2022版新教材高考数学一轮复习3全称量词命题与存在量词命题训练含解析新人教B版

三　全称量词命题与存在量词命题

(建议用时：45分钟)

A组　全考点巩固练

1．(多选题)下列命题为全称量词命题的是(　　)

A．奇函数的图像关于原点对称

B．正四棱柱都是平行六面体

C．棱锥仅有一个底面

D．存在大于等于3的实数x，使x2－2x－3≥0

ABC　解析： A，B，C中命题都省略了全称量词“所有”，所以A，B，C都是全称量词命题；D中命题含有存在量词“存在”，所以D是存在量词命题．故选ABC.

2．(2020 · 潍坊市高三模拟)已知命题p：有的三角形是等边三角形，则

(　　)

A．p：有的三角形不是等边三角形

B．p：有的三角形是不等边三角形

C．p：所有的三角形都是等边三角形

D．p：所有的三角形都不是等边三角形

D　解析：因为命题p是存在量词命题，存在量词的否定为全称量词，且否定结论，所以命题p的否定是“所有的三角形都不是等边三角形”．故选D.

3．已知集合A是奇函数集，B是偶函数集．若命题p：∀f(x)∈A，|f(x)|∈B，则p为(　　)

A．∀f(x)∈A，|f(x)|∉B

B．∀f(x)∉A，|f(x)|∉B

C．∃f(x)∈A，|f(x)|∉B

D．∃f(x)∉A，|f(x)|∉B

C　解析：全称量词命题的否定为存在量词命题，一是要改写量词，二是要否定结论，所以由命题p：∀f(x)∈A，|f(x)|∈B，得p：∃f(x)∈A，|f(x)|∉B.故选C.

4．已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，下列选项中的命题为假命题的是(　　)

 A．∃x∈R，f(x)≤f(x0)

B．∃x∈R，f(x)≥f(x0)

C．∀x∈R，f(x)≤f(x0)

D．∀x∈R，f(x)≥f(x0)

C　解析：f(x)＝ax2＋bx＋c＝a2＋(a>0)．因为2ax0＋b＝0，所以x0＝－.当x＝x0时，函数f(x)取得最小值，所以∀x∈R，f(x)≥f(x0)，从而A，B，D为真命题，C为假命题．

5．以下四个命题中既是存在量词命题又是真命题的是(　　)

A．锐角三角形有一个内角是钝角

B．至少有一个实数x，使x2≤0

C．两个无理数的和必是无理数

D．存在一个负数x，使>2

B　解析：锐角三角形的内角都是锐角，所以A项是假命题；当x＝0时，x2＝0，满足x2≤0，所以B项既是存在量词命题又是真命题；因为＋(－)＝0不是无理数，所以C项是假命题；对于任意一个负数x，都有<0，不满足>2，所以D项是假命题．

6．命题“存在x∈R，使x2＋ax－4a＜0为假命题”是命题“－16≤a≤0”的

(　　)

A．充要条件

B．必要不充分条件

C．充分不必要条件

D．既不充分也不必要条件

A　解析：依题意，知x2＋ax－4a≥0恒成立，则Δ＝a2＋16a≤0，解得－16≤a≤0.故选A.

7．以下四个命题：

①∀x∈R，x2－3x＋2＞0恒成立；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R,4x2＞2x－1＋3x2.其中真命题的个数为________．

0　解析：因为x2－3x＋2＝0的判别式Δ＝(－3)2－4×2＞0，

所以当x＞2或x＜1时，x2－3x＋2＞0才成立，

所以①为假命题．

当且仅当x＝±时，x2＝2，

所以不存在x∈Q，使得x2＝2，所以②为假命题．

∀x∈R，x2＋1≠0为真命题，所以③为假命题．

4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，

即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，

所以④为假命题．

所以①②③④均为假命题．

故真命题的个数为0.

8．命题p：∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0.若p是真命题，则实数a的取值范围是________．

(－∞，0)∪(4，＋∞)　解析：若p是真命题，则当a＝0时，不等式恒成立；当a≠0时，要使不等式恒成立，则有即解得0<a≤4.综上，命题p是真命题时，实数a的取值范围是0≤a≤4.所以当p是真命题时，实数a的取值范围是a<0或a>4.

9．若命题“∃x∈R，使得3x2＋2ax＋1<0”是假命题，则实数a的取值范围是________．

[－，]　解析：命题“∃x∈R，使得3x2＋2ax＋1<0”是假命题，即“∀x∈R,3x2＋2ax＋1≥0”是真命题，故Δ＝4a2－12≤0，解得－≤a≤.

B组　新高考培优练

10．(多选题)下列命题是“∃x∈R，x2>3”的表述方法的是(　　)

A．有一个x∈R，使得x2>3成立

B．对有些x∈R，使得x2>3成立

C．任选一个x∈R，都有x2>3成立

D．至少有一个x∈R，使得x2>3成立

ABD　解析：原命题为存在量词命题，A，B，D选项均为对应的存在量词命题，是原命题的表述方法，C为全称量词命题．故选ABD.

11．(多选题)命题p：存在实数x∈R，使得数据1,2,3，x,6的中位数为3.若命题p为真命题，则实数x的取值集合可以为(　　)

A．{3,4,5} B．{x|x>3}

C．{x|x≥3} D．{x|3≤x≤6}

ABCD　解析：根据中位数的定义可知，只需x≥3，则1,2,3，x,6的中位数必为3，选项A，B，C，D中的取值集合均满足x≥3.故选ABCD.

12．已知命题p：∀x∈[0,1]，a≥ex；命题q：∃x∈R，使得x2＋4x＋a＝0.若命题p为真命题，则实数a的取值范围为________；若命题p，q都为真命题，则实数a的取值范围是________．

[e，＋∞)　[e,4]　解析：由已知命题p，q都是真命题．由∀x∈[0,1]，a≥ex，得a≥e；由∃x∈R，使x2＋4x＋a＝0，知Δ＝16－4a≥0，得a≤4，因此e≤a≤4.

13．已知函数f(x)＝(x≥2)，g(x)＝ax(a＞1，x≥2)．

(1)若∃x0∈[2，＋∞)，使f(x0)＝m成立，求实数m的取值范围；

(2)若∀x1∈[2，＋∞)，∃x2∈[2，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)，求实数a的取值范围．

解：(1)f(x)＝＝x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝2时等号成立．所以，若∃x0∈[2，＋∞)，使f(x0)＝m成立，则实数m的取值范围为[3，＋∞)．

(2)当x≥2时，f(x)≥3，g(x)≥a2.若∀x1∈[2，＋∞)，∃x2∈[2，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)，则解得1＜a≤.所以a∈(1，]．