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江苏省南京市联合体2019-2020学年第二学期七年级期末考试数学试卷 解析版
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这是一份江苏省南京市联合体2019-2020学年第二学期七年级期末考试数学试卷 解析版，共18页。试卷主要包含了计算a6÷a2的结果是，下列命题是真命题的是，《九章算术》中记载，关于x的不等式x﹣a≥1，计算等内容，欢迎下载使用。
1．计算a6÷a2的结果是（ ）
A．a2B．a3C．a4D．a5
2．某红外线遥控器发出的红外线波长为0.0000009米，用科学记数法表示这个数是（ ）
A．9×10﹣7B．9×10﹣8C．0.9×10﹣7D．0.9×10﹣8
3．已知a＞b，则下列不等关系中正确的是（ ）
A．ac＞bcB．a+c＞b+cC．a﹣1＞b+1D．ac2＞bc2
4．如图，直线a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1＝40°，那么∠2的度数是（ ）
A．35°B．45°C．50°D．65°
5．如图，已知CB∥DF，则下列结论成立的是（ ）
A．∠1＝∠2B．∠2＝∠3C．∠1＝∠3D．∠1+∠2＝180°
6．下列命题是真命题的是（ ）
A．如果a2＝b2，那么a＝b
B．如果两个角是同位角，那么这两个角相等
C．相等的两个角是对项角
D．平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
7．《九章算术》中记载：“今有上禾三秉，益实六斗，当下禾十秉；下禾五秉，益实一斗，当上禾二秉．问上、下禾实一秉各几何？”其大意是：今有上等稻子三捆，若打出来的谷子再加六斗，则相当于十捆下等稻子打出来的谷子；有下等稻子五捆，若打出来的谷子再加一斗，则相当于两捆上等稻子打岀来的谷子．问上等、下等稻子每捆打多少斗谷子？设上等稻子每捆打x斗谷子，下等稻子每捆打y斗谷子，根据题意可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
8．关于x的不等式x﹣a≥1．若x＝1是不等式的解，x＝﹣1不是不等式的解，则a的范围为（ ）
A．﹣2≤a≤0B．﹣2＜a＜0C．﹣2≤a＜0D．﹣2＜a≤0
二．填空题（共10小题）
9．计算：20＝ ，（）﹣3＝ ．
10．若三角形有两边长分别为2和5，第三边为a，则a的取值范围是 ．
11．命题：“两直线平行，则同旁内角互补”的逆命题为 ．
12．分解因式：a3﹣a＝ ．
13．已知是方程2x﹣ay＝3的一个解，则a的值是 ．
14．如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角．若∠A＝120°，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ ．
15．已知2a＝3，4b＝5，则2a+2b的值是 ．
16．若a﹣b＝3，ab＝1，则a2+b2＝ ．
17．已知不等式组有3个整数解，则n的取值范围是 ．
18．如图，C是线段AB上一点，∠DAC＝∠D，∠EBC＝∠E，AO平分∠DAC，BO平分∠EBC．若∠DCE＝40°，则∠O＝ °．
三.解答题
19.计算：
（1）（﹣t）5÷（﹣t）3•（﹣t）2；
（2）（2a﹣b）（a﹣2b）．
20.分解因式：
（1）m3﹣4m2+4m；
（2）a（a﹣1）+a﹣1．
21.先化简，再求值：（2a﹣b）2﹣（2a﹣3b）（2a+3b），其中，a＝，b＝1．
22.解方程组：．
23.（1）解不等式﹣≤1，并把解集在数轴上表示出来．
（2）解不等式组并写出它的所有整数解．
24.如图，在△ABC中，BE是AC边上的高，DE∥BC，∠ADE＝48°，∠C＝62°，求∠ABE的度数．
25.如图，已知AB∥CD，AE平分∠BAD，DF平分∠ADC，EF交AD于点O，求证∠E＝∠F．
26.新冠肺炎疫情期间，某口罩厂为了满足疫情防控需求，决定拨款456万元购进A、B两种型号的口罩机共30台．两种型号口罩机的单价和工作效率如表：
（1）求购进A、B两种型号的口罩机各多少台；
（2）现有200万只口罩的生产任务，计划安排口罩机共15台同时进行生产．若工人每天工作8h，若要在5天内完成任务，则至少安排A种型号的口罩机多少台？
27.【概念认识】
如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．
【问题解决】
（1）如图②，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝45°，若∠B的三分线BD交AC于点D，则∠BDC＝ °；
（2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线，且BP⊥CP，求∠A的度数；
【延伸推广】
（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．若∠A＝m°，∠B＝n°，直接写出∠BPC的度数．（用含m、n的代数式表示）
2019-2020学年江苏省南京市联合体七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．计算a6÷a2的结果是（ ）
A．a2B．a3C．a4D．a5
【分析】根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减进行计算，然后即可作出判断．
【解答】解：a6÷a2＝a4，
故选：C．
2．某红外线遥控器发出的红外线波长为0.0000009米，用科学记数法表示这个数是（ ）
A．9×10﹣7B．9×10﹣8C．0.9×10﹣7D．0.9×10﹣8
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000009＝9.4×10﹣7；
故选：A．
3．已知a＞b，则下列不等关系中正确的是（ ）
A．ac＞bcB．a+c＞b+cC．a﹣1＞b+1D．ac2＞bc2
【分析】根据不等式的基本性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、不等式两边都乘以c，当c＜0时，不等号的方向改变，原变形错误，故此选项不符合题意；
B、不等式两边都加上c，不等号的方向不变，原变形正确，故此选项符合题意；
C、不等式的两边一边加1一边减1，不等号的方向不确定，原变形错误，故此选项不符合题意；
D、不等式的两边都乘以c2，当c＝0时，变为等式，原变形错误，故此选项不符合题意．
故选：B．
4．如图，直线a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1＝40°，那么∠2的度数是（ ）
A．35°B．45°C．50°D．65°
【分析】根据a∥b，可得∠3＝∠1＝40°，再根据AB⊥BC，可得∠ABC＝90°，进而可得∠2的度数．
【解答】解：如图，
∵a∥b，
∴∠3＝∠1＝40°，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴∠2+∠3＝180°﹣90°＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠3＝50°．
故选：C．
5．如图，已知CB∥DF，则下列结论成立的是（ ）
A．∠1＝∠2B．∠2＝∠3C．∠1＝∠3D．∠1+∠2＝180°
【分析】根据两条直线平行，同位角相等，即可判断．
【解答】解：∵CB∥DF，
∴∠2＝∠3（两条直线平行，同位角相等）．
故选：B．
6．下列命题是真命题的是（ ）
A．如果a2＝b2，那么a＝b
B．如果两个角是同位角，那么这两个角相等
C．相等的两个角是对项角
D．平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
【分析】利用平方的定义、平行线的性质、对顶角的性质及平面内两直线的位置关系分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、如果a2＝b2，那么a＝±b，故错误，是假命题；
B、两直线平行，同位角才想到，故错误，是假命题；
C、相等的两个角不一定是对项角，故错误，是假命题；
D、平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，正确，是真命题，
故选：D．
7．《九章算术》中记载：“今有上禾三秉，益实六斗，当下禾十秉；下禾五秉，益实一斗，当上禾二秉．问上、下禾实一秉各几何？”其大意是：今有上等稻子三捆，若打出来的谷子再加六斗，则相当于十捆下等稻子打出来的谷子；有下等稻子五捆，若打出来的谷子再加一斗，则相当于两捆上等稻子打岀来的谷子．问上等、下等稻子每捆打多少斗谷子？设上等稻子每捆打x斗谷子，下等稻子每捆打y斗谷子，根据题意可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】设上等稻子每捆打x斗谷子，下等稻子每捆打y斗谷子，分别利用已知“今有上等稻子三捆，若打出来的谷子再加六斗，则相当于十捆下等稻子打出来的谷子；有下等稻子五捆，若打出来的谷子再加一斗，则相当于两捆上等稻子打岀来的谷子”分别得出等量关系求出答案．
【解答】解：设上等稻子每捆打x斗谷子，下等稻子每捆打y斗谷子，
根据题意可列方程组为：．
故选：C．
8．关于x的不等式x﹣a≥1．若x＝1是不等式的解，x＝﹣1不是不等式的解，则a的范围为（ ）
A．﹣2≤a≤0B．﹣2＜a＜0C．﹣2≤a＜0D．﹣2＜a≤0
【分析】根据x＝1是不等式x﹣a≥1的解，且x＝﹣1不是这个不等式的解，列出不等式，求出解集，即可解答．
【解答】解：∵x＝1是不等式x﹣a≥1的解，
∴1﹣a≥1，
解得：a≤0，
∵x＝﹣1不是这个不等式的解，
∴﹣1﹣a＜1，
解得：a＞﹣2，
∴﹣2＜a≤0，
故选：D．
二．填空题（共10小题）
9．计算：20＝ ，（）﹣3＝ ．
【分析】利用零指数幂的运算法则和负整数指数幂的运算法则解答即可．
【解答】解：20＝1，＝8，
故答案为：1，8．
10．若三角形有两边长分别为2和5，第三边为a，则a的取值范围是 ．
【分析】根据三角形的三边关系，第三边的长一定大于已知的两边的差，而小于两边的和．
【解答】解：5﹣2＜a＜5+2，
∴3＜a＜7．
故答案为：3＜a＜7．
11．命题：“两直线平行，则同旁内角互补”的逆命题为 ．
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
【解答】解：命题“两直线平行，同旁内角互补”的题设是“两直线平行”，结论是“同旁内角互补”，
故其逆命题是“同旁内角互补，两直线平行”．
故应填：同旁内角互补，两直线平行．
12．分解因式：a3﹣a＝ ．
【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：a3﹣a，
＝a（a2﹣1），
＝a（a+1）（a﹣1）．
故答案为：a（a+1）（a﹣1）．
13．已知是方程2x﹣ay＝3的一个解，则a的值是 ．
【分析】把方程的解代入方程可得到关于a的方程，解方程即可求得a的值．
【解答】解：
∵是方程2x﹣ay＝3的一个解，
∴2×1﹣（﹣2）×a＝3，解得a＝，
故答案为：．
14．如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角．若∠A＝120°，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ ．
【分析】根据题意先求出∠5的度数，然后根据多边形的外角和为360°即可求出∠1+∠2+∠3+∠4的值．
【解答】解：由题意得，∠5＝180°﹣∠EAB＝60°，
又∵多边形的外角和为360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝360°﹣∠5＝300°．
故答案为：300°．
15．已知2a＝3，4b＝5，则2a+2b的值是 ．
【分析】根据幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法法则计算即可．
【解答】解：∵2a＝3，4b＝5，
∴2a+2b＝2a•22b＝2a•4b＝3×5＝15．
故答案为：15．
16．若a﹣b＝3，ab＝1，则a2+b2＝ ．
【分析】根据题意，把a﹣b＝3两边同时平方可得，a2﹣2ab+b2＝9，结合题意，将a2+b2看成整体，求解即可．
【解答】解：∵a﹣b＝3，ab＝1，
∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝9，
∴a2+b2＝9+2ab＝9+2＝11．
故应填：11．
17．已知不等式组有3个整数解，则n的取值范围是 ．
【分析】表示出不等式组的解集，由解集中3个整数解确定出n的范围即可．
【解答】解：，
解得：n＜x＜1，
由不等式组有3个整数解，得到整数解为﹣2，﹣1，0，
则n的取值范围是﹣3≤n＜﹣2．
故答案为：﹣3≤n＜﹣2
18．如图，C是线段AB上一点，∠DAC＝∠D，∠EBC＝∠E，AO平分∠DAC，BO平分∠EBC．若∠DCE＝40°，则∠O＝ °．
【分析】利用平角的定义可得∠ACD+∠BCE＝180°﹣∠DCE＝180°﹣40°＝140°，由角平分线的性质易得＝＝55°，由三角形的内角和定理可得结果．
【解答】解：∵∠DCE＝40°，
∴∠ACD+∠BCE＝180°﹣∠DCE＝180°﹣40°＝140°，
∵∠DAC＝∠D，∠EBC＝∠E，
∴2∠DAC+2∠CBE＝180°×2﹣140°＝220°，
∴∠DAC+∠CBE＝110°，
∵AO平分∠DAC，BO平分∠EBC，
∴＝＝55°，
∴∠O＝180°﹣（∠OAB+∠OBA）＝180°﹣55°＝125°，
故答案为：125．
三.解答题
19.计算：
（1）（﹣t）5÷（﹣t）3•（﹣t）2；
（2）（2a﹣b）（a﹣2b）．
【考点】46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方；48：同底数幂的除法；4B：多项式乘多项式．
【专题】512：整式；66：运算能力．
【分析】（1）直接利用同底数幂的乘除运算法则计算得出答案；
（2）直接利用多项式乘多项式进而计算得出答案．
【解答】解：（1）原式＝（﹣t）5﹣3+2
＝（﹣t）4
＝t4；
（2）原式＝2a2﹣4ab﹣ab+2b2
＝2a2﹣5ab+2b2．
20.分解因式：
（1）m3﹣4m2+4m；
（2）a（a﹣1）+a﹣1．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】44：因式分解；66：运算能力．
【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
（2）原式整理后，利用平方差公式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝m（m2﹣4m+4）
＝m（m﹣2）2；
（2）原式＝a2﹣a+a﹣1
＝a2﹣1
＝（a+1）（a﹣1）．
21.先化简，再求值：（2a﹣b）2﹣（2a﹣3b）（2a+3b），其中，a＝，b＝1．
【考点】4J：整式的混合运算—化简求值．
【专题】512：整式；66：运算能力．
【分析】原式利用完全平方公式，以及平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝4a2﹣4ab+b2﹣4a2+9b2
＝﹣4ab+10b2，
当a＝，b＝1时，原式＝﹣4××1+10×12＝﹣2+10＝8．
22.解方程组：．
【考点】98：解二元一次方程组．
【分析】利用代入消元法将二元一次方程组转化为一元一次方程，进而解方程组求出答案．
【解答】解：，
由①得：x＝﹣1﹣3y③，
把③代入②得：3（﹣1﹣3y）﹣2y＝8，
解得：y＝﹣1，
则x＝﹣1﹣3×（﹣1）＝2，
故二元一次方程组的解为：．
23.（1）解不等式﹣≤1，并把解集在数轴上表示出来．
（2）解不等式组并写出它的所有整数解．
【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集；C6：解一元一次不等式；CB：解一元一次不等式组；CC：一元一次不等式组的整数解．
【专题】524：一元一次不等式(组)及应用；66：运算能力．
【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）去分母，得：2（3x+1）﹣（5x﹣1）≤4，
去括号，得：6x+2﹣5x+1≤4，
移项、合并，得：x≤1，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
（2）由3﹣x＞0得：x＜3，
由+1≥x得：x≥﹣1，
不等式组的解集是﹣1≤x＜3，
∴所有整数解是﹣1.0，1，2．
24.如图，在△ABC中，BE是AC边上的高，DE∥BC，∠ADE＝48°，∠C＝62°，求∠ABE的度数．
【考点】JA：平行线的性质；K7：三角形内角和定理．
【专题】551：线段、角、相交线与平行线；67：推理能力．
【分析】利用平行线的性质定理可得∠ABC＝∠ADE＝48°，由三角形的内角和定理可得∠EBC的度数，可得∠ABE．
【解答】解：∵DE∥BC，∠ADE＝48°，
∴∠ABC＝∠ADE＝48°，
∵BE是AC边上的高，
∴∠BEC＝90°，
∵∠C＝62°，
∴∠EBC＝90﹣∠C＝28°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝48°﹣28°＝20°．
25.如图，已知AB∥CD，AE平分∠BAD，DF平分∠ADC，EF交AD于点O，求证∠E＝∠F．
【考点】JA：平行线的性质．
【专题】14：证明题；551：线段、角、相交线与平行线；67：推理能力．
【分析】根据AB∥CD可得∠BAD＝∠ADC，再根据AE平分∠BAD，DF平分∠ADC可得∠EAD＝∠FAD，所以得AE∥FD，进而得证∠E＝∠F．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠BAD＝∠ADC，
∵AE平分∠BAD，DF平分∠ADC，
∴∠EAD＝∠BAD，∠FAD＝∠ADC，
∴∠EAD＝∠FAD，
∴AE∥FD，
∴∠E＝∠F．
26.新冠肺炎疫情期间，某口罩厂为了满足疫情防控需求，决定拨款456万元购进A、B两种型号的口罩机共30台．两种型号口罩机的单价和工作效率如表：
（1）求购进A、B两种型号的口罩机各多少台；
（2）现有200万只口罩的生产任务，计划安排口罩机共15台同时进行生产．若工人每天工作8h，若要在5天内完成任务，则至少安排A种型号的口罩机多少台？
【考点】8A：一元一次方程的应用；9A：二元一次方程组的应用；C9：一元一次不等式的应用．
【专题】524：一元一次不等式(组)及应用；69：应用意识．
【分析】（1）设购进A种型号的口罩生产线x台，B种型号的口罩生产线y台，利用拨款456万元购进A、B两种型号的口罩机共30台，分别得出等式求出答案；
（2）根据现有200万只口罩的生产任务，得出不等关系进而得出答案．
【解答】解：（1）设购进A种型号的口罩生产线x台，B种型号的口罩生产线y台．
根据题意，得：，
解得：．
答：购进A种型号的口罩生产线10台，B种型号的口罩生产线20台．
（2）设租用A种型号的口罩机m台，则租用B种型号的口罩机（15﹣m）台，
根据题意，得：5×8×[4 000m+3 000（15﹣m）]≥2 000 000，
解得：m≥5，
答：至少购进A种型号的口罩机5台．
27.【概念认识】
如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．
【问题解决】
（1）如图②，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝45°，若∠B的三分线BD交AC于点D，则∠BDC＝ °；
（2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线，且BP⊥CP，求∠A的度数；
【延伸推广】
（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．若∠A＝m°，∠B＝n°，直接写出∠BPC的度数．（用含m、n的代数式表示）
【考点】K8：三角形的外角性质．
【专题】2B：探究型；32：分类讨论；64：几何直观；66：运算能力；67：推理能力．
【分析】（1）根据题意可得∠B的三分线BD有两种情况，画图根据三角形的外角性质即可得∠BDC的度数；
（2）根据BP、CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线，且BP⊥CP可得∠ABC+∠ACB＝135°，进而可求∠A的度数；
（3）根据∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．分四种情况画图：情况一：如图①，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻AC三分线”时；情况二：如图②，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时；情况三：如图③，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时；情况四：如图④，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻CD三分线”时，再根据∠A＝m°，∠B＝n°，即可求出∠BPC的度数．
【解答】解：（1）如图，
当BD是“邻AB三分线”时，∠BD′C＝70°+15°＝85°；
当BD是“邻BC三分线”时，∠BD″C＝70°+30°＝100°；
故答案为：85或100；
（2）∵BP⊥CP，
∴∠BPC＝90°，
∴∠PBC+∠PCB＝90°，
又∵BP、CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝135°，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°
∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝45°．
（3）分4种情况进行画图计算：
情况一：如图①，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻AC三分线”时，
∴∠BPC＝∠A＝m；
情况二：如图②，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时，
∴∠BPC＝∠A＝m；
情况三：如图③，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时，
∴∠BPC＝∠A+∠ABC＝m+n；
情况四：如图④，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻CD三分线”时，
①当m＞n时，∠BPC＝∠A﹣∠ABC＝m﹣n；
②当m＜n时，∠P＝∠ABC﹣∠A＝n﹣m．
单价/万元
工作效率/（只/h）
A种型号
16
4000
B种型号
14.8
3000
单价/万元
工作效率/（只/h）
A种型号
16
4000
B种型号
14.8
3000
1．计算a6÷a2的结果是（ ）
A．a2B．a3C．a4D．a5
2．某红外线遥控器发出的红外线波长为0.0000009米，用科学记数法表示这个数是（ ）
A．9×10﹣7B．9×10﹣8C．0.9×10﹣7D．0.9×10﹣8
3．已知a＞b，则下列不等关系中正确的是（ ）
A．ac＞bcB．a+c＞b+cC．a﹣1＞b+1D．ac2＞bc2
4．如图，直线a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1＝40°，那么∠2的度数是（ ）
A．35°B．45°C．50°D．65°
5．如图，已知CB∥DF，则下列结论成立的是（ ）
A．∠1＝∠2B．∠2＝∠3C．∠1＝∠3D．∠1+∠2＝180°
6．下列命题是真命题的是（ ）
A．如果a2＝b2，那么a＝b
B．如果两个角是同位角，那么这两个角相等
C．相等的两个角是对项角
D．平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
7．《九章算术》中记载：“今有上禾三秉，益实六斗，当下禾十秉；下禾五秉，益实一斗，当上禾二秉．问上、下禾实一秉各几何？”其大意是：今有上等稻子三捆，若打出来的谷子再加六斗，则相当于十捆下等稻子打出来的谷子；有下等稻子五捆，若打出来的谷子再加一斗，则相当于两捆上等稻子打岀来的谷子．问上等、下等稻子每捆打多少斗谷子？设上等稻子每捆打x斗谷子，下等稻子每捆打y斗谷子，根据题意可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
8．关于x的不等式x﹣a≥1．若x＝1是不等式的解，x＝﹣1不是不等式的解，则a的范围为（ ）
A．﹣2≤a≤0B．﹣2＜a＜0C．﹣2≤a＜0D．﹣2＜a≤0
二．填空题（共10小题）
9．计算：20＝ ，（）﹣3＝ ．
10．若三角形有两边长分别为2和5，第三边为a，则a的取值范围是 ．
11．命题：“两直线平行，则同旁内角互补”的逆命题为 ．
12．分解因式：a3﹣a＝ ．
13．已知是方程2x﹣ay＝3的一个解，则a的值是 ．
14．如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角．若∠A＝120°，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ ．
15．已知2a＝3，4b＝5，则2a+2b的值是 ．
16．若a﹣b＝3，ab＝1，则a2+b2＝ ．
17．已知不等式组有3个整数解，则n的取值范围是 ．
18．如图，C是线段AB上一点，∠DAC＝∠D，∠EBC＝∠E，AO平分∠DAC，BO平分∠EBC．若∠DCE＝40°，则∠O＝ °．
三.解答题
19.计算：
（1）（﹣t）5÷（﹣t）3•（﹣t）2；
（2）（2a﹣b）（a﹣2b）．
20.分解因式：
（1）m3﹣4m2+4m；
（2）a（a﹣1）+a﹣1．
21.先化简，再求值：（2a﹣b）2﹣（2a﹣3b）（2a+3b），其中，a＝，b＝1．
22.解方程组：．
23.（1）解不等式﹣≤1，并把解集在数轴上表示出来．
（2）解不等式组并写出它的所有整数解．
24.如图，在△ABC中，BE是AC边上的高，DE∥BC，∠ADE＝48°，∠C＝62°，求∠ABE的度数．
25.如图，已知AB∥CD，AE平分∠BAD，DF平分∠ADC，EF交AD于点O，求证∠E＝∠F．
26.新冠肺炎疫情期间，某口罩厂为了满足疫情防控需求，决定拨款456万元购进A、B两种型号的口罩机共30台．两种型号口罩机的单价和工作效率如表：
（1）求购进A、B两种型号的口罩机各多少台；
（2）现有200万只口罩的生产任务，计划安排口罩机共15台同时进行生产．若工人每天工作8h，若要在5天内完成任务，则至少安排A种型号的口罩机多少台？
27.【概念认识】
如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．
【问题解决】
（1）如图②，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝45°，若∠B的三分线BD交AC于点D，则∠BDC＝ °；
（2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线，且BP⊥CP，求∠A的度数；
【延伸推广】
（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．若∠A＝m°，∠B＝n°，直接写出∠BPC的度数．（用含m、n的代数式表示）
2019-2020学年江苏省南京市联合体七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．计算a6÷a2的结果是（ ）
A．a2B．a3C．a4D．a5
【分析】根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减进行计算，然后即可作出判断．
【解答】解：a6÷a2＝a4，
故选：C．
2．某红外线遥控器发出的红外线波长为0.0000009米，用科学记数法表示这个数是（ ）
A．9×10﹣7B．9×10﹣8C．0.9×10﹣7D．0.9×10﹣8
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000009＝9.4×10﹣7；
故选：A．
3．已知a＞b，则下列不等关系中正确的是（ ）
A．ac＞bcB．a+c＞b+cC．a﹣1＞b+1D．ac2＞bc2
【分析】根据不等式的基本性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、不等式两边都乘以c，当c＜0时，不等号的方向改变，原变形错误，故此选项不符合题意；
B、不等式两边都加上c，不等号的方向不变，原变形正确，故此选项符合题意；
C、不等式的两边一边加1一边减1，不等号的方向不确定，原变形错误，故此选项不符合题意；
D、不等式的两边都乘以c2，当c＝0时，变为等式，原变形错误，故此选项不符合题意．
故选：B．
4．如图，直线a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1＝40°，那么∠2的度数是（ ）
A．35°B．45°C．50°D．65°
【分析】根据a∥b，可得∠3＝∠1＝40°，再根据AB⊥BC，可得∠ABC＝90°，进而可得∠2的度数．
【解答】解：如图，
∵a∥b，
∴∠3＝∠1＝40°，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴∠2+∠3＝180°﹣90°＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠3＝50°．
故选：C．
5．如图，已知CB∥DF，则下列结论成立的是（ ）
A．∠1＝∠2B．∠2＝∠3C．∠1＝∠3D．∠1+∠2＝180°
【分析】根据两条直线平行，同位角相等，即可判断．
【解答】解：∵CB∥DF，
∴∠2＝∠3（两条直线平行，同位角相等）．
故选：B．
6．下列命题是真命题的是（ ）
A．如果a2＝b2，那么a＝b
B．如果两个角是同位角，那么这两个角相等
C．相等的两个角是对项角
D．平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
【分析】利用平方的定义、平行线的性质、对顶角的性质及平面内两直线的位置关系分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、如果a2＝b2，那么a＝±b，故错误，是假命题；
B、两直线平行，同位角才想到，故错误，是假命题；
C、相等的两个角不一定是对项角，故错误，是假命题；
D、平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，正确，是真命题，
故选：D．
7．《九章算术》中记载：“今有上禾三秉，益实六斗，当下禾十秉；下禾五秉，益实一斗，当上禾二秉．问上、下禾实一秉各几何？”其大意是：今有上等稻子三捆，若打出来的谷子再加六斗，则相当于十捆下等稻子打出来的谷子；有下等稻子五捆，若打出来的谷子再加一斗，则相当于两捆上等稻子打岀来的谷子．问上等、下等稻子每捆打多少斗谷子？设上等稻子每捆打x斗谷子，下等稻子每捆打y斗谷子，根据题意可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】设上等稻子每捆打x斗谷子，下等稻子每捆打y斗谷子，分别利用已知“今有上等稻子三捆，若打出来的谷子再加六斗，则相当于十捆下等稻子打出来的谷子；有下等稻子五捆，若打出来的谷子再加一斗，则相当于两捆上等稻子打岀来的谷子”分别得出等量关系求出答案．
【解答】解：设上等稻子每捆打x斗谷子，下等稻子每捆打y斗谷子，
根据题意可列方程组为：．
故选：C．
8．关于x的不等式x﹣a≥1．若x＝1是不等式的解，x＝﹣1不是不等式的解，则a的范围为（ ）
A．﹣2≤a≤0B．﹣2＜a＜0C．﹣2≤a＜0D．﹣2＜a≤0
【分析】根据x＝1是不等式x﹣a≥1的解，且x＝﹣1不是这个不等式的解，列出不等式，求出解集，即可解答．
【解答】解：∵x＝1是不等式x﹣a≥1的解，
∴1﹣a≥1，
解得：a≤0，
∵x＝﹣1不是这个不等式的解，
∴﹣1﹣a＜1，
解得：a＞﹣2，
∴﹣2＜a≤0，
故选：D．
二．填空题（共10小题）
9．计算：20＝ ，（）﹣3＝ ．
【分析】利用零指数幂的运算法则和负整数指数幂的运算法则解答即可．
【解答】解：20＝1，＝8，
故答案为：1，8．
10．若三角形有两边长分别为2和5，第三边为a，则a的取值范围是 ．
【分析】根据三角形的三边关系，第三边的长一定大于已知的两边的差，而小于两边的和．
【解答】解：5﹣2＜a＜5+2，
∴3＜a＜7．
故答案为：3＜a＜7．
11．命题：“两直线平行，则同旁内角互补”的逆命题为 ．
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
【解答】解：命题“两直线平行，同旁内角互补”的题设是“两直线平行”，结论是“同旁内角互补”，
故其逆命题是“同旁内角互补，两直线平行”．
故应填：同旁内角互补，两直线平行．
12．分解因式：a3﹣a＝ ．
【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：a3﹣a，
＝a（a2﹣1），
＝a（a+1）（a﹣1）．
故答案为：a（a+1）（a﹣1）．
13．已知是方程2x﹣ay＝3的一个解，则a的值是 ．
【分析】把方程的解代入方程可得到关于a的方程，解方程即可求得a的值．
【解答】解：
∵是方程2x﹣ay＝3的一个解，
∴2×1﹣（﹣2）×a＝3，解得a＝，
故答案为：．
14．如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角．若∠A＝120°，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ ．
【分析】根据题意先求出∠5的度数，然后根据多边形的外角和为360°即可求出∠1+∠2+∠3+∠4的值．
【解答】解：由题意得，∠5＝180°﹣∠EAB＝60°，
又∵多边形的外角和为360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝360°﹣∠5＝300°．
故答案为：300°．
15．已知2a＝3，4b＝5，则2a+2b的值是 ．
【分析】根据幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法法则计算即可．
【解答】解：∵2a＝3，4b＝5，
∴2a+2b＝2a•22b＝2a•4b＝3×5＝15．
故答案为：15．
16．若a﹣b＝3，ab＝1，则a2+b2＝ ．
【分析】根据题意，把a﹣b＝3两边同时平方可得，a2﹣2ab+b2＝9，结合题意，将a2+b2看成整体，求解即可．
【解答】解：∵a﹣b＝3，ab＝1，
∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝9，
∴a2+b2＝9+2ab＝9+2＝11．
故应填：11．
17．已知不等式组有3个整数解，则n的取值范围是 ．
【分析】表示出不等式组的解集，由解集中3个整数解确定出n的范围即可．
【解答】解：，
解得：n＜x＜1，
由不等式组有3个整数解，得到整数解为﹣2，﹣1，0，
则n的取值范围是﹣3≤n＜﹣2．
故答案为：﹣3≤n＜﹣2
18．如图，C是线段AB上一点，∠DAC＝∠D，∠EBC＝∠E，AO平分∠DAC，BO平分∠EBC．若∠DCE＝40°，则∠O＝ °．
【分析】利用平角的定义可得∠ACD+∠BCE＝180°﹣∠DCE＝180°﹣40°＝140°，由角平分线的性质易得＝＝55°，由三角形的内角和定理可得结果．
【解答】解：∵∠DCE＝40°，
∴∠ACD+∠BCE＝180°﹣∠DCE＝180°﹣40°＝140°，
∵∠DAC＝∠D，∠EBC＝∠E，
∴2∠DAC+2∠CBE＝180°×2﹣140°＝220°，
∴∠DAC+∠CBE＝110°，
∵AO平分∠DAC，BO平分∠EBC，
∴＝＝55°，
∴∠O＝180°﹣（∠OAB+∠OBA）＝180°﹣55°＝125°，
故答案为：125．
三.解答题
19.计算：
（1）（﹣t）5÷（﹣t）3•（﹣t）2；
（2）（2a﹣b）（a﹣2b）．
【考点】46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方；48：同底数幂的除法；4B：多项式乘多项式．
【专题】512：整式；66：运算能力．
【分析】（1）直接利用同底数幂的乘除运算法则计算得出答案；
（2）直接利用多项式乘多项式进而计算得出答案．
【解答】解：（1）原式＝（﹣t）5﹣3+2
＝（﹣t）4
＝t4；
（2）原式＝2a2﹣4ab﹣ab+2b2
＝2a2﹣5ab+2b2．
20.分解因式：
（1）m3﹣4m2+4m；
（2）a（a﹣1）+a﹣1．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】44：因式分解；66：运算能力．
【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
（2）原式整理后，利用平方差公式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝m（m2﹣4m+4）
＝m（m﹣2）2；
（2）原式＝a2﹣a+a﹣1
＝a2﹣1
＝（a+1）（a﹣1）．
21.先化简，再求值：（2a﹣b）2﹣（2a﹣3b）（2a+3b），其中，a＝，b＝1．
【考点】4J：整式的混合运算—化简求值．
【专题】512：整式；66：运算能力．
【分析】原式利用完全平方公式，以及平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝4a2﹣4ab+b2﹣4a2+9b2
＝﹣4ab+10b2，
当a＝，b＝1时，原式＝﹣4××1+10×12＝﹣2+10＝8．
22.解方程组：．
【考点】98：解二元一次方程组．
【分析】利用代入消元法将二元一次方程组转化为一元一次方程，进而解方程组求出答案．
【解答】解：，
由①得：x＝﹣1﹣3y③，
把③代入②得：3（﹣1﹣3y）﹣2y＝8，
解得：y＝﹣1，
则x＝﹣1﹣3×（﹣1）＝2，
故二元一次方程组的解为：．
23.（1）解不等式﹣≤1，并把解集在数轴上表示出来．
（2）解不等式组并写出它的所有整数解．
【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集；C6：解一元一次不等式；CB：解一元一次不等式组；CC：一元一次不等式组的整数解．
【专题】524：一元一次不等式(组)及应用；66：运算能力．
【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）去分母，得：2（3x+1）﹣（5x﹣1）≤4，
去括号，得：6x+2﹣5x+1≤4，
移项、合并，得：x≤1，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
（2）由3﹣x＞0得：x＜3，
由+1≥x得：x≥﹣1，
不等式组的解集是﹣1≤x＜3，
∴所有整数解是﹣1.0，1，2．
24.如图，在△ABC中，BE是AC边上的高，DE∥BC，∠ADE＝48°，∠C＝62°，求∠ABE的度数．
【考点】JA：平行线的性质；K7：三角形内角和定理．
【专题】551：线段、角、相交线与平行线；67：推理能力．
【分析】利用平行线的性质定理可得∠ABC＝∠ADE＝48°，由三角形的内角和定理可得∠EBC的度数，可得∠ABE．
【解答】解：∵DE∥BC，∠ADE＝48°，
∴∠ABC＝∠ADE＝48°，
∵BE是AC边上的高，
∴∠BEC＝90°，
∵∠C＝62°，
∴∠EBC＝90﹣∠C＝28°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝48°﹣28°＝20°．
25.如图，已知AB∥CD，AE平分∠BAD，DF平分∠ADC，EF交AD于点O，求证∠E＝∠F．
【考点】JA：平行线的性质．
【专题】14：证明题；551：线段、角、相交线与平行线；67：推理能力．
【分析】根据AB∥CD可得∠BAD＝∠ADC，再根据AE平分∠BAD，DF平分∠ADC可得∠EAD＝∠FAD，所以得AE∥FD，进而得证∠E＝∠F．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠BAD＝∠ADC，
∵AE平分∠BAD，DF平分∠ADC，
∴∠EAD＝∠BAD，∠FAD＝∠ADC，
∴∠EAD＝∠FAD，
∴AE∥FD，
∴∠E＝∠F．
26.新冠肺炎疫情期间，某口罩厂为了满足疫情防控需求，决定拨款456万元购进A、B两种型号的口罩机共30台．两种型号口罩机的单价和工作效率如表：
（1）求购进A、B两种型号的口罩机各多少台；
（2）现有200万只口罩的生产任务，计划安排口罩机共15台同时进行生产．若工人每天工作8h，若要在5天内完成任务，则至少安排A种型号的口罩机多少台？
【考点】8A：一元一次方程的应用；9A：二元一次方程组的应用；C9：一元一次不等式的应用．
【专题】524：一元一次不等式(组)及应用；69：应用意识．
【分析】（1）设购进A种型号的口罩生产线x台，B种型号的口罩生产线y台，利用拨款456万元购进A、B两种型号的口罩机共30台，分别得出等式求出答案；
（2）根据现有200万只口罩的生产任务，得出不等关系进而得出答案．
【解答】解：（1）设购进A种型号的口罩生产线x台，B种型号的口罩生产线y台．
根据题意，得：，
解得：．
答：购进A种型号的口罩生产线10台，B种型号的口罩生产线20台．
（2）设租用A种型号的口罩机m台，则租用B种型号的口罩机（15﹣m）台，
根据题意，得：5×8×[4 000m+3 000（15﹣m）]≥2 000 000，
解得：m≥5，
答：至少购进A种型号的口罩机5台．
27.【概念认识】
如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．
【问题解决】
（1）如图②，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝45°，若∠B的三分线BD交AC于点D，则∠BDC＝ °；
（2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线，且BP⊥CP，求∠A的度数；
【延伸推广】
（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．若∠A＝m°，∠B＝n°，直接写出∠BPC的度数．（用含m、n的代数式表示）
【考点】K8：三角形的外角性质．
【专题】2B：探究型；32：分类讨论；64：几何直观；66：运算能力；67：推理能力．
【分析】（1）根据题意可得∠B的三分线BD有两种情况，画图根据三角形的外角性质即可得∠BDC的度数；
（2）根据BP、CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线，且BP⊥CP可得∠ABC+∠ACB＝135°，进而可求∠A的度数；
（3）根据∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．分四种情况画图：情况一：如图①，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻AC三分线”时；情况二：如图②，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时；情况三：如图③，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时；情况四：如图④，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻CD三分线”时，再根据∠A＝m°，∠B＝n°，即可求出∠BPC的度数．
【解答】解：（1）如图，
当BD是“邻AB三分线”时，∠BD′C＝70°+15°＝85°；
当BD是“邻BC三分线”时，∠BD″C＝70°+30°＝100°；
故答案为：85或100；
（2）∵BP⊥CP，
∴∠BPC＝90°，
∴∠PBC+∠PCB＝90°，
又∵BP、CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝135°，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°
∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝45°．
（3）分4种情况进行画图计算：
情况一：如图①，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻AC三分线”时，
∴∠BPC＝∠A＝m；
情况二：如图②，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时，
∴∠BPC＝∠A＝m；
情况三：如图③，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时，
∴∠BPC＝∠A+∠ABC＝m+n；
情况四：如图④，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻CD三分线”时，
①当m＞n时，∠BPC＝∠A﹣∠ABC＝m﹣n；
②当m＜n时，∠P＝∠ABC﹣∠A＝n﹣m．
单价/万元
工作效率/（只/h）
A种型号
16
4000
B种型号
14.8
3000
单价/万元
工作效率/（只/h）
A种型号
16
4000
B种型号
14.8
3000
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