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2021年广西南宁市兴宁区中考数学一模试卷
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这是一份2021年广西南宁市兴宁区中考数学一模试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年广西南宁市兴宁区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡，上对应题目的答案标号涂黑。）
1．（3分）﹣2021的倒数是（ ）
A．2021 B． C．﹣2021 D．
2．（3分）如图是由6个相同的正方体组合而成的几何体，其左视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）某桑蚕丝的半径为0.0000168米，则这个数用科学记数法表示为（ ）
A．1.68×10﹣5 B．1.68×10﹣4 C．1.68×105 D．0.168×10﹣4
4．（3分）某住宅小区五月份1日至5日每天用水量变化情况如图所示，那么这5天平均每天用水量的中位数是（ ）
A．28 B．32 C．34 D．36
5．（3分）下列各式中是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）在平面直角坐标系的第四象限内有一点M，到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，则点M的坐标为（ ）
A．（﹣4，5） B．（﹣5，4） C．（4，﹣5） D．（5，﹣4）
7．（3分）如图，⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A＝45°，∠AMD＝75°，则∠B的度数是（ ）
A．15° B．25° C．30° D．75°
8．（3分）已知a＜b，下列结论中成立的是（ ）
A．a+1＞b+1 B．﹣3a＜﹣3b
C．﹣a+2＞﹣b+2 D．如果c＜0，那么＜
9．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的长为（ ）
A．.2 B．3 C． D．
10．（3分）为美化城市环境，计划种植树木10万棵，由于志愿者的加入，实际每天种植比原计划多20%，结果提前5天完成任务，设原计划每天种植树木x万棵．可列方程是（ ）
A．+5＝ B．﹣＝5
C．﹣＝5 D．﹣＝5
11．（3分）如图，AG：GD＝3：1，BD：DC＝2：3，则AE：EC的值是（ ）
A．8：7 B．8：5 C．3：2 D．6：5
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x+8的图象与x轴、y轴分别相交于点B、点A，以线段AB为边作矩形ABCD，且AB＝2BC，点C在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，则k的值为（ ）
A．﹣10 B．﹣12 C．﹣14 D．﹣16
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分。）
13．（3分）分解因式：a3﹣4ab2＝ ．
14．（3分）现有一个半径为8cm的半圆形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计）．该圆锥底面圆的半径为 cm．
15．（3分）某鱼塘养了1000条鲤鱼、若干条草鱼和500条罗非鱼，该鱼塘主通过多捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右，若该鱼塘主随机在鱼塘捕捞一条鱼，则捞到鲤鱼的概率约为 ．
16．（3分）如图已知一个圆环内直径为4cm，外直径为5cm，将20个这样的圆环一个接一个环套成一条链条，那么这条铁链拉直后的长度为 cm．
17．（3分）某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门A测得历下亭C在北偏东37°方向，继续向北走70m后到达游船码头B，测得历下亭C在游船码头B的北偏东53°方向．请计算一下南门A与历下亭C之间的距离约为 m．（参考数据：tan37°≈，tan53°≈）
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，A（2，0）、B（0，2）、C（4，0）、D（3，2），P是△AOB外部的第一象限内一动点，且∠BPA＝135°，则2PD+PC的最小值是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）。
19．（6分）计算：（﹣1）2021+2×（）﹣1﹣|﹣2|．
20．（6分）解不等式组，井把它的解集在数轴上表示出来．
21．（8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．
（1）求证：四边形AODE是矩形；
（2）若△ABC是边长为4的正三角形，求四边形AODE的面积．
22．（8分）小明本学期的数学成绩如表所示：
测验类别
平时成绩1
平时成绩2
平时成绩3
平时成绩4
平时平均数
期中考试
期末考试
成绩
108
103
101
108
a
110
114
（1）六次测试成绩的中位数和众数分别是什么？
（2）请计算出小明该学期的平时成绩平均分a的值；
（3）如果学期的数学总评成绩是根据一定的权重计算所得，其中平时成绩a所占权重为20%，已知小明该学期的总评成绩为111分，请计算出期中考试和期末考试各自所占权重．
23．（8分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O直径，AB＝6，AD平分∠BAC，交BC于点E，交⊙O于点D，连接BD．
（1）求证：∠ABD＝∠BED；
（2）若∠AEB＝125°，求的长（结果保留π）．
24．（10分）5月18日，我市九年级学生安全有序开学复课．为切实做好疫情防控工作，开学前夕，我市某校准备在民联药店购买口罩和水银体温计发放给每个学生．已知每盒口罩有100只，每盒水银体温计有10支，每盒口罩价格比每盒水银体温计价格多150元．用1200元购买口罩盒数与用300元购买水银体温计所得盒数相同．
（1）求每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是多少元？
（2）如果给每位学生发放2只口罩和1支水银体温计，且口罩和水银体温计均整盒购买．设购买口罩m盒（m为正整数），则购买水银体温计多少盒能和口罩刚好配套？请用含m的代数式表示．
（3）在民联药店累计购医用品超过1800元后，超出1800元的部分可享受8折优惠．该校按（2）中的配套方案购买，共支付w元，求w关于m的函数关系式．若该校九年级有900名学生，需要购买口罩和水银体温计各多少盒？所需总费用为多少元？
25．（10分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于原点O和点A（6，0），抛物线的顶点为B．
（1）求该抛物线的解析式和顶点B的坐标；
（2）若动点P从原点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿线段OB运动，同时有一动点M从点A出发，以每秒2个长度单位的速度沿线段AO运动，当P、M其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动时间为t（s），连接MP，当t为何值时，四边形ABPM的面积最小？并求此最小值．
（3）在（2）的条件下，当t为何值时，△OPM是直角三角形？
26．（10分）在矩形ABCD中，AB＝12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F．
（1）如图1，若点E是AD的中点，求AD的长；
（2）如图2，①求证：BP＝BF；
②若AD＝25，且AE＞DE，求sin∠PCB的值；
③当BE•EF＝108时，求BP的值．
2021年广西南宁市兴宁区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡，上对应题目的答案标号涂黑。）
1．（3分）﹣2021的倒数是（ ）
A．2021 B． C．﹣2021 D．
【分析】直接利用倒数的定义得出答案．
【解答】解：﹣2021的倒数是：﹣．
故选：D．
2．（3分）如图是由6个相同的正方体组合而成的几何体，其左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】左视图是从左边看得出的图形，结合所给图形及选项即可得出答案．
【解答】解：从左边看，底层是三个小正方形，上层中间是一个小正方形．
故选：C．
3．（3分）某桑蚕丝的半径为0.0000168米，则这个数用科学记数法表示为（ ）
A．1.68×10﹣5 B．1.68×10﹣4 C．1.68×105 D．0.168×10﹣4
【分析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000168＝1.68×10﹣5．
故选：A．
4．（3分）某住宅小区五月份1日至5日每天用水量变化情况如图所示，那么这5天平均每天用水量的中位数是（ ）
A．28 B．32 C．34 D．36
【分析】根据折线统计图可以得到这五天的用水量，然后按照从小到大的顺序排列，即可得到这组数据的中位数．
【解答】解：由折线统计图可知，
这5天的用水量分别为：30，32，36，28，34，
按照从小到大排列是：28，30，32，34，36，
故这5天平均每天用水量的中位数是32，
故选：B．
5．（3分）下列各式中是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用最简二次根式定义判断即可．
【解答】解：A、原式＝，不符合题意；
B、原式＝2，不符合题意；
C、原式＝，符合题意；
D、原式＝a，不符合题意．
故选：C．
6．（3分）在平面直角坐标系的第四象限内有一点M，到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，则点M的坐标为（ ）
A．（﹣4，5） B．（﹣5，4） C．（4，﹣5） D．（5，﹣4）
【分析】直接利用点的坐标特点进而分析得出答案．
【解答】解：∵在平面直角坐标系的第四象限内有一点M，到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，
∴点M的纵坐标为：﹣4，横坐标为：5，
即点M的坐标为：（5，﹣4）．
故选：D．
7．（3分）如图，⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A＝45°，∠AMD＝75°，则∠B的度数是（ ）
A．15° B．25° C．30° D．75°
【分析】由三角形外角定理求得∠C的度数，再由圆周角定理可求∠B的度数．
【解答】解：∵∠A＝45°，∠AMD＝75°，
∴∠C＝∠AMD﹣∠A＝75°﹣45°＝30°，
∴∠B＝∠C＝30°，
故选：C．
8．（3分）已知a＜b，下列结论中成立的是（ ）
A．a+1＞b+1 B．﹣3a＜﹣3b
C．﹣a+2＞﹣b+2 D．如果c＜0，那么＜
【分析】根据不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变进行分析即可．
【解答】解：A、a＜b则﹣a+1＞﹣b+1，故本选项不合题意；
B、a＜b则﹣3a＞﹣3b，故本选项不合题意；
C、a＜b则﹣a+2＞﹣b+2，故本选项符合题意；
D、如果c＜0，那，故本选项不合题意；
故选：C．
9．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的长为（ ）
A．.2 B．3 C． D．
【分析】根据菱形的性质可得AC＝2AO＝8，由菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，可计算出BD的长度，再根据直角三角形的性质可得直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC＝2AO＝8，
又∵S菱形ABCD＝＝，
∴BD＝6，
∵DH⊥AB，
∴在Rt△BHD中，点O是BD的中点，
∴OH＝＝＝3．
故选：B．
10．（3分）为美化城市环境，计划种植树木10万棵，由于志愿者的加入，实际每天种植比原计划多20%，结果提前5天完成任务，设原计划每天种植树木x万棵．可列方程是（ ）
A．+5＝ B．﹣＝5
C．﹣＝5 D．﹣＝5
【分析】设原计划每天种植树木x万棵，则实际每天种植树木（1+20%）x万棵，根据工作时间＝工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前5天完成任务，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：设原计划每天种植树木x万棵，则实际每天种植树木（1+20%）x万棵，
依题意得：﹣＝5．
故选：C．
11．（3分）如图，AG：GD＝3：1，BD：DC＝2：3，则AE：EC的值是（ ）
A．8：7 B．8：5 C．3：2 D．6：5
【分析】过点D作DF∥BE交AC于点F，根据平行线分线段成比例定理分别求出、，进而得到答案．
【解答】解：过点D作DF∥BE交AC于点F，
则＝＝，＝＝3，
∴AE：EC＝6：5，
故选：D．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x+8的图象与x轴、y轴分别相交于点B、点A，以线段AB为边作矩形ABCD，且AB＝2BC，点C在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，则k的值为（ ）
A．﹣10 B．﹣12 C．﹣14 D．﹣16
【分析】过点C作CE⊥x轴于E，证明△AOB∽△BEC，可得点C坐标，代入求解即可．
【解答】解：∵当x＝0时，y＝2x+8＝8，
∴A（0，8），
∴OA＝8；
∵当y＝0时，y＝2x+8＝0，
∴x＝﹣4，
∴B（﹣4，0），
∴OB＝4；
过点C作CE⊥x轴于E，
∵四边形ABCD矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵∠CBE+∠ABO＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠CBE＝∠BAO．
∵∠BEC＝∠AOB＝90°，
∴△AOB∽△BEC，
∴＝，
∵AB＝2BC，
∴＝＝
∴OE＝2，BE＝4，
∴C点坐标为（﹣8，2），
∵点C在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，
∴k＝﹣8×2＝﹣16．
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分。）
13．（3分）分解因式：a3﹣4ab2＝ a（a+2b）（a﹣2b） ．
【分析】观察原式a3﹣4ab2，找到公因式a，提出公因式后发现a2﹣4b2符合平方差公式的形式，再利用平方差公式继续分解因式．
【解答】解：a3﹣4ab2
＝a（a2﹣4b2）
＝a（a+2b）（a﹣2b）．
故答案为：a（a+2b）（a﹣2b）．
14．（3分）现有一个半径为8cm的半圆形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计）．该圆锥底面圆的半径为 4 cm．
【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，利用扇形的弧长公式即可求得圆锥的底面周长，然后根据圆的周长公式即可求解．
【解答】解：圆锥的底面周长是：8πcm．
设圆锥底面圆的半径是rcm，则2πr＝8π．
解得：r＝4．
故答案为：4．
15．（3分）某鱼塘养了1000条鲤鱼、若干条草鱼和500条罗非鱼，该鱼塘主通过多捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右，若该鱼塘主随机在鱼塘捕捞一条鱼，则捞到鲤鱼的概率约为 ．
【分析】根据捕捞到草鱼的频率可以估计出放入鱼塘中鱼的总数量，从而可以得到捞到鲤鱼的概率．
【解答】解：∵捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右，
设草鱼的条数为x，可得：＝0.5；
解得：x＝1500，
∴由题意可得，捞到鲤鱼的概率为＝，
故答案为：．
16．（3分）如图已知一个圆环内直径为4cm，外直径为5cm，将20个这样的圆环一个接一个环套成一条链条，那么这条铁链拉直后的长度为 81 cm．
【分析】根据图形即可得到规律：n个环连成的锁链拉直后的最大长度是（5﹣4）+4n＝（4n+1）cm．
【解答】解：根据题意可知，1个圆环的最长长度是（5﹣4）+4＝5（cm）；
2个圆环套成的链条拉直后的长度是（5﹣4）+4×2＝9（cm）；
3个圆环套成的链条拉直后的长度是（5﹣4）+4×3＝13（cm）；
…
20个圆环套成的链条拉直后的长度是（5﹣4）+4×20＝81（cm）．
故答案为：81．
17．（3分）某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门A测得历下亭C在北偏东37°方向，继续向北走70m后到达游船码头B，测得历下亭C在游船码头B的北偏东53°方向．请计算一下南门A与历下亭C之间的距离约为 200 m．（参考数据：tan37°≈，tan53°≈）
【分析】过C作CE⊥BA于E．设EC＝xm，BE＝ym．由题意可构建方程组求出x，y的值，即可解决问题．
【解答】解：如图，过C作CE⊥BA于E．
设EC＝xm，BE＝ym，
在Rt△ECB中，tan53°＝≈，
即≈①，
在Rt△AEC中，tan37°＝≈，
即≈②，
由①②得：x＝120，y＝90，
∴EC＝120m，BE＝90m，
∴AE＝70+90＝160（m），
∴AC＝＝＝200（m），
故答案为：200．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，A（2，0）、B（0，2）、C（4，0）、D（3，2），P是△AOB外部的第一象限内一动点，且∠BPA＝135°，则2PD+PC的最小值是 4 ．
【分析】如图，取一点T（1，0），连接OP，PT，TD，首先利用四点共圆证明OP＝2，再利用相似三角形的性质证明PT＝PC，推出2PD+PC＝2（PD+PC），根据PD+OT≥D即可解决问题．
【解答】解：如图，取一点T（1，0），连接OP，PT，TD，
∵A（2，0）、B（0，2）、C（4，0），
∴OA＝OB＝2，OC＝4，
以O为圆心OA为半径作⊙O，在优弧AB上取一点Q，连接QB，QA，
∵∠Q＝AOB＝45°，∠APB＝135°，
∴∠Q+∠APB＝180°，
∴A、P、B、Q四点共圆，
∴OP＝OA＝2，
∵OP＝2，OT＝1，OC＝4，
∴OP2＝OC•OT，
∴，
∵∠POT＝∠POC，
∴△POT∽△POC，
∴，
∴PT＝，
∴2PD+PC＝2（PD+PC）＝2（PD+PT），
∵PD+PT≥DT，DT＝＝2，
∴2PD+PC，
∴2PD+PC的最小值是4．
故答案为：4．
三、解答题（本大题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）。
19．（6分）计算：（﹣1）2021+2×（）﹣1﹣|﹣2|．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及有理数的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝﹣1+2×2﹣2
＝﹣1+4﹣2
＝1．
20．（6分）解不等式组，井把它的解集在数轴上表示出来．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：，
由①得x≤4，
由②得x＞﹣2，
所以，原不等式组得解集为﹣2＜x≤4，
在数轴上表示如下图：
．
21．（8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．
（1）求证：四边形AODE是矩形；
（2）若△ABC是边长为4的正三角形，求四边形AODE的面积．
【分析】（1）根据题意可判断出四边形AODE是平行四边形，再由菱形的性质可得出AC⊥BD，即∠AOD＝90°，继而可判断出四边形AODE是矩形；
（2）由菱形的性质和勾股定理求出OB，得出OD，由矩形的性质即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOD＝90°，
∴四边形AODE是矩形；
（2）解：∵△ABC是边长为4的正三角形，
∴AB＝AC＝4，
∠ABC＝60°，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AO＝AC＝2，OD＝OB，
∵∠AOB＝90°，
∴OB＝＝2，
∴OD＝OB＝2，
∵四边形AODE是矩形，
∴四边形AODE的面积＝22＝4．
22．（8分）小明本学期的数学成绩如表所示：
测验类别
平时成绩1
平时成绩2
平时成绩3
平时成绩4
平时平均数
期中考试
期末考试
成绩
108
103
101
108
a
110
114
（1）六次测试成绩的中位数和众数分别是什么？
（2）请计算出小明该学期的平时成绩平均分a的值；
（3）如果学期的数学总评成绩是根据一定的权重计算所得，其中平时成绩a所占权重为20%，已知小明该学期的总评成绩为111分，请计算出期中考试和期末考试各自所占权重．
【分析】（1）根据中位数及众数的定义，即可得出答案；
（2）根据平均数的计算方法进行计算即可；
（3）设期中考试所占权重是x，期末考试所占权重是y，根据数学总评成绩为111分，及两者所占的比例之和为80%可得出方程组，解出即可．
【解答】解：（1）六次数据依次为：101、103、108、108、110、114，
则中位数为：108，众数为：108；
（2）a＝＝105；
（3）设期中考试所占权重是x，期末考试所占权重是y，
由题意得，
解得：．
答：期中考试所占权重是30%，期末考试所占权重是50%．
23．（8分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O直径，AB＝6，AD平分∠BAC，交BC于点E，交⊙O于点D，连接BD．
（1）求证：∠ABD＝∠BED；
（2）若∠AEB＝125°，求的长（结果保留π）．
【分析】（1）根据圆周角定理和外角的性质即可得到结论；
（2）连接OD，根据平角定义得到∠AEC＝55°，根据圆周角定理得到∠ACE＝90°，求得∠1＝35°，得到∠BOD＝2∠2＝70°，根据弧长公式即可得到结论．
【解答】（1）如图：
证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
∵∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∵∠ABD＝∠ABC+∠3，∠BED＝∠ABC+∠2，
∴∠ABD＝∠BED．
（2）解：连接OD，
∵∠AEB＝125°，
∴∠AEC＝55°，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACE＝90°，
∴∠1＝35°，
∴∠2＝∠1＝35°，
∴∠BOD＝2∠2＝70°，
∴的长＝＝π．
24．（10分）5月18日，我市九年级学生安全有序开学复课．为切实做好疫情防控工作，开学前夕，我市某校准备在民联药店购买口罩和水银体温计发放给每个学生．已知每盒口罩有100只，每盒水银体温计有10支，每盒口罩价格比每盒水银体温计价格多150元．用1200元购买口罩盒数与用300元购买水银体温计所得盒数相同．
（1）求每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是多少元？
（2）如果给每位学生发放2只口罩和1支水银体温计，且口罩和水银体温计均整盒购买．设购买口罩m盒（m为正整数），则购买水银体温计多少盒能和口罩刚好配套？请用含m的代数式表示．
（3）在民联药店累计购医用品超过1800元后，超出1800元的部分可享受8折优惠．该校按（2）中的配套方案购买，共支付w元，求w关于m的函数关系式．若该校九年级有900名学生，需要购买口罩和水银体温计各多少盒？所需总费用为多少元？
【分析】（1）设每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是x元，（x﹣150）元，根据题意列出分式方程即可；
（2）根据配套问题，设购买水银体温计y盒能和口罩刚好配套，根据口罩的数量等于水银体温计数量的2倍列出方程即可用含m的代数式表示；
（3）根据题意列出不等式：200m+50×5m≤1800，可得m≤4时，w＝450m；当m＞4时，w＝1800+（450m﹣1800）×0.8＝360m+360，进而可得w关于m的函数关系式．
【解答】解：（1）设每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是x元，（x﹣150）元，根据题意，得
＝，
解得x＝200，
经检验，x＝200是原方程的解，
∴x﹣150＝50，
答：每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是200元、50元；
（2）设购买水银体温计y盒能和口罩刚好配套，根据题意，得
100m＝2×10y，
则y＝5m，
答：购买水银体温计5m盒能和口罩刚好配套；
（3）若200m+50×5m≤1800，
∴450m≤1800，
∴m≤4，
即m≤4时，w＝450m；
若m＞4，
则w＝1800+（450m﹣1800）×0.8＝360m+360，
综上所述：w＝．
若该校九年级有900名学生，
需要购买口罩：900×2＝1800（支），
水银体温计：900×1＝900（支），
此时m＝1800÷100＝18（盒），y＝5×18＝90（盒），
则w＝360×18+360＝6840（元）．
答：购买口罩和水银体温计各18盒、90盒，所需总费用为6840元．
25．（10分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于原点O和点A（6，0），抛物线的顶点为B．
（1）求该抛物线的解析式和顶点B的坐标；
（2）若动点P从原点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿线段OB运动，同时有一动点M从点A出发，以每秒2个长度单位的速度沿线段AO运动，当P、M其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动时间为t（s），连接MP，当t为何值时，四边形ABPM的面积最小？并求此最小值．
（3）在（2）的条件下，当t为何值时，△OPM是直角三角形？
【分析】（1）根据点O，A的坐标，利用待定系数法可求出二次函数的解析式，再将二次函数解析式由一般式变形为顶点式，即可得出顶点B的坐标；
（2）当运动时间为t时，结合点P，M的运动速度可得出0≤t≤3，由S四边形ABPM＝S△ABO﹣S△POM可得出四边形ABPM的面积关于t的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；
（3）当t＝3时，M和O点重合，M，O，P不构成三角形①当∠OPM＝90°时，由∠BOA＝60°，∠PMO＝30°，则OM＝2OP，即t＝6﹣2t，即可求解②当∠OMP＝90°时同理可解．
【解答】解：（1）将O（0，0），A（6，0）代入y＝﹣x2+bx+c得：，解得，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x．
∵y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣3）2+3，
∴顶点B的坐标为（3，3）．
（2）当运动时间为t时，OP＝t，AM＝2t，PCt，PC＝t，OM＝6﹣2t．
∵当P、M其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动，
∴0≤t≤3．
则S四边形ABPM＝S△ABO﹣S△PO＝•OA•yB﹣•OM•PC＝×6×3﹣×（6﹣2t）×t＝（t﹣）2+．
∵＞0，
∴当t＝时，四边形ABPM的面积取最小值，最小值为；
（3）设直线OB的解析式为y＝kx，
将B（3，3）代入y＝kx，得：3＝3k，
解得：k＝，
∴直线OB的解析式为y＝x．
过点P作PC⊥x轴于点C，如图所示．
设点P的坐标为（x，x），则点C的坐标为（x，0）．
∵tan∠POC＝＝，
∴∠POC＝60°．
当∠APO＝90°，则cos∠POC＝＝，
∴OP＝3．
∵OP＝1×t＝3，
∴t＝3．
当t＝3时，M和O点重合，M，O，P不构成三角形，
①当∠OPM＝90°时，
∵∠BOA＝60°，
∴∠PMO＝30°
∴OM＝2OP，
即t＝6﹣2t，
∴t＝2；
②当∠OMP＝90°时，
∵∠BOA＝60°，∠OPM＝30°，
∴OP＝2OM，
即t＝2（6﹣2t），
∴t＝．
26．（10分）在矩形ABCD中，AB＝12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F．
（1）如图1，若点E是AD的中点，求AD的长；
（2）如图2，①求证：BP＝BF；
②若AD＝25，且AE＞DE，求sin∠PCB的值；
③当BE•EF＝108时，求BP的值．
【分析】（1）先判断出∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，再判断出AE＝DE，可证明△AEB≌△DEC，得到BE＝CE，从而判定△BEC是等腰直角三角形，得到∠AEB＝∠ABE＝45°，则可得AB＝AE，即可得到AD的长；
（2）①利用折叠的性质，得出∠PGC＝∠PBC＝90°，∠BPC＝∠GPC，进而判断出∠GPF＝∠PFB，即可得出结论；
②判断出△ABE～△DEC，得出比例式建立方程求解即可得出AE＝16，DE＝9，再判断出△ECF～△GCP，进而求出BP和PC，即可得出结论；
③判断出△GEF∽△EAB，得出BE•EF＝AB•GF，即可得出结论．
【解答】解：（1）由题意可知，∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，AE＝DE，
在△AEB和△DEC中，
AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，HE＝DE，
∴△AEB≌△DEC（SAS），
∴BE＝CE，
∵BE⊥CG，即∠BEC＝90°，
∴△BEC是等腰直角三角形，∠EBC＝∠ECB＝45°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CED＝∠ABE＝45°，
∴AE＝AB＝12，
∴AD＝24；
（2）①在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，
∵△BPC沿PC折叠得到△GPC，
∴∠PGC＝∠PBC＝90°，∠BPC＝∠GPC，
∵BE⊥CG，
∴BE∥PG，
∴∠GPF＝∠PFB，
∴∠BPF＝∠BFP，
∴BP＝BF；
②当AD＝25时，
∵∠BEC＝90°，
∴∠AEB+∠CED＝90°，
∵∠AEB+∠ABE＝90°，
∴∠CED＝∠ABE，
∵∠A＝∠D＝90°，
∴△ABE～△DEC，
∴，
设AE＝x，
∴DE＝25﹣x，
∴，
∴x＝9或x＝16，
∵AE＞DE，
∴AE＝16，DE＝9，
∴CE＝＝15，BE＝＝20，
由折叠得BP＝PG，
∴BP＝BF＝PG，
∵BE∥PG，
∴△ECF～△GCP，
∴，
设BP＝BF＝PG＝y，
∴，
解得：y＝，
经检验y＝是原方程的解，
∴，
在Rt△PBC中，PC＝＝，
∴sin∠PCB＝；
③如图，连接FG，
∵BE∥PG，
∴∠GPF＝∠PFB，
∴∠BPF＝∠BFP，
∴BP＝BF，
∵BP＝PG，
∴▱BPGF是菱形，
∴BP∥GF，
∴∠GFE＝∠ABE，
∴△GEF∽△EAB，
∴，
∴BE•EF＝AB•GF，
∵BE•EF＝108，AB＝12，
∴BP＝GF＝9．
2021年广西南宁市兴宁区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡，上对应题目的答案标号涂黑。）
1．（3分）﹣2021的倒数是（ ）
A．2021 B． C．﹣2021 D．
2．（3分）如图是由6个相同的正方体组合而成的几何体，其左视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）某桑蚕丝的半径为0.0000168米，则这个数用科学记数法表示为（ ）
A．1.68×10﹣5 B．1.68×10﹣4 C．1.68×105 D．0.168×10﹣4
4．（3分）某住宅小区五月份1日至5日每天用水量变化情况如图所示，那么这5天平均每天用水量的中位数是（ ）
A．28 B．32 C．34 D．36
5．（3分）下列各式中是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）在平面直角坐标系的第四象限内有一点M，到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，则点M的坐标为（ ）
A．（﹣4，5） B．（﹣5，4） C．（4，﹣5） D．（5，﹣4）
7．（3分）如图，⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A＝45°，∠AMD＝75°，则∠B的度数是（ ）
A．15° B．25° C．30° D．75°
8．（3分）已知a＜b，下列结论中成立的是（ ）
A．a+1＞b+1 B．﹣3a＜﹣3b
C．﹣a+2＞﹣b+2 D．如果c＜0，那么＜
9．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的长为（ ）
A．.2 B．3 C． D．
10．（3分）为美化城市环境，计划种植树木10万棵，由于志愿者的加入，实际每天种植比原计划多20%，结果提前5天完成任务，设原计划每天种植树木x万棵．可列方程是（ ）
A．+5＝ B．﹣＝5
C．﹣＝5 D．﹣＝5
11．（3分）如图，AG：GD＝3：1，BD：DC＝2：3，则AE：EC的值是（ ）
A．8：7 B．8：5 C．3：2 D．6：5
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x+8的图象与x轴、y轴分别相交于点B、点A，以线段AB为边作矩形ABCD，且AB＝2BC，点C在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，则k的值为（ ）
A．﹣10 B．﹣12 C．﹣14 D．﹣16
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分。）
13．（3分）分解因式：a3﹣4ab2＝ ．
14．（3分）现有一个半径为8cm的半圆形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计）．该圆锥底面圆的半径为 cm．
15．（3分）某鱼塘养了1000条鲤鱼、若干条草鱼和500条罗非鱼，该鱼塘主通过多捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右，若该鱼塘主随机在鱼塘捕捞一条鱼，则捞到鲤鱼的概率约为 ．
16．（3分）如图已知一个圆环内直径为4cm，外直径为5cm，将20个这样的圆环一个接一个环套成一条链条，那么这条铁链拉直后的长度为 cm．
17．（3分）某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门A测得历下亭C在北偏东37°方向，继续向北走70m后到达游船码头B，测得历下亭C在游船码头B的北偏东53°方向．请计算一下南门A与历下亭C之间的距离约为 m．（参考数据：tan37°≈，tan53°≈）
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，A（2，0）、B（0，2）、C（4，0）、D（3，2），P是△AOB外部的第一象限内一动点，且∠BPA＝135°，则2PD+PC的最小值是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）。
19．（6分）计算：（﹣1）2021+2×（）﹣1﹣|﹣2|．
20．（6分）解不等式组，井把它的解集在数轴上表示出来．
21．（8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．
（1）求证：四边形AODE是矩形；
（2）若△ABC是边长为4的正三角形，求四边形AODE的面积．
22．（8分）小明本学期的数学成绩如表所示：
测验类别
平时成绩1
平时成绩2
平时成绩3
平时成绩4
平时平均数
期中考试
期末考试
成绩
108
103
101
108
a
110
114
（1）六次测试成绩的中位数和众数分别是什么？
（2）请计算出小明该学期的平时成绩平均分a的值；
（3）如果学期的数学总评成绩是根据一定的权重计算所得，其中平时成绩a所占权重为20%，已知小明该学期的总评成绩为111分，请计算出期中考试和期末考试各自所占权重．
23．（8分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O直径，AB＝6，AD平分∠BAC，交BC于点E，交⊙O于点D，连接BD．
（1）求证：∠ABD＝∠BED；
（2）若∠AEB＝125°，求的长（结果保留π）．
24．（10分）5月18日，我市九年级学生安全有序开学复课．为切实做好疫情防控工作，开学前夕，我市某校准备在民联药店购买口罩和水银体温计发放给每个学生．已知每盒口罩有100只，每盒水银体温计有10支，每盒口罩价格比每盒水银体温计价格多150元．用1200元购买口罩盒数与用300元购买水银体温计所得盒数相同．
（1）求每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是多少元？
（2）如果给每位学生发放2只口罩和1支水银体温计，且口罩和水银体温计均整盒购买．设购买口罩m盒（m为正整数），则购买水银体温计多少盒能和口罩刚好配套？请用含m的代数式表示．
（3）在民联药店累计购医用品超过1800元后，超出1800元的部分可享受8折优惠．该校按（2）中的配套方案购买，共支付w元，求w关于m的函数关系式．若该校九年级有900名学生，需要购买口罩和水银体温计各多少盒？所需总费用为多少元？
25．（10分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于原点O和点A（6，0），抛物线的顶点为B．
（1）求该抛物线的解析式和顶点B的坐标；
（2）若动点P从原点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿线段OB运动，同时有一动点M从点A出发，以每秒2个长度单位的速度沿线段AO运动，当P、M其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动时间为t（s），连接MP，当t为何值时，四边形ABPM的面积最小？并求此最小值．
（3）在（2）的条件下，当t为何值时，△OPM是直角三角形？
26．（10分）在矩形ABCD中，AB＝12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F．
（1）如图1，若点E是AD的中点，求AD的长；
（2）如图2，①求证：BP＝BF；
②若AD＝25，且AE＞DE，求sin∠PCB的值；
③当BE•EF＝108时，求BP的值．
2021年广西南宁市兴宁区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡，上对应题目的答案标号涂黑。）
1．（3分）﹣2021的倒数是（ ）
A．2021 B． C．﹣2021 D．
【分析】直接利用倒数的定义得出答案．
【解答】解：﹣2021的倒数是：﹣．
故选：D．
2．（3分）如图是由6个相同的正方体组合而成的几何体，其左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】左视图是从左边看得出的图形，结合所给图形及选项即可得出答案．
【解答】解：从左边看，底层是三个小正方形，上层中间是一个小正方形．
故选：C．
3．（3分）某桑蚕丝的半径为0.0000168米，则这个数用科学记数法表示为（ ）
A．1.68×10﹣5 B．1.68×10﹣4 C．1.68×105 D．0.168×10﹣4
【分析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000168＝1.68×10﹣5．
故选：A．
4．（3分）某住宅小区五月份1日至5日每天用水量变化情况如图所示，那么这5天平均每天用水量的中位数是（ ）
A．28 B．32 C．34 D．36
【分析】根据折线统计图可以得到这五天的用水量，然后按照从小到大的顺序排列，即可得到这组数据的中位数．
【解答】解：由折线统计图可知，
这5天的用水量分别为：30，32，36，28，34，
按照从小到大排列是：28，30，32，34，36，
故这5天平均每天用水量的中位数是32，
故选：B．
5．（3分）下列各式中是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用最简二次根式定义判断即可．
【解答】解：A、原式＝，不符合题意；
B、原式＝2，不符合题意；
C、原式＝，符合题意；
D、原式＝a，不符合题意．
故选：C．
6．（3分）在平面直角坐标系的第四象限内有一点M，到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，则点M的坐标为（ ）
A．（﹣4，5） B．（﹣5，4） C．（4，﹣5） D．（5，﹣4）
【分析】直接利用点的坐标特点进而分析得出答案．
【解答】解：∵在平面直角坐标系的第四象限内有一点M，到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，
∴点M的纵坐标为：﹣4，横坐标为：5，
即点M的坐标为：（5，﹣4）．
故选：D．
7．（3分）如图，⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A＝45°，∠AMD＝75°，则∠B的度数是（ ）
A．15° B．25° C．30° D．75°
【分析】由三角形外角定理求得∠C的度数，再由圆周角定理可求∠B的度数．
【解答】解：∵∠A＝45°，∠AMD＝75°，
∴∠C＝∠AMD﹣∠A＝75°﹣45°＝30°，
∴∠B＝∠C＝30°，
故选：C．
8．（3分）已知a＜b，下列结论中成立的是（ ）
A．a+1＞b+1 B．﹣3a＜﹣3b
C．﹣a+2＞﹣b+2 D．如果c＜0，那么＜
【分析】根据不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变进行分析即可．
【解答】解：A、a＜b则﹣a+1＞﹣b+1，故本选项不合题意；
B、a＜b则﹣3a＞﹣3b，故本选项不合题意；
C、a＜b则﹣a+2＞﹣b+2，故本选项符合题意；
D、如果c＜0，那，故本选项不合题意；
故选：C．
9．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的长为（ ）
A．.2 B．3 C． D．
【分析】根据菱形的性质可得AC＝2AO＝8，由菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，可计算出BD的长度，再根据直角三角形的性质可得直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC＝2AO＝8，
又∵S菱形ABCD＝＝，
∴BD＝6，
∵DH⊥AB，
∴在Rt△BHD中，点O是BD的中点，
∴OH＝＝＝3．
故选：B．
10．（3分）为美化城市环境，计划种植树木10万棵，由于志愿者的加入，实际每天种植比原计划多20%，结果提前5天完成任务，设原计划每天种植树木x万棵．可列方程是（ ）
A．+5＝ B．﹣＝5
C．﹣＝5 D．﹣＝5
【分析】设原计划每天种植树木x万棵，则实际每天种植树木（1+20%）x万棵，根据工作时间＝工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前5天完成任务，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：设原计划每天种植树木x万棵，则实际每天种植树木（1+20%）x万棵，
依题意得：﹣＝5．
故选：C．
11．（3分）如图，AG：GD＝3：1，BD：DC＝2：3，则AE：EC的值是（ ）
A．8：7 B．8：5 C．3：2 D．6：5
【分析】过点D作DF∥BE交AC于点F，根据平行线分线段成比例定理分别求出、，进而得到答案．
【解答】解：过点D作DF∥BE交AC于点F，
则＝＝，＝＝3，
∴AE：EC＝6：5，
故选：D．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x+8的图象与x轴、y轴分别相交于点B、点A，以线段AB为边作矩形ABCD，且AB＝2BC，点C在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，则k的值为（ ）
A．﹣10 B．﹣12 C．﹣14 D．﹣16
【分析】过点C作CE⊥x轴于E，证明△AOB∽△BEC，可得点C坐标，代入求解即可．
【解答】解：∵当x＝0时，y＝2x+8＝8，
∴A（0，8），
∴OA＝8；
∵当y＝0时，y＝2x+8＝0，
∴x＝﹣4，
∴B（﹣4，0），
∴OB＝4；
过点C作CE⊥x轴于E，
∵四边形ABCD矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵∠CBE+∠ABO＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠CBE＝∠BAO．
∵∠BEC＝∠AOB＝90°，
∴△AOB∽△BEC，
∴＝，
∵AB＝2BC，
∴＝＝
∴OE＝2，BE＝4，
∴C点坐标为（﹣8，2），
∵点C在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，
∴k＝﹣8×2＝﹣16．
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分。）
13．（3分）分解因式：a3﹣4ab2＝ a（a+2b）（a﹣2b） ．
【分析】观察原式a3﹣4ab2，找到公因式a，提出公因式后发现a2﹣4b2符合平方差公式的形式，再利用平方差公式继续分解因式．
【解答】解：a3﹣4ab2
＝a（a2﹣4b2）
＝a（a+2b）（a﹣2b）．
故答案为：a（a+2b）（a﹣2b）．
14．（3分）现有一个半径为8cm的半圆形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计）．该圆锥底面圆的半径为 4 cm．
【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，利用扇形的弧长公式即可求得圆锥的底面周长，然后根据圆的周长公式即可求解．
【解答】解：圆锥的底面周长是：8πcm．
设圆锥底面圆的半径是rcm，则2πr＝8π．
解得：r＝4．
故答案为：4．
15．（3分）某鱼塘养了1000条鲤鱼、若干条草鱼和500条罗非鱼，该鱼塘主通过多捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右，若该鱼塘主随机在鱼塘捕捞一条鱼，则捞到鲤鱼的概率约为 ．
【分析】根据捕捞到草鱼的频率可以估计出放入鱼塘中鱼的总数量，从而可以得到捞到鲤鱼的概率．
【解答】解：∵捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右，
设草鱼的条数为x，可得：＝0.5；
解得：x＝1500，
∴由题意可得，捞到鲤鱼的概率为＝，
故答案为：．
16．（3分）如图已知一个圆环内直径为4cm，外直径为5cm，将20个这样的圆环一个接一个环套成一条链条，那么这条铁链拉直后的长度为 81 cm．
【分析】根据图形即可得到规律：n个环连成的锁链拉直后的最大长度是（5﹣4）+4n＝（4n+1）cm．
【解答】解：根据题意可知，1个圆环的最长长度是（5﹣4）+4＝5（cm）；
2个圆环套成的链条拉直后的长度是（5﹣4）+4×2＝9（cm）；
3个圆环套成的链条拉直后的长度是（5﹣4）+4×3＝13（cm）；
…
20个圆环套成的链条拉直后的长度是（5﹣4）+4×20＝81（cm）．
故答案为：81．
17．（3分）某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门A测得历下亭C在北偏东37°方向，继续向北走70m后到达游船码头B，测得历下亭C在游船码头B的北偏东53°方向．请计算一下南门A与历下亭C之间的距离约为 200 m．（参考数据：tan37°≈，tan53°≈）
【分析】过C作CE⊥BA于E．设EC＝xm，BE＝ym．由题意可构建方程组求出x，y的值，即可解决问题．
【解答】解：如图，过C作CE⊥BA于E．
设EC＝xm，BE＝ym，
在Rt△ECB中，tan53°＝≈，
即≈①，
在Rt△AEC中，tan37°＝≈，
即≈②，
由①②得：x＝120，y＝90，
∴EC＝120m，BE＝90m，
∴AE＝70+90＝160（m），
∴AC＝＝＝200（m），
故答案为：200．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，A（2，0）、B（0，2）、C（4，0）、D（3，2），P是△AOB外部的第一象限内一动点，且∠BPA＝135°，则2PD+PC的最小值是 4 ．
【分析】如图，取一点T（1，0），连接OP，PT，TD，首先利用四点共圆证明OP＝2，再利用相似三角形的性质证明PT＝PC，推出2PD+PC＝2（PD+PC），根据PD+OT≥D即可解决问题．
【解答】解：如图，取一点T（1，0），连接OP，PT，TD，
∵A（2，0）、B（0，2）、C（4，0），
∴OA＝OB＝2，OC＝4，
以O为圆心OA为半径作⊙O，在优弧AB上取一点Q，连接QB，QA，
∵∠Q＝AOB＝45°，∠APB＝135°，
∴∠Q+∠APB＝180°，
∴A、P、B、Q四点共圆，
∴OP＝OA＝2，
∵OP＝2，OT＝1，OC＝4，
∴OP2＝OC•OT，
∴，
∵∠POT＝∠POC，
∴△POT∽△POC，
∴，
∴PT＝，
∴2PD+PC＝2（PD+PC）＝2（PD+PT），
∵PD+PT≥DT，DT＝＝2，
∴2PD+PC，
∴2PD+PC的最小值是4．
故答案为：4．
三、解答题（本大题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）。
19．（6分）计算：（﹣1）2021+2×（）﹣1﹣|﹣2|．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及有理数的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝﹣1+2×2﹣2
＝﹣1+4﹣2
＝1．
20．（6分）解不等式组，井把它的解集在数轴上表示出来．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：，
由①得x≤4，
由②得x＞﹣2，
所以，原不等式组得解集为﹣2＜x≤4，
在数轴上表示如下图：
．
21．（8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．
（1）求证：四边形AODE是矩形；
（2）若△ABC是边长为4的正三角形，求四边形AODE的面积．
【分析】（1）根据题意可判断出四边形AODE是平行四边形，再由菱形的性质可得出AC⊥BD，即∠AOD＝90°，继而可判断出四边形AODE是矩形；
（2）由菱形的性质和勾股定理求出OB，得出OD，由矩形的性质即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOD＝90°，
∴四边形AODE是矩形；
（2）解：∵△ABC是边长为4的正三角形，
∴AB＝AC＝4，
∠ABC＝60°，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AO＝AC＝2，OD＝OB，
∵∠AOB＝90°，
∴OB＝＝2，
∴OD＝OB＝2，
∵四边形AODE是矩形，
∴四边形AODE的面积＝22＝4．
22．（8分）小明本学期的数学成绩如表所示：
测验类别
平时成绩1
平时成绩2
平时成绩3
平时成绩4
平时平均数
期中考试
期末考试
成绩
108
103
101
108
a
110
114
（1）六次测试成绩的中位数和众数分别是什么？
（2）请计算出小明该学期的平时成绩平均分a的值；
（3）如果学期的数学总评成绩是根据一定的权重计算所得，其中平时成绩a所占权重为20%，已知小明该学期的总评成绩为111分，请计算出期中考试和期末考试各自所占权重．
【分析】（1）根据中位数及众数的定义，即可得出答案；
（2）根据平均数的计算方法进行计算即可；
（3）设期中考试所占权重是x，期末考试所占权重是y，根据数学总评成绩为111分，及两者所占的比例之和为80%可得出方程组，解出即可．
【解答】解：（1）六次数据依次为：101、103、108、108、110、114，
则中位数为：108，众数为：108；
（2）a＝＝105；
（3）设期中考试所占权重是x，期末考试所占权重是y，
由题意得，
解得：．
答：期中考试所占权重是30%，期末考试所占权重是50%．
23．（8分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O直径，AB＝6，AD平分∠BAC，交BC于点E，交⊙O于点D，连接BD．
（1）求证：∠ABD＝∠BED；
（2）若∠AEB＝125°，求的长（结果保留π）．
【分析】（1）根据圆周角定理和外角的性质即可得到结论；
（2）连接OD，根据平角定义得到∠AEC＝55°，根据圆周角定理得到∠ACE＝90°，求得∠1＝35°，得到∠BOD＝2∠2＝70°，根据弧长公式即可得到结论．
【解答】（1）如图：
证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
∵∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∵∠ABD＝∠ABC+∠3，∠BED＝∠ABC+∠2，
∴∠ABD＝∠BED．
（2）解：连接OD，
∵∠AEB＝125°，
∴∠AEC＝55°，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACE＝90°，
∴∠1＝35°，
∴∠2＝∠1＝35°，
∴∠BOD＝2∠2＝70°，
∴的长＝＝π．
24．（10分）5月18日，我市九年级学生安全有序开学复课．为切实做好疫情防控工作，开学前夕，我市某校准备在民联药店购买口罩和水银体温计发放给每个学生．已知每盒口罩有100只，每盒水银体温计有10支，每盒口罩价格比每盒水银体温计价格多150元．用1200元购买口罩盒数与用300元购买水银体温计所得盒数相同．
（1）求每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是多少元？
（2）如果给每位学生发放2只口罩和1支水银体温计，且口罩和水银体温计均整盒购买．设购买口罩m盒（m为正整数），则购买水银体温计多少盒能和口罩刚好配套？请用含m的代数式表示．
（3）在民联药店累计购医用品超过1800元后，超出1800元的部分可享受8折优惠．该校按（2）中的配套方案购买，共支付w元，求w关于m的函数关系式．若该校九年级有900名学生，需要购买口罩和水银体温计各多少盒？所需总费用为多少元？
【分析】（1）设每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是x元，（x﹣150）元，根据题意列出分式方程即可；
（2）根据配套问题，设购买水银体温计y盒能和口罩刚好配套，根据口罩的数量等于水银体温计数量的2倍列出方程即可用含m的代数式表示；
（3）根据题意列出不等式：200m+50×5m≤1800，可得m≤4时，w＝450m；当m＞4时，w＝1800+（450m﹣1800）×0.8＝360m+360，进而可得w关于m的函数关系式．
【解答】解：（1）设每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是x元，（x﹣150）元，根据题意，得
＝，
解得x＝200，
经检验，x＝200是原方程的解，
∴x﹣150＝50，
答：每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是200元、50元；
（2）设购买水银体温计y盒能和口罩刚好配套，根据题意，得
100m＝2×10y，
则y＝5m，
答：购买水银体温计5m盒能和口罩刚好配套；
（3）若200m+50×5m≤1800，
∴450m≤1800，
∴m≤4，
即m≤4时，w＝450m；
若m＞4，
则w＝1800+（450m﹣1800）×0.8＝360m+360，
综上所述：w＝．
若该校九年级有900名学生，
需要购买口罩：900×2＝1800（支），
水银体温计：900×1＝900（支），
此时m＝1800÷100＝18（盒），y＝5×18＝90（盒），
则w＝360×18+360＝6840（元）．
答：购买口罩和水银体温计各18盒、90盒，所需总费用为6840元．
25．（10分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于原点O和点A（6，0），抛物线的顶点为B．
（1）求该抛物线的解析式和顶点B的坐标；
（2）若动点P从原点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿线段OB运动，同时有一动点M从点A出发，以每秒2个长度单位的速度沿线段AO运动，当P、M其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动时间为t（s），连接MP，当t为何值时，四边形ABPM的面积最小？并求此最小值．
（3）在（2）的条件下，当t为何值时，△OPM是直角三角形？
【分析】（1）根据点O，A的坐标，利用待定系数法可求出二次函数的解析式，再将二次函数解析式由一般式变形为顶点式，即可得出顶点B的坐标；
（2）当运动时间为t时，结合点P，M的运动速度可得出0≤t≤3，由S四边形ABPM＝S△ABO﹣S△POM可得出四边形ABPM的面积关于t的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；
（3）当t＝3时，M和O点重合，M，O，P不构成三角形①当∠OPM＝90°时，由∠BOA＝60°，∠PMO＝30°，则OM＝2OP，即t＝6﹣2t，即可求解②当∠OMP＝90°时同理可解．
【解答】解：（1）将O（0，0），A（6，0）代入y＝﹣x2+bx+c得：，解得，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x．
∵y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣3）2+3，
∴顶点B的坐标为（3，3）．
（2）当运动时间为t时，OP＝t，AM＝2t，PCt，PC＝t，OM＝6﹣2t．
∵当P、M其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动，
∴0≤t≤3．
则S四边形ABPM＝S△ABO﹣S△PO＝•OA•yB﹣•OM•PC＝×6×3﹣×（6﹣2t）×t＝（t﹣）2+．
∵＞0，
∴当t＝时，四边形ABPM的面积取最小值，最小值为；
（3）设直线OB的解析式为y＝kx，
将B（3，3）代入y＝kx，得：3＝3k，
解得：k＝，
∴直线OB的解析式为y＝x．
过点P作PC⊥x轴于点C，如图所示．
设点P的坐标为（x，x），则点C的坐标为（x，0）．
∵tan∠POC＝＝，
∴∠POC＝60°．
当∠APO＝90°，则cos∠POC＝＝，
∴OP＝3．
∵OP＝1×t＝3，
∴t＝3．
当t＝3时，M和O点重合，M，O，P不构成三角形，
①当∠OPM＝90°时，
∵∠BOA＝60°，
∴∠PMO＝30°
∴OM＝2OP，
即t＝6﹣2t，
∴t＝2；
②当∠OMP＝90°时，
∵∠BOA＝60°，∠OPM＝30°，
∴OP＝2OM，
即t＝2（6﹣2t），
∴t＝．
26．（10分）在矩形ABCD中，AB＝12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F．
（1）如图1，若点E是AD的中点，求AD的长；
（2）如图2，①求证：BP＝BF；
②若AD＝25，且AE＞DE，求sin∠PCB的值；
③当BE•EF＝108时，求BP的值．
【分析】（1）先判断出∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，再判断出AE＝DE，可证明△AEB≌△DEC，得到BE＝CE，从而判定△BEC是等腰直角三角形，得到∠AEB＝∠ABE＝45°，则可得AB＝AE，即可得到AD的长；
（2）①利用折叠的性质，得出∠PGC＝∠PBC＝90°，∠BPC＝∠GPC，进而判断出∠GPF＝∠PFB，即可得出结论；
②判断出△ABE～△DEC，得出比例式建立方程求解即可得出AE＝16，DE＝9，再判断出△ECF～△GCP，进而求出BP和PC，即可得出结论；
③判断出△GEF∽△EAB，得出BE•EF＝AB•GF，即可得出结论．
【解答】解：（1）由题意可知，∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，AE＝DE，
在△AEB和△DEC中，
AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，HE＝DE，
∴△AEB≌△DEC（SAS），
∴BE＝CE，
∵BE⊥CG，即∠BEC＝90°，
∴△BEC是等腰直角三角形，∠EBC＝∠ECB＝45°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CED＝∠ABE＝45°，
∴AE＝AB＝12，
∴AD＝24；
（2）①在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，
∵△BPC沿PC折叠得到△GPC，
∴∠PGC＝∠PBC＝90°，∠BPC＝∠GPC，
∵BE⊥CG，
∴BE∥PG，
∴∠GPF＝∠PFB，
∴∠BPF＝∠BFP，
∴BP＝BF；
②当AD＝25时，
∵∠BEC＝90°，
∴∠AEB+∠CED＝90°，
∵∠AEB+∠ABE＝90°，
∴∠CED＝∠ABE，
∵∠A＝∠D＝90°，
∴△ABE～△DEC，
∴，
设AE＝x，
∴DE＝25﹣x，
∴，
∴x＝9或x＝16，
∵AE＞DE，
∴AE＝16，DE＝9，
∴CE＝＝15，BE＝＝20，
由折叠得BP＝PG，
∴BP＝BF＝PG，
∵BE∥PG，
∴△ECF～△GCP，
∴，
设BP＝BF＝PG＝y，
∴，
解得：y＝，
经检验y＝是原方程的解，
∴，
在Rt△PBC中，PC＝＝，
∴sin∠PCB＝；
③如图，连接FG，
∵BE∥PG，
∴∠GPF＝∠PFB，
∴∠BPF＝∠BFP，
∴BP＝BF，
∵BP＝PG，
∴▱BPGF是菱形，
∴BP∥GF，
∴∠GFE＝∠ABE，
∴△GEF∽△EAB，
∴，
∴BE•EF＝AB•GF，
∵BE•EF＝108，AB＝12，
∴BP＝GF＝9．
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