黑龙江省哈尔滨市2020-2021学年高二下学期期中考试：数学（理）+答案（pdf版）

选择题：ABBCC ADACD CD

填空题： 13. 5   14.    15.    16.

17．（1）；（2）极小值，无极大值；

【详解】

（1）设切点为，因为，

所以，，，...................2

所以切线方程为，即．......................4

（2）的定义域为．

（3）令即，，..............................6

令，得，令，得，故在上单调递减，

在上单调递增，..............................................8

所以存在极小值，无极大值，.......................10

18．（1）；（2）.

【详解】

（1）当时，，.............................1

由得，由得，

所以在上单调递减，在上单调递增，...........................3

且

..........................................................5

则函数的最小值为,最大值为2..................................6

（2）由题得，若恒成立，则，

即恒成立...........................................8

令，则，

当时，；当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，.................10

则，所以，

故的取值范围为....................................12

19．（1）函数定义域为，，.......................2

因为是函数的极值点，所以，解得（舍）或......5

经检验，时，是函数的极值点，

所以.................................6

(2)若，，

所以函数的单调递增区间为，无递减区间；................................8

若，令，解得，

令，解得，

所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是................11

综上所述：，函数的单调递增区间为，无递减区间；

当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是......12

20．解：(1)令，..........................2

的定义域为，，

当时，恒成立，∴在上单调递减，......................4

∴当时，恒成立， ...............................6

故当时，；

(2)设，的定义域为，，

设，的定义域为，，

当时，恒成立，∴在上单调递减，...............7

又，，∴存在唯一的使据，...........8

当时，则，∴在上单调递增，

当时，则，∴在上单调递减，

∴在处取得极大值也是最大值，.............................10

又，，， ......................11

∴在与上各有一个零点，

即当时，方程有且仅有个实数根..............................12

21．（1）由题意，当,时，，

所以，当时，；

当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

所以在时取得极小值，也是最小值.

所以.......................................4

（2）当时，，

，

在恒成立，所以在上单调递增，.....6

①当时，，

所以在上单调递增，

所以，满足题意. ..........................8

②当时，因为在上单调递增，

所以，

存在，使得当时，，在上单调递减，............10

所以当时，，这与在上恒成立矛盾................11

综上所述，，即实数a的取值范围..................................12

22．（1）递减区间，递增区间为；（2）（i），（ii）证明见解析.

【详解】

（1），

令，，因为，，

所以当是，，单调递减，

所以当时，，单调递增，

所以，

所以当时，，当时，，

的单调递减区间，单调递增区间为..................................4

（2）（i），

要使在上有两个极值点，，

则在上有两个不同的零点，

①时，由（1）知，，

令，故，所以在上为增函数，

所以，故，故在上无零点，舍.

②当时，，，，

则在上单调递减 ，故最多只有一个零点，不合题意，舍去.

③当时，由（1）知所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，

即要使，解得，

综上所述，a的取值范围为...................................8

（ii）由（i）知，，，

即，故，

所以，

要证，只要证，

就要证，

由上可知在上单调递增，

所以只要证，而，

所以只要证，（*）

令，

即，

所以，

故在上单调递增，

所以当时，，即，

，

即（*）式成立，所以得证...................................................12