2021新高考地区压轴卷：数学+答案解析

2021新高考地区高考压轴卷 数学

第I卷（选择题）

一.选择题：本大题8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的

1. 设集合，集合，则A∩B=（    ）

A.  B.  C.  D.

2.若复数z满足：，则（    ）

A. 1 B.  C.  D. 2

3.已知△ABC的角A、B、C所对的边为a、b、c，，，，则（    ）

A.  B. 2 C.  D. 3

4.已知，是夹角为60°的两个单位向量，若＝＋，＝－4＋2，则与的夹角为( ).

A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°

5.函数的部分图象大致为（    ）

A.   B. 

C.   D. 

6.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的.“九儿问甲歌”就是其中一首:一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问小儿多少岁，各儿岁数要谁推，这位公公年龄最小的儿子年龄为（   ）

A. 8岁 B. 11岁 C. 20岁 D. 35岁

7.已知二面角为60°，点，点，异面直线AB与所成的角为60°，.若到的距离为，则到的距离为（    ）

A.  B.  C.  D. 3

8.已知双曲线的右焦点为F，过点F的直线交双曲线的右支于A、B两点，且，点B关于坐标原点的对称点为，且，则双曲线的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

二．选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符号题目要求.全部选对得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的是（    ）

A. 在△ABC中，

B. 在△ABC中，若，则

C. 在△ABC中，若，则；若，则

D. 在△ABC中，

10.下列说法正确的是（    ）

A. 对于独立性检验，随机变量的观测值值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越小

B. 在回归分析中，相关指数越大，说明回归模型拟合的效果越好

C. 随机变量，若，，则

D. 以拟合一组数据时，经代换后的线性回归方程为，则，

11.已知函数，则（    ）

A. 对于任意实数a，f(x)在上均单调递减

B. 存在实数a，使函数f(x)为奇函数

C. 对任意实数a，函数f(x)在上函数值均大于0

D. 存在实数a，使得关于的不等式的解集为(0,2)

12.如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，，M，N分别为棱C1D1，CC1的中点，则下列说法正确的是（    ）

A. A、M、N、B四点共面 B. 平面平面

C. 直线与所成角的为60° D. 平面

第II卷（非选择题）

三.填空题:本大题共4道小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13.从某班6名学生（其中男生4人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动，设所选三人中男生人数为，则数学期望______.

14.已知函数，则函数在处的切线方程为______.

15.已知，则__________．

16.已知抛物线的焦点为F，斜率为1的直线l过点F，且与抛物线C交于A、B两点，点M在抛物线C上，且点M在直线l的下方，若面积的最大值是，则抛物线C的方程是_______；此时，点M的坐标为_______.

三、解答题（本题共6道小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，在

①；

②；

③；这三个条件中任选一个完成下列内容：

（1）求A的大小；

（2）若△ABC的面积，，求值.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

18.在各项均不相等的等差数列{an}中，，且，，成等比数列，数列{bn}的前n项和．

（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；

（2）设，求数列{cn}的前n项和．

19.某省2020年高考将实施新的高考改革方案．考生的高考总成绩由3门统一高考科目成绩和自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成，总分为750分．其中，统一高考科目为语文、数学、外语，自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目是从物理、化学、生物、政治、历史、地理6科中选择3门作为选考科目，语文、数学、外语三科各占150分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分．根据高考综合改革方案，将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为，，，，，，，共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%，16%，7%，3%．等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到91～100，81～90，71～80，61～70，51～60，41～50，31～40，21～30八个分数区间，得到考生的等级成绩．举例说明：某同学化学学科原始分为65分，该学科等级的原始分分布区间为58～69，则该同学化学学科的原始成绩属等级．而等级的转换分区间为61～70，那么该同学化学学科的转换分计算方法为：设该同学化学学科的转换等级分为，，求得．四舍五入后该同学化学学科赋分成绩为67．为给高一学生合理选科提供依据，全省对六个选考科目进行测试，某校高一年级2000人，根据该校高一学生的物理原始成绩制成频率分布直方图（见右图）．由频率分布直方图，可以认为该校高一学生的物理原始成绩X服从正态分布，用这2000名学生的平均物理成绩作为的估计值，用这2000名学生的物理成绩的方差作为的估计值．

（1）若张明同学在这次考试中的物理原始分为86分，等级为，其所在原始分分布区间为82～93，求张明转换后的物理成绩（精确到1）；按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取100人，记Y表示这100人中等级成绩在区间内的人数，求Y最有可能的取值（概率最大）；

（2）①求，（同一组中的数据用该组区间的中点作代表）；

②由①中的数据，记该校高一学生的物理原始分高于84分的人数为Z，求．

附：若，则，，．

20.如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，垂直于底面ABCD，.

（1）求平面与平面ABCD所成二面角的大小；

（2）设棱的中点为M，求异面直线与所成角的大小.

21.已知椭圆的离心率为，且经过点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若不过坐标原点的直线与椭圆C相交于M、N两点，且满足，求面积最大时直线的方程．

22.已知函数．

（1）当时，求函数f(x)的单调区间；

（2）是否存在实数a，使函数在上单调递增？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

2021新高考地区高考压轴卷 数学试卷答案

1.【答案】B

【解析】

函数的定义域是，即，

的值域是，即，

则.

故选：B

2. 【答案】B

【解析】

复数满足，

则，

由复数除法运算化简可得

，

由复数模的定义及运算可得，

故选：B.

【点睛】本题考查了复数模的定义，复数的除法运算，属于基础题.

3. 【答案】B

【解析】

由余弦定理可得，，

即，整理可得，

解可得．

故选：B．

【点睛】本题考查余弦定理的简单应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，属于基础试题．

4. 【答案】C

【解析】

因为，所以，同理，则，

又，

所以，又，所以.

考点：，两向量夹角的余弦公式：，向量数量积的运算律.

5. 【答案】B

【解析】

函数定义域为.

因为，

所以函数为偶函数，函数图象关于y轴对称，排除选项.

当时,,,,所以,排除选项.

故选:.

【点睛】本题考查函数图象的辨识，可以从奇偶性,单调性,函数值符号,特殊值等入手,通过排除法求解,难度较易.

6. 【答案】B

【解析】

由题意九个儿子的年龄成等差数列，公差为3．记最小的儿子年龄为，则，解得．

故选B．

【点睛】本题考查等差数列的应用，解题关键正确理解题意，能用数列表示题意并求解．

7. 【答案】A

【解析】

如图所示，

过点作，垂足，过点作，垂足为点，连接．

则，．

又，．

过点在内作的平行线，过点作，垂足为点．

过点在内作的平行线与的平行线交于点，

则四边形为矩形，．且为异面直线与所成的角，

∴，．

，，

，

在中，设，

由余弦定理可得：，

可得：，解得．

，

，．

到的距离为．

故选：．

【点睛】本题考查了空间位置关系、线面、面面垂直的判定和性质定理、矩形的性质、直角三角形的性质、空间角，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

8. 【答案】C

【解析】

设双曲线的左焦点为，连接、、，则四边形为平行四边形，

设，则，

由双曲线的定义可得，，

，，，

所以，四边形为矩形，

由勾股定理得，即，解得，

，，由勾股定理得，即，

双曲线的离心率为.

故选：C.

【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，考查利用双曲线的定义解决双曲线的焦点三角形问题，考查计算能力，属于中等题.

9. 【答案】ACD

【解析】

对于A，由正弦定理，

可得：，故A正确；

对于B，由，可得，或，即，或，

，或，故B错误；

对于C，在中，由正弦定理可得，因此是的充要条件，故C正确；

对于D，由正弦定理，

可得右边左边，故D正确．

故选：ACD．

【点睛】本题主要考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．

10. 【答案】BD

【解析】

选项A：对于独立性检验，随机变量的观测值值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大，故选项A错误；

选项B：在回归分析中，相关指数越大，残差平方和越小，说明回归模型拟合的效果越好，故选项B正确；

选项C：随机变量，若，，则，解得：，故选项C错误；

选项D：因，所以，令，

则，又，所以，，则，，故选项D正确.

故选：BD.

【点睛】本题考查独立性检验、回归分析、二项分布、线性回归方程求参数，是中档题.

11. 【答案】ABD

【解析】

解：对于，当，，所以，

对于任意实数，在上均单调递减，正确；

对于，函数定义域为，，，定义域关于原点对称，由可得，

，变形可得，，解得，

即存在实数，使函数为奇函数，正确；

对于，取，（1），不正确；

对于，当时，不等式的解集为，正确．

故选：．

【点睛】本题主要考查通过函数的解析式研究函数的性质，以及导数的应用，属于中档题．

12. 【答案】BC

【解析】

对于A，由图显然、是异面直线，故四点不共面，故A错误；

对于B，由题意平面，故平面平面，故B正确；

对于C，取的中点，连接、，可知三角形为等边三角形，故C正确；

对于D，平面，显然与平面不平行，故D错误；

故选：BC

【点睛】本题主要考查了线面、面面之间的位置关系，属于基础题.

13. 【答案】2

【解析】

的可能值为，

则；；.

故分布列为：

故.

故答案为：2.

【点睛】本题考查了概率的计算，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.

14. 【答案】

【解析】

由已知得且，，

则切线方程为，即.

故答案：

【点睛】本题考查在曲线上某点处的切线方程的求法，属于简单题.

15. 【答案】

∵，

∴,

∴．

又，

∴．

∴

．

答案：

16. 【答案】 ；(2,1)

【解析】设，，由题意可得直线的方程为，

联立，整理得，所以，，

则，故，

设，由题意可知当直线与过点，且与抛物线相切的直线平行时，的面积取最大值.

因为，所以，所以.所以，则，

此时，点到直线的距离，故，解得，

故抛物线的方程为，此时点的坐标为.

故答案为：，

【点睛】本题考查的是抛物线中弦长的算法和抛物线的切线的求法，考查了学生的计算能力，属于中档题.

17. 【答案】（1）无论选哪种，（2）

【解析】

选择①：（1）由正弦定理得

，，

由余弦定理得，∵，∴.

（2）由面积公式，.

由余弦定理得得，

由正弦定理得

，，，，.

【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．

18. 【答案】（1），；（2）

【解析】

（1）设数列公差为d，则，，∵，，成等比数列，

，即，

整理得，解得（舍去）或，.

当时，，

当时，．

验：当时，满足上式，∴数列的通项公式为．

（2）由（1）得，，

.

【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，也考查了数列的分组求和的方法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．

19. 【答案】（1）最有可能的取值是10．（2）①60，144②45.5

【解析】

（1）设张明转换后的物理等级分为，由，求得．

所以，张明转换后的物理成绩为84分．

由题意，．

由得

解得．又，所以．

所以，最有可能的取值是10．

（2）①解：．

．

②由①中的数据，，，所以．

所以．

所以

由题意，．

所以．

【点睛】本题考查频率分布直方图，考查由频率分布直方图计算均值的方差，考查二项分布及其期望，考查正态分布，对学生数据处理能力有一定的要求，本题属于中档题．

20. 【答案】

（1）45°；（2）90°.

【解析】

（1）由题意可知底面是边长为1的正方形，

则，

又因为垂直于底面，平面，

则，

由于，

则平面，

而平面，

所以，

则即为平面与平面所成二面角的平面角，

由可知，

在中，；

（2）由，且，为棱的中点，

所以由等腰三角形性质可知,

又因为，且，

所以平面，

而平面，

所以，而且，

所以平面，

而平面，

所以，

则异面直线与垂直，所以异面直线与的夹角为.

【点睛】本题考查了平面与平面形成的二面角求法，异面直线的夹角求法，由线面垂直判断线线垂直的方法，直线与平面垂直的判定，属于基础题.

21. 【答案】（1）；（2）

【解析】

 (1)由题意得,解得,

所以椭圆的方程为;

(2)由题意可知,直线的斜率显然存在,

设直线的方程为,,,

由得,

①

所以,所以,

因为,所以,

所以,代入①得且,

所以

,

当且仅当,即时上式取等号,此时符合题意,

所以直线的方程为.

【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法,考查直线与椭圆位置关系的应用,结合了基本不等式求最值,需要学生具备一定的计算分析能力,属于中档题.

22. 【答案】（1）的单调递增区间为和，单调递减区间为（2）存在,

【解析】

（1）当时，．

所以

令，则或，令，则，

所以的单调递增区间为和，单调递减区间为

（2）存在，满足题设，

因为函数

所以

要使函数在上单调递增，

即，，

令，，

则，

所以当时，，在上单调递减，

当时，，在上单调递增，

所以是的极小值点，也是最小值点，且，

∴在上的最大值为．

所以存在，满足题设．

【点睛】本题考查研究函数的单调性，研究函数的最值．一般情况下，我们用确定增区间，用确定减区间，另外用导数研究不等式恒成立问题，都是转化为求函数的最值，为此分离参数法用得较多．