湖南省长沙市2020-2021学年高二下学期期中数学试题（word版 含答案）

2020—2021学年度高二第二学期期中考试

数学

时量：30分钟  满分：50分

得分：_________________

一、选择题：本题共2小题，每小题4分，共8分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设（i是虚数单位），表示z的共辄复数，则

A.1   B.   C.   D.

2.某次招聘考试共有50个人参加，假设每个人获得通过的概率都为0.4，且各人通过与否相互独立.设这50人中获得通过的人数为，则

A.12   B.20   C.108   D.2058

二、填空题：本题共2个小题，每小题4分，共8分.

3.党的十九大报告指出，建设教育强国是中华民族伟大复兴的基础工程，必须把教育事业放在优先位置，深化教育资源的均衡发展.现有7名大学生主动申请毕业后到偏远山区小学任教.若将这7名大学生按照3人、2人、2人分成了三个小组，分别去三个不同的学校参加工作，则不同的安排方案共有________________种.

4.用表示m，n中的最小值，设函数，若函数为增函数，则实数的取值范围是______________.

三、解答题：第5题10分，第6、7题各12分，共34分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

5.在三棱台中，，，，，且平面.设P、Q、R分别为棱AC、FC、BC的中点.

（1）证明：平面平面PQR；

（2）求二面角的正弦值.

6.已知点在椭圆上，且点M到C的左、右焦点的距离之和为.

（1）求C的方程；

（2）设О为坐标原点，若C的弦AB的中点在线段OM（不含端点O，M）上，求的取值范围.

7.已知函数，其中e为自然对数的底数.

（1）当时，求函数的最值；

（2）若当时，函数的图象与的图象有交点，求的最大值；

（3）若的最小值为0，求的最大值.

2020—2021学年度高二第二学期期中考试

数学参考答案

一、选择题：本题共2小题，每小题4分，共8分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.B【解析】对于，故选B

2.C【解析】据题意，，则，，故选C.

二、填空题：本题共2个小题，每小题4分，共8分.

3.630【解析】根据先分组再分配的原则可得，7人按照3人，2人，2人分成三个小组并安排到3个不同的学校工作，有种方法.

4.【解析】设函数.

下面考察函数的符号：

对函数求导得.

当时，恒成立；

当时，，

从而.

∴在上恒成立，故在上单调递减.

又，，∴..

且曲线在上连续不间断，所以由函数的零点存在性定理及其单调性知存在唯一的，使.

∴，；，；时，.

∴，

从而∴

由函数为增函数，且曲线在上连续不断知在，上恒成立.

①当时，在上恒成立，即在上恒成立，

记，，则，，

当变化时，，变化情况列表如下：

∴，

故“在上恒成立”只需，即.

②当时，，当时，在上恒成立，

综合①②知，当时，函数为增函数.

故实数的取值范围是.

三、解答题：第5题10分，第6、7题各12分，共34分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

5.【解析】（1）证明：如图，连接DP，则四边形DPCF是矩形.

又.

则，从而.

由平面，且平面，得.

由，且为三角形ABC的中位线，得.

又，则平面ADFC.

注意到平面ADFC，则.

又，则平面PQR.

从而平面平面PQR.

（2）以P为原点，PA为工轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，.

故，，.

设是平面BDE的法向量，

则

所以取，得.

设是平面BDC的法向量，

则

所以取，得.

设二面角的平面角为，则，

又，所以.

从而二面角的平面角的正弦值为.

6.【解析】（1）由已知得，解得，

所以椭圆的方程为.

（2）设点A、B的坐标分别为，，则AB的中点在线段OM上，且，所以.

又，，两式相减得，

易知，，所以，即.

设直线AB的方程为，

代入并整理得.

由，解得，所以.

由根与系数的关系得，，

则

，

又，所以的取值范围是.

7.【解析】（1）当时，，，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以的最小值为，无最大值.

（2）由题意得方程有正实数解，

两边同取对数得：，所以，

令，则，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

所以，所以的最大值为.

（3）方法一：由题得恒成立，且能取等号，即且可取等号，

令，两边同取对数得，

所以恒成立，且等号成立，

由（1）可知且当时等号成立，

即时，且可取等号，

由（2）结论可知，.

方法二：由题得恒成立，且能取等号，即且可取等号.

下面证明不等式，

令，，

当时，单调递减，当时，单调递增，

所以，即，当时取等号，

所以，

当，即时取等号，

令，则，在上单调递增，在上单调递减，

所以，所以.