2022版新教材高考数学一轮复习59古典概型训练含解析新人教B版

这是一份2022版新教材高考数学一轮复习59古典概型训练含解析新人教B版，共5页。
A组 全考点巩固练
1．(2020·河北高三联考)某校开设a，b，c，d共4门选修课，一个同学从中随机选取2门，则a与b未同时被选中的概率为( D )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(2,3) D.eq \f(5,6)
2．(2020·河源模拟)将一个骰子连续掷3次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为( B )
A.eq \f(1,9) B.eq \f(1,12)
C.eq \f(1,15) D.eq \f(1,18)
3．(2020·宜昌联考)设m，n∈{0,1,2,3,4}，向量a＝(－1，－2)，b＝(m，n)，则a∥b的概率为( B )
A.eq \f(2,25) B.eq \f(3,25)
C.eq \f(3,20) D.eq \f(1,5)
4．(2020·聊城高三三模)某部队在演习过程中，用悬挂的彩旗来表达行动信号，每个信号都由从左到右排列的4面彩旗组成，有红、黄、蓝三种颜色的彩旗．若从所有表达的信号中任选一种，则这种信号中恰有2面红色旗子的概率为
( A )
A.eq \f(8,27) B.eq \f(2,27)
C.eq \f(4,9) D.eq \f(1,3)
5．(2020·长郡中学高三一模)2019年成都世界警察与消防员运动会期间，需安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去A，B，C三个场馆参与服务工作，要求每个场馆至少一人，则甲、乙被安排到同一个场馆的概率为( )
A.eq \f(1,12) B.eq \f(1,8)
C.eq \f(1,6) D.eq \f(1,4)
C 解析： 将甲、乙看成一个整体，满足要求的安排方式有m＝Aeq \\al(3,3)＝6(种)，总的安排方式有n＝Ceq \\al(2,4)×Aeq \\al(3,3)＝36(种)，所以甲、乙被安排到同一个场馆的概率p＝eq \f(m,n)＝eq \f(1,6).故选C.
6．(2020·红河州高三检测)整数集就像一片浩瀚无边的海洋，充满了无尽的奥秘．古希腊数学家毕达哥拉斯发现220和284具有如下性质：220的所有真因数(不包括本身的因数)之和恰好等于284，同时284的所有真因数之和也等于220，他把具有这种性质的两个整数叫做一对“亲和数”，“亲和数”的发现吸引了无数数学爱好者的研究热潮．已知220和284,1 184和1 210,2 924和2 620是3对“亲和数”，把这六个数随机分成两组，一组2个数，另一组4个数，则220和284在同一组的概率为( )
A.eq \f(1,15) B.eq \f(2,5)
C.eq \f(7,15) D.eq \f(1,5)
C 解析：由题意可得一共有Ceq \\al(2,6)种基本结果，满足220和284在同一组，分两种情况讨论，①220和284在2个数这一组中有Ceq \\al(2,2)种，②220和284在4个数这一组中有Ceq \\al(2,4)种．故概率p＝eq \f(C\\al(2,2)＋C\\al(2,4),C\\al(2,6))＝eq \f(7,15).故选C.
7．(2020·湖南高三模拟)将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点的概率为________．
eq \f(7,12) 解析：将一颗骰子先后投掷两次可得n＝6×6＝36(种)结果．由直线与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点可得eq \f(2a,\r(a2＋b2))≤eq \r(2)，所以a≤b，故满足a≤b的结果有m＝6＋5＋4＋3＋2＋1＝21(种)．由古典概型的计算公式，得直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点的概率p＝eq \f(m,n)＝eq \f(21,36)＝eq \f(7,12).
B组 新高考培优练
8．(2020·萍乡高三模拟)算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一．算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠．例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65.若在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字大于200的概率为( )
A.eq \f(3,8) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(2,3) D.eq \f(3,4)
D 解析： 依题意得所拨数字共有Ceq \\al(1,4)Ceq \\al(2,4)＝24(种)可能的结果．
要使所拨数字大于200，则若上珠拨的是千位档或百位档，则所拨数字一定大于200，有Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,4)＝12(种)；
若上珠拨的是个位档或十位档，则下珠一定要拨千位，再从个、十、百里选一个下珠，
有Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,3)＝6(种)．所以所拨数字大于200的概率为eq \f(12＋6,24)＝eq \f(3,4).故选D.
9．某人有4把钥匙，其中2把能打开门．现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门的就扔掉，问第二次才能打开门的概率是________．如果试过的钥匙不扔掉，这个概率是________．
eq \f(1,3) eq \f(1,4) 解析：第二次打开门，说明第一次没有打开门，故第二次打开的概率为eq \f(2×2,4×3)＝eq \f(1,3)；如果试过的钥匙不扔掉，这个概率为eq \f(2×2,4×4)＝eq \f(1,4).
10．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，则所取的2个球中恰有1个白球和1个红球的概率为________．
eq \f(10,21) 解析：从袋中任取2个球共有Ceq \\al(2,15)＝105(种)取法，其中恰有1个白球和1个红球共有Ceq \\al(1,10)Ceq \\al(1,5)＝50(种)取法，所以所取的球恰有1个白球和1个红球的概率为eq \f(50,105)＝eq \f(10,21).
11．(2020·成都高三二模)某企业为了解该企业工人组装某产品所用时间，对每个工人组装一个该产品的用时作了记录，得到大量统计数据．从这些统计数据中随机抽取了9个数据作为样本，得到如图所示的茎叶图(单位：分)．若用时不超过40分钟，则称这个工人为优秀员工．
(1)求这个样本数据的中位数和众数；
(2)从样本数据用时不超过50分钟的工人中随机抽取2个，求至少有一个工人是优秀员工的概率．
解：(1)由茎叶图得中位数为43，众数为47.
(2)设不超过50的工人为a，b，c，d，e，f，g，
其中a，b，c为优秀员工，
从这7名工人中随机抽取2人的基本事件有Ceq \\al(2,7)＝21(个)，
其中至少有一名工人是优秀员工的基本事件有Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(1,4)＋Ceq \\al(2,3)＝15(个)，
所以至少有一个工人是优秀员工的概率p＝eq \f(15,21)＝eq \f(5,7).
12．一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.
(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m＋2的概率．
解：(1)从袋中随机取两个球，样本空间为{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，共6个样本点．从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件＝{(1,2)，(1,3)}，共2个样本点．
因此所求事件的概率p＝eq \f(2,6)＝eq \f(1,3).
(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，则一切可能的结果(m，n)有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个样本点．
又满足条件n≥m＋2的事件有(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个样本点．所以满足条件n≥m＋2的事件的概率p1＝eq \f(3,16).故满足条件n＜m＋2的事件的概率为1－p1＝1－eq \f(3,16)＝eq \f(13,16).
13．某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如表所示：
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．
(1)完成下表，并求所种作物的年均收获量；
(2)在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48 kg的概率．
解：(1)所种作物的总株数为1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株，列表如下：
所种作物的平均年收获量为
eq \f(51×2＋48×4＋45×6＋42×3,15)＝eq \f(690,15)＝46.
(2)由(1)知，P(Y＝51)＝eq \f(2,15)，P(Y＝48)＝eq \f(4,15).
故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48 kg的概率P(Y≥48)＝P(Y＝51)＋P(Y＝48)＝eq \f(2,15)＋eq \f(4,15)＝eq \f(2,5).
X
1
2
3
4
Y
51
48
45
42
Y
51
48
45
42
频数
4
Y
51
48
45
42
频数
2
4
6
3