2022版新教材高考数学一轮复习7函数的单调性与最值训练含解析新人教B版

七　函数的单调性与最值

(建议用时：45分钟)

A组　全考点巩固练

1．(多选题)下列各选项正确的有(　　)

A．若x1，x2∈I，当x1＜x2时，f(x1)＜f(x2)，则y＝f(x)在I上是增函数

B．函数y＝x2在R上是增函数

C．函数y＝－在定义域上不是增函数

D．函数y＝x2的单调递减区间为(－∞，0]

CD　解析：A中，没强调x1，x2是区间I上的任意两个数，故不正确；B中，y＝x2在x≥0时是增函数，在x<0时是减函数，从而y＝x2在整个定义域上不具有单调性，故不正确；C中，y＝－在整个定义域内不具有单调性，故正确；D正确．

2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　)

A．y＝ln(x＋2) B．y＝－

C．y＝x D．y＝x＋

A　解析：函数y＝ln(x＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上单调递增．

3．若函数f(x)＝x2－2x＋m在[3，＋∞)上的最小值为1，则实数m的值为

(　　)

A．－3 B．－2  

C．－1 D．1

B　解析：因为f(x)＝(x－1)2＋m－1在[3，＋∞)上单调递增，且f(x)在[3，＋∞)上的最小值为1，所以f(3)＝1，即22＋m－1＝1，m＝－2.故选B.

4．若函数f(x)＝ax＋1在R上单调递减，则函数g(x)＝a(x2－4x＋3)的单调递增区间是(　　)

A．(2，＋∞) B．(－∞，2)

C．(4，＋∞) D．(－∞，4)

B　解析：因为f(x)＝ax＋1在R上单调递减，所以a<0. 而g(x)＝a(x2－4x＋3)＝a(x－2)2－a. 因为a<0，所以g(x)的单调递增区间是(－∞，2)．

5．已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x－1)＜f 的x的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D.

D　解析：因为函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，且f(2x－1)＜

f ，所以0≤2x－1＜，解得≤x＜.

6．已知函数f(x)在R上单调递减，且a＝33.1，b＝π，c＝ln，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为(　　)

A．f(a)＞f(b)＞f(c) B．f(b)＞f(c)＞f(a)

C．f(c)＞f(a)＞f(b) D．f(c)＞f(b)＞f(a)

D　解析：因为a＝33.1＞30＝1,0＜b＝π＜0＝1，c＝ln＜ln 1＝0，所以c＜b＜a.又因为函数f(x)在R上单调递减，所以f(c)＞f(b)＞f(a)．故选D.

7．若f(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________．

(－∞，3)　解析：f(x)＝＝＝1＋，要使函数f(x)在区间(－2，＋∞)上单调递增，需使a－3<0，解得a<3.

8．若函数f(x)＝(a－1)x＋2在R上单调递增，则函数g(x)＝a|x－2|的单调递减区间是________．

(－∞，2]　解析：因为f(x)在R上单调递增，所以a－1>0，即a>1，因此g(x)的单调递减区间就是y＝|x－2|的单调递减区间(－∞，2]．

9．定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f ＝0，则不

等式f()>0的解集为________________．

　解析：由题意知，f ＝－f ＝0，f(x)在(－∞，0)上也单调递增，所以f()> f 或f()> f ，

所以>或－<<0，解得0<x<或1<x<3.

所以原不等式的解集为.

10．已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1；②当x>0时，f(x)>－1.

(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是增函数；

(2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)>4.

解：(1)令x＝y＝0，得f(0)＝－1.

在R上任取x1>x2，则x1－x2>0，f(x1－x2)>－1.

又f(x1)＝f((x1－x2)＋x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1>f(x2)，所以函数f(x)在R上是增函数．

(2)由f(1)＝1，得f(2)＝3，f(3)＝5.

由f(x2＋2x)＋f(1－x)>4，得f(x2＋x＋1)>f(3)．

又函数f(x)在R上是增函数，故x2＋x＋1>3，解得x<－2或x>1.

故原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}．

B组　新高考培优练

11．(2021·江苏高三月考)已知函数f(x)＝若f(a)＝f(a＋2)，则f 的值是________．

2　解析：由x≥2时，f(x)＝－2x＋8是减函数可知，当a≥2，则f(a)≠f(a＋2)，所以0<a<2.

由f(a)＝f(a＋2)得

a2＋a＝－2(a＋2)＋8，解得a＝1，

则f ＝f(1)＝12＋1＝2.

故答案为2.

12．(2020·山东师范大学附中月考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x1≠x2时，有[f(x1)－f(x2)](x1－x2)<0恒成立．若f(3x＋1)＋f(2)>0，则x的取值范围是________．

(－∞，－1)　解析：根据已知条件，当x1≠x2时，有[f(x1)－f(x2)](x1－x2)<0恒成立，得函数f(x)是定义在R上的减函数．又因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以－f(2)＝f(－2)，故f(3x＋1)＋f(2)>0等价于f(3x＋1)>－f(2)＝f(－2)，所以3x＋1<－2，即x<－1.

13．设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是________．

[0,1)　解析：由题意知g(x)＝

函数的图像为如图所示的实线部分．根据图像，g(x)的单调递减区间是[0,1)．

14．已知f(x)＝，x∈[1，＋∞)．

(1)当a＝时，用定义证明函数的单调性并求函数f(x)的最小值；

(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．

解：(1)当a＝时，f(x)＝x＋＋2，

任取1≤x1<x2，

则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋

＝.

因为1≤x1<x2，所以x1x2>1，

所以2x1x2－1>0.

又x1－x2<0，所以f(x1)<f(x2)，所以f(x)在[1，＋∞)上是增函数，所以f(x)在[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝.

(2)因为在区间[1，＋∞)上，f(x)＝>0恒成立，

所以⇔

等价于a大于函数φ(x)＝－(x2＋2x)在[1，＋∞)上的最大值．

因为φ(x)＝－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减，所以当x＝1时，φ(x)取最大值为φ(1)＝－3，所以a>－3.故实数a的取值范围是(－3，＋∞)．