2022版新教材高考数学一轮复习15导数的概念几何意义及其运算训练含解析新人教B版

十五　导数的概念、几何意义及其运算

(建议用时：45分钟)

A组　全考点巩固练

1．曲线y＝ex－ln x在点(1，e)处的切线方程为(　　)

A．(1－e)x－y＋1＝0 

B．(1－e)x－y－1＝0

C．(e－1)x－y＋1＝0 

D．(e－1)x－y－1＝0

C　解析：因为y′＝ex－，所以y′|x＝1＝e－1.故曲线y＝ex－ln x在点(1，e)处的切线方程为y－e＝(e－1)(x－1)，即(e－1)x－y＋1＝0.

2．(2021·本溪模拟)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln x(其中e为自然对数的底数)，则f′(e)＝(　　)

A．1   B．－1

C．－e   D．－e－1

D　解析：由已知得f′(x)＝2f′(e)＋，令x＝e，可得f′(e)＝2f′(e)＋，则f′(e)＝－.故选D.

3．若f(x)＝a－2＋asin 2x为奇函数，则曲线y＝f(x)在x＝0处的切线的斜率为

(　　)

A．－2   B．－4 

C．2   D．4

D　解析：因为f(x)是奇函数，所以a－2＝0，a＝2.所以f(x)＝2sin 2x，f′(x)＝4cos 2x.所以f′(0)＝4.所以曲线y＝f(x)在x＝0处的切线的斜率为4.

4．函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图像如图所示，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图像可能是(　　)

D　解析：由y＝f′(x)的图像知，y＝f′(x)在(0，＋∞)上是单调递减的，说明函数y＝f(x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也是单调递减的，故可排除A，C；

又由图像知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图像在x＝x0处相交，说明y＝f(x)与y＝g(x)的图像在x＝x0处的切线的斜率相等，故可排除B.故选D.

5．(多选题)(2020·青岛三模)已知曲线f(x)＝x3－x2＋ax－1上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于0，则实数a可能的取值为(　　)

A.   B.3 

C.   D.

AC　解析：f′(x)＝2x2－2x＋a.

因为曲线y＝f(x)上存在两条斜率为3的不同切线，

所以f′(x)＝3有两个不同的根，即2x2－2x＋a－3＝0有两个不同的根．

所以Δ＝(－2)2－4×2×(a－3)>0.①

设两切点的横坐标分别为x1，x2.

因为切点的横坐标都大于0，

所以x1>0，x2>0，

所以

联立①②，解得3<a<.

故选AC.

6．(2019·天津卷)曲线y＝cos x－在点(0,1)处的切线方程为________．

x＋2y－2＝0　解析：因为y′＝－sin x－，

所以y′|x＝0＝－sin 0－＝－，

故所求的切线方程为y－1＝－x，

即x＋2y－2＝0.

7．(2020·全国卷Ⅰ)曲线y＝ln x＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________．

y＝2x　解析：设该切线的切点坐标为(x0，y0)．由y＝ln x＋x＋1得y′＝＋1，则在该切点处的切线斜率k＝＋1，即＋1＝2，解得x0＝1.所以y0＝ln 1＋1＋1＝2，即切点坐标为(1,2)．所以该切线的方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x.

8．已知函数f(x)＝x3－x2＋x，则曲线y＝f(x)的斜率为1的切线方程为________．

y＝x或y＝x－　解析：由f(x)＝x3－x2＋x得f′(x)＝x2－2x＋1.

令f′(x)＝1，即x2－2x＋1＝1，得x＝0或x＝.又f(0)＝0，f＝，

所以曲线y＝f(x)的斜率为1的切线方程是y＝x或y－＝x－，即y＝x或y＝x－.

9．已知函数f(x)＝x3＋x－16.

(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；

(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；

(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线方程．

解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．

因为f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，

所以f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.

所以切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，

即y＝13x－32.

(2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x＋1.

所以直线l的方程为y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16.

又因为直线l过点(0,0)，

所以0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16，

整理，得x＝－8.所以x0＝－2.

所以y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，

f′(－2)＝3×(－2)2＋1＝13.

所以直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．

(3)因为切线与直线y＝－x＋3垂直，

所以切线的斜率k＝4.

设切点的坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝3x＋1＝4，

所以x0＝±1.

所以或

即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)．

所以，切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18，

即y＝4x－18或y＝4x－14.

B组　新高考培优练

10．(多选题)若函数f(x)＝ln x与g(x)＝x2＋ax的图像有一条与直线y＝x平行的公共切线，则实数a的值可能为(　　)

A．1   B．2 

C．3   D．－1

CD　解析：设函数f(x)＝ln x图像上的切点为(x，y)．根据导数的几何意义得k＝＝1，所以x＝1.故切点为(1,0)，切线方程为y＝x－1.而直线y＝x－1和g(x)＝x2＋ax的图像也相切，令x2＋ax＝x－1，化简得到x2＋(a－1)x＋1＝0，需满足Δ＝(a－1)2－4＝0，解得a＝－1或a＝3.

11．(2020·广州综合测试一)已知函数f(x)＝x3＋mx2－4x＋2.当x0≠时，曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))和点(1－x0，f(1－x0))处的切线总是平行的，则曲线y＝f(x)在点(2m＋2，f(2m＋2))处的切线方程为(　　)

A．4x－2y＋11＝0   B．y＝－3

C．4x＋2y－11＝0   D．y＝－

A　解析：f′(x)＝3x2＋2mx－4，由题意得f′(x0)＝f′(1－x0)且x0≠恒成立，化简得(1－2x0)(3＋2m)＝0，所以m＝－.而2m＋2＝－1，所以f(－1)＝，f′(－1)＝2，所以切线方程为4x－2y＋11＝0.

12．(2020·济南一模)已知直线y＝ax＋b(b>0)与曲线y＝x3有且只有两个公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中x1<x2，则2x1＋x2＝(　　)

A．－1   B．0 

C．1   D．a

B　解析：由题意知，要使直线y＝ax＋b(b>0)与曲线y＝x3有且只有两个公共点，则直线与曲线相切于点A(x1，y1)，如图所示．由y＝x3，得y′＝3x2，则切线方程为y－x＝3x(x－x1)，即y＝3xx－2x.又点B(x2，y2)也在切线上，所以x＝3xx2－2x，即x＝3xx2－3x＋x，即x－x＝3xx2－3x，整理得(x1－x2)2(2x1＋x2)＝0.因为x1<x2，所以2x1＋x2＝0.故选B.

13．已知曲线y＝x3－2x2＋2在点A处的切线方程为y＝4x－6，且点A在直线mx＋ny－1＝0(其中m>0，n>0)上，则＋的最小值为________．

6＋4　解析：设A(s，t)，y＝x3－2x2＋2的导数为y′＝3x2－4x，可得切线的斜率为3s2－4s.

由切线方程为y＝4x－6，可得3s2－4s＝4，t＝4s－6，

解得s＝2，t＝2或s＝－，t＝－.

由点A在直线mx＋ny－1＝0(其中m>0，n>0)上，

得2m＋2n＝1，则＋＝(2m＋2n)·＝2≥2＝6＋4，

当且仅当n＝m时，得最小值为6＋4.

14．(2020·北京卷)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f(t)，用－的大小评价在[a，b]这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．

给出下列四个结论：

①在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；

④甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力最强．

其中所有正确结论的序号是________________．

①②③　解析：－表示区间端点连线斜率的相反数，

在[t1，t2]这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强，①正确；

在t2时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强，②正确；

在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下，所以都已达标，③正确；

甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，甲企业在[t1，t2]这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[t1，t2]的污水治理能力最强，④错误．

15．已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直线m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0.

(1)求a的值．

(2)是否存在实数k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．

解：(1)由已知得f′(x)＝3ax2＋6x－6a.

因为f′(－1)＝0，所以3a－6－6a＝0，所以a＝－2.

(2)存在．由已知得，直线m恒过定点(0,9)．若直线m是曲线y＝g(x)的切线，

则可设切点坐标为(x0,3x＋6x0＋12)．

因为g′(x0)＝6x0＋6，所以切线方程为y－(3x＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)．

将(0,9)代入切线方程，解得x0＝±1.

当x0＝－1时，切线方程为y＝9；

当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.

由(1)知f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11.

①由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，

解得x＝－1或x＝2.

在x＝－1处，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；

在x＝2处，y＝f(x)的切线方程为y＝9.

所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9.

②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，

解得x＝0或x＝1.

在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；

在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10.

所以y＝12x＋9不是y＝f(x)与y＝g(x)的公切线．

综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.