2021年黑龙江省哈尔滨市松北区中考数学一模试卷

这是一份2021年黑龙江省哈尔滨市松北区中考数学一模试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）﹣2的相反数是（ ）
A．2B．﹣2C．D．
2．（3分）下列运算中，结果正确的是（ ）
A．3x2+2x2＝5x4B．（x+y）2＝x2+y2
C．（x2）3＝x5D．x3•x3＝x6
3．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
4．（3分）如图，是由4个大小相同的正方体搭成的几何体，其俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠AOD＝30°，则∠BCD的度数是（ ）
A．100°B．105°C．110°D．120°
6．（3分）如果将抛物线y＝x2+2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（ ）
A．y＝（x﹣1）2+2B．y＝（x+1）2+2C．y＝x2+1D．y＝x2+3
7．（3分）如图，在△ABC中，∠CAB＝70°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′的度数是（ ）
A．70°B．35°C．40°D．50°
8．（3分）方程＝的解为（ ）
A．x＝1B．x＝﹣1C．x＝D．x＝﹣
9．（3分）在一个不透明的袋中装有4个小球，其中3个红球、1个黄球，这些小球除颜色外无其他差别，随机从袋中摸出两个小球，则两球恰好是一个黄球和一个红球的概率是（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在BC边上，过点D作DG∥BC，交AC于点G，过点E作EH∥AB，交AC于点H，DG的延长线与EH的延长线交于点F，则下列式子一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．（3分）3280000用科学记数法表示为 ．
12．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
13．（3分）反比例函数y＝的图象经过点（﹣1，2），则k＝ ．
14．（3分）计算﹣2的结果是 ．
15．（3分）把多项式am2﹣9a分解因式的结果是 ．
16．（3分）抛物线y＝x2﹣2x﹣8的对称轴为直线 ．
17．（3分）不等式组的解集是 ．
18．（3分）已知扇形的圆心角为150°，它所对应的弧长20πcm，则此扇形的半径是 cm．
19．（3分）在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE与AC所在的直线相交于点E，垂足为D，连接BE．若AE＝5，tan∠AED＝，则CE＝ ．
20．（3分）如图，已知：PA＝，PB＝4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧．当∠APB＝45°时，则PD的长为 ．
三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分）
21．（7分）先化简，再求代数式（）的值，其中x＝3tan30°+1．
22．（7分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB的端点均在小正方形的顶点上，请按要求画出图形，使得它们的顶点均在小正方形的顶点上；
（1）在图中画一个以AB为边的菱形ABCD，使得菱形ABCD的面积为24；
（2）画一个以点B为直角顶点的等腰直角三角形ABE；
（3）连接CE，请直接写出线段CE的长．
23．（8分）中学生骑电动车上学的现象越来越受到社会的关注．为此某媒体记者随机调查了某市城区若干名中学生家长对这种现象的态度（态度分为：A：无所谓；B：反对；C：赞成），并将调查结果绘制成图①和图②的统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次抽样调查中，共调查了 名中学生家长；
（2）将图①补充完整；
（3）根据抽样调查结果，请你估计该市城区80000名中学生家长中有多少名家长持赞成态度？
24．（8分）已知：四边形ABCD中，AC为对角线，∠DAC＝∠BCA，且AD＝BC，CD⊥AD于点D．
（1）如图1，求证：四边形ABCD是矩形．
（2）如图2，点E和点F分别为边AB和边BC的中点，连接DE、DF分别交AC于点G和点H，连接BG，在不连接其它线段的情况下，请写出所有面积是△FHC面积的2倍的所有三角形．
25．（10分）某旗舰网店用8000元购进甲、乙两种型号的口罩，销售完后共获利2800元，进价和售价如表：
（1）求该网店购进甲、乙两种型号口罩各多少袋？
（2）该网店第二次以原价购进甲、乙两种型号口罩，购进乙种型号口罩袋数不变，而购进甲种型号口罩袋数是第一次的2倍．甲种口罩按原售价出售，而乙种口罩让利销售．若两种型号的口罩都售完，要使第二次销售活动获利不少于3680元，乙种型号的口罩最低售价为每袋多少元？
26．（10分）已知△ABC内接于⊙O，AD⊥OB于D．
（1）如图1，求证：∠BAD＝∠ACB；
（2）如图2，若AB＝AC，求证：BC＝2AD；
（3）如图3，在（2）条件下，延长AD分别交BC、⊙O于点E、F，过点A作AG⊥BF于点G，AG与BD交于点K，延长AG交⊙O于点H，若GH＝2，BC＝4，求OD的长．
27．（10分）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝kx+3与x轴、y轴分别交于点A、点B，且△ABO的面积为9．
（1）如图1，求k的值；
（2）如图2，若点P是线段AO上的一动点，过点P作PC∥AB，交y轴于点C，设点P的横坐标为t，线段BC的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，点D为线段AB的延长线上一点，连接DO，DO与PC的延长线交于点E，若∠BPC＝2∠BOD，BP﹣PE＝，求点D的坐标．
2021年黑龙江省哈尔滨市松北区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．（3分）﹣2的相反数是（ ）
A．2B．﹣2C．D．
【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．
【解答】解：﹣2的相反数是：﹣（﹣2）＝2，
故选：A．
2．（3分）下列运算中，结果正确的是（ ）
A．3x2+2x2＝5x4B．（x+y）2＝x2+y2
C．（x2）3＝x5D．x3•x3＝x6
【分析】根据合并同类项法则，完全平方公式；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相乘，底数不变指数相加，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、3x2+2x2＝5x2，故本选项错误；
B、（x+y）2＝x2+2xy+y2，故本选项错误；
C、（x2）3＝x2×3＝x6，故本选项错误；
D、x3•x3＝x3+3＝x6，故本选项正确．
故选：D．
3．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念求解．
【解答】解：第二个、第三个图形既是轴对称图形又是中心对称图形，共2个．
故选：C．
4．（3分）如图，是由4个大小相同的正方体搭成的几何体，其俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可．
【解答】解：从上面看是一行3个正方形．故选A．
5．（3分）如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠AOD＝30°，则∠BCD的度数是（ ）
A．100°B．105°C．110°D．120°
【分析】连接AC，根据圆周角定理，可分别求出∠ACB＝90°，∠ACD＝15°，即可求∠BCD的度数．
【解答】解：连接AC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠AOD＝30°，
∴∠ACD＝15°，
∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝105°，
故选：B．
6．（3分）如果将抛物线y＝x2+2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（ ）
A．y＝（x﹣1）2+2B．y＝（x+1）2+2C．y＝x2+1D．y＝x2+3
【分析】根据向下平移，纵坐标相减，即可得到答案．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+2向下平移1个单位，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2﹣1，即y＝x2+1．
故选：C．
7．（3分）如图，在△ABC中，∠CAB＝70°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′的度数是（ ）
A．70°B．35°C．40°D．50°
【分析】根据旋转的性质得AC′＝AC，∠B′AB＝∠C′AC，再根据等腰三角形的性质得∠AC′C＝∠ACC′，然后根据平行线的性质由CC′∥AB得∠ACC′＝∠CAB＝70°，则∠AC′C＝∠ACC′＝70°，再根据三角形内角和计算出∠CAC′＝40°，所以∠B′AB＝40°．
【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，
∴AC′＝AC，∠B′AB＝∠C′AC，
∴∠AC′C＝∠ACC′，
∵CC′∥AB，
∴∠ACC′＝∠CAB＝70°，
∴∠AC′C＝∠ACC′＝70°，
∴∠CAC′＝180°﹣2×70°＝40°，
∴∠B′AB＝40°，
故选：C．
8．（3分）方程＝的解为（ ）
A．x＝1B．x＝﹣1C．x＝D．x＝﹣
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2x＝x+1，
解得：x＝1，
检验：把x＝1代入得：x（x+1）＝1×2＝2≠0，
则分式方程的解为x＝1．
故选：A．
9．（3分）在一个不透明的袋中装有4个小球，其中3个红球、1个黄球，这些小球除颜色外无其他差别，随机从袋中摸出两个小球，则两球恰好是一个黄球和一个红球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两球恰好是一个黄球和一个红球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，两球恰好是一个黄球和一个红球的有6种情况，
∴两球恰好是一个黄球和一个红球的概率为＝，
故选：A．
10．（3分）如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在BC边上，过点D作DG∥BC，交AC于点G，过点E作EH∥AB，交AC于点H，DG的延长线与EH的延长线交于点F，则下列式子一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据相似三角形的判定与性质进行逐一判断即可．
【解答】解：∵DG∥BC，
∴＝，故A选项错误；
∵DG∥BC，
∴＝，故B选项错误；
∵EH∥AB，
∴＝，故C选项正确；
∵EH∥AB，
∴＝，故D选项错误．
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．（3分）3280000用科学记数法表示为 3.28×106 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：3280000＝3.28×106，
故答案为：3.28×106．
12．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 x≠﹣5 ．
【分析】根据分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得，x+5≠0，
解得，x≠﹣5，
故答案为：x≠﹣5．
13．（3分）反比例函数y＝的图象经过点（﹣1，2），则k＝ ﹣3 ．
【分析】直接把点（﹣1，2）代入反比例函数y＝，求出k的值即可．
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象经过点（﹣1，2），
∴k+1＝（﹣1）×2，
解得k＝﹣3．
故答案是：﹣3
14．（3分）计算﹣2的结果是 ．
【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝3﹣2＝．
故答案为：．
15．（3分）把多项式am2﹣9a分解因式的结果是 a（m+3）（m﹣3） ．
【分析】直接提取公因式a，再利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：am2﹣9a＝a（m2﹣9）
＝a（m+3）（m﹣3）．
故答案为：a（m+3）（m﹣3）．
16．（3分）抛物线y＝x2﹣2x﹣8的对称轴为直线 x＝1 ．
【分析】把二次函数解析式配方成顶点式的形式，然后即可写出对称轴．
【解答】解：y＝x2﹣2x﹣8＝x2﹣2x+1﹣9＝（x﹣1）2﹣9，
故对称轴是直线x＝1，
故答案为x＝1．
17．（3分）不等式组的解集是 1＜x＜4 ．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【解答】解：，
由①得：x＜4；
由②得：x＞1，
则不等式组的解集为1＜x＜4．
故答案为：1＜x＜4．
18．（3分）已知扇形的圆心角为150°，它所对应的弧长20πcm，则此扇形的半径是 24 cm．
【分析】根据弧长公式即可得到关于扇形半径的方程即可求解．
【解答】解：设扇形的半径是R，则＝20π
解得：R＝24．
故答案为：24．
19．（3分）在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE与AC所在的直线相交于点E，垂足为D，连接BE．若AE＝5，tan∠AED＝，则CE＝ 11或1 ．
【分析】分两种情况讨论解答，在△ADE中，利用tan∠AED＝，得出AD与DE的比，设出AD＝3k．利用勾股定理表示AD，k可求，进而求CE．
【解答】解：分两种情形：
当DE与AC边相交时，如图，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，AD⊥DE．
在Rt△ADE中，tan∠AED＝．
∵tan∠AED＝，
∴．
设AD＝3k，则DE＝4k．
∴．
∵AE＝5，
∴5k＝5．
∴k＝1．
∴AD＝3k＝3．
∴AB＝2AD＝6．
∵AB＝AC，
∴AC＝6．
∴CE＝AC﹣AE＝6﹣5＝1．
当DE与CA的延长线相交时，如图，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，AD⊥DE．
在Rt△ADE中，tan∠AED＝．
∵tan∠AED＝，
∴．
设AD＝3k，则DE＝4k．
∴．
∵AE＝5，
∴5k＝5．
∴k＝1．
∴AD＝3k＝3．
∴AB＝2AD＝6．
∵AB＝AC，
∴AC＝6．
∴CE＝AC+AE＝6+5＝11．
综上，CE的长为1或11．
故答案为1或11．
20．（3分）如图，已知：PA＝，PB＝4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧．当∠APB＝45°时，则PD的长为 2 ．
【分析】由于AD＝AB，∠DAB＝90°，则把△APD绕点A顺时针旋转90°得到△AFB，AD与AB重合，PA旋转到AF的位置，根据旋转的性质得到AP＝AF，∠PAF＝90°，PD＝FB，则△APF为等腰直角三角形，得到∠APF＝45°，PF＝AP＝2，即有∠BPF＝∠APB+∠APF＝45°+45°＝90°，然后在Rt△FBP中，根据勾股定理可计算出FB的长，即可得到PD的长．
【解答】解：∵AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴把△APD绕点A顺时针旋转90°得到△AFB，AD与AB重合，PA旋转到AF的位置，如图，
∴AP＝AF，∠PAF＝90°，PD＝FB，
∴△APF为等腰直角三角形，
∴∠APF＝45°，PF＝AP＝2，
∴∠BPF＝∠APB+∠APF＝45°+45°＝90°，
在Rt△FBP中，PB＝4，PF＝2，
∴由勾股定理得FB＝2，
∴PD＝2，
故答案为：2．
三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分）
21．（7分）先化简，再求代数式（）的值，其中x＝3tan30°+1．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出x的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝[﹣]•
＝•
＝，
当x＝3tan30°+1＝3×+1＝+1时，原式＝＝＝．
22．（7分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB的端点均在小正方形的顶点上，请按要求画出图形，使得它们的顶点均在小正方形的顶点上；
（1）在图中画一个以AB为边的菱形ABCD，使得菱形ABCD的面积为24；
（2）画一个以点B为直角顶点的等腰直角三角形ABE；
（3）连接CE，请直接写出线段CE的长．
【分析】（1）作对角线分别为6，8的菱形即可．
（2）根据等腰直角三角形的定义画出图形即可．
（3）利用勾股定理求解即可．
【解答】解：（1）如图，菱形ABCD即为所求作．
（2）如图，△ABE即为所求作．
（3）EC＝＝．
23．（8分）中学生骑电动车上学的现象越来越受到社会的关注．为此某媒体记者随机调查了某市城区若干名中学生家长对这种现象的态度（态度分为：A：无所谓；B：反对；C：赞成），并将调查结果绘制成图①和图②的统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次抽样调查中，共调查了 200 名中学生家长；
（2）将图①补充完整；
（3）根据抽样调查结果，请你估计该市城区80000名中学生家长中有多少名家长持赞成态度？
【分析】（1）用无所谓的人数除以其所占的百分比即可得到调查的总数；
（2）总数减去A、B两种态度的人数即可得到C态度的人数；
（3）用家长总数乘以持赞成态度的百分比即可．
【解答】解：（1）调查家长总数为：50÷25%＝200（人）；
故答案为200；
（2）持赞成态度的学生家长有200﹣50﹣120＝30（人），
故条形统计图为：
（3）持赞成态度的百分比为：1﹣25%﹣60%＝15%，
持赞成态度的家长有：80000×15%＝12000（人）．
24．（8分）已知：四边形ABCD中，AC为对角线，∠DAC＝∠BCA，且AD＝BC，CD⊥AD于点D．
（1）如图1，求证：四边形ABCD是矩形．
（2）如图2，点E和点F分别为边AB和边BC的中点，连接DE、DF分别交AC于点G和点H，连接BG，在不连接其它线段的情况下，请写出所有面积是△FHC面积的2倍的所有三角形．
【分析】（1）根据平行四边形的判定定理得到四边形ABCD是平行四边形，由∠D＝90°，于是得到结论；
（2）根据矩形的性质得到AB＝CD，根据相似三角形的性质得到AG＝GH＝CH，得到S△ADG＝S△DGH＝S△CDH，根据全等三角形的性质得到S△ABG＝S△CDH，于是得到结论．
【解答】（1）证明：∵∠DAC＝∠BCA，
∴AD∥BC，
∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵CD⊥AD，
∴∠D＝90°，
∴▱ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，
∵点E和点F分别为边AB和边BC的中点，
∴AB＝CD＝2AE，AD＝BC＝2CF，
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴△AEG∽△CDG，△CFH∽△ADH，
∴，＝＝，
∴＝＝，S△CDH＝2S△CHF，
∴AG＝GH＝CH，
∴S△ADG＝S△DGH＝S△CDH，
在△ABG与△CDH中，，
∴△ABG≌△CDH（SAS），
∴S△ABG＝S△CDH，
∴S△ADG＝S△DGH＝S△CDH＝S△ABG＝2S△CHF，
∴面积是△FHC面积的2倍的所有三角形是△ADG，△DGH，△CDH，△ABG．
25．（10分）某旗舰网店用8000元购进甲、乙两种型号的口罩，销售完后共获利2800元，进价和售价如表：
（1）求该网店购进甲、乙两种型号口罩各多少袋？
（2）该网店第二次以原价购进甲、乙两种型号口罩，购进乙种型号口罩袋数不变，而购进甲种型号口罩袋数是第一次的2倍．甲种口罩按原售价出售，而乙种口罩让利销售．若两种型号的口罩都售完，要使第二次销售活动获利不少于3680元，乙种型号的口罩最低售价为每袋多少元？
【分析】（1）设该网店购进甲种型号口罩x袋，乙种型号口罩y袋，根据“购进这批口罩的总价为8000元，且销售完后共获利2800元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设乙种型号的口罩售价为每袋m元，利用总利润＝每袋的利润×销售数量，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设该网店购进甲种型号口罩x袋，乙种型号口罩y袋，
依题意得：，
解得：．
答：该网店购进甲种型号口罩200袋，乙种型号口罩160袋．
（2）设乙种型号的口罩售价为每袋m元，
依题意得：（26﹣20）×200×2+（m﹣25）×160≥3680，
解得：m≥33．
答：乙种型号的口罩最低售价为每袋33元．
26．（10分）已知△ABC内接于⊙O，AD⊥OB于D．
（1）如图1，求证：∠BAD＝∠ACB；
（2）如图2，若AB＝AC，求证：BC＝2AD；
（3）如图3，在（2）条件下，延长AD分别交BC、⊙O于点E、F，过点A作AG⊥BF于点G，AG与BD交于点K，延长AG交⊙O于点H，若GH＝2，BC＝4，求OD的长．
【分析】（1）延长BO交⊙O于点M，连接AM，根据同弧所对的圆周角相等可得∠M＝∠ACD，由直径所对的圆周角是直角可得∠BAM＝90°，再利用同角的余角相等即可证得结论；
（2）连接AO并延长交BC于点N，连接OC，先证明△BAO≌△CAO （SSS），再证明Rt△BNO≌Rt△ADO（AAS），即可证得结论；
（3）连接BH，FH，OA，先证明Rt△BGH≌Rt△BGK（AAS），再证明△BAK≌△BFH（SAS），设AK＝FH＝m，可得AG＝m+2，运用勾股定理求出m，再设OD＝n，OA＝OB＝4﹣n，再运用勾股定理求出n，即可得出答案．
【解答】解：（1）如图1，延长BO交⊙O于点M，连接AM，
∵＝，
∴∠M＝∠ACD，
∵BM为⊙O的直径，
∴∠BAM＝90°，
在Rt△BAM中，∠ABM+∠M＝90°，
∵AD⊥OB于D，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△ADB中，∠ABM+∠BAD＝90°，
∴∠M＝∠BAD，
∴∠BAD＝∠ACB；
（2）如图2，连接AO并延长交BC于点N，连接OC，
在△BAO和△CAO中，
，
∴△BAO≌△CAO （SSS），
∴∠BAO＝∠CAO，
∴AN⊥BC，BN＝CN，
在Rt△BNO和Rt△ADO中，
，
∴Rt△BNO≌Rt△ADO（AAS），
∴BN＝AD＝BC，BC＝2AD；
（3）如图3，连接BH，FH，OA，
∵BD⊥AF，BD经过圆心O，
∴＝，AD＝DF，
∴AB＝BF，
∴∠ABD＝∠FBD，
∵BD⊥AF，AG⊥BF，
∴∠ADB＝∠AGB＝90°，
∵∠AKD＝∠BKG，∠KAD+∠AKD＝∠KBG+∠BKG＝90°，
∴∠KAD＝∠KBG，
∵＝，
∴∠HBG＝∠KAD，
∴∠HBG＝∠KBG＝∠ABK，
在△BGH和△BGK中，
，
∴Rt△BGH≌Rt△BGK（AAS），
在△BAK和△BFH中，
，
∴△BAK≌△BFH（SAS），
∴AK＝FH，
设AK＝FH＝m，
∵GH＝GK＝2，
∴AG＝m+2，
∵BC＝2AD，AF＝2AD，
∴AF＝BC＝4，
∵AF2﹣AG2＝FH2﹣GH2＝FG2，
∴（4）2﹣（m+2）2＝m2﹣22，
解得：m1＝6，m2＝﹣8（舍去），
∴AK＝HF＝6，AG＝8，
在Rt△FGH中，
FG＝＝＝4，
∵△ABG∽△FHG，
∴BG＝2，
∴AB＝BF＝6，
在Rt△ABD中，AD＝AF＝2，BD＝4，
设OD＝n，OA＝OB＝4﹣n，
在Rt△AOD中，AD2+OD2＝OA2，
∴（2）2+n2＝（4﹣n）2，
解得：n＝，
∴OD＝．
27．（10分）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝kx+3与x轴、y轴分别交于点A、点B，且△ABO的面积为9．
（1）如图1，求k的值；
（2）如图2，若点P是线段AO上的一动点，过点P作PC∥AB，交y轴于点C，设点P的横坐标为t，线段BC的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，点D为线段AB的延长线上一点，连接DO，DO与PC的延长线交于点E，若∠BPC＝2∠BOD，BP﹣PE＝，求点D的坐标．
【分析】（1）根据题意先求出点A，B的坐标，依据三角形面积列方程求解即可；
（2）先根据两直线平行时，其解析式一次项系数相等，求出直线PC的解析式，进而求出点C的坐标，即可得到答案；
（3）在y轴的负半轴上取一点F，使FO＝BO＝3，连接PF，延长DO交PF于点G，过点B作BH∥PF交OD于H，证明△BHD和△FGO，过点D作DT⊥y轴于T，设D（m，m+3），根据题意建立方程求解．
【解答】解：（1）∵直线y＝kx+3与x轴、y轴分别交于点A、点B，
∴A（﹣，0），B（0，3），
∴OA＝|﹣|，OB＝3，
∴S△ABO＝•OA•OB＝×|﹣|×3＝||，
∵S△ABO＝9，
∴||＝9，
解得：k＝±，
∵由图1知k＞0，
∴k＝；
（2）∵PC∥AB，P（t，0），
∴直线PC的解析式为y＝x﹣t，
令x＝0，得y＝﹣t，
∴C（0，﹣t），
∴BC＝3﹣（﹣t）＝t+3，
∵线段BC的长为d，
∴d＝t+3；
（3）如图3，在y轴的负半轴上取一点F，使FO＝BO＝3，连接PF，延长DO交PF于点G，
∵BF⊥PO，FO＝BO，
∴BP＝PF，
设∠BOD＝α，∠PBO＝β，
∵∠BPC＝2∠BOD，
∴∠BPC＝2α，∠OFG＝∠PBO＝β，∠GOF＝∠BOD＝α，
∠PGE＝∠PFO+∠GOF＝α+β，
∵∠BCE＝∠PBO+∠BPC＝∠BOD+∠PEO，
∴β+2α＝α+∠PEO，
∴∠PEO＝α+β，
∴∠PEO＝∠PGE，
∴PE＝PG，
过点B作BH∥PF交OD于H，
∴∠BHD＝∠PGE，∠BHO＝∠FGO，
∵PC∥AB，
∴∠BHD＝∠PEO，
∴∠BHD＝∠BDH，
∴BD＝BH，
在△BHO和△FGO中，
，
∴△BHO和△FGO（AAS），
∴GF＝BH＝BD，
∵BP﹣PE＝，BP＝PF，PE＝PG，
∴PF﹣PG＝，
即GF＝，
∴BD＝，
过点D作DT⊥y轴于T，设D（m，m+3），且m＞0，则TD＝m，
TB＝TO﹣BO＝m+3﹣3＝m，
在Rt△BTD中，TD2+BT2＝BD2，
即m2+（m）2＝（）2，
解得：m1＝1，m2＝﹣1，
当m＝1时，m+3＝×1+3＝，
∴D（1，）．
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