为.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若为椭圆上的点，以为圆心，长为半径作圆，若过点可作圆的两条切线（为切点），求四边形面积的最大值．  21.（本小题满分12分）已知函数.（Ⅰ）当曲线在处的切线与直线垂直时，求实数的值；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）求证：  . （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答. 并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分. 如果多做，则按所做的第一题计分.22.  [选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，点是曲线（为参数）上的动点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）若点在轴右侧，点在曲线上，求的最小值.    [选修4—5：不等式选讲]设函数.（Ⅰ）若，求证：；（Ⅱ）对于，恒成立，求实数的取值范围.                          吉林市普通中学2020—2021学年度高中毕业班第四次调研测试理科数学参考答案一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分.123456789101112CCADBDBBACDB 二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分，共20分. 其中第16题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分.13.       14.        15.      16.   (2分)，  （3分）17．【解析】（Ⅰ）法一：当时，                     1分当时，                  3分是等比数列，，即，解得                     5分所以，的值为，数列的通项公式为                      6分法二：是等比数列，即               3分设的公比为，                6分（Ⅱ）                            8分                         12分18.【解析】取中点,连接、，又,得，平面平面，交线为,又平面，则平面，,为中点，以为轴,为轴,为轴建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，，                              3分（Ⅰ），  所以与不垂直，即与平面不垂直                      6分（另解：求出平面法向量，与不平行，则与平面不垂直）（Ⅱ）因为平面,设平面的一个法向量        7分设为平面的一个法向量，，   由    令，则，即，                       10分又因为， 如图知，二面角为钝角，所以二面角的余弦值为    12分法二：（Ⅰ）由,,,得,由,,，得,所以,则不垂直于,平面,则与平面不垂直.                         3分（Ⅱ）如图：过做，垂足为，平面平面，交线为,又平面，则平面，                             6分所以二面角的补角为所求.                    7分过向棱作垂线，垂足为，连接，则就是二面角的平面角，，所以，                      10分所以，所以二面角的余弦值为                    12分19.【解析】（Ⅰ）记“只进行两局比赛，逐日联盟晋级６强”为事件．　　　                                       3分（Ⅱ）记“只进行两局比赛，就能确定晋级６强联盟队”为事件　则事件包含逐日联盟晋级或凌霄联盟晋级．　　　                             7分（Ⅲ）记“逐日联盟晋级６强”为事件．则事件包含三种情况：① 逐日联盟胜凌霄联盟，逐日联盟胜登峰联盟：               ② 逐日联盟胜凌霄联盟，逐日联盟负登峰联盟，登峰联盟负凌霄联盟，逐日联盟胜凌霄联盟： ③ 逐日联盟负凌霄联盟，凌霄联盟负登峰联盟，登峰联盟负逐日联盟，逐日联盟胜　　凌霄联盟： 　　　                              12分(注：②③求对各给2分）20.【解析】（Ⅰ）根据题意椭圆上任意一点到点距离的最大值为，最小值为.所以      解得                          2分所以因此椭圆的标准方程为                           4分（Ⅱ）（法一）由（1）知，为椭圆的左焦点，根据椭圆定义知，，设，点在圆外           6分 所以，在直角三角形中，，          8分由圆的性质知，四边形面积，其中．    9分即（）．令（），则当时，，单调递增；当时，，单调递减．所以，在时，取极大值，也是最大值此时                            12分（法二）同法一，四边形面积，其中 9分所以当且仅当，即时取等号所以                                             12分 21.【解析】因为，      所以                                      1分根据题意                            2分（Ⅰ）解得 ，满足，                          4分（Ⅱ）当时，，令，令或所以的递增区间是，递减区间是当时，，令，令所以的递增区间是，递减区间是综上所述：当时，的递增区间是，递减区间是；当时，的递增区间是，递减区间是.               8分（3）由（2）知当时，，并且，因此有在恒成立，用替换得，即在恒成立，因此当时不等式恒成立令用替换得，所以即                 12分22.【解析】（Ⅰ）消去得即曲线的普通方程为                            2分曲线的极坐标方程为 ，由 得曲线的直角坐标方程为                   4分（Ⅱ）P是曲线右支上的动点  设点P坐标为 是曲线上   最小值即点P到曲线的距离           则=                         7分，，当且仅当时取等号当时，取最小值 最小值为                        10分23.【解析】（Ⅰ）当时，                 2分  当且仅当 等号成立                                                       4分（注：没写取等号条件扣1分）（Ⅱ）对于，恒成立                恒成立     7分     即           实数的取值范围                              10分法二：         （1）当时 即时，                              6分（2）当 即 时①当时 ， ②当时 ，      由 ① ②可知                           9分综上：的取值范围                            10分