甘肃省金昌市2020-2021学年高二下学期期中考试数学（文）试题（word版 含答案）

金昌市2020--2021学年第二学期期中考试试题

高二文科数学

（时间：120分钟    满分：150分）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。

一、选择题：(每小题5分,共60分,每小题只有一个正确答案)

1.已知曲线y＝x2＋2x－2在点M处的切线与x轴平行，则点M的坐标是(　　 )

A.(－1，3)   B.(－1，－3)     C.(－2，－3)   D.(－2，3)

2．复数＝(   )．

A．i         B．－i           C．－－i     D．－＋i

3.曲线的极坐标方程化为直角坐标为（    ）。

  A.          B.

  C.          D.

4.如图是调查某地区男、女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图中可以看出（　　）

A.性别与喜欢理科无关

B.女生中喜欢理科的比例约为80%

C.男生比女生喜欢理科的可能性大些

D.男生中不喜欢理科的比例约为60%

5.极坐标方程ρ·sinθ＝2sin2θ表示的曲线为(　　)

A.两条直线 B.一条射线和一个圆

C.一条直线和一个圆 D.圆

6.函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0，1)内有极小值，则(　　)

A.0＜b＜1    B.b＜1       C.b＞0     D.b＜

7. 已知点P的极坐标是（1，），则过点P且垂直极轴的直线方程是（   ）。

  A.     B.      C.      D.

8．下列是x与y之间的一组数据

则y关于x的回归方程＝x＋，对应的直线必过点（　　）

A.   B.       C.（2，2）   D.（1，2）

9．下面是关于复数z＝的四个命题：

p1：|z|＝2；p2：z2＝2i；p3：z的共轭复数为1＋i；p4：z的虚部为－1.

其中的真命题为(   )．

A．p2，p3   B．p1，p2    C．p2，p4    D．p3，p4

10.设函数f (x)在R上可导，其导函数为f ′(x)，且函数f (x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf ′(x)的图象可能是(　　)

11.函数y＝在定义域内(　　)

A.有最大值2，无最小值       B.有最大值2，最小值－2   

C.无最大值，有最小值－2      D.无最值

12.设函数f (x)＝x3＋x2＋tan θ，其中θ∈[0，]，则导数f ′(1)的取值范围是(　　)

A.[－2，2]    B.[，]       C.[，2]    D.[，2]

二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分，共20分)

13.在评价建立的线性回归模型刻画身高和体重之间关系的效果时，R 2＝________，可以叙述为“身高解释了64%的体重变化，而随机变量贡献了剩余的36%”．

14.设i为虚数单位，则(1＋i)5的虚部为________．

15.曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________.

16.若直线3＋4＋m＝0与曲线ρ2－2ρcosθ＋4ρsinθ＋4＝0没有公共点，则实数m的取值范围是________．

三、解答题（本大题有6题,共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(10分) 把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：

⑴（为参数）；       ⑵（为参数）

18.(12分)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：

(1)求线性回归方程＝x＋，其中＝－20，＝－；

(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)

19.(12分) 在对人们休闲方式的一次调查中，仅就看电视与运动这两种休闲方式比较喜欢哪一种进行了调查.调查结果：接受调查总人数110人，其中男、女各55人；受调查者中，女性有30人比较喜欢看电视，男性有35人比较喜欢运动.

（1）请根据题目所提供的调查结果填写下列2×2列联表：

（2）能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“性别与休闲方式有关系”？

注：K 2＝，（其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量）

20.(12分)在直角坐标系中，圆C1：2＋2＝4，圆C2：(－2)2＋2＝4.

(1)在以O为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标(用极坐标表示)；

(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程．

21.(12分)已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx在区间(－2，1)内，当x＝－1时取极小值，当x＝时取极大值.

(1)求函数y＝f(x)在x＝－2处的切线方程；

(2)求函数y＝f(x)在[－2，1]上的最大值与最小值.

22.(12分)已知函数f(x)＝x2－aln x(a∈R).

(1)若f(x)在x＝2时取得极值，求a的值；

(2)求f(x)的单调区间；

(3)若a＝－1，求证：当x>1时，f(x)<x3.

金昌市2020--2021学年第二学期期中考试试题

高二文科数学答案

一、选择题

1. B  2.A  3.B  4.C  5.C  6.A 

7.C  8.A  9.C  10.C  11.B 12.D

二、填空题

13.  0.64   14. -4   15. e2   16.(－∞，0)∪(10，＋∞)

三、解答题

17.解：⑴∵   ∴两边平方相加，得   即  ∴曲线是长轴在x轴上且为10，短轴为8，中心在原点的椭圆。             5

⑵．∵∴由代入，得 ∴

∴它表示过（0，）和(1, 0)的一条直线。      10

18.解　(1)＝＝8.5，

＝(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80，

∵＝－20，＝－，

∴＝80＋20×8.5＝250，

∴线性回归方程＝－20x＋250.      6

(2)设工厂获得的利润为L元，则L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)＝－202＋361.25，

∴该产品的单价应定为8.25元，工厂获得的利润最大．     12

19.解　（1）根据题目所提供的调查结果，可得下列2×2列联表： 

                                                       5

（2）根据列联表中的数据，可计算K2的观测值k：

k＝≈3.667，

因为k≈3.667＜k0＝3.841，所以不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“性别与休闲方式有关系”.                     12

20.解　(1)圆C1的极坐标方程为ρ＝2，

圆C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.

解得ρ＝2，θ＝±，

故圆C1与圆C2交点的坐标为，.

注：极坐标系下点的表示不唯一．              6

(2)法一　由得圆C1与C2交点的直角坐标分别

为(1，)，(1，－)．

故圆C1与C2的公共弦的参数方程为(－≤t≤)．

法二　将x＝1代入得ρcos θ＝1，

从而ρ＝.于是圆C1与C2的公共弦的参数方程为

                   12

21.解　(1)f ′(x)＝－3x2＋2ax＋b，

又因为当x＝－1，x＝时，函数分别取得极小值、极大值，

所以－1，为方程－3x2＋2ax＋b＝0的两个根.

所以a＝－1＋，－＝(－1)×.

于是a＝－，b＝2，则f (x)＝－x3－x2＋2x，f ′(x)＝－3x2－x＋2.

当x＝－2时，f(－2)＝2，即切点为(－2，2).

又因为切线斜率k＝f ′(－2)＝－8，

所以，所求切线方程为y－2＝－8(x＋2)，

即8x＋y＋14＝0.                            6

(2)由(1)知，f ′(x)＝－3x2－x＋2＝－(x＋1)(3x－2).

当x变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如下表：

因此，f(x)在[－2，1]上的最大值为2，最小值为－.                  12

22.(1)解　f ′(x)＝x－，因为x＝2是一个极值点，所以2－＝0，则a＝4.此时f ′(x)＝x－＝，因为f (x)的定义域是(0，＋∞)，所以当x∈(0，2)时，f ′(x)＜0；当x∈(2，＋∞)，f ′(x)＞0，所以当a＝4时，x＝2是一个极小值点，则a＝4.              4

(2)解　因为 f ′(x)＝x－＝，所以当a≤0时，

f ′(x)＞0，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞).

当a＞0时，f ′(x)＝x－＝＝，所以函数f(x)的单调递增区间(，＋∞)；递减区间为(0，).              8

(3)证明　当a＝－1时，f (x)＝x2＋ln x.

设g(x)＝x3－x2－ln x，则g′(x)＝2x2－x－.因为当x＞1时，g′(x)＝＞0，所以g(x)在x∈(1，＋∞)上为增函数，所以g(x)＞g(1)＝＞0，所以当x＞1时，x2＋ln x＜x3，即f(x)＜x3.            12