2021唐山三模：数学卷+答案

唐山市2021年普通高等学校招生统一考试第三次模拟演练

数学参考答案

一、选择题：

BABBC  DCD

二、选择题

ABC AC  CD BCD

三、填空题：

13．5n－3  14．[8，16]  15．4 16．－≤a＜0

四、解答题：

17．解：

（1）∵2BCcos∠BEC＝BEcos∠EBC＋CEcos∠ECB

＝BE•＋CE•＝BC

∴cos∠BEC＝，则∠BEC＝．      …4分

（2）设∠AEB＝α，则∠DEC＝－α，(0＜α＜)

∵DE＝2AE＝4，

∴BE＝＝，CE＝＝，

∵△BCE的面积S＝BE·CE·sin＝＝，

∴由已知得：＝8

∴sin(2α－)＝1，则2α－＝，即α＝

此时BE＝＝4，CE＝＝8

∴在△BCE中，由余弦定理得：

BC2＝BE2＋CE2－2 BE ·CE ·cos∠BEC＝48

∴BC＝4．                    …10分

18．解：

（1）∵an＋1＝an＋bn，bn＋1＝3an＋bn＋3，(n∈N*)，

∴bn＋1＝3an＋1＋3，

∴当n≥2且n∈N*时，有bn＝3an＋3，

又a1＝1，b1＝6，也满足b1＝3a1＋3，

∴对任意的n∈N*，都有bn＝3an＋3．     …6分

（2）将bn＝3an＋3代入an＋1＝an＋bn，得an＋1＝2an＋1，

进而an＋1＋1＝2(an＋1)，a1＋1＝2，

∴数列{an＋1}是首项为2，公比也为2的等比数列，

∴an＋1＝2n，an＝2n－1．

∴bn＝3an＋3＝3·2n．       …12分

19．解：

（1）由tan∠ADB＝，tan∠ACD＝，得∠ADB＝∠ACD，

所以∠DAC＋∠ADB＝∠DAC＋∠ACD＝，即AC⊥BD，

又AC⊥PB，PB∩BD＝B，

则有AC⊥平面PBD，又PD平面PBD，所以AC⊥PD，

又PD⊥BC，AC∩BC＝C，

所以PD⊥平面ABCD．       …5分

（2）

如图所示，以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立

空间直角坐标系D－xyz，设DP＝h，则

D(0，0，0)，A(，0，0)，B(，1，0)，C(0，2，0)，P(0，0，h )，

＝(0，2，－h)，＝(－，1，0)，

设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，

·n＝2y－hz＝0，·n＝－x＋y＝0，

取y＝h，则x＝h，z＝2，所以n＝(h，h，2)，

而平面PBD的一个法向量为＝(－，2，0)，

cosn，＝＝＝，解得h＝，

＝(，1，－)，

易知AD⊥平面PCD，所以＝(，0，0)是平面PCD的一个法向量，

设直线PB与平面PCD所成的角为θ，

则sinθ＝|cos， |＝，

故直线PB与平面PCD所成的角的正弦值为．    …12分

20．解：

（1）若n＝3，p＝，依题意可知X服从二项分布，即X～B(3，)，

从而P(X＝i)＝C()i()3-i，i＝0，1，2，3．

随机变量X的分布列为：

随机变量X的均值为E(X)＝3×＝1．     …4分

（2）由题意知ζ的所有可能取值为1，k＋1，

且P(ζ＝1)＝(1－p)k，P(ζ＝k＋1)＝1－(1－p)k，

∴E(ζ)＝(1－p)k＋(k＋1)[1－(1－p)k]＝k＋1－k(1－p)k，

又∵E(η)＝k，依题意E(ζ)＜E(η)，即：k＋1－k(1－p)k＜k，

∴＜(1－p)k，

∵p＝1－，∴＜()k，∴lnk＞k．

设f(x)＝lnx－x，

易知f(x)在(0，3)上单调递增，在(3，＋∞)上单调递减，

由于f(1)＝－＜0，f(2)＝ln2－＞0，

f(4)＝ln4－＝0.0530＞0，f(5)＝ln5－＝－0.0573＜0，

故k的取值范围为2≤k≤4且k∈N*．         …12分

21．解：

（1）函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，

f(x)＝lnx＋1－，显然f(x)为增函数，又f(1)＝0，

所以，当0＜x＜1时，f(x)＜0，当x＞1时，f(x)＞0，

即f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)．  …4分

（2）令g(x)＝f(x)＋f(a)－2f()，x∈(a，＋∞)．

则g(x)＝f(x)－f()，
因为x＞a，所以x＞，
由（1）知，f(x)－f()＞0，即g(x)＞0，
因此可得，g(x)在(a，＋∞)上单调递增，从而g(x)＞g(a)＝0，
于是g(b)＞0，故f()＜．     …12分

22．

解：

（1）依题意可知，

|CA|＋|CB|＝|CP|＋|CQ|＋|AP|＋|BQ|＝2|CP|＋|AB|＝4＞|AB|，

所以曲线E是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆（除去与x轴的交点），

因此曲线E的方程为＋＝1(y≠0)．     …4分

（2）设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线l的方程为y＝kx＋m（m≠0），

代入＋＝1整理得，(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，（*）

则x1＋x2＝，x1x2＝，

所以y1＋y2＝，

得MN的中点T(，)，直线y＝－x经过MN的中点T，

得＝－·，又m≠0，所以直线l的斜率k＝．  …8分

（*）式可化简为3x2＋3mx＋m2－3＝0，

x1＋x2＝－m，x1x2＝，

由＝36－3m2＞0，且m≠0，得－2＜m＜2且m≠0，

|MN|＝|x2－x1|＝·，

点O到直线l的距离d＝，

则△OMN的面积S＝|MN|d＝··· ＝

    ≤·＝，

当且仅当m＝±时，等号成立．

满足－2＜m＜2且m≠0，

所以△OMN的面积的最大值为．     …12分