2021年陕西省学林大联考中考数学模拟试卷（一）

这是一份2021年陕西省学林大联考中考数学模拟试卷（一），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）计算（﹣）0＝（ ）
A．﹣B．1C．﹣4D．﹣1
2．（3分）两个长方体按图示方式摆放，其主视图是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）如图，直线a，b相交于点O，如果∠1+∠2＝60°，那么∠3是（ ）
A．150°B．120°C．60°D．30°
4．（3分）如表中是正比例函数y＝kx的自变量x与函数y的对应值，则p的值为（ ）
A．2B．﹣2C．1D．4
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．3a+2b＝5abB．a3•a2＝a6
C．（﹣a3b）2＝a6b2D．a2b3÷a＝b3
6．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝2，则BF的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
7．（3分）在平面直角坐标系中，将直线l1：y＝3x﹣2向右平移2个单位得到直线l2，则要得到直线l2，还可以将直线l1（ ）
A．向上平移2个单位B．向下平移2个单位
C．向上平移6个单位D．向下平移6个单位
8．（3分）如图，菱形ABCD对角线AC，BD交于点O，∠ACB＝15°，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E．若菱形ABCD的面积为4，则菱形的边长为（ ）
A．2B．2C．4D．4
9．（3分）如图，点A，D，B，C是圆O上的四个点，连接AB，CD，相交于点E，若∠BOD＝40°，∠AOC＝120°，则∠AEC等于（ ）
A．70°B．75°C．80°D．85°
10．（3分）已知二次函数y＝a（x﹣m）2（a＞0）的图象经过点A（﹣1，p），B（3，q），且p＜q，则m的值不可能是（ ）
A．﹣2B．﹣C．0D．
二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）
11．（3分）比较大小：﹣ ﹣4．（填“＜”或“＞”符号）
12．（3分）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，则△ACE的周长为 ．
13．（3分）在平面直角坐标系中，A为反比例函数y＝﹣（x＞0）图象上一点，点B的坐标为（4，0），O为坐标原点，若△AOB的面积为6，则点A的坐标为 ．
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E是AD所在直线上的一点．过点A作AN⊥BE于N，点M是BC上一动点，连接NM，MD，则MN+MD的最小值为 ．
三、解答题（共11小题，计78分解答应写出过程）
15．（5分）解不等式组：．
16．（5分）化简：（﹣a+1）÷．
17．（5分）如图，在△ABC中，∠A＝30°，请用尺规作图法，在AC边上求作一点M，使得AM＝2BM．（不写作法，保留作图痕迹）
18．（5分）如图，在▱ABCD中，点E，F是对角线AC上的两点，且AF＝CE，连接DE，BF．求证：DE∥BF．
19．（7分）为保护学生视力，让学生在学校专心学习，防止沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，2021年2月1日教育部印发《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，要求中小学生原则上不得将个人手机带入校园．某校为了解全校学生在此之前使用手机情况，随机抽取了部分学生调查其一周使用手机的时间，并用调查结果绘制了统计图表，请根据统计图表解答以下问题：
（1）补全频数分布直方图，填出所抽取学生一周使用手机时间的中位数落在 组；
（2）若以各组组中值（例如0＜t≤2的组中值为1小时）代表各组的实际数据，求出所抽取学生一周使用手机时间的平均数及众数；
（3）若该校共有1200名中学生，请你估计该校学生中一周使用手机的时间在6小时以上的有多少人？
20．（7分）2020年我国建成5G基站超60万个，5G建设跑出“中国速度”．某地有一个5G信号塔AB，小敏想用所学的数学知识测量信号塔AB的高度，她选择用树CD和楼房来测量．首先在树的底部D处测得信号塔的顶部A的仰角为42°；然后她站在楼房上的点E处恰好看到树的顶端C、信号塔的顶端A在一条直线上．测得树与楼房的距离DF＝12米，CD＝12米，EF＝6米，已知点B、D、F三点共线，AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF，测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求信号塔AB的高度．（参考数据：sin42°≈0.67，cs42°≈0.74，tan42°≈0.90）
21．（7分）为全面落实乡村振兴总要求，充分发扬“为民服务孺子牛”“创新发展拓荒牛”“艰苦奋斗老黄牛”精神，某镇政府计划在该镇试种植苹果树和桔子树共100棵．已知平均每棵果树的投入成本和产量如表所示，且苹果的售价为10元/kg，桔子的售价为6元/kg．
设种植苹果树x棵．
（1）若种植苹果树和桔子树共获利y元，求y与x之间的函数关系式；
（2）若种植苹果树45棵，求种植苹果树和桔子树共获利多少元？
22．（7分）嫦娥、神舟、北斗、天问被称为中国航天的“四大天王”．2020年“北斗”组网、“天问”问天、“嫦五”探月，一个个好消息从太空传来，照亮了中国航天界的未来!小玲对航空航天非常感兴趣，她收集到了嫦娥五号、神舟十一号、北斗三号、天问一号的模型图，依次制成编号为A、B、C、D的四张卡片（背面完全相同），将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）小玲从中随机抽取一张卡片是“北斗三号”的概率为 ；
（2）小玲从四张卡片中随机抽取一张卡片（不放回）．再从余下的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是编号为A（嫦娥五号）和D（天问一号）的概率．
23．（8分）如图，作△ABF的外接圆⊙O，AB为⊙O的直径，点D在AB上（D不与端点重合），过点D作AB的垂线交BF的延长线于点C，且CD＝AB，过F作⊙O的切线交DC于点E．
（1）求证：EF＝EC；
（2）若D是OA的中点，AB＝4，求CF的长．
24．（10分）如图，已知抛物线L：y＝x2+bx﹣4交y轴于点A，交x轴于点B（﹣4，0）、C．抛物线L关于原点O对称的抛物线为L'，点A在抛物线L'上的对应点为A'．
（1）求抛物线L'的函数表达式；
（2）过点A'作平行于x轴的直线l，点P是抛物线L′上一动点，过点P作PQ⊥l于Q，连接A'P．若△A'QP∽△AOC，求点P的坐标．
25．（12分）问题提出
（1）如图1，Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝α，则△ABC的面积为 ；（用含α的式子表示）
（2）如图2，△ABC和△ADE均为等边三角形，点B，D，E在同一条直线上，求∠BEC的度数；
问题解决
（3）为迎接2021年陕西全运会，某地在街心花园中规划出一块如图3所示的圆形土地，用于种植花卉和草坪．已知△ABC与△ADC均为圆的内接三角形，＝，点D在上，∠BDC＝2∠ADB，BD＝120m．现准备在△ABC区域内种植红色花卉，在△ACD区域内种植白色花卉，圆内其余区域为草坪．种植这种红色花卉每平方米需20元．设AD的长为x（m），种植红色花卉的费用是y（元）．
①求y与x之间的函数关系式；
②若种植这种白色花卉每平方米需60元，求种植这种红色花卉和白色花卉所需的总费用最多是多少？
2021年陕西省学林大联考中考数学模拟试卷（一）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）计算（﹣）0＝（ ）
A．﹣B．1C．﹣4D．﹣1
【分析】直接利用零指数幂的性质计算得出答案．
【解答】解：（﹣）0＝1．
故选：B．
2．（3分）两个长方体按图示方式摆放，其主视图是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看有两层，底层是一个矩形，上层是一个长度较小的矩形．看到线要用实线表示．
故选：C．
3．（3分）如图，直线a，b相交于点O，如果∠1+∠2＝60°，那么∠3是（ ）
A．150°B．120°C．60°D．30°
【分析】根据对顶角相等求出∠1，再根据互为邻补角的两个角的和等于180°列式计算即可得解．
【解答】解：∵∠1+∠2＝60°，∠1＝∠2（对顶角相等），
∴∠1＝30°，
∵∠1与∠3互为邻补角，
∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣30°＝150°．
故选：A．
4．（3分）如表中是正比例函数y＝kx的自变量x与函数y的对应值，则p的值为（ ）
A．2B．﹣2C．1D．4
【分析】根据待定系数法得出正比例函数的解析式，再把x＝1代入即可求出p的值．
【解答】解：正比例函数的解析式为y＝kx，
∵x＝﹣2时y＝4，
∴﹣2k＝4
解得：k＝﹣2，
∴正比例函数的解析式为y＝﹣2x，
∴当x＝1时，y＝﹣2，即p＝﹣2．
故选：B．
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．3a+2b＝5abB．a3•a2＝a6
C．（﹣a3b）2＝a6b2D．a2b3÷a＝b3
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法和除法、积的乘方进行计算即可．
【解答】解：A、3a与2b不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、a3•a2＝a5，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、（﹣a3b）2＝a6b2，原计算正确，故此选项符合题意；
D、a2b3÷a＝ab3，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：C．
6．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝2，则BF的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】先得出AD是△ABC的中线，得出S△ABC＝2S△ABD＝2×AB•DE＝AB•DE＝2AB，又S△ABC＝AC•BF，将AC＝AB代入即可求出BF．
【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴AD是△ABC的中线，
∴S△ABC＝2S△ABD＝2×AB•DE＝AB•DE＝2AB，
∵S△ABC＝AC•BF，
∴AC•BF＝2AB，
∵AC＝AB，
∴BF＝2，
∴BF＝4，
故选：B．
7．（3分）在平面直角坐标系中，将直线l1：y＝3x﹣2向右平移2个单位得到直线l2，则要得到直线l2，还可以将直线l1（ ）
A．向上平移2个单位B．向下平移2个单位
C．向上平移6个单位D．向下平移6个单位
【分析】根据平移的规律求出直线l2的解析式，再利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减判断即可．
【解答】解：将直线l1：y＝3x﹣2向右平移2个单位得到直线l2，则直线l2的解析式为y＝3（x﹣2）﹣2，即y＝3x﹣2﹣6．
∴将l1沿y轴向下平移6个单位后得到直线l2．
故选：D．
8．（3分）如图，菱形ABCD对角线AC，BD交于点O，∠ACB＝15°，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E．若菱形ABCD的面积为4，则菱形的边长为（ ）
A．2B．2C．4D．4
【分析】根据菱形的性质和30度角所对直角边等于斜边一半可得CE＝AD，再根据菱形面积即可得菱形的边长．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，AB∥CD，
∴∠EDC＝∠DAB＝2∠ACB＝30°，
∵CE⊥AD，
∴∠CED＝90°，
∴CE＝DC＝，
∴菱形ABCD的面积＝AD•CE＝ADAD＝AD2＝4，
∴AD＝2（负值舍去），
则菱形的边长为2．
故选：A．
9．（3分）如图，点A，D，B，C是圆O上的四个点，连接AB，CD，相交于点E，若∠BOD＝40°，∠AOC＝120°，则∠AEC等于（ ）
A．70°B．75°C．80°D．85°
【分析】连接BC，根据圆周角定理和已知条件求出∠ABC和∠DCB的度数，再根据三角形的外角性质求出答案即可．
【解答】解：连接BC，
∵对的圆周角是∠ABC，圆心角是∠AOC，∠AOC＝120°，
∴∠ABC＝AOC＝60°，
同理可得：∠DCB＝BOD＝＝20°，
∴∠AEC＝∠ABC+∠DCB＝60°+20°＝80°，
故选：C．
10．（3分）已知二次函数y＝a（x﹣m）2（a＞0）的图象经过点A（﹣1，p），B（3，q），且p＜q，则m的值不可能是（ ）
A．﹣2B．﹣C．0D．
【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征得到m+1＜3﹣m或m≤﹣1，解得即可．
【解答】解：∵二次函数y＝a（x﹣m）2（a＞0），
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝m，
∵图象经过点A（﹣1，p），B（3，q），且p＜q，
∴m+1＜3﹣m或m≤﹣1
解得m＜1，
故选：D．
二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）
11．（3分）比较大小：﹣ ＜ ﹣4．（填“＜”或“＞”符号）
【分析】根据两个负实数比较大小，绝对值大的反而小，解答出即可．
【解答】解：由|﹣|＝，|﹣4|＝4，
∵＝18，42＝16，即18＞16，
∴＞4；
∴﹣＜﹣4．
故答案为＜．
12．（3分）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，则△ACE的周长为 6 ．
【分析】作BG⊥AC，垂足为G．由垂径定理得出AC＝2AG，在直角三角形ABG中，求出AG的长，即可得出结果．
【解答】解：作BG⊥AC，垂足为G．如图所示：
则AC＝2AG，
∵AB＝BC，
∴AG＝CG，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠ABC＝120°，AB＝BC＝2，
∴∠BAC＝30°，
∴AG＝AB•cs30°＝2×＝，
∴AC＝2×＝2，
∴△ACE的周长为3×2＝6．
故答案为6．
13．（3分）在平面直角坐标系中，A为反比例函数y＝﹣（x＞0）图象上一点，点B的坐标为（4，0），O为坐标原点，若△AOB的面积为6，则点A的坐标为 （2，﹣3） ．
【分析】设点A的坐标为（﹣，a），根据点B的坐标为（4，0），△AOB的面积为6，列方程即可得到结论．
【解答】解：设点A的坐标为（﹣，a），
∵点B的坐标为（4，0）．若△AOB的面积为6，
∴S△AOB＝4×|a|＝6，
解得：a＝±3，
∵x＞0
∴点A的坐标为2，﹣3）．
故答案为：（2，﹣3）．
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E是AD所在直线上的一点．过点A作AN⊥BE于N，点M是BC上一动点，连接NM，MD，则MN+MD的最小值为 6﹣2 ．
【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据轴对称、勾股定理和两点之间线段最短，可以求得MN+MD的最小值．
【解答】解：∵AN⊥BE，点E在直线AD上，
∴点N可以看作以AB的中点O为圆心，以AB长为半径的圆上，
作点D关于BC的对称点D′，
则MN+MD的最小值就是MN+MD′的最小值，
连接OD′与圆O交于点N，则此时MN+MD′取得最小值，
作OF⊥CD于点F，
∵AB＝4，AD＝6，
∴OF＝6，D′F＝6，ON＝2，
∴OD′＝＝＝6，
∴D′N＝D′O﹣ON＝6﹣2，
即MN+MD的最小值为6﹣2，
故答案为：6﹣2．
三、解答题（共11小题，计78分解答应写出过程）
15．（5分）解不等式组：．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式﹣（x﹣1）＞3，得：x＜﹣2，
解不等式2x+9＞3，得：x＞﹣3，
∴不等式组的解集为﹣3＜x＜﹣2．
16．（5分）化简：（﹣a+1）÷．
【分析】根据分式的减法和除法可以解答本题．
【解答】解：（﹣a+1）÷
＝
＝
＝
＝﹣（a+1）
＝﹣a﹣1．
17．（5分）如图，在△ABC中，∠A＝30°，请用尺规作图法，在AC边上求作一点M，使得AM＝2BM．（不写作法，保留作图痕迹）
【分析】作BM⊥AB交AC于M即可．
【解答】解：如图，点M即为所求作．
18．（5分）如图，在▱ABCD中，点E，F是对角线AC上的两点，且AF＝CE，连接DE，BF．求证：DE∥BF．
【分析】根据平行四边形的对边相等可得AB＝CD，对边平行可得AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAF＝∠DCE，然后利用“边角边”证明△ABF和△CDE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠DEF＝∠BFA，进而得到DE∥BF．
【解答】证明：在▱ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAF＝∠DCE，
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（SAS），
∴∠DEF＝∠BFA，
∴ED∥BF．
19．（7分）为保护学生视力，让学生在学校专心学习，防止沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，2021年2月1日教育部印发《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，要求中小学生原则上不得将个人手机带入校园．某校为了解全校学生在此之前使用手机情况，随机抽取了部分学生调查其一周使用手机的时间，并用调查结果绘制了统计图表，请根据统计图表解答以下问题：
（1）补全频数分布直方图，填出所抽取学生一周使用手机时间的中位数落在 C 组；
（2）若以各组组中值（例如0＜t≤2的组中值为1小时）代表各组的实际数据，求出所抽取学生一周使用手机时间的平均数及众数；
（3）若该校共有1200名中学生，请你估计该校学生中一周使用手机的时间在6小时以上的有多少人？
【分析】（1）根据C组的频数和所占的百分比，可以计算出本次抽取的人数，然后即可计算出A组的频数，从而可以将频数分布直方图补充完整，再根据频数分布直方图中的数据，即可得到相应的众数；
（2）根据频数分布直方图中的数据，可以计算出这组数据的平均数，写出相应的众数；
（3）根据频数分布直方图中的数据，可以计算出该校学生中一周使用手机的时间在6小时以上的有多少人．
【解答】解：（1）本次调查的人数为：50÷50%＝100，
A组人数为：100﹣20﹣50﹣10﹣5＝15，
补全的频数分布直方图如右图所示，
所抽取学生一周使用手机时间的中位数落在C组，
故答案为：C；
（2）平均数是：＝4.4（小时），
众数是5小时；
（3）1200×＝180（人），
即估计该校学生中一周使用手机的时间在6小时以上的有180人．
20．（7分）2020年我国建成5G基站超60万个，5G建设跑出“中国速度”．某地有一个5G信号塔AB，小敏想用所学的数学知识测量信号塔AB的高度，她选择用树CD和楼房来测量．首先在树的底部D处测得信号塔的顶部A的仰角为42°；然后她站在楼房上的点E处恰好看到树的顶端C、信号塔的顶端A在一条直线上．测得树与楼房的距离DF＝12米，CD＝12米，EF＝6米，已知点B、D、F三点共线，AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF，测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求信号塔AB的高度．（参考数据：sin42°≈0.67，cs42°≈0.74，tan42°≈0.90）
【分析】过点E作EG⊥AB于G，交CD于H，由锐角三角函数定义得出tan∠AEG＝＝，设AG＝x，则GE＝BD+DF＝BD+12＝2x，则BD＝2x﹣12，由tan∠ADB＝＝≈0.9，解得：x＝21，即可解决问题．
【解答】解：过点E作EG⊥AB于G，交CD于H，则四边形EFDH、四边形EFBG、四边形BDHG都为矩形，如图所示：
∴EF＝DH＝BG＝6，HE＝DF＝12米，BD＝GH，BF＝GE，∠CHE＝∠AGE＝90°，
∴CH＝CD﹣DH＝12﹣6＝6（米），
在Rt△CHE中，tan∠CEH＝＝＝，
∴在Rt△AGE中，tan∠AEG＝＝，
设AG＝x，则GE＝BD+DF＝BD+12＝2x，
∴BD＝2x﹣12，
在Rt△ABD中，tan∠ADB＝＝≈0.9，
解得：x＝21，
即AG≈21（米），
∴AB＝AG+BG≈27（米），
答：信号塔AB的高度约为27米．
21．（7分）为全面落实乡村振兴总要求，充分发扬“为民服务孺子牛”“创新发展拓荒牛”“艰苦奋斗老黄牛”精神，某镇政府计划在该镇试种植苹果树和桔子树共100棵．已知平均每棵果树的投入成本和产量如表所示，且苹果的售价为10元/kg，桔子的售价为6元/kg．
设种植苹果树x棵．
（1）若种植苹果树和桔子树共获利y元，求y与x之间的函数关系式；
（2）若种植苹果树45棵，求种植苹果树和桔子树共获利多少元？
【分析】（1）由题意可知，种植桔子树（100﹣x）棵，再根据“利润＝售价﹣成本”即可得出y与x之间的函数关系式；
（2）把x＝45代入（1）的函数关系式解答即可．
【解答】解：（1）由题意，得种植桔子树（100﹣x）棵，
∴y＝（30×10﹣120）x+（25×6﹣80）（100﹣x）
＝180x﹣70（100﹣x）
＝110x+7000（0≤x≤100）；
即y与x之间的函数关系式为：y＝110x+7000（0≤x≤100）；
（2）当x＝45时，y＝110×45+7000＝11950，
答：若种植苹果树45棵，求种植苹果树和桔子树共获利11950元．
22．（7分）嫦娥、神舟、北斗、天问被称为中国航天的“四大天王”．2020年“北斗”组网、“天问”问天、“嫦五”探月，一个个好消息从太空传来，照亮了中国航天界的未来!小玲对航空航天非常感兴趣，她收集到了嫦娥五号、神舟十一号、北斗三号、天问一号的模型图，依次制成编号为A、B、C、D的四张卡片（背面完全相同），将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）小玲从中随机抽取一张卡片是“北斗三号”的概率为 ；
（2）小玲从四张卡片中随机抽取一张卡片（不放回）．再从余下的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是编号为A（嫦娥五号）和D（天问一号）的概率．
【分析】（1）根据概率公式直接得出答案；
（2）根据题意先画树状图列出所有等可能的结果数，两张卡片恰好是编号为A（嫦娥五号）和D（天问一号）的结果数为2，根据概率公式求解可得．
【解答】解：（1）小玲从中随机抽取一张卡片是“北斗三号”的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如图：
共有12个等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是编号为A（嫦娥五号）和D（天问一号）的有2种结果，
所以抽到的两张卡片恰好是编号为A（嫦娥五号）和D（天问一号）的概率为＝．
23．（8分）如图，作△ABF的外接圆⊙O，AB为⊙O的直径，点D在AB上（D不与端点重合），过点D作AB的垂线交BF的延长线于点C，且CD＝AB，过F作⊙O的切线交DC于点E．
（1）求证：EF＝EC；
（2）若D是OA的中点，AB＝4，求CF的长．
【分析】（1）连接OF，由切线的性质得出∠OFE＝90°，则∠OFB+∠EFC＝90°，由等腰三角形的性质得出∠OFB+∠OBF，证得∠EFC＝∠C，则可得出结论；
（2）由勾股定理求出BC的长，证明△DBC∽△FBA，由相似三角形的性质得出，求出BF的长，则可得出答案．
【解答】（1）证明：连接OF，
∵EF为⊙O的切线，
∴OF⊥EF，
∴∠OFE＝90°，
∴∠OFB+∠EFC＝90°，
∵OB＝OF，
∴∠OFB+∠OBF，
∴∠EFC+∠OBF＝90°，
又∵CD⊥AB，
∴∠OBF+∠C＝90°，
∴∠EFC＝∠C，
∴EF＝EC；
（2）解：∵D是OA的中点，AB＝4，
∴OA＝OD＝1，OB＝2，
∴BD＝3，
∵CD＝AB＝4，∠BDC＝90°，
∴BC＝＝＝5，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∴∠AFB＝∠BDC，
又∵∠ABF＝∠DBC，
∴△DBC∽△FBA，
∴，
∴，
∴BF＝，
∴CF＝BC﹣BF＝5﹣．
24．（10分）如图，已知抛物线L：y＝x2+bx﹣4交y轴于点A，交x轴于点B（﹣4，0）、C．抛物线L关于原点O对称的抛物线为L'，点A在抛物线L'上的对应点为A'．
（1）求抛物线L'的函数表达式；
（2）过点A'作平行于x轴的直线l，点P是抛物线L′上一动点，过点P作PQ⊥l于Q，连接A'P．若△A'QP∽△AOC，求点P的坐标．
【分析】（1）待定系数法求出L的解析式，然后根据对称的性质写出对称后顶点坐标即可得出答案；
（2）有相似得出对应边成比例，关键是绝对值处理的策略，涉及到分类讨论．
【解答】解：（1）∵y＝x2+bx﹣4过B（﹣4，0），
∴（﹣4）2﹣4b﹣4＝0，
∴b＝3，
∴抛物线L：y＝x2+3x﹣4，
∴顶点（﹣，﹣），
∵抛物线L关于原点O对称的抛物线为L'，
∴L′的顶点为（），
∴L′的函数表达式为：y＝﹣（x﹣）2+＝﹣x2+3x+4，
（2）设P（x，﹣x2+3x+4），
∵PQ⊥l，
∴Q（x，4），
∵△A'QP∽△AOC，
∴，
，
∴|x|＝4|﹣x2﹣3x|，
∴当x＝4（﹣x2﹣3x）时，
∴x1＝0（舍），x2＝，
∴P（），
∴当﹣x＝4（﹣x2﹣3x）时，
∴x1＝0（舍），x2＝，
∴，
综上所述：P（）或．
25．（12分）问题提出
（1）如图1，Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝α，则△ABC的面积为 ；（用含α的式子表示）
（2）如图2，△ABC和△ADE均为等边三角形，点B，D，E在同一条直线上，求∠BEC的度数；
问题解决
（3）为迎接2021年陕西全运会，某地在街心花园中规划出一块如图3所示的圆形土地，用于种植花卉和草坪．已知△ABC与△ADC均为圆的内接三角形，＝，点D在上，∠BDC＝2∠ADB，BD＝120m．现准备在△ABC区域内种植红色花卉，在△ACD区域内种植白色花卉，圆内其余区域为草坪．种植这种红色花卉每平方米需20元．设AD的长为x（m），种植红色花卉的费用是y（元）．
①求y与x之间的函数关系式；
②若种植这种白色花卉每平方米需60元，求种植这种红色花卉和白色花卉所需的总费用最多是多少？
【分析】（1）由∠B＝90°，∠A＝30°，得∠C＝60°，AB＝BC•tan60°，即可求出另一直角边AB长，再求△ABC的面积；
（2）先证明△ABD≌△ACE，得∠ABD＝∠ACE，再证明∠BEC＝∠BAC＝60°；
（3）①由圆周角定理及∠BDC＝2∠ADB证明∠BAC＝2∠ACB，由AB＝AC得∠ACB＝∠ABC，求得∠ACB＝∠ABC＝45°，∠BAC＝90°，△ABC是等腰直角三角形，在BD上取一点F，使∠FAD＝90°，构造出另一个等腰直角三角形，得到△ABF≌△ACD，用含x的式子表示BF的长，也就是CD的长，再由∠BDC＝∠BAC＝90°，用勾股定理求得BC的平方，用含x的式子表示△ABC的面积，根据每平方米的费用求出y与x之间的函数关系式；
②用含x的式子表示△ABF的面积也就是△ACD的面积，再根据每平方米的费用，用含x的式子表示种植这种红色花卉和白色花卉所需的总费用，根据二次函数的性质，求出总费用的最大值．
【解答】解：（1）如图1，∵∠B＝90°，∠A＝30°，
∴∠C＝60°，
∴AB＝BC•tan60°＝α，
∴S△ABC＝×α×α＝．
故答案为：．
（2）如图2，设BE交AC于点F，
∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE＝60°﹣∠CAD，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABD+∠BAC＝∠ACE+∠BEC＝∠AFE，
∴∠BAC＝∠BEC，
∴∠BEC＝60°．
（3）如图3，在BD上取一点F，连接AF，使∠FAD＝90°，作AG⊥BD于点G．
∵＝，点D在上，
∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB，
∵∠BDC＝∠BAC，∠ADB＝∠ACB，且∠BDC＝2∠ADC，
∴∠BAC＝2∠ACB，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴2∠ACB+∠ACB+∠ACB＝180°，
解得∠ACB＝45°，
∴∠ABC＝45°，∠BAC＝90°；
∵∠FAD＝90°，∠ADF＝∠ACB＝45°，
∴∠AFD＝45°，
∴AD＝AF，
∴△ABC和△AFD都是等腰直角三角形，
∴DF＝＝AD＝x，AG＝AD＝x；
∵AB＝AC，∠BAF＝∠CAD＝60°﹣∠CAF，AF＝AD，
∴△BAF≌△CAD（SAS），
∴BF＝CD＝120﹣x；
∵∠BDC＝∠BAC＝90°，
∴BC2＝BD2+CD2＝1202+（120﹣x）2，
∴S△ABC＝[1202+（120﹣x）2]＝x2﹣60x+7200；
∵S△ABF＝S△ACD，
∴S△ACD＝×x（120﹣x）＝x2+30x．
①∵在△ABC区域内种植红色花卉，且种植这种红色花卉每平方米需20元．
∴y＝20（x2﹣60x+7200）＝10x2﹣1200x+144000，
∴y与x之间的函数关系式为y＝10x2﹣1200x+144000．
②设种植这种红色花卉和白色花卉所需的总费用为w元，
∵在△ACD区域内种植白色花卉，且种植这种白色花卉每平方米需60元，
∴w＝10x2﹣1200x+144000+60（x2+30x）＝﹣20x2+600x+144000．
∵w＝﹣20x2+600x+144000＝﹣20（x﹣15）2+153000，且﹣20＜0，
∴当x＝15时，w最大＝153000．
答：种植这种红色花卉和白色花卉所需的总费用最多是153000元．
x
﹣2
1
y
4
p
成本（元/棵）
产量（kg/棵）
苹果树
120
30
桔子树
80
25
x
﹣2
1
y
4
p
成本（元/棵）
产量（kg/棵）
苹果树
120
30
桔子树
80
25