2021年山东省济南市平阴县中考数学一模试卷

这是一份2021年山东省济南市平阴县中考数学一模试卷，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年山东省济南市平阴县中考数学一模试卷
一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）
1．（4分）下列实数中是无理数的是（　　）
A．﹣1 B． C． D．0
2．（4分）如图是由4个相同的小正方体组成的一个立体图形，其主视图是（　　）

A． B． C． D．
3．（4分）2020年，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下的9899万农村贫困人口全部脱贫，其中9899万用科学记数法表示为（　　）
A．989.9×105 B．98.99×106 C．9.899×107 D．0.9899×108
4．（4分）下列图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（4分）如图，一块直角三角板的两个顶点分别在直尺的对边上．若∠1＝25°，那么∠2的度数是（　　）

A．25° B．45° C．65° D．75°
6．（4分）下列计算正确的是（　　）
A．x4+x4＝2x8 B．x3•x2＝x6
C．（x﹣y）2＝x2﹣y2 D．（x2y）3＝x6y3
7．（4分）以下是某校九年级10名同学参加学校演讲比赛的统计表．则这组数据的众数和中位数分别为（　　）
成绩/分
80
85
90
95
人数/人
1
3
4
2
A．85，87.5 B．85，85 C．85，90 D．90，90
8．（4分）反比例函数y＝的图象如图所示，则一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
9．（4分）如图，把△ABC沿着BC的方向平移到△DEF的位置，它们重叠部分的面积是△ABC面积的一半，若EC＝1，则△ABC移动的距离是（　　）

A． B．﹣1 C． D．1﹣
10．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（　　）

A． B． C．﹣ D．
11．（4分）2020年平阴街道进行拓宽改造，县城面貌焕然一新，拓宽后振兴街主路双向四车道16米宽，两边安装路灯，如图路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为（　　）

A．6米 B．（8﹣2）米 C．（8﹣2）米 D．（8﹣4）米
12．（4分）已知二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值是（　　）
A． B．或﹣ C．或 D．或﹣或
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
13．（4分）分解因式：a2﹣5a＝　 　．
14．（4分）在﹣2，1，π，﹣3，0这5个数中，任取一个数是负数的概率是　 　．
15．（4分）若二元一次方程组的解为，则a﹣b＝　 　．
16．（4分）已知关于x的一元二次方程nx2﹣2x+1＝0有实数根，则n的取值范围是　 　．
17．（4分）如图，已知点A是反比例函数y＝﹣的图象上的一个动点，连接OA，若将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OB，则点B所在的反比例函数表达式为　 　．

18．（4分）如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C重合），CN⊥DM，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN．下列五个结论：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③△OMN∽△OAD；④AN2+CM2＝MN2；⑤若AB＝2，则S△OMN的最小值是1，其中正确结论有　 　．

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：|﹣3|+（π﹣3）0﹣+tan45°．
20．（6分）求不等式组的整数解，
21．（6分）如图所示，▱ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：AE＝CF．

22．（8分）为进一步推广大课间活动，某中学对已开设的A实心球，B立定跳远，C跑步，D足球四种活动项目的学生喜欢情况进行调查，随机抽取了部分学生，并将调查结果绘制成图1，图2的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：
（1）本次共调查了　 　名学生；
（2）将条形统计图和扇形统计图补充完整，则扇形统计图C的圆心角度数为　 　；
（3）随机抽取了3名喜欢“跑步”的学生，其中有1名男生，2名女生，现从这3名学生中任意抽取2名学生，请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到一男生一女生的概率．

23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点P是BA延长线上一点，PC是⊙O的切线，切点为C，过点B作BD⊥PC交PC的延长线于点D，连接BC．
（1）求证：BC平分∠PBD；
（2）若BC＝2，BD＝3，求⊙O的直径AB的长．

24．（10分）2020年我县加大玫瑰产业的宣传，平阴玫瑰香飘世界，某商店在2019年至2021年期间销售一种玫瑰礼盒．2019年，该商店用3500元购进了这种礼盒且全部售完；2021年，这种礼盒的进价比2019年下降了11元/盒，该商店用2400元购进了与2019年相同数量的礼盒也全部售完．礼盒的售价均为60元/盒．
（1）2019年这种礼盒的进价是多少元/盒？
（2）若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，求19﹣21年增长率是多少？
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，点D的坐标为（4，3）．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）若将菱形边OD沿x轴正方向平移，当点D落在函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上时，求线段OD扫过图形的面积．
（3）在x轴上是否存在一点P使PA+PB有最小值，若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．

26．（12分）△ABC和△DCE都是等边三角形，△DCE绕点C旋转，连接AE，BD．
猜测发现：（1）如图1，AE与BD是否相等？若相等，加以证明；若不相等，请说明理由．
问题解决：（2）若B、C、E三点不在一条直线上，且∠ADC＝30°，AD＝4，CD＝3，求BD的长．
拓展运用：（3）若B、C、E三点在一条直线上（如图2），且△ABC和△DCE的边长分别为1和2，求△ACD的面积及tan∠ADC的值．

27．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+8（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（8，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当S△PBC＝S△ABC时，求点P的坐标；
（3）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．


2021年山东省济南市平阴县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）
1．（4分）下列实数中是无理数的是（　　）
A．﹣1 B． C． D．0
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A、﹣1是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
B、是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
C、是无理数，故本选项符合题意；
D、0是整数，属于有理数，故本选项不合题意．
故选：C．
2．（4分）如图是由4个相同的小正方体组成的一个立体图形，其主视图是（　　）

A． B． C． D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从正面看有两层，底层两个正方形，上层左边一个正方形，左齐．
故选：A．
3．（4分）2020年，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下的9899万农村贫困人口全部脱贫，其中9899万用科学记数法表示为（　　）
A．989.9×105 B．98.99×106 C．9.899×107 D．0.9899×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：9899万＝98990000＝9.899×107，
故选：C．
4．（4分）下列图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
5．（4分）如图，一块直角三角板的两个顶点分别在直尺的对边上．若∠1＝25°，那么∠2的度数是（　　）

A．25° B．45° C．65° D．75°
【分析】根据平行线的性质和互余角的关系可得．
【解答】解：如图，

由题意，AB∥CD，∠FEG＝90°．
∵∠FEG＝90°，
∴∠FEA＝90°﹣∠1＝90°﹣25°＝65°．
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠FEA＝65°．
故选：C．
6．（4分）下列计算正确的是（　　）
A．x4+x4＝2x8 B．x3•x2＝x6
C．（x﹣y）2＝x2﹣y2 D．（x2y）3＝x6y3
【分析】根据同类项定义，同底数幂的乘法，完全平方公式以及幂的乘方与积的乘方等知识点解答．
【解答】解：A、原式＝2x4，不符合题意．
B、原式＝x5，不符合题意．
C、原式＝x2﹣2xy+y2，不符合题意．
D、原式＝x6y3，符合题意．
故选：D．
7．（4分）以下是某校九年级10名同学参加学校演讲比赛的统计表．则这组数据的众数和中位数分别为（　　）
成绩/分
80
85
90
95
人数/人
1
3
4
2
A．85，87.5 B．85，85 C．85，90 D．90，90
【分析】先将数据从大到小从新排列，然后根据众数及中位数的定义求解即可．
【解答】解：在这一组数据中90是出现次数最多的，故众数是90．
而将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的那个数是90、90，
那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是90．
故选：D．
8．（4分）反比例函数y＝的图象如图所示，则一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据反比例函数图象可以确定kb的符号，易得k、b的符号，根据图象与系数的关系作出正确选择．
【解答】解：∵y＝的图象经过第一、三象限，
∴kb＞0，
∴k，b同号，
A、图象过二、四象限，
则k＜0，图象经过y轴正半轴，则b＞0，此时，k，b异号，故此选项不合题意；
B、图象过二、四象限，
则k＜0，图象经过原点，则b＝0，此时，k，b不同号，故此选项不合题意；
C、图象过一、三象限，
则k＞0，图象经过y轴负半轴，则b＜0，此时，k，b异号，故此选项不合题意；
D、图象过一、三象限，
则k＞0，图象经过y轴正半轴，则b＞0，此时，k，b同号，故此选项符合题意；
故选：D．

9．（4分）如图，把△ABC沿着BC的方向平移到△DEF的位置，它们重叠部分的面积是△ABC面积的一半，若EC＝1，则△ABC移动的距离是（　　）

A． B．﹣1 C． D．1﹣
【分析】根据平移的性质得到EH∥AB，根据相似三角形的性质计算，得到答案．
【解答】解：由平移的性质可知，EH∥AB，
∴△CHE∽△CAB，
∵重叠部分的面积是△ABC面积的一半，
∴＝，
∵EC＝1，
∴BC＝，
∴BE＝BC﹣EC＝﹣1，即△ABC移动的距离是﹣1，
故选：B．
10．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（　　）

A． B． C．﹣ D．
【分析】先根据勾股定理得到AB＝，再根据扇形的面积公式计算出S扇形ABD，由旋转的性质得到Rt△ADE≌Rt△ACB，于是S阴影部分＝S△ADE+S扇形ABD﹣S△ABC＝S扇形ABD．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，
∴AB＝，
∴S扇形ABD＝＝．
又∵Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，
∴Rt△ADE≌Rt△ACB，
∴S阴影部分＝S△ADE+S扇形ABD﹣S△ABC＝S扇形ABD＝．
故选：A．
11．（4分）2020年平阴街道进行拓宽改造，县城面貌焕然一新，拓宽后振兴街主路双向四车道16米宽，两边安装路灯，如图路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为（　　）

A．6米 B．（8﹣2）米 C．（8﹣2）米 D．（8﹣4）米
【分析】延长OD，BC交于点P．解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：如图，延长OD，BC交于点P．
∵∠PDC＝∠B＝90°，∠P＝30°，OB＝8米，∠PCD＝60°，
∴PB＝＝＝8（米），PC＝＝＝4（米），
∴BC＝PB﹣PC＝（8﹣4）米．
故选：D．

12．（4分）已知二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值是（　　）
A． B．或﹣ C．或 D．或﹣或
【分析】分类讨论抛物线对称轴的位置确定出m的范围即可．
【解答】解：由二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），得到对称轴为直线x＝m，抛物线开口向上，
当m≥2时，由题意得：当x＝2时，y最小值为﹣2，代入得：4﹣4m＝﹣2，即m＝1.5＜2，不合题意，舍去；
当﹣1≤m≤2时，由题意得：当x＝m时，y最小值为﹣2，代入得：﹣m2＝﹣2，即m＝或m＝﹣（舍去）；
当m＜﹣1时，由题意得：当x＝﹣1时，y最小值为﹣2，代入得：1+2m＝﹣2，即m＝﹣1.5，
综上，m的值是﹣1.5或，
故选：B．
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
13．（4分）分解因式：a2﹣5a＝　a（a﹣5）　．
【分析】提取公因式a进行分解即可．
【解答】解：a2﹣5a＝a（a﹣5）．
故答案是：a（a﹣5）．
14．（4分）在﹣2，1，π，﹣3，0这5个数中，任取一个数是负数的概率是　　．
【分析】判断﹣2，1，π，﹣3，0这5个数中“负数”的个数即可．
【解答】解：在﹣2，1，π，﹣3，0这5个数中，负数有2个，
所以从这5个数据中任取一个数是负数的概率是，
故答案为：．
15．（4分）若二元一次方程组的解为，则a﹣b＝　1　．
【分析】将代入原方程组得到关于a，b的二元一次方程组，解方程组，结论可得．
【解答】解：将代入原方程组得：
．
②﹣①得：2a﹣2b＝2．
∴a﹣b＝1．
故答案为：1．
16．（4分）已知关于x的一元二次方程nx2﹣2x+1＝0有实数根，则n的取值范围是　n≤1且n≠0　．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，且n≠0，即可得出关于n的一元一次不等式，解之即可得出n的取值范围．
【解答】解：b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4•n•1＝4﹣4n，
由“关于x的一元二次方程有实数根”得：
b2﹣4ac≥0，即：4﹣4n≥0，
解得：n≤1．
又∵n≠0，
∴n的取值范围是n≤1且n≠0．
故答案为：n≤1且n≠0．
17．（4分）如图，已知点A是反比例函数y＝﹣的图象上的一个动点，连接OA，若将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OB，则点B所在的反比例函数表达式为　y＝　．

【分析】设A（m，n），过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，得到AC＝n，OC＝﹣m，根据全等三角形的性质得到AC＝OD＝n，CO＝BD＝﹣m，于是得到结论．
【解答】解：∵点A是反比例函数y＝﹣的图象上的一个动点，
设A（m，n），
过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，
∴AC＝n，OC＝﹣m，
∴∠ACO＝∠BDO＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠CAO+∠AOC＝∠AOC+∠BOD＝90°，
∴∠CAO＝∠BOD，
在△ACO与△ODB中，
∴△ACO≌△ODB，
∴AC＝OD＝n，CO＝BD＝﹣m，
∴B（n，﹣m），
∵mn＝﹣2，
∴n（﹣m）＝2，
∴点B所在图象的函数表达式为y＝，
故答案为：y＝．

18．（4分）如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C重合），CN⊥DM，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN．下列五个结论：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③△OMN∽△OAD；④AN2+CM2＝MN2；⑤若AB＝2，则S△OMN的最小值是1，其中正确结论有　①②③④　．

【分析】根据正方形的性质，依次判定△CNB≌△DMC，△OCM≌△OBN，△CON≌△DOM，△OMN∽△OAD，根据全等三角形的性质以及勾股定理进行计算即可得出结论．
【解答】解：在正方形ABCD中，CD＝BC，∠BCD＝90°，
∴∠BCN+∠DCN＝90°，
又∵CN⊥DM，
∴∠CDM+∠DCN＝90°，
∴∠BCN＝∠CDM，
又∵∠CBN＝∠DCM＝90°，
∴△CNB≌△DMC（ASA），故①正确；
∵△CNB≌△DMC，
∴CM＝BN，
又∵∠OCM＝∠OBN＝45°，OC＝OB，
∴△OCM≌△OBN（SAS），
∴OM＝ON，∠COM＝∠BON，
∴∠DOC+∠COM＝∠COB+∠BPN，即∠DOM＝∠CON，
又∵DO＝CO，
∴△CON≌△DOM（SAS），故②正确；
∵∠BON+∠BOM＝∠COM+∠BOM＝90°，
∴∠MON＝90°，即△MON是等腰直角三角形，
又∵△AOD是等腰直角三角形，
∴△OMN∽△OAD，故③正确；
∵AB＝BC，CM＝BN，
∴BM＝AN，
又∵Rt△BMN中，BM2+BN2＝MN2，
∴AN2+CM2＝MN2，故④正确；
∵△OCM≌△OBN，
∴四边形BMON的面积＝△BOC的面积＝1，即四边形BMON的面积是定值1，
∴当△MNB的面积最大时，△MNO的面积最小，
设BN＝x＝CM，则BM＝2﹣x，
∴△MNB的面积＝x（2﹣x）＝﹣x2+x，
∴当x＝1时，△MNB的面积有最大值，
此时S△OMN的最小值是1﹣＝，故⑤错误，
故答案为①②③④．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：|﹣3|+（π﹣3）0﹣+tan45°．
【分析】分别求出每一项，|﹣3|＝3，（π﹣3）0＝1，＝2，tan45°＝1，然后进行运算即可；
【解答】解：|﹣3|+（π﹣3）0﹣+tan45°＝3+1﹣2+1＝3；
20．（6分）求不等式组的整数解，
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式①，得：x＜4，
解不等式②，得：x≥1，
则不等式组的解集为1≤x＜4，
则不等式组的整数解为1、2、3．
21．（6分）如图所示，▱ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：AE＝CF．

【分析】根据平行四边形的性质得出AB＝CD，AB∥CD，根据平行线的性质得出∠ABE＝∠CDF，求出∠AEB＝∠CFD＝90°，根据AAS推出△ABE≌△CDF即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF．
22．（8分）为进一步推广大课间活动，某中学对已开设的A实心球，B立定跳远，C跑步，D足球四种活动项目的学生喜欢情况进行调查，随机抽取了部分学生，并将调查结果绘制成图1，图2的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：
（1）本次共调查了　150　名学生；
（2）将条形统计图和扇形统计图补充完整，则扇形统计图C的圆心角度数为　144°　；
（3）随机抽取了3名喜欢“跑步”的学生，其中有1名男生，2名女生，现从这3名学生中任意抽取2名学生，请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到一男生一女生的概率．

【分析】（1）由D类人数除以所占百分比即可；
（2）求出C类的人数和所占百分比，即可解决问题；
（3）列表得出所有情况，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）本次被抽样调查学生的总人数为：30÷20%＝150（人），
故答案为：150；
（2）C的人数为：150﹣15﹣45﹣30＝60（人），所占的百分比为1﹣10%﹣30%﹣20%＝40%，
则扇形统计图C的圆心角度数为：360°×40%＝144°，
故答案为：144°，
将条形统计图和扇形统计图补充完整如下：

（3）列表得：

男
女1
女2
男

男，女1
男，女2
女1
女1，男

女1，女2
女2
女2，男
女2，女1

由表格可知，共有6种等可能结果，其中刚好抽到一男生一女生的有4种可能，
∴刚好抽到一男生一女生的概率为．
23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点P是BA延长线上一点，PC是⊙O的切线，切点为C，过点B作BD⊥PC交PC的延长线于点D，连接BC．
（1）求证：BC平分∠PBD；
（2）若BC＝2，BD＝3，求⊙O的直径AB的长．

【分析】（1）连接OC．如图，利用切线的性质得到∠OCP＝90°，则可判断OC∥BD，所以∠BCO＝∠CBD，然后证明∠PBC＝∠CBD即可；
（2）连接AC，如图，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，再证明∠ABC＝∠CBD，然后利用相似比可计算出AB的长．
【解答】（1）证明：连接OC．如图，
∵PC与⊙O相切，
∴OC⊥PC，即∠OCP＝90°，
∵BD⊥PD，
∴∠BDP＝90°．
∴OC∥BD，
∴∠BCO＝∠CBD，
∵OB＝OC，
∴∠PBC＝∠BCO，
∴∠PBC＝∠CBD，
∴BC平分∠PBD；
（2）解：连接AC，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠CDB＝90°．
∵∠ABC＝∠CBD，
∴△ABC∽△CBD，
∴＝，
∴BC2＝AB•BD，即（2）2＝AB×3，
∴AB＝4．

24．（10分）2020年我县加大玫瑰产业的宣传，平阴玫瑰香飘世界，某商店在2019年至2021年期间销售一种玫瑰礼盒．2019年，该商店用3500元购进了这种礼盒且全部售完；2021年，这种礼盒的进价比2019年下降了11元/盒，该商店用2400元购进了与2019年相同数量的礼盒也全部售完．礼盒的售价均为60元/盒．
（1）2019年这种礼盒的进价是多少元/盒？
（2）若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，求19﹣21年增长率是多少？
【分析】（1）设2019年这种礼盒的进价为x元/盒，则2021年这种礼盒的进价为（x﹣11）元/盒，根据数量＝总价÷单价，结合2019年用3500元购进的数量和2021年用2400元购进的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）利用总利润＝每盒的利润×销售数量，可分别求出2019及2021年的销售这种礼盒所获利润，设该商店每年销售礼盒所获利润的年增长率为m，根据2019年及2021年销售这种礼盒所获利润，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）设2019年这种礼盒的进价为x元/盒，则2021年这种礼盒的进价为（x﹣11）元/盒，
依题意得：＝，
解得：x＝35，
经检验，x＝35是原方程的解，且符合题意．
答：2019年这种礼盒的进价是35元/盒．
（2）2019年所获利润为（3500÷35）×（60﹣35）＝100×25＝2500（元）．
2021年所获利润为100×（60﹣24）＝3600（元）．
设该商店每年销售礼盒所获利润的年增长率为m，
依题意得：2500（1+m）2＝3600，
解得：m1＝0.2＝20%，m2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该商店每年销售礼盒所获利润的年增长率是20%．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，点D的坐标为（4，3）．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）若将菱形边OD沿x轴正方向平移，当点D落在函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上时，求线段OD扫过图形的面积．
（3）在x轴上是否存在一点P使PA+PB有最小值，若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）过点D作x轴的垂线，垂足为F，由点D的坐标，利用勾股定理可求出OD的长，利用菱形的性质可得出AD的长，进而可得出点A的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出反比例函数的关系式；
（2）将OD沿x轴正方向平移，使得点D落在函数y＝的图象D′点处，过点D′做x轴的垂线，垂足为F′，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点D′的坐标，结合点D的坐标可得出DD′的长，再利用平行四边形的面积计算公式可求出线段OD扫过图形的面积；
（3）作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于点P，此时PA+PB取最小值，由OD的长可得出OB的长，进而可得出点B的坐标，由点B和B′关于x轴对称可得出点B′的坐标，由点A，B′的坐标，利用待定系数法可求出直线AB′的关系式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标．
【解答】解：（1）过点D作x轴的垂线，垂足为F，如图1所示．
∵点D的坐标为（4，3），
∴OF＝4，DF＝3，
∴OD＝＝5．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD＝OD＝5，
∴点A坐标为（4，8）．
∵点A在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝4×8＝32，
∴反比例函数的关系式为y＝（x＞0）.
（2）将OD沿x轴正方向平移，使得点D落在函数y＝的图象D′点处，过点D′做x轴的垂线，垂足为F′，如图2所示．
∵DF＝3，
∴D′F′＝3，
∴点D′的纵坐标为3，
∵点D′在反比例函数y＝的图象上，
∴3＝，解得：x＝，
∴点D′坐标为（，3），
∴DD′＝﹣4＝．
又∵OD扫过图形为平行四边形，
∴平行四边形面积＝×3＝20．
（3）存在．
作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于点P，此时PA+PB取最小值，如图3所示．
∵OB＝OD＝5，
∴点B的坐标为（0，5），
∴点B′的坐标为（0，﹣5）．
设直线AB′的关系式为y＝kx+b（k≠0），
将A（4，8），B′（0，﹣5）代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴直线AB′的关系式为y＝x﹣5．
当y＝0时，x﹣5＝0，
解得：x＝，
∴PA+PB最小时，点P的坐标为（，0）．



26．（12分）△ABC和△DCE都是等边三角形，△DCE绕点C旋转，连接AE，BD．
猜测发现：（1）如图1，AE与BD是否相等？若相等，加以证明；若不相等，请说明理由．
问题解决：（2）若B、C、E三点不在一条直线上，且∠ADC＝30°，AD＝4，CD＝3，求BD的长．
拓展运用：（3）若B、C、E三点在一条直线上（如图2），且△ABC和△DCE的边长分别为1和2，求△ACD的面积及tan∠ADC的值．

【分析】（1）根据等边三角形的性质和SAS证明△BCD和△ACE全等，进而利用全等三角形的性质解答即可；
（2）根据等边三角形的性质和勾股定理解答即可；
（3）过A作AF⊥CD于F，根据等边三角形的性质和三角函数解答即可．
【解答】解：（1）AE＝BD，
理由：∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，
即∠BCD＝∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
，
∴△ACE≌△BCD（ SAS），
∴AE＝BD；
（2）如图3，

由（1）得：BD＝AE，
∵△DCE都是等边三角形，
∴∠CDE＝60°，CD＝DE＝3，
∵∠ADC＝30°，
∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝30°+60°＝90°，
在Rt△ADE中，AD＝4，DE＝3，
∴AE＝＝＝5，
∴BD＝5；
（3）如图2，

过A作AF⊥CD于F，
∵B、C、E三点在一条直线上，
∴∠BCA+∠ACD+∠DCE＝180°，
∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴∠BCA＝∠DCE＝60°，
∴∠ACD＝60°，
在Rt△ACF中，sin∠ACF＝，
∴AF＝AC×sin∠ACF＝1×，
∴S△ACD＝，
∴CF＝AC×cos∠ACF＝1×，
FD＝CD﹣CF＝2﹣，
在Rt△AFD中，tan∠ADC＝＝．
27．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+8（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（8，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当S△PBC＝S△ABC时，求点P的坐标；
（3）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）直接将A（﹣2，0）和点B（8，0）代入y＝ax2+bx+8（a≠0），解出a，b的值即可得出答案；
（2）先求出点C的坐标及直线BC的解析式，再根据图及题意得出三角形PBC的面积；过点P作PG⊥x轴，交x轴于点G，交BC于点F，设，根据三角形PBC的面积列关于t的方程，解出t的值，即可得出点P的坐标；
（3）由题意得出三角形BOC为等腰直角三角形，然后分MN＝EM，MN＝NE，NE＝EM三种情况讨论结合图形得出边之间的关系，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+8（a≠0）过点A（﹣2，0）和点B（8，0），
∴，
解得．
∴抛物线解析式为：；

（2）当x＝0时，y＝8，
∴C（0，8），
∴直线BC解析式为：y＝﹣x+8，
∵，
∴，
过点P作PG⊥x轴，交x轴于点G，交BC于点F，
设，
∴F（t，﹣t+8），
∴，
∴，
即，
∴t1＝2，t2＝6，
∴P1（2，12），P2（6，8）；


（3）∵C（0，8），B（8，0），∠COB＝90°，
∴△OBC为等腰直角三角形，
抛物线的对称轴为，
∴点E的横坐标为3，
又∵点E在直线BC上，
∴点E的纵坐标为5，
∴E（3，5），
设，
①当MN＝EM，∠EMN＝90°，
△NME～△COB，则，
解得或（舍去），
∴此时点M的坐标为（3，8），

②当ME＝EN，当∠MEN＝90°时，
则，
解得：或（舍去），
∴此时点M的坐标为；

③当MN＝EN，∠MNE＝90°时，
此时△MNE与△COB相似，
此时的点M与点E关于①的结果（3，8）对称，
设M（3，m），
则m﹣8＝8﹣5，
解得m＝11，
∴M（3，11）；
此时点M的坐标为（3，11）；

故在射线ED上存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似，点M的坐标为：（3，8），或（3，11）．