2022版新教材高考数学一轮复习14函数的应用训练含解析新人教B版

十四　函数的应用

(建议用时：45分钟)

A组　全考点巩固练

1．下列函数中，随x的增大，y的增大速度最快的是(　　)

A．y＝0.001ex   B．y＝1 000ln x

C．y＝x1 000   D．y＝1 000·2x

A　解析：在对数函数、幂函数、指数函数中，指数函数的增长速度最快，排除B，C；指数函数中，底数越大，函数增大速度越快．故选A.

2．(2020·广州一模)如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图像大致是(　　)

B　解析：函数h＝f(t)是关于t的减函数，故排除C，D；开始时，h随着时间的变化，变化缓慢，水排出超过一半时，h随着时间的变化，变化加快，故对应的图像为B.故选B.

3．某位股民买入某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了3次涨停(每次上涨10%)，又经历了3次跌停(每次下降10%)，则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为(　　)

A．略有盈利   B．无法判断盈亏情况

C．没有盈利也没有亏损   D．略有亏损

D　解析：设买入股票时的价格为m(m>0)元．先经历了3次涨停(每次上涨10%)，又经历了3次跌停(每次下降10%)后的价格为m×(1＋10%)3×(1－10%)3＝0.993m<m，所以该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为略有亏损．故选D.

4．某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是(　　)

A．10.5万元   B．11万元

C．43万元   D．43.025万元

C　解析：设公司在A地销售该品牌的汽车x(0≤x≤16且x∈N)辆，则在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆，所以可得利润y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－·2＋×＋32.

因为x∈[0,16]且x∈N，

所以当x＝10或11时，总利润取得最大值43万元．

5．气象学院用32万元购置了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启动的第1天开始连续使用，第n天的维修保养费为4n＋46(n∈N*)元，使用它直至“报废最合算”(所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器平均每天耗资最少)为止，则一共要使用(　　)

A．300天   B．400天

C．600天   D．800天

B　解析：使用n天的平均耗资为＝元，当且仅当＝2n时取得最小值，此时n＝400.

6．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%.若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，至少应过滤________次才能达到市场要求．(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)

8　解析：设至少过滤n次才能达到市场要求，则2%×n≤0.1%，即

n≤，所以nlg ≤－1－lg 2，所以n≥7.39，所以n＝8.

7．2018年5月至2019年春，在阿拉伯半岛和伊朗西南部，沙漠蚂虫迅速繁衍，呈现几何式的爆发，仅仅几个月，蝗虫数量增长了8 000倍，引发了蝗灾，到2020年春季蝗灾已波及印度和巴基斯坦，假设蝗虫的日增长率为5%，最初有N0只，则经过________天能达到最初的16 000倍(参考数据：ln 1.05≈0.048 8，ln 1.5≈0.405 5，ln 1 600≈7.377 8，ln 16 000≈9.680 3)．

199　解析：设过x天能达到最初的16 000倍，由已知N0(1＋0.05)x＝16 000N0，x＝≈198.4.又x∈N，所以过199天能达到最初的16 000倍．故答案为199.

8．某人根据经验绘制了从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y(单位：千克)随时间x(单位：天)变化的函数图像，如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克．

　解析：前10天满足一次函数关系．设为y＝kx＋b.将点(1,10)和点(10,30)的坐标代入函数解析式得解得k＝，b＝，所以y＝x＋.当x＝6时，y＝.

9．A，B两城相距100 km，在两城之间距A城x(单位：km)处建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(单位：km)的平方与供电量(单位：亿千瓦·时)之积的0.25倍．若A城供电量为每月20亿千瓦·时，B城供电量为每月10亿千瓦·时．

(1)求x的取值范围．

(2)把月供电总费用y表示成x的函数．

(3)核电站建在距A城多远，才能使月供电总费用y最少？

解：(1)由题意知x的取值范围为[10,90]．

(2)y＝5x2＋(100－x)2(10≤x≤90)．

(3)因为y＝5x2＋(100－x)2＝x2－500x＋25 000＝2＋，

所以，当x＝时，ymin＝.

故核电站建在距A城 km处，能使月供电总费用y最少．

B组　新高考培优练

10．(多选题)(2021·济南月考)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们行走的路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，则下列结论正确的是

(　　)

A．当x>1时，甲走在最前面

B．当x>1时，乙走在最前面

C．当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面

D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲

CD　解析：甲、乙、丙、丁的路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型．

当x＝2时，f1(2)＝3，f2(2)＝4，所以A不正确；

当x＝5时，f1(5)＝31，f2(5)＝25，所以B不正确．

根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，又当x＝1时，甲、乙、丙、丁四个物体走过的路程相等，从而可知，当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面，所以C正确；

指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以D正确．

11．汽车急刹车的停车距离与诸多因素有关，其中最为关键的两个因素是驾驶员的反应时间和汽车行驶的速度．设d表示停车距离，d1表示反应距离，d2表示制动距离，则d＝d1＋d2.如图是根据美国公路局公布的试验数据制作的停车距离示意图．

由图中数据得到如表的表格，根据表格中的数据，建立停车距离与汽车速度的函数模型．可选择模型①：d＝av＋b；模型②：d＝av2＋bv；模型③：d＝av＋；模型④：1＝av2＋(其中v为汽车速度，a，b为待定系数)进行拟合，如果根据序号3和序号7两组数据分别求出四个函数模型的解析式，并通过计算120 km/h时的停车距离与实验数据比较，则拟合效果最好的函数模型是(　　)

A．d＝av＋b   B．d＝av2＋bv

C．d＝av＋   D．d＝av2＋

B　解析：若选择模型①，则解得a＝1.242 5，b＝－38.85.

故d＝1.242 5v－38.85.

当v＝120时，停车距离d的预测值为1.242 5×120－38.85＝110.25.

若选择模型②，则解得a＝0.006 475，b＝0.206 5.

故d＝0.006 475v2＋0.206 5v.

当v＝120时，停车距离d的预测值为0.006 475×1202＋0.206 5×120＝118.02.

若选择模型③，则解得a＝1.004 375，b＝－1 473.75.

故d＝1.004 375v－.

当v＝120时，停车距离d的预测值为1.004 375×120－＝108.243 75.

若选择模型④，则解得a＝，b＝371.020 41.

故d＝v2＋.

当v＝120时，停车距离d的预测值为×1202＋≈121.157 14.

由实验数据可知当v＝120时，停车距离为118 m．模型②的预测值更接近118 m，故模型②拟合效果最好．

12．(2019·北京卷)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.

(1)当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；

(2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为________．

(1)130　(2)15　解析：(1)顾客一次购买草莓和西瓜各1盒时，总价为60＋80＝140(元)，总价超过120元．又 x＝10，即顾客少付10元，所以需要支付130元．

(2)设顾客买水果的总价为a元．当0≤a<120时，顾客支付a元，李明得到0.8a元，且0.8a≥0.7a，显然符合题意，此时x＝0；当a≥120时，则0.8(a－x)≥0.7a恒成立，即x≤a 恒成立，x≤ min.又a≥120，所以min＝15，所以x≤15.综上可知，0≤x≤15，所以x的最大值为15.

13．(2020·济南一中月考)响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调研，生产某小型电子产品需投入年固定成本2万元，每生产x万件，需另投入流动成本W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝x2＋2x.在年产量不小于8万件时，W(x)＝7x＋－37.每件产品售价6元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．

(1)写出年利润P(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：万件)的函数解析式．(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)

(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？

解：(1)因为每件商品售价为6元，则x万件商品销售收入为6x万元．依题意得

当0<x<8时，

P(x)＝6x－－2＝－x2＋4x－2，

当x≥8时，

P(x)＝6x－－2＝35－.

故P(x)＝

(2)当0<x<8时，P(x)＝－(x－6)2＋10.

此时，当x＝6时，P(x)取最大值，最大值为10万元．

当x≥8时，P(x)＝35－≤35－2

＝15.

此时，当x＝10时，P(x)取得最大值，最大值为15万元．

因为10<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．