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江苏省南京市溧水区2019-2020学年第二学期七年级期末考试数学试卷 （解析版）
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这是一份江苏省南京市溧水区2019-2020学年第二学期七年级期末考试数学试卷 （解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．计算（a2）3的结果是（ ）
A．a5B．a6C．a8D．3 a2
2．若三角形的两边a、b的长分别为3和5，则其第三边c的取值范围是（ ）
A．2＜c＜5B．3＜c＜8C．2＜c＜8D．2≤c≤8
3．把a2﹣2a分解因式，正确的是（ ）
A．a（a﹣2）B．a（a+2）C．a（a2﹣2）D．a（2﹣a）
4．若a＜b，则下列变形正确的是（ ）
A．a﹣1＞b﹣1B．＞C．﹣3a＞﹣3bD．＞
5．如图，不能判断l1∥l2的条件是（ ）
A．∠1＝∠3B．∠2+∠4＝180°C．∠4＝∠5D．∠2＝∠3
6．某铁路桥长1200m，现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始上桥到完全过桥共用了1min，整列火车完全在桥上的时间共40s．则火车的长度为（ ）
A．180mB．200mC．240mD．250m
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡的相应位置上）
7．命题“对顶角相等”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）．
8．某粒子的直径为0.000006米，用科学记数法表示0.000006是 ．
9．计算：已知am＝2，an＝3，则am﹣n＝ ．
10．计算（﹣2020）0×（）﹣2＝ ．
11．若式子5x+3的值大于3x﹣5的值，则x的取值范围是 ．
12．若x2﹣ax+16是一个完全平方式，则a＝ ．
13．若a﹣b＝1，ab＝﹣2，则（a﹣1）（b+1）＝ ．
14．关于x、y的二元一次方程组，则4x2﹣4xy+y2的值为 ．
15．如图，在七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线交于点O，若∠1、∠2、∠3、∠4的外角和等于225°，则∠BOD＝ °．
16．若关于x的不等式组的整数解只有2个，则m的取值范围为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．因式分解：
（1）a3﹣2a2+a；
（2）4a2（2x﹣y）+b2（y﹣2x）．
18．先化简，再求值：（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）2+2b2，其中a＝﹣3，b＝．
19．解方程组
20．解不等式组．
请结合题意，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得 ．
（2）解不等式③，得 ．
（3）把不等式①、②和③的解集在数轴上表示出来．
（4）从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集 ．
21．画图并填空：如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1．在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中已标出了点B的对应点B′．
（1）在方格纸中画出平移后的△A′B′C′；
（2）画出AB边上的中线CD；
（3）画出BC边上的高线AE；
（4）点F为方格纸上的格点（异于点B），若S△ACB＝S△ACF，则图中的格点F共有个．
22．如图，BD为△ABC的角平分线，若∠ABC＝60°，∠ADB＝70°．
（1）求∠C的度数；
（2）若点E为线段BC上任意一点，当△DEC为直角三角形时，则∠EDC的度数
为 ．
23．某学校为了庆祝国庆节，准备购买一批盆花布置校园．已知1盆A种花和2盆B种花共需13元；2盆A种花和1盆B种花共需11元．
（1）求1盆A种花和1盆B种花的售价各是多少元？
（2）学校准备购进这两种盆花共100盆，并且A种盆花的数量不超过B种盆花数量的2倍，请求出A种盆花的数量最多是多少？
24．完成下面的证明过程．
已知：如图，点E、F分别在AB、CD上，AD分别交EC、BF于点H、G，∠1＝∠2，
∠B＝∠C．
求证∠A＝∠D．
证明：∵∠1＝∠2（已知），
∠2＝∠AGB（ ），
∴∠1＝ ．
∴EC∥BF（ ）．
∴∠B＝∠AEC（ ）．
又∵∠B＝∠C（已知），
∴∠AEC＝ ．
∴ （ ）．
∴∠A＝∠D（ ）．
25．如图①是由边长为a的大正方形纸片剪去一个边长为b的小正方形后余下的图形．我们把纸片剪开后，拼成一个长方形（如图②）．
（1）探究：上述操作能验证的等式的序号是 ．
①a2+ab＝a（a+b） ②a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2③a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
（2）应用：利用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：
①已知4x2﹣9y2＝12，2x+3y＝4，求2x﹣3y的值；
②计算（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）．
26．如图①，∠1、∠2是四边形ABCD的两个不相邻的外角．
（1）猜想并说明∠1+∠2与∠A、∠C的数量关系；
（2）如图②，在四边形ABCD中，∠ABC与∠ADC的平分线交于点O．若∠A＝50°，∠C＝150°，求∠BOD的度数；
（3）如图③，BO、DO分别是四边形ABCD外角∠CBE、∠CDF的角平分线．请直接写出∠A、∠C与∠O的的数量关系 ．
参考答案
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．计算（a2）3的结果是（ ）
A．a5B．a6C．a8D．3 a2
【分析】直接利用幂的乘方运算法则求出答案．
解：（a2）3＝a6．
故选：B．
2．若三角形的两边a、b的长分别为3和5，则其第三边c的取值范围是（ ）
A．2＜c＜5B．3＜c＜8C．2＜c＜8D．2≤c≤8
【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出第三边c的取值范围．
解：根据三角形的三边关系可得5﹣3＜c＜5+3，
解得：2＜c＜8，
故选：C．
3．把a2﹣2a分解因式，正确的是（ ）
A．a（a﹣2）B．a（a+2）C．a（a2﹣2）D．a（2﹣a）
【分析】原式提取公因式得到结果，即可做出判断．
解：原式＝a（a﹣2），
故选：A．
4．若a＜b，则下列变形正确的是（ ）
A．a﹣1＞b﹣1B．＞C．﹣3a＞﹣3bD．＞
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
解：A、∵a＜b，
∴a﹣1＜b﹣1，故本选项不符合题意；
B、∵a＜b，
∴，故本选项不符合题意；
C、∵a＜b，
∴﹣3a＞﹣3b，故本选项符合题意；
D、∵a＜b，
∴＜，故本选项不符合题意；
故选：C．
5．如图，不能判断l1∥l2的条件是（ ）
A．∠1＝∠3B．∠2+∠4＝180°C．∠4＝∠5D．∠2＝∠3
【分析】根据题意，结合图形对选项一一分析，排除错误答案．
解：A、∠1＝∠3正确，内错角相等两直线平行；
B、∠2+∠4＝180°正确，同旁内角互补两直线平行；
C、∠4＝∠5正确，同位角相等两直线平行；
D、∠2＝∠3错误，它们不是同位角、内错角、同旁内角，故不能推断两直线平行．
故选：D．
6．某铁路桥长1200m，现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始上桥到完全过桥共用了1min，整列火车完全在桥上的时间共40s．则火车的长度为（ ）
A．180mB．200mC．240mD．250m
【分析】设火车的长度为xm，根据速度＝路程÷时间结合火车的速度不变，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
解：设火车的长度为xm，
依题意，得：＝，
解得：x＝240．
故选：C．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡的相应位置上）
7．命题“对顶角相等”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）．
【分析】先交换原命题的题设与结论得到逆命题，然后根据对顶角的定义进行判断．
解：命题“对顶角相等”的逆命题是相等的角为对顶角，此逆命题为假命题．
故答案为假．
8．某粒子的直径为0.000006米，用科学记数法表示0.000006是 ．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：将数0.000006用科学记数法表示正确的是6×10﹣6．
故答案为：6×10﹣6．
9．计算：已知am＝2，an＝3，则am﹣n＝ ．
【分析】根据同底数幂的除法，可得答案．
解：am﹣n＝am÷an＝2÷3＝，
故答案为：．
10．计算（﹣2020）0×（）﹣2＝ ．
【分析】利用零指数幂、负整数指数幂的计算方法进行计算即可．
解：（﹣2020）0×（）﹣2＝1×9＝9．
故答案为：9．
11．若式子5x+3的值大于3x﹣5的值，则x的取值范围是 ．
【分析】根据题意列出不等式，然后根据一元一次不等式的解法解答即可．
解：根据题意得，5x+3＞3x﹣5，
5x﹣3x＞﹣3﹣5，
2x＞﹣8，
x＞﹣4．
故答案为：x＞﹣4．
12．若x2﹣ax+16是一个完全平方式，则a＝ ．
【分析】完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2，这里首末两项是x和4这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和4的积的2倍．
解：∵x2﹣ax+16是一个完全平方式，
∴ax＝±2•x×4＝±8x，
∴a＝±8．
13．若a﹣b＝1，ab＝﹣2，则（a﹣1）（b+1）＝ ．
【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，变形后将ab与a﹣b的值代入计算即可求出值．
解：当a﹣b＝1，ab＝﹣2时，
原式＝ab+a﹣b﹣1
＝1﹣2﹣1
＝﹣2．
故答案为：﹣2．
14．关于x、y的二元一次方程组，则4x2﹣4xy+y2的值为 ．
【分析】方程组两方程相加求出2x﹣y的值，所求式子利用完全平方公式变形，将2x﹣y的值代入计算即可求出值．
解：，
①+②得：2x﹣y＝5，
则原式＝（2x﹣y）2＝25．
故答案为：25．
15．如图，在七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线交于点O，若∠1、∠2、∠3、∠4的外角和等于225°，则∠BOD＝ °．
【分析】依据七边形AOEFG的外角和为360°，即可得到∠AOE的邻补角的度数，进而得出∠BOD的度数．
解：∵五边形AOEFG的外角和为360°，且∠1、∠2、∠3、∠4对应的邻补角和等于225°，
∴∠AOE的邻补角为360°﹣225°＝135°，
∴∠BOD＝180°﹣135°＝45°，
故答案为：45．
16．若关于x的不等式组的整数解只有2个，则m的取值范围为 ．
【分析】表示出不等式组的解集，由解集只有2个，确定出m的范围即可．
解：不等式组解得：m＜x≤﹣0.5，
由不等式组的整数解只有2个，得到整数解为﹣2，﹣1，
则m的范围为﹣3≤m＜﹣2．
故答案为：﹣3≤m＜﹣2．
三、解答题（本大题共10小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．因式分解：
（1）a3﹣2a2+a；
（2）4a2（2x﹣y）+b2（y﹣2x）．
【分析】（1）先提公因式a，再利用完全平方公式进行因式分解即可；
（2）先提公因式（2x﹣y），再利用平方差公式进行因式分解即可；
解：（1）原式＝a（a2﹣2a+1）＝a（a﹣1）2，
（2）原式＝（2x﹣y）（ 4a2﹣b2）＝（2x﹣y） （2a+b）（ 2a﹣b）．
18．先化简，再求值：（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）2+2b2，其中a＝﹣3，b＝．
【分析】原式利用平方差公式，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
解：原式＝a2﹣b2﹣a2+2ab﹣b2+2b2＝2ab，
当a＝﹣3，b＝时，原式＝﹣3．
19．解方程组
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
解：，
①×2得：2x﹣2y＝﹣2③，
②﹣③得：5y＝10，
解得：y＝2，
将y＝2代入①，
解得：x＝1，
则原方程组的解为．
20．解不等式组．
请结合题意，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得 ．
（2）解不等式③，得 ．
（3）把不等式①、②和③的解集在数轴上表示出来．
（4）从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据各不等式解集在数轴上的表示，确定不等式组的解集．
解：（1）解不等式①，得x≥﹣3，依据是：不等式的基本性质．
（2）解不等式③，得x＜1．
（3）把不等式①，②和③的解集在数轴上表示出来．
（4）从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集为：﹣3≤x＜1，
故答案为：（1）x≥﹣3；（2）x＜1；（4）﹣2＜x＜1．
21．画图并填空：如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1．在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中已标出了点B的对应点B′．
（1）在方格纸中画出平移后的△A′B′C′；
（2）画出AB边上的中线CD；
（3）画出BC边上的高线AE；
（4）点F为方格纸上的格点（异于点B），若S△ACB＝S△ACF，则图中的格点F共有 个．
【分析】（1）利用B点和B′点的位置确定平移的方向与距离，然后利用此平移规律画出A、C的对应点即可；
（2）根据网格特点和三角形中线的定义画图；
（3）根据网格特点和三角形高的定义画图；
（4）C点向下平移4个单位可得到一个F点，再平移直线AC使它经过B点，则此直线上的格点为F点．
解：（1）如图，△A′B′C′为所作；
（2）如图，CD为所作；
（3）如图，AE为所作；
（4）图中的格点F共有7个．
22．如图，BD为△ABC的角平分线，若∠ABC＝60°，∠ADB＝70°．
（1）求∠C的度数；
（2）若点E为线段BC上任意一点，当△DEC为直角三角形时，则∠EDC的度数
为 ．
【分析】（1）利用角平分线的性质可得∠DBC＝30°，由外角的性质可得结果；
（2）利用分类讨论思想：如图1，则∠CDE＝90°；如图2，当∠CED＝90°时，则∠EDC＝90°﹣∠C＝90°﹣40°＝50°．
解：（1）∵BD为△ABC的角平分线，∠ABC＝60°
∴∠DBC＝∠ABC＝30°，
又∵∠ADB是△BDC的外角，∠ADB＝70°，
∴∠ADB＝∠DBC+∠C，
∴∠C＝∠ADB﹣∠DBC＝40°；
（2）情况一，如图1，
则∠CDE＝90°；
情况二：如图2，当∠CED＝90°时，
∠EDC＝90°﹣∠C＝90°﹣40°＝50°，
综上所述，∠EDC的度数为90°或50°，
故答案为：50°或90°．
23．某学校为了庆祝国庆节，准备购买一批盆花布置校园．已知1盆A种花和2盆B种花共需13元；2盆A种花和1盆B种花共需11元．
（1）求1盆A种花和1盆B种花的售价各是多少元？
（2）学校准备购进这两种盆花共100盆，并且A种盆花的数量不超过B种盆花数量的2倍，请求出A种盆花的数量最多是多少？
【分析】（1）1盆A种花的售价为x元，1盆B种花的售价是y元，根据：“1盆A种花和2盆B种花共需13元；2盆A种花和1盆B种花共需11元”列方程组求解即可；
（2）首先根据“A种盆花的数量不超过B种盆花数量的2倍”确定m的取值范围，然后得出最值即可．
解：（1）1盆A种花的售价为x元，1盆B种花的售价是y元，根据题意可得：
，
解得：，
答：1盆A种花的售价为3元，1盆B种花的售价是5元；
（2）设购进A种花m盆，依据题意可得：
m≤2（100﹣m）
解得：m≤66，而m为正整数，
∴m最多＝66，
答：A种盆花最多购进66盆．
24．完成下面的证明过程．
已知：如图，点E、F分别在AB、CD上，AD分别交EC、BF于点H、G，∠1＝∠2，
∠B＝∠C．
求证∠A＝∠D．
证明：∵∠1＝∠2（已知），
∠2＝∠AGB（ ），
∴∠1＝ ．
∴EC∥BF（ ）．
∴∠B＝∠AEC（ ）．
又∵∠B＝∠C（已知），
∴∠AEC＝ ∠C ．
∴ （ ）．
∴∠A＝∠D（ ）．
【分析】根据平行线的判定与性质进行填空即可．
【解答】证明：∵∠1＝∠2（已知），
∠2＝∠AGB（对顶角相等），
∴∠1＝∠AGB．
∴EC∥BF（同位角相等，两直线平行）．
∴∠B＝∠AEC（两直线平行，同位角相等）．
又∵∠B＝∠C（已知），
∴∠AEC＝∠C．
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
∴∠A＝∠D（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：对顶角相等；∠AGB；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；∠C；AB∥CD；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
25．如图①是由边长为a的大正方形纸片剪去一个边长为b的小正方形后余下的图形．我们把纸片剪开后，拼成一个长方形（如图②）．
（1）探究：上述操作能验证的等式的序号是 ．
①a2+ab＝a（a+b） ②a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2③a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
（2）应用：利用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：
①已知4x2﹣9y2＝12，2x+3y＝4，求2x﹣3y的值；
②计算（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）．
【分析】（1）根据图①的面积等于图②的面积列出等式便可；
（2）①运用前面得到的平方差公式进行解答便可；
②运用平方差公式解答便可．
解：（1）图①的面积可表示为a2﹣b2，
图②的面积可表示为（a+b）（a﹣b），
∵图①的面积＝图②的面积，
∴上述操作能验证的等式是：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为③；
（2）①∵4x2﹣9y2＝12，
∴（2x+3y）（2x﹣3y）＝12，
∵2x+3y＝4，
∴2x﹣3y＝12÷4＝3；
②（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）＝＝＝．
26．如图①，∠1、∠2是四边形ABCD的两个不相邻的外角．
（1）猜想并说明∠1+∠2与∠A、∠C的数量关系；
（2）如图②，在四边形ABCD中，∠ABC与∠ADC的平分线交于点O．若∠A＝50°，∠C＝150°，求∠BOD的度数；
（3）如图③，BO、DO分别是四边形ABCD外角∠CBE、∠CDF的角平分线．请直接写出∠A、∠C与∠O的的数量关系 ．
【分析】（1）根据多边形内角和与外角即可说明∠1+∠2与∠A、∠C的数量关系；
（2）结合（1）的结论，根据∠ABC与∠ADC的平分线．∠A＝50°，∠C＝150°，即可求∠BOD的度数；
（3）结合（1）的结论，根据BO、DO分别是四边形ABCD外角∠CBE、∠CDF的角平分线．进而可以写出∠A、∠C与∠O的的数量关系．
解：（1）猜想：∠1+∠2＝∠A+∠C，
∵∠1+∠ABC+∠2+∠ADC＝360°，
又∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC＝360°，
∴∠1+∠2＝∠A+∠C；
（2）∵∠A＝50°，∠C＝150°，
∴∠ABC+∠ADC＝360°﹣200°＝160°，
又∵BO、DO分别平分∠ABC与∠ADC，
∴∠OBC＝∠ABC，∠ODC＝∠ADC，
∴∠OBC+∠ODC＝（∠ABC+∠ADC）＝80°，
∴∠BOD＝360°﹣（∠OBC+∠ODC+∠C）＝130°；
（3）∵BO、DO分别是四边形ABCD外角∠CBE、∠CDF的角平分线．
∴∠FDC＝2∠FDO＝2∠ODC，∠EBC＝2∠EBO＝2∠CBO，
由（1）可知：
∠FDO+∠EBO＝∠A+∠O，
2∠FDO+2∠EBO＝∠A+∠C，
∴2∠A+2∠O＝∠A+∠C，
∴∠C﹣∠A＝2∠O．
答：∠A、∠C与∠O的的数量关系为∠C﹣∠A＝2∠O．
故答案为：∠C﹣∠A＝2∠O．
1．计算（a2）3的结果是（ ）
A．a5B．a6C．a8D．3 a2
2．若三角形的两边a、b的长分别为3和5，则其第三边c的取值范围是（ ）
A．2＜c＜5B．3＜c＜8C．2＜c＜8D．2≤c≤8
3．把a2﹣2a分解因式，正确的是（ ）
A．a（a﹣2）B．a（a+2）C．a（a2﹣2）D．a（2﹣a）
4．若a＜b，则下列变形正确的是（ ）
A．a﹣1＞b﹣1B．＞C．﹣3a＞﹣3bD．＞
5．如图，不能判断l1∥l2的条件是（ ）
A．∠1＝∠3B．∠2+∠4＝180°C．∠4＝∠5D．∠2＝∠3
6．某铁路桥长1200m，现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始上桥到完全过桥共用了1min，整列火车完全在桥上的时间共40s．则火车的长度为（ ）
A．180mB．200mC．240mD．250m
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡的相应位置上）
7．命题“对顶角相等”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）．
8．某粒子的直径为0.000006米，用科学记数法表示0.000006是 ．
9．计算：已知am＝2，an＝3，则am﹣n＝ ．
10．计算（﹣2020）0×（）﹣2＝ ．
11．若式子5x+3的值大于3x﹣5的值，则x的取值范围是 ．
12．若x2﹣ax+16是一个完全平方式，则a＝ ．
13．若a﹣b＝1，ab＝﹣2，则（a﹣1）（b+1）＝ ．
14．关于x、y的二元一次方程组，则4x2﹣4xy+y2的值为 ．
15．如图，在七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线交于点O，若∠1、∠2、∠3、∠4的外角和等于225°，则∠BOD＝ °．
16．若关于x的不等式组的整数解只有2个，则m的取值范围为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．因式分解：
（1）a3﹣2a2+a；
（2）4a2（2x﹣y）+b2（y﹣2x）．
18．先化简，再求值：（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）2+2b2，其中a＝﹣3，b＝．
19．解方程组
20．解不等式组．
请结合题意，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得 ．
（2）解不等式③，得 ．
（3）把不等式①、②和③的解集在数轴上表示出来．
（4）从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集 ．
21．画图并填空：如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1．在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中已标出了点B的对应点B′．
（1）在方格纸中画出平移后的△A′B′C′；
（2）画出AB边上的中线CD；
（3）画出BC边上的高线AE；
（4）点F为方格纸上的格点（异于点B），若S△ACB＝S△ACF，则图中的格点F共有个．
22．如图，BD为△ABC的角平分线，若∠ABC＝60°，∠ADB＝70°．
（1）求∠C的度数；
（2）若点E为线段BC上任意一点，当△DEC为直角三角形时，则∠EDC的度数
为 ．
23．某学校为了庆祝国庆节，准备购买一批盆花布置校园．已知1盆A种花和2盆B种花共需13元；2盆A种花和1盆B种花共需11元．
（1）求1盆A种花和1盆B种花的售价各是多少元？
（2）学校准备购进这两种盆花共100盆，并且A种盆花的数量不超过B种盆花数量的2倍，请求出A种盆花的数量最多是多少？
24．完成下面的证明过程．
已知：如图，点E、F分别在AB、CD上，AD分别交EC、BF于点H、G，∠1＝∠2，
∠B＝∠C．
求证∠A＝∠D．
证明：∵∠1＝∠2（已知），
∠2＝∠AGB（ ），
∴∠1＝ ．
∴EC∥BF（ ）．
∴∠B＝∠AEC（ ）．
又∵∠B＝∠C（已知），
∴∠AEC＝ ．
∴ （ ）．
∴∠A＝∠D（ ）．
25．如图①是由边长为a的大正方形纸片剪去一个边长为b的小正方形后余下的图形．我们把纸片剪开后，拼成一个长方形（如图②）．
（1）探究：上述操作能验证的等式的序号是 ．
①a2+ab＝a（a+b） ②a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2③a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
（2）应用：利用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：
①已知4x2﹣9y2＝12，2x+3y＝4，求2x﹣3y的值；
②计算（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）．
26．如图①，∠1、∠2是四边形ABCD的两个不相邻的外角．
（1）猜想并说明∠1+∠2与∠A、∠C的数量关系；
（2）如图②，在四边形ABCD中，∠ABC与∠ADC的平分线交于点O．若∠A＝50°，∠C＝150°，求∠BOD的度数；
（3）如图③，BO、DO分别是四边形ABCD外角∠CBE、∠CDF的角平分线．请直接写出∠A、∠C与∠O的的数量关系 ．
参考答案
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．计算（a2）3的结果是（ ）
A．a5B．a6C．a8D．3 a2
【分析】直接利用幂的乘方运算法则求出答案．
解：（a2）3＝a6．
故选：B．
2．若三角形的两边a、b的长分别为3和5，则其第三边c的取值范围是（ ）
A．2＜c＜5B．3＜c＜8C．2＜c＜8D．2≤c≤8
【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出第三边c的取值范围．
解：根据三角形的三边关系可得5﹣3＜c＜5+3，
解得：2＜c＜8，
故选：C．
3．把a2﹣2a分解因式，正确的是（ ）
A．a（a﹣2）B．a（a+2）C．a（a2﹣2）D．a（2﹣a）
【分析】原式提取公因式得到结果，即可做出判断．
解：原式＝a（a﹣2），
故选：A．
4．若a＜b，则下列变形正确的是（ ）
A．a﹣1＞b﹣1B．＞C．﹣3a＞﹣3bD．＞
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
解：A、∵a＜b，
∴a﹣1＜b﹣1，故本选项不符合题意；
B、∵a＜b，
∴，故本选项不符合题意；
C、∵a＜b，
∴﹣3a＞﹣3b，故本选项符合题意；
D、∵a＜b，
∴＜，故本选项不符合题意；
故选：C．
5．如图，不能判断l1∥l2的条件是（ ）
A．∠1＝∠3B．∠2+∠4＝180°C．∠4＝∠5D．∠2＝∠3
【分析】根据题意，结合图形对选项一一分析，排除错误答案．
解：A、∠1＝∠3正确，内错角相等两直线平行；
B、∠2+∠4＝180°正确，同旁内角互补两直线平行；
C、∠4＝∠5正确，同位角相等两直线平行；
D、∠2＝∠3错误，它们不是同位角、内错角、同旁内角，故不能推断两直线平行．
故选：D．
6．某铁路桥长1200m，现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始上桥到完全过桥共用了1min，整列火车完全在桥上的时间共40s．则火车的长度为（ ）
A．180mB．200mC．240mD．250m
【分析】设火车的长度为xm，根据速度＝路程÷时间结合火车的速度不变，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
解：设火车的长度为xm，
依题意，得：＝，
解得：x＝240．
故选：C．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡的相应位置上）
7．命题“对顶角相等”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）．
【分析】先交换原命题的题设与结论得到逆命题，然后根据对顶角的定义进行判断．
解：命题“对顶角相等”的逆命题是相等的角为对顶角，此逆命题为假命题．
故答案为假．
8．某粒子的直径为0.000006米，用科学记数法表示0.000006是 ．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：将数0.000006用科学记数法表示正确的是6×10﹣6．
故答案为：6×10﹣6．
9．计算：已知am＝2，an＝3，则am﹣n＝ ．
【分析】根据同底数幂的除法，可得答案．
解：am﹣n＝am÷an＝2÷3＝，
故答案为：．
10．计算（﹣2020）0×（）﹣2＝ ．
【分析】利用零指数幂、负整数指数幂的计算方法进行计算即可．
解：（﹣2020）0×（）﹣2＝1×9＝9．
故答案为：9．
11．若式子5x+3的值大于3x﹣5的值，则x的取值范围是 ．
【分析】根据题意列出不等式，然后根据一元一次不等式的解法解答即可．
解：根据题意得，5x+3＞3x﹣5，
5x﹣3x＞﹣3﹣5，
2x＞﹣8，
x＞﹣4．
故答案为：x＞﹣4．
12．若x2﹣ax+16是一个完全平方式，则a＝ ．
【分析】完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2，这里首末两项是x和4这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和4的积的2倍．
解：∵x2﹣ax+16是一个完全平方式，
∴ax＝±2•x×4＝±8x，
∴a＝±8．
13．若a﹣b＝1，ab＝﹣2，则（a﹣1）（b+1）＝ ．
【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，变形后将ab与a﹣b的值代入计算即可求出值．
解：当a﹣b＝1，ab＝﹣2时，
原式＝ab+a﹣b﹣1
＝1﹣2﹣1
＝﹣2．
故答案为：﹣2．
14．关于x、y的二元一次方程组，则4x2﹣4xy+y2的值为 ．
【分析】方程组两方程相加求出2x﹣y的值，所求式子利用完全平方公式变形，将2x﹣y的值代入计算即可求出值．
解：，
①+②得：2x﹣y＝5，
则原式＝（2x﹣y）2＝25．
故答案为：25．
15．如图，在七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线交于点O，若∠1、∠2、∠3、∠4的外角和等于225°，则∠BOD＝ °．
【分析】依据七边形AOEFG的外角和为360°，即可得到∠AOE的邻补角的度数，进而得出∠BOD的度数．
解：∵五边形AOEFG的外角和为360°，且∠1、∠2、∠3、∠4对应的邻补角和等于225°，
∴∠AOE的邻补角为360°﹣225°＝135°，
∴∠BOD＝180°﹣135°＝45°，
故答案为：45．
16．若关于x的不等式组的整数解只有2个，则m的取值范围为 ．
【分析】表示出不等式组的解集，由解集只有2个，确定出m的范围即可．
解：不等式组解得：m＜x≤﹣0.5，
由不等式组的整数解只有2个，得到整数解为﹣2，﹣1，
则m的范围为﹣3≤m＜﹣2．
故答案为：﹣3≤m＜﹣2．
三、解答题（本大题共10小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．因式分解：
（1）a3﹣2a2+a；
（2）4a2（2x﹣y）+b2（y﹣2x）．
【分析】（1）先提公因式a，再利用完全平方公式进行因式分解即可；
（2）先提公因式（2x﹣y），再利用平方差公式进行因式分解即可；
解：（1）原式＝a（a2﹣2a+1）＝a（a﹣1）2，
（2）原式＝（2x﹣y）（ 4a2﹣b2）＝（2x﹣y） （2a+b）（ 2a﹣b）．
18．先化简，再求值：（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）2+2b2，其中a＝﹣3，b＝．
【分析】原式利用平方差公式，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
解：原式＝a2﹣b2﹣a2+2ab﹣b2+2b2＝2ab，
当a＝﹣3，b＝时，原式＝﹣3．
19．解方程组
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
解：，
①×2得：2x﹣2y＝﹣2③，
②﹣③得：5y＝10，
解得：y＝2，
将y＝2代入①，
解得：x＝1，
则原方程组的解为．
20．解不等式组．
请结合题意，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得 ．
（2）解不等式③，得 ．
（3）把不等式①、②和③的解集在数轴上表示出来．
（4）从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据各不等式解集在数轴上的表示，确定不等式组的解集．
解：（1）解不等式①，得x≥﹣3，依据是：不等式的基本性质．
（2）解不等式③，得x＜1．
（3）把不等式①，②和③的解集在数轴上表示出来．
（4）从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集为：﹣3≤x＜1，
故答案为：（1）x≥﹣3；（2）x＜1；（4）﹣2＜x＜1．
21．画图并填空：如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1．在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中已标出了点B的对应点B′．
（1）在方格纸中画出平移后的△A′B′C′；
（2）画出AB边上的中线CD；
（3）画出BC边上的高线AE；
（4）点F为方格纸上的格点（异于点B），若S△ACB＝S△ACF，则图中的格点F共有 个．
【分析】（1）利用B点和B′点的位置确定平移的方向与距离，然后利用此平移规律画出A、C的对应点即可；
（2）根据网格特点和三角形中线的定义画图；
（3）根据网格特点和三角形高的定义画图；
（4）C点向下平移4个单位可得到一个F点，再平移直线AC使它经过B点，则此直线上的格点为F点．
解：（1）如图，△A′B′C′为所作；
（2）如图，CD为所作；
（3）如图，AE为所作；
（4）图中的格点F共有7个．
22．如图，BD为△ABC的角平分线，若∠ABC＝60°，∠ADB＝70°．
（1）求∠C的度数；
（2）若点E为线段BC上任意一点，当△DEC为直角三角形时，则∠EDC的度数
为 ．
【分析】（1）利用角平分线的性质可得∠DBC＝30°，由外角的性质可得结果；
（2）利用分类讨论思想：如图1，则∠CDE＝90°；如图2，当∠CED＝90°时，则∠EDC＝90°﹣∠C＝90°﹣40°＝50°．
解：（1）∵BD为△ABC的角平分线，∠ABC＝60°
∴∠DBC＝∠ABC＝30°，
又∵∠ADB是△BDC的外角，∠ADB＝70°，
∴∠ADB＝∠DBC+∠C，
∴∠C＝∠ADB﹣∠DBC＝40°；
（2）情况一，如图1，
则∠CDE＝90°；
情况二：如图2，当∠CED＝90°时，
∠EDC＝90°﹣∠C＝90°﹣40°＝50°，
综上所述，∠EDC的度数为90°或50°，
故答案为：50°或90°．
23．某学校为了庆祝国庆节，准备购买一批盆花布置校园．已知1盆A种花和2盆B种花共需13元；2盆A种花和1盆B种花共需11元．
（1）求1盆A种花和1盆B种花的售价各是多少元？
（2）学校准备购进这两种盆花共100盆，并且A种盆花的数量不超过B种盆花数量的2倍，请求出A种盆花的数量最多是多少？
【分析】（1）1盆A种花的售价为x元，1盆B种花的售价是y元，根据：“1盆A种花和2盆B种花共需13元；2盆A种花和1盆B种花共需11元”列方程组求解即可；
（2）首先根据“A种盆花的数量不超过B种盆花数量的2倍”确定m的取值范围，然后得出最值即可．
解：（1）1盆A种花的售价为x元，1盆B种花的售价是y元，根据题意可得：
，
解得：，
答：1盆A种花的售价为3元，1盆B种花的售价是5元；
（2）设购进A种花m盆，依据题意可得：
m≤2（100﹣m）
解得：m≤66，而m为正整数，
∴m最多＝66，
答：A种盆花最多购进66盆．
24．完成下面的证明过程．
已知：如图，点E、F分别在AB、CD上，AD分别交EC、BF于点H、G，∠1＝∠2，
∠B＝∠C．
求证∠A＝∠D．
证明：∵∠1＝∠2（已知），
∠2＝∠AGB（ ），
∴∠1＝ ．
∴EC∥BF（ ）．
∴∠B＝∠AEC（ ）．
又∵∠B＝∠C（已知），
∴∠AEC＝ ∠C ．
∴ （ ）．
∴∠A＝∠D（ ）．
【分析】根据平行线的判定与性质进行填空即可．
【解答】证明：∵∠1＝∠2（已知），
∠2＝∠AGB（对顶角相等），
∴∠1＝∠AGB．
∴EC∥BF（同位角相等，两直线平行）．
∴∠B＝∠AEC（两直线平行，同位角相等）．
又∵∠B＝∠C（已知），
∴∠AEC＝∠C．
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
∴∠A＝∠D（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：对顶角相等；∠AGB；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；∠C；AB∥CD；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
25．如图①是由边长为a的大正方形纸片剪去一个边长为b的小正方形后余下的图形．我们把纸片剪开后，拼成一个长方形（如图②）．
（1）探究：上述操作能验证的等式的序号是 ．
①a2+ab＝a（a+b） ②a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2③a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
（2）应用：利用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：
①已知4x2﹣9y2＝12，2x+3y＝4，求2x﹣3y的值；
②计算（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）．
【分析】（1）根据图①的面积等于图②的面积列出等式便可；
（2）①运用前面得到的平方差公式进行解答便可；
②运用平方差公式解答便可．
解：（1）图①的面积可表示为a2﹣b2，
图②的面积可表示为（a+b）（a﹣b），
∵图①的面积＝图②的面积，
∴上述操作能验证的等式是：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为③；
（2）①∵4x2﹣9y2＝12，
∴（2x+3y）（2x﹣3y）＝12，
∵2x+3y＝4，
∴2x﹣3y＝12÷4＝3；
②（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）＝＝＝．
26．如图①，∠1、∠2是四边形ABCD的两个不相邻的外角．
（1）猜想并说明∠1+∠2与∠A、∠C的数量关系；
（2）如图②，在四边形ABCD中，∠ABC与∠ADC的平分线交于点O．若∠A＝50°，∠C＝150°，求∠BOD的度数；
（3）如图③，BO、DO分别是四边形ABCD外角∠CBE、∠CDF的角平分线．请直接写出∠A、∠C与∠O的的数量关系 ．
【分析】（1）根据多边形内角和与外角即可说明∠1+∠2与∠A、∠C的数量关系；
（2）结合（1）的结论，根据∠ABC与∠ADC的平分线．∠A＝50°，∠C＝150°，即可求∠BOD的度数；
（3）结合（1）的结论，根据BO、DO分别是四边形ABCD外角∠CBE、∠CDF的角平分线．进而可以写出∠A、∠C与∠O的的数量关系．
解：（1）猜想：∠1+∠2＝∠A+∠C，
∵∠1+∠ABC+∠2+∠ADC＝360°，
又∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC＝360°，
∴∠1+∠2＝∠A+∠C；
（2）∵∠A＝50°，∠C＝150°，
∴∠ABC+∠ADC＝360°﹣200°＝160°，
又∵BO、DO分别平分∠ABC与∠ADC，
∴∠OBC＝∠ABC，∠ODC＝∠ADC，
∴∠OBC+∠ODC＝（∠ABC+∠ADC）＝80°，
∴∠BOD＝360°﹣（∠OBC+∠ODC+∠C）＝130°；
（3）∵BO、DO分别是四边形ABCD外角∠CBE、∠CDF的角平分线．
∴∠FDC＝2∠FDO＝2∠ODC，∠EBC＝2∠EBO＝2∠CBO，
由（1）可知：
∠FDO+∠EBO＝∠A+∠O，
2∠FDO+2∠EBO＝∠A+∠C，
∴2∠A+2∠O＝∠A+∠C，
∴∠C﹣∠A＝2∠O．
答：∠A、∠C与∠O的的数量关系为∠C﹣∠A＝2∠O．
故答案为：∠C﹣∠A＝2∠O．
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