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高中数学人教B版 (2019)必修 第二册4.6 函数的应用(二)精练
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这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第二册4.6 函数的应用(二)精练，共24页。试卷主要包含了载人飞船是通过火箭发射的等内容，欢迎下载使用。
知识点一 指数型函数模型
1．某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少eq \f(1,3)，则使产品达到市场要求的最少过滤次数为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)( )
A．10 B．9
C．8 D．7
2．据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%.如果按此速度，设2010年的冬季冰雪覆盖面积为m，从2010年起，经过x年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是( )
3．某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入．若该公司2016年全年投入研发奖金130万元．在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( )
A．2018年 B．2019年
C．2020年 D．2021年
4．某个病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．
5．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)·，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期．现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min，那么降温到35 ℃时，需要多少时间？
知识点二 对数型函数模型
6．据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(只)与时间x(年)近似满足关系y＝alg3(x＋2)，观测发现2014年冬(作为第1年)有越冬白鹤3000只，估计到2020年冬有越冬白鹤( )
A．4000只 B．5000只
C．6000只 D．7000只
7．我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10lg eq \f(I,I0)(其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度)．设η1＝70 dB的声音强度为I1，η2＝60 dB的声音强度为I2，则I1是I2的( )
A.eq \f(7,6)倍 B．10倍
C．10eq \f(7,6)倍 D．ln eq \f(7,6)倍
8．已知地震的震级R与震源释放的能量E的关系式为R＝eq \f(2,3)(lg E－C)(C为常数)，则9.0级地震释放的能量约是7.1级地震释放的能量的________倍．(参考数据：102.85≈708)
9．载人飞船是通过火箭发射的．已知某型号火箭的起飞重量M t是箭体(包括搭载的飞行器)的重量m t和燃料重量x t之和．在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y km/s关于x的函数关系为y＝k[ln (m＋x)－ln (eq \r(2)m)]＋4 ln 2(其中k≠0)．当燃料重量为(eq \r(e)－1)m t时，该火箭的最大速度为4 km/s.
(1)求此型号火箭的最大速度y km/s与燃料重量x t之间的函数关系式；
(2)若此型号火箭的起飞重量是479.8 t，则应装载多少吨燃料(精确到0.1 t，取e≈2.718)才能使火箭的最大飞行速度达到8 km/s顺利地把飞船发送到预定的椭圆轨道？
知识点三 幂函数模型
10．一个模具厂一年中12月份的产量是1月份产量的m倍，那么该模具厂这一年中产量的月平均增长率是( )
A.eq \f(m,11) B．eq \f(m,12)
C．eq \r(12,m)－1 D．eq \r(11,m)－1
11．某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为y＝xα(α为常数)，其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为________万元．
12．2019年某地官方数字显示：该地区人口约有60万，但其人口总数在过去40年内翻了一番，问该地区每年人口的平均增长率是多少？
以下数据供计算时使用：
13．在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量R与管道半径r的四次方成正比．
(1)写出函数解析式；
(2)假设气体在半径为3 cm的管道中的流量为400 cm3/s，求该气体通过半径为r cm的管道时，其流量R的函数解析式；
(3)已知(2)中的气体通过的管道半径为5 cm，计算该气体的流量(精确到1 cm3/s)．
易错点一 审题不清致误
某工厂在两年内生产产值的月增长率都是a，则第二年某月的生产产值与第一年相应月相比增长了第一年相应月的________．
易错点二 忽视指数与对数的运算方法而致错
如图所示，桶1中的水按一定规律流入桶2中，已知开始时桶1中有a升水，桶2是空的，t分钟后桶1中剩余的水量符合指数衰减曲线y1＝ae－nt(其中n是常数，e是自然对数的底数)．假设经过5分钟后，桶1和桶2中的水恰好相等．求：
(1)桶2中的水y2(升)与时间t(分钟)的函数关系式；
(2)经过多少分钟，桶1中的水是eq \f(a,8)升？
一、单项选择题
1．某公司为适应市场需求，对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后期增长越来越慢．若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用( )
A．一次函数 B．二次函数
C．指数型函数 D．对数型函数
2．已知函数t＝－144lg eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(N,100)))的图像可表示打字任务的“学习曲线”，其中t表示达到打字水平N(字/min)所需的学习时间，N表示打字速度(字/min)．则按此曲线要达到90字/min的水平，所需的学习时间是( )
A．144 min B．90 min
C．60 min D．40 min
3．某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年(x∈N*)，该产品的产量y满足( )
A．y＝a(1＋5%x) B．y＝a＋5%x
C．y＝a(1＋5%)x－1 D．y＝a(1＋5%)x
4．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )
A.eq \f(p＋q,2) B．eq \f(1＋p1＋q－1,2)
C.eq \r(pq) D．eq \r(1＋p1＋q)－1
5．某品牌电视机投放市场后，第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好反映销量y(台)与投放市场的月数x之间的关系的是( )
A．y＝100x B．y＝500x2－50x＋100
C．y＝50×2x D．y＝100lg2x＋100
6．某个体企业的一个车间去年有8名工人，每人年薪为1万元，从今年起，计划每人的年薪比上一年增加20%；另外，每年新招3名工人，每名新工人第一年的年薪为8千元，第二年起与老工人的年薪相同．若以今年为第一年，那么，将第n年企业付给工人的工资总额y(单位：万元)表示成n的函数，其表达式为( )
A．y＝(3n＋5)×1.2n＋2.4
B．y＝8×1.2n＋2.4n
C．y＝(3n＋8)×1.2n＋2.4
D．y＝(3n＋5)×1.2n－1＋2.4
7．已知光通过一块玻璃，强度要损失10%.那么要使光的强度减弱到原来的eq \f(1,4)以下，则至少需要通过这样的玻璃(参考数据：lg 3≈0.477，lg 2≈0.301)( )
A．12块 B．13块
C．14块 D．15块
8．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进去的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V＝a·e－kt.已知新丸经过50天后，体积变为eq \f(4,9)a.若一个新丸体积变为eq \f(8,27)a，则需经过的天数为( )
A．125 B．100
C．75 D．50
二、多项选择题
9．如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y与净化时间t(月)的近似函数关系：y＝at(t≥0，a>0且a≠1)的图像，则( )
A．第3个月有害物质的剩留量是eq \f(2,27)
B．第4个月时，剩留量就会低于eq \f(1,5)
C．每月减少的有害物质质量都相等
D．当剩留量为eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，eq \f(1,8)时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3
10．江苏省高邮市素有“鱼米之乡”之称，高邮城西有风光秀丽的高邮湖，湖内盛产花鲢鱼，记花鲢鱼在湖中的游速为v m/s，花鲢鱼在湖中的耗氧量的单位数为x，经研究发现，花鲢鱼的游速v与lg2eq \f(x,100)(x≥100)成正比，经测定，当花鲢鱼的耗氧量为200单位时，其游速为eq \f(1,2) m/s.则下列说法正确的是( )
A．v＝eq \f(1,2)lg2 eq \f(x,100)(x≥100)
B．当花鲢鱼静止时，耗氧量为100单位
C．当花鲢鱼的耗氧量为400单位时，其游速为2 m/s
D．若某条花鲢鱼的游速提高了1 m/s，则它的耗氧量的单位数是原来的2倍
11．某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态，经抢修后恢复正常．排气4分钟后测得车库内一氧化碳浓度为64 ppm(ppm为浓度单位，1 ppm表示百万分之一)，再过4分钟又测得浓度为32 ppm.经检验知，该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分钟)之间存在函数关系y＝ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))mt(c，m为常数)．则( )
A．c＝128
B．m＝eq \f(1,8)
C．排气16分钟后，一氧化碳浓度为8 ppm
D．若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm为正常，至少排气32分钟才能使这个地下车库中一氧化碳的含量达到正常状态
12．在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度(单位ml/L，记作[H＋])和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位ml/L，记作[OH－])的乘积等于常数10－14.已知pH值的定义为pH＝－lg [H＋]，健康人体血液的pH值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的eq \f([H＋],[OH－])可以为(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48，lg 7≈0.85)( )
A.eq \f(1,2) B．eq \f(1,3)
C．eq \f(1,6) D．eq \f(1,7)
三、填空题
13．在一次数学试验中，应用图形计算器采集到如下一组数据：
给出下列几个函数：
①y＝a＋bx；②y＝a＋bx；③y＝ax2＋b；④y＝a＋eq \f(b,x).
其中可以近似表示这些数据满足的规律的是________．
14．有关数据显示，中国某行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长率为50%，有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从________年开始，该行业产生的包装垃圾将超过4000万吨．(参考数据：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771)
15．一个驾驶员喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，规定驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么这个驾驶员至少要经过________小时才能开车．(精确到1小时，参考数据lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)
16．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)))t－a(a为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为________；
(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．
四、解答题
17．某公司对营销人员有如下规定：①年销售额x(万元)在8万元以下，没有奖金；②年销售额x(万元)，x∈[8,64]时，奖金为y万元，且y＝lgax，y∈[3，6]，且年销售额越大，奖金越多；③年销售额x(万元)超过64万元，按年销售额的10%发奖金．
(1)求奖金y关于x的函数解析式；
(2)某营销人员争取年奖金y∈[4,10](万元)，求年销售额x在什么范围内．
18．美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮．某公司研发的A，B两种芯片都已经获得成功．该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产．经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B芯片的毛收入y(千万元)与投入的资金x(千万元)的函数关系为y＝kxa(x>0)，其图像如图所示．
(1)试分别求出生产A，B两种芯片的毛收入y(千万元)与投入资金x(千万元)的函数关系式；
(2)如果公司只生产一种芯片，那么生产哪种芯片毛收入更大？
(3)现在公司准备投入4亿元资金同时生产A，B两种芯片，设投入x千万元生产B芯片，用f(x)表示公司所获净利润，当x为多少时，可以获得最大净利润？并求出最大净利润．(净利润＝A芯片毛收入＋B芯片毛收入－研发耗费资金)
4.6 函数的应用(二)
知识点一 指数型函数模型
1．某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少eq \f(1,3)，则使产品达到市场要求的最少过滤次数为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)( )
A．10 B．9
C．8 D．7
答案 C
解析 设经过n次过滤，产品达到市场要求，则eq \f(2,100)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))n≤eq \f(1,1000)，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))n≤eq \f(1,20)，由nlg eq \f(2,3)≤－lg 20，即n(lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)，得n≥eq \f(1＋lg 2,lg 3－lg 2)≈7.4，所以选C.
2．据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%.如果按此速度，设2010年的冬季冰雪覆盖面积为m，从2010年起，经过x年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是( )
答案 A
解析 设每年减少的百分比为a，由在50年内减少5%，得(1－a)50＝1－5%＝95%，即a＝1－.所以经过x年后，y与x的函数关系式为y＝m·(1－a)x＝m··m.
3．某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入．若该公司2016年全年投入研发奖金130万元．在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( )
A．2018年 B．2019年
C．2020年 D．2021年
答案 C
解析 设第x年的研发奖金为200万元，则由题意可得130×(1＋12%)x＝200，∴1.12x＝eq \f(20,13)，
∴x＝lg1.12eq \f(20,13)＝lg1.1220－lg1.1213＝eq \f(lg 20,lg 1.12)－eq \f(lg 13,lg 1.12)＝eq \f(lg 2＋lg 10－lg 1.3＋lg 10,lg 1.12)≈eq \f(0.3＋1－0.11－1,0.05)＝3.8.即3年后不到200万元，第4年超过200万元，即2020年超过200万元．
4．某个病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．
答案 2ln 2 1024
解析 当t＝0.5时，y＝2，∴2＝.∴k＝2ln 2.
∴y＝e2tln 2.∴当t＝5时，y＝e10ln 2＝210＝1024.
5．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)·，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期．现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min，那么降温到35 ℃时，需要多少时间？
解 由题意知40－24＝(88－24)·，
即eq \f(1,4)＝，解得h＝10.
故T－24＝(88－24)·.
将T＝35代入上式，得
35－24＝(88－24)·，即＝eq \f(11,64).
两边取对数，用计算器求得t≈25.
因此，约需要25 min可降温到35 ℃.
知识点二 对数型函数模型
6．据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(只)与时间x(年)近似满足关系y＝alg3(x＋2)，观测发现2014年冬(作为第1年)有越冬白鹤3000只，估计到2020年冬有越冬白鹤( )
A．4000只 B．5000只
C．6000只 D．7000只
答案 C
解析 当x＝1时，y＝alg33＝a＝3000，∴y＝3000lg3(x＋2)．当x＝7时，y＝3000lg39＝6000，即2020年冬有越冬白鹤6000只．
7．我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10lg eq \f(I,I0)(其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度)．设η1＝70 dB的声音强度为I1，η2＝60 dB的声音强度为I2，则I1是I2的( )
A.eq \f(7,6)倍 B．10倍
C．10eq \f(7,6)倍 D．ln eq \f(7,6)倍
答案 B
解析 依题意可知，η1＝10lg eq \f(I1,I0)，η2＝10lg eq \f(I2,I0)，所以η1－η2＝10lg eq \f( I1,I0)－10lg eq \f(I2,I0)，则1＝lg I1－lg I2，所以eq \f(I1,I2)＝10.故选B.
8．已知地震的震级R与震源释放的能量E的关系式为R＝eq \f(2,3)(lg E－C)(C为常数)，则9.0级地震释放的能量约是7.1级地震释放的能量的________倍．(参考数据：102.85≈708)
答案 708
解析 设9.0级地震释放的能量为E1,7.1级地震释放的能量为E2，由9.0＝eq \f(2,3)(lg E1－C)，得lg E1＝eq \f(3,2)×9.0＋C＝13.5＋C，同理可得lg E2＝eq \f(3,2)×7.1＋C＝10.65＋C，从而lg E1－lg E2＝2.85，故lg eq \f(E1,E2)＝2.85，则eq \f(E1,E2)＝102.85≈708，即9.0级地震释放的能量约是7.1级地震释放的能量的708倍．
9．载人飞船是通过火箭发射的．已知某型号火箭的起飞重量M t是箭体(包括搭载的飞行器)的重量m t和燃料重量x t之和．在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y km/s关于x的函数关系为y＝k[ln (m＋x)－ln (eq \r(2)m)]＋4 ln 2(其中k≠0)．当燃料重量为(eq \r(e)－1)m t时，该火箭的最大速度为4 km/s.
(1)求此型号火箭的最大速度y km/s与燃料重量x t之间的函数关系式；
(2)若此型号火箭的起飞重量是479.8 t，则应装载多少吨燃料(精确到0.1 t，取e≈2.718)才能使火箭的最大飞行速度达到8 km/s顺利地把飞船发送到预定的椭圆轨道？
解 (1)由题意，得4＝k{ln [m＋(eq \r(e)－1)m]－ln (eq \r(2)m)}＋4ln 2，解得k＝8，
所以y＝8[ln (m＋x)－ln (eq \r(2)m)]＋4ln 2＝8ln eq \f(m＋x,m).
(2)由已知，得M＝m＋x＝479.8，则m＝479.8－x.
将y＝8代入(1)中所得式中，得8＝8ln eq \f(479.8,479.8－x)，
解得x≈303.3.
所以应装载大约303.3 t燃料，才能使火箭的最大飞行速度达到8 km/s顺利地把飞船发送到预定的椭圆轨道．
知识点三 幂函数模型
10．一个模具厂一年中12月份的产量是1月份产量的m倍，那么该模具厂这一年中产量的月平均增长率是( )
A.eq \f(m,11) B．eq \f(m,12)
C．eq \r(12,m)－1 D．eq \r(11,m)－1
答案 D
解析 设每月的平均增长率为x,1月份产量为a，则a(1＋x)11＝ma，所以1＋x＝eq \r(11,m)，即x＝eq \r(11,m)－1.
11．某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为y＝xα(α为常数)，其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为________万元．
答案 125
解析 由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，代入y＝xα中，即3α＝27，解得α＝3，故函数关系式为y＝x3，所以当x＝5时，y＝125.
12．2019年某地官方数字显示：该地区人口约有60万，但其人口总数在过去40年内翻了一番，问该地区每年人口的平均增长率是多少？
以下数据供计算时使用：
解 设该地区每年人口的平均增长率为x，n年前的人口数为y，
则y·(1＋x)n＝60，则当n＝40时，y＝30，
即30(1＋x)40＝60.
∴(1＋x)40＝2，两边取对数，
则40lg (1＋x)＝lg 2，
则lg (1＋x)＝eq \f(lg 2,40)≈0.007525，
∴1＋x≈1.017，解得x≈1.7%.
13．在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量R与管道半径r的四次方成正比．
(1)写出函数解析式；
(2)假设气体在半径为3 cm的管道中的流量为400 cm3/s，求该气体通过半径为r cm的管道时，其流量R的函数解析式；
(3)已知(2)中的气体通过的管道半径为5 cm，计算该气体的流量(精确到1 cm3/s)．
解 (1)由题意，得R＝kr4(k是大于0的常数)．
(2)由r＝3 cm，R＝400 cm3/s，得k·34＝400，
所以k＝eq \f(400,81)，
所以流量R的函数解析式为R＝eq \f(400,81)·r4.
(3)因为R＝eq \f(400,81)·r4，
所以当r＝5 cm时，R＝eq \f(400,81)×54≈3086 cm3/s.
易错点一 审题不清致误
某工厂在两年内生产产值的月增长率都是a，则第二年某月的生产产值与第一年相应月相比增长了第一年相应月的________．
易错分析 若某月的生产产值为b，月增长率为a，则x个月后的生产产值为b(1＋a)x，在解题过程中，易错认为是b(1＋a)x－1，从而导致错误．
答案 (1＋a)12－1
正解 不妨设第一年1月份的生产产值为b，则2月份的生产产值是b(1＋a)，3月份的生产产值是b(1＋a)2，依次类推，到第二年1月份就是第一年1月份后的第12个月，
故第二年1月份的生产产值是b(1＋a)12.
故第二年某月的生产产值与第一年相应月相比增长了第一年相应月的eq \f(b1＋a12－b,b)＝(1＋a)12－1.
易错点二 忽视指数与对数的运算方法而致错
如图所示，桶1中的水按一定规律流入桶2中，已知开始时桶1中有a升水，桶2是空的，t分钟后桶1中剩余的水量符合指数衰减曲线y1＝ae－nt(其中n是常数，e是自然对数的底数)．假设经过5分钟后，桶1和桶2中的水恰好相等．求：
(1)桶2中的水y2(升)与时间t(分钟)的函数关系式；
(2)经过多少分钟，桶1中的水是eq \f(a,8)升？
易错分析 本题容易出现因忽视指数与对数的关系，不能充分应用指数式与对数式的互化而致误．
正解 (1)∵桶2中的水是从桶1中流出的，而开始时桶1中的水是a升，又满足y1＝ae－nt，
∴桶2中的水与t的函数关系式是y2＝a－ae－nt.
(2)∵t＝5时，y1＝y2，
∴ae－5n＝a－ae－5n，解得2e－5n＝1，n＝eq \f(1,5)ln 2.
∴y1＝.
当y1＝eq \f(a,8)时，有eq \f(a,8)＝，解得t＝15.
∴经过15分钟桶1中的水是eq \f(a,8)升．
一、单项选择题
1．某公司为适应市场需求，对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后期增长越来越慢．若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用( )
A．一次函数 B．二次函数
C．指数型函数 D．对数型函数
答案 D
解析 由题意分析，符合对数型函数的特点．
2．已知函数t＝－144lg eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(N,100)))的图像可表示打字任务的“学习曲线”，其中t表示达到打字水平N(字/min)所需的学习时间，N表示打字速度(字/min)．则按此曲线要达到90字/min的水平，所需的学习时间是( )
A．144 min B．90 min
C．60 min D．40 min
答案 A
解析 由题意把N＝90代入t＝－144lg eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(N,100)))中，得t＝－144lg eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(90,100)))＝－144lg eq \f(10,100)＝144.
3．某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年(x∈N*)，该产品的产量y满足( )
A．y＝a(1＋5%x) B．y＝a＋5%x
C．y＝a(1＋5%)x－1 D．y＝a(1＋5%)x
答案 D
解析 经过1年，y＝a(1＋5%)，经过2年，y＝a(1＋5%)2，…，经过x年，y＝a(1＋5%)x.
4．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )
A.eq \f(p＋q,2) B．eq \f(1＋p1＋q－1,2)
C.eq \r(pq) D．eq \r(1＋p1＋q)－1
答案 D
解析 设年平均增长率为x，则有(1＋p)(1＋q)＝(1＋x)2，解得x＝eq \r(1＋p1＋q)－1.
5．某品牌电视机投放市场后，第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好反映销量y(台)与投放市场的月数x之间的关系的是( )
A．y＝100x B．y＝500x2－50x＋100
C．y＝50×2x D．y＝100lg2x＋100
答案 C
解析 对于A中的函数，当x＝3或4时，误差较大；对于B中的函数，当x＝3或4时误差也较大；对于 C中的函数，当x＝1,2,3时，误差为0，当x＝4时，误差为10，误差很小；对于D中的函数，当x＝4时，据函数式得到的结果为300，与实际值790相差很远，故选C.
6．某个体企业的一个车间去年有8名工人，每人年薪为1万元，从今年起，计划每人的年薪比上一年增加20%；另外，每年新招3名工人，每名新工人第一年的年薪为8千元，第二年起与老工人的年薪相同．若以今年为第一年，那么，将第n年企业付给工人的工资总额y(单位：万元)表示成n的函数，其表达式为( )
A．y＝(3n＋5)×1.2n＋2.4
B．y＝8×1.2n＋2.4n
C．y＝(3n＋8)×1.2n＋2.4
D．y＝(3n＋5)×1.2n－1＋2.4
答案 A
解析 第一年企业付给工人的工资总额为1×1.2×8＋0.8×3＝9.6＋2.4＝12万元，而对于4个选项而言，当n＝1时，C，D相对应的函数值均不为12，故可排除C，D.再考虑第二年企业付给工人的工资总额，第二年有11个老工人，3个新工人，工资总额为(11×1.22＋2.4)万元，故选A.
7．已知光通过一块玻璃，强度要损失10%.那么要使光的强度减弱到原来的eq \f(1,4)以下，则至少需要通过这样的玻璃(参考数据：lg 3≈0.477，lg 2≈0.301)( )
A．12块 B．13块
C．14块 D．15块
答案 C
解析 设光原来的强度为k，通过x(x∈N＋)块这样的玻璃以后强度为y.光通过1块玻璃后，强度y＝(1－10%)·k＝0.9k，光通过2块玻璃后，强度y＝(1－10%)·0.9k＝0.92k，…，光通过x块玻璃后，强度y＝0.9xk.由题意得0.9xkeq \f(lg \f(1,4),lg 0.9)＝eq \f(－2lg 2,2lg 3－1)≈eq \f(－0.602,0.954－1)≈13.1.又x∈N＋，∴至少需要通过14块这样的玻璃，光的强度能减弱到原来的eq \f(1,4)以下．故选C.
8．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进去的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V＝a·e－kt.已知新丸经过50天后，体积变为eq \f(4,9)a.若一个新丸体积变为eq \f(8,27)a，则需经过的天数为( )
A．125 B．100
C．75 D．50
答案 C
解析 依题意，eq \f(4,9)a＝a·e－50k，∴e－k＝.
设经过t1天后，新丸体积变为eq \f(8,27)a，则eq \f(8,27)a＝a·e－kt1，
∴eq \f(8,27)＝，∴eq \f(1,50)t1＝eq \f(3,2)，即t1＝75.
二、多项选择题
9．如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y与净化时间t(月)的近似函数关系：y＝at(t≥0，a>0且a≠1)的图像，则( )
A．第3个月有害物质的剩留量是eq \f(2,27)
B．第4个月时，剩留量就会低于eq \f(1,5)
C．每月减少的有害物质质量都相等
D．当剩留量为eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，eq \f(1,8)时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3
答案 BD
解析 由于函数的图像经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(4,9)))，故函数的关系式为y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))t.当t＝3时，y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))3＝eq \f(8,27)，故A错误；当t＝4时，y＝eq \f(16,81)10．江苏省高邮市素有“鱼米之乡”之称，高邮城西有风光秀丽的高邮湖，湖内盛产花鲢鱼，记花鲢鱼在湖中的游速为v m/s，花鲢鱼在湖中的耗氧量的单位数为x，经研究发现，花鲢鱼的游速v与lg2eq \f(x,100)(x≥100)成正比，经测定，当花鲢鱼的耗氧量为200单位时，其游速为eq \f(1,2) m/s.则下列说法正确的是( )
A．v＝eq \f(1,2)lg2 eq \f(x,100)(x≥100)
B．当花鲢鱼静止时，耗氧量为100单位
C．当花鲢鱼的耗氧量为400单位时，其游速为2 m/s
D．若某条花鲢鱼的游速提高了1 m/s，则它的耗氧量的单位数是原来的2倍
答案 AB
解析 因为花鲢鱼的游速v与lg2eq \f(x,100)(x≥100)成正比，所以设v＝k·lg2eq \f(x,100).又因为当x＝200时，v＝eq \f(1,2)，所以eq \f(1,2)＝k·lg2eq \f(200,100)，解得k＝eq \f(1,2)，所以v＝eq \f(1,2)lg2eq \f(x,100)(x≥100)．故A正确；当花鲢鱼静止时即v＝0，得eq \f(1,2)lg2eq \f(x,100)＝0，解得x＝100.故B正确；当花鲢鱼的耗氧量为400单位时，即x＝400，得v＝eq \f(1,2)lg2eq \f(400,100)＝eq \f(1,2)lg24＝1 m/s，故C错误；设花鲢鱼开始的游速为v0，耗氧的单位数为x0，则后来的速度为v1，设提速后的耗氧单位数为x1，因为v1＝v0＋1＝eq \f(1,2)lg2eq \f(x0,100)＋1＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg2\f(x0,100)＋2))＝eq \f(1,2)lg2eq \f(4x0,100)，又因为v1＝eq \f(1,2)lg2eq \f(x1,100)，即eq \f(1,2)lg2eq \f(4x0,100)＝eq \f(1,2)lg2eq \f(x1,100)，所以x1＝4x0，即耗氧量的单位数是原来的4倍．故D错误．
11．某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态，经抢修后恢复正常．排气4分钟后测得车库内一氧化碳浓度为64 ppm(ppm为浓度单位，1 ppm表示百万分之一)，再过4分钟又测得浓度为32 ppm.经检验知，该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分钟)之间存在函数关系y＝ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))mt(c，m为常数)．则( )
A．c＝128
B．m＝eq \f(1,8)
C．排气16分钟后，一氧化碳浓度为8 ppm
D．若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm为正常，至少排气32分钟才能使这个地下车库中一氧化碳的含量达到正常状态
答案 ACD
解析 由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(c\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))4m＝64，,c\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))8m＝32，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(c＝128，,m＝\f(1,4)，))A正确，B错误；y＝128×，当t＝16时，y＝128×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))4＝8，C正确；令128×≤eq \f(1,2)，即≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))8，解得t≥32，即至少排气32分钟才能使这个地下车库中一氧化碳的含量达到正常状态，D正确．故选ACD.
12．在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度(单位ml/L，记作[H＋])和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位ml/L，记作[OH－])的乘积等于常数10－14.已知pH值的定义为pH＝－lg [H＋]，健康人体血液的pH值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的eq \f([H＋],[OH－])可以为(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48，lg 7≈0.85)( )
A.eq \f(1,2) B．eq \f(1,3)
C．eq \f(1,6) D．eq \f(1,7)
答案 CD
解析 由题意可得pH＝－lg [H＋]∈(7.35,7.45)，且[H＋]·[OH－]＝10－14，∴lgeq \f( [H＋],[OH－])＝lg eq \f([H＋],\f(10－14,[H＋]))＝lg [H＋]2＋14＝2lg [H＋]＋14.∵7.35<－lg [H＋]<7.45，∴－7.45三、填空题
13．在一次数学试验中，应用图形计算器采集到如下一组数据：
给出下列几个函数：
①y＝a＋bx；②y＝a＋bx；③y＝ax2＋b；④y＝a＋eq \f(b,x).
其中可以近似表示这些数据满足的规律的是________．
答案 ②
解析 由题中表格数据画出函数的大致图像，可知这些数据满足的规律近似于指数函数．故答案是②.
14．有关数据显示，中国某行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长率为50%，有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从________年开始，该行业产生的包装垃圾将超过4000万吨．(参考数据：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771)
答案 2021
解析 设该行业生产的包装垃圾为y万吨，n表示从2015年开始增加的年份的数量，
由题意可得y＝400×(1＋50%)n＝400×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))n，
当y＝4000时，有eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))n＝10，
两边取对数可得n(lg 3－lg 2)＝1，
∴n(0.4771－0.3010)＝1，解得n≈6，
∴从2015＋6＝2021年开始，该行业产生的包装垃圾将超过4000万吨．
15．一个驾驶员喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，规定驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么这个驾驶员至少要经过________小时才能开车．(精确到1小时，参考数据lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)
答案 5
解析 设经过n小时后才能开车，此时酒精含量为0.3(1－0.25)n.根据题意，有0.3(1－0.25)n≤0.09，在不等式两边取常用对数，则有nlgeq \f(3,4)＝n(lg 3－2lg 2)≤lg 0.3＝lg 3－1，将已知数据代入，得n(0.48－0.6)≤0.48－1，解得n≥eq \f(13,3)＝4eq \f(1,3)，故至少经过5小时才能开车．
16．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)))t－a(a为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为________；
(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．
答案 (1)y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(10t0≤t≤0.1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)))t－0.1t>0.1)) (2)0.6
解析 (1)因为药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比，
则设函数为y＝kt(k>0)，
将点(0.1,1)代入y＝kt，
可得k＝10，所以y＝10t；
将点(0.1,1)代入y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)))t－a，得a＝0.1.
故所求的函数关系式为y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(10t0≤t≤0.1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)))t－0.1t>0.1.))
(2)由eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)))t－0.1＝0.25＝，得t＝0.6.
即至少要经过0.6小时后，学生才能回到教室．
四、解答题
17．某公司对营销人员有如下规定：①年销售额x(万元)在8万元以下，没有奖金；②年销售额x(万元)，x∈[8,64]时，奖金为y万元，且y＝lgax，y∈[3，6]，且年销售额越大，奖金越多；③年销售额x(万元)超过64万元，按年销售额的10%发奖金．
(1)求奖金y关于x的函数解析式；
(2)某营销人员争取年奖金y∈[4,10](万元)，求年销售额x在什么范围内．
解 (1)依题意知y＝lgax在x∈[8,64]上为增函数，
由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lga8＝3，,lga64＝6，))
所以a＝2，
所以y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0，0≤x<8，,lg2x，8≤x≤64，,\f(1,10)x，x>64.))
(2)易知x≥8.
当8≤x≤64时，要使y∈[4,10]，
则4≤lg2x≤10，所以16≤x≤1024，所以16≤x≤64.
当x>64时，要使y∈[4,10]，则eq \f(1,10)x∈[4,10]，即40≤x≤100，所以64综上，当年销售额x在[16,100](万元)内时，年奖金y∈[4,10](万元)．
18．美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮．某公司研发的A，B两种芯片都已经获得成功．该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产．经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B芯片的毛收入y(千万元)与投入的资金x(千万元)的函数关系为y＝kxa(x>0)，其图像如图所示．
(1)试分别求出生产A，B两种芯片的毛收入y(千万元)与投入资金x(千万元)的函数关系式；
(2)如果公司只生产一种芯片，那么生产哪种芯片毛收入更大？
(3)现在公司准备投入4亿元资金同时生产A，B两种芯片，设投入x千万元生产B芯片，用f(x)表示公司所获净利润，当x为多少时，可以获得最大净利润？并求出最大净利润．(净利润＝A芯片毛收入＋B芯片毛收入－研发耗费资金)
解 (1)设投入资金x千万元，
则生产A芯片的毛收入y＝eq \f(x,4)(x>0)．
将(1,1)，(4,2)代入y＝kxa，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝1，,k·4a＝2，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝1，,a＝\f(1,2)，))
∴生产B芯片的毛收入y＝eq \r(x)(x>0)．
(2)由eq \f(x,4)>eq \r(x)，得x>16；由eq \f(x,4)＝eq \r(x)，得x＝16；
由eq \f(x,4)∴当投入资金大于16千万元时，生产A芯片的毛收入更大；当投入资金等于16千万元时，生产A，B芯片的毛收入相等；当投入资金小于16千万元时，生产B芯片的毛收入更大．
(3)由题知投入x千万元生产B芯片，则投入(40－x)千万元资金生产A芯片．公司所获净利润f(x)＝eq \f(40－x,4)＋eq \r(x)－2＝－eq \f(1,4)(eq \r(x)－2)2＋9,0真数N
1.010
1.015
1.017
1.310
2.000
对数lg N
0.0043
0.0065
0.0073
0.1173
0.3010
x
－2.0
－1.0
0
1.00
2.00
3.00
y
0.24
0.51
1
2.02
3.98
8.02
真数N
1.010
1.015
1.017
1.310
2.000
对数lg N
0.0043
0.0065
0.0073
0.1173
0.3010
x
－2.0
－1.0
0
1.00
2.00
3.00
y
0.24
0.51
1
2.02
3.98
8.02
知识点一 指数型函数模型
1．某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少eq \f(1,3)，则使产品达到市场要求的最少过滤次数为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)( )
A．10 B．9
C．8 D．7
2．据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%.如果按此速度，设2010年的冬季冰雪覆盖面积为m，从2010年起，经过x年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是( )
3．某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入．若该公司2016年全年投入研发奖金130万元．在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( )
A．2018年 B．2019年
C．2020年 D．2021年
4．某个病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．
5．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)·，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期．现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min，那么降温到35 ℃时，需要多少时间？
知识点二 对数型函数模型
6．据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(只)与时间x(年)近似满足关系y＝alg3(x＋2)，观测发现2014年冬(作为第1年)有越冬白鹤3000只，估计到2020年冬有越冬白鹤( )
A．4000只 B．5000只
C．6000只 D．7000只
7．我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10lg eq \f(I,I0)(其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度)．设η1＝70 dB的声音强度为I1，η2＝60 dB的声音强度为I2，则I1是I2的( )
A.eq \f(7,6)倍 B．10倍
C．10eq \f(7,6)倍 D．ln eq \f(7,6)倍
8．已知地震的震级R与震源释放的能量E的关系式为R＝eq \f(2,3)(lg E－C)(C为常数)，则9.0级地震释放的能量约是7.1级地震释放的能量的________倍．(参考数据：102.85≈708)
9．载人飞船是通过火箭发射的．已知某型号火箭的起飞重量M t是箭体(包括搭载的飞行器)的重量m t和燃料重量x t之和．在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y km/s关于x的函数关系为y＝k[ln (m＋x)－ln (eq \r(2)m)]＋4 ln 2(其中k≠0)．当燃料重量为(eq \r(e)－1)m t时，该火箭的最大速度为4 km/s.
(1)求此型号火箭的最大速度y km/s与燃料重量x t之间的函数关系式；
(2)若此型号火箭的起飞重量是479.8 t，则应装载多少吨燃料(精确到0.1 t，取e≈2.718)才能使火箭的最大飞行速度达到8 km/s顺利地把飞船发送到预定的椭圆轨道？
知识点三 幂函数模型
10．一个模具厂一年中12月份的产量是1月份产量的m倍，那么该模具厂这一年中产量的月平均增长率是( )
A.eq \f(m,11) B．eq \f(m,12)
C．eq \r(12,m)－1 D．eq \r(11,m)－1
11．某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为y＝xα(α为常数)，其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为________万元．
12．2019年某地官方数字显示：该地区人口约有60万，但其人口总数在过去40年内翻了一番，问该地区每年人口的平均增长率是多少？
以下数据供计算时使用：
13．在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量R与管道半径r的四次方成正比．
(1)写出函数解析式；
(2)假设气体在半径为3 cm的管道中的流量为400 cm3/s，求该气体通过半径为r cm的管道时，其流量R的函数解析式；
(3)已知(2)中的气体通过的管道半径为5 cm，计算该气体的流量(精确到1 cm3/s)．
易错点一 审题不清致误
某工厂在两年内生产产值的月增长率都是a，则第二年某月的生产产值与第一年相应月相比增长了第一年相应月的________．
易错点二 忽视指数与对数的运算方法而致错
如图所示，桶1中的水按一定规律流入桶2中，已知开始时桶1中有a升水，桶2是空的，t分钟后桶1中剩余的水量符合指数衰减曲线y1＝ae－nt(其中n是常数，e是自然对数的底数)．假设经过5分钟后，桶1和桶2中的水恰好相等．求：
(1)桶2中的水y2(升)与时间t(分钟)的函数关系式；
(2)经过多少分钟，桶1中的水是eq \f(a,8)升？
一、单项选择题
1．某公司为适应市场需求，对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后期增长越来越慢．若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用( )
A．一次函数 B．二次函数
C．指数型函数 D．对数型函数
2．已知函数t＝－144lg eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(N,100)))的图像可表示打字任务的“学习曲线”，其中t表示达到打字水平N(字/min)所需的学习时间，N表示打字速度(字/min)．则按此曲线要达到90字/min的水平，所需的学习时间是( )
A．144 min B．90 min
C．60 min D．40 min
3．某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年(x∈N*)，该产品的产量y满足( )
A．y＝a(1＋5%x) B．y＝a＋5%x
C．y＝a(1＋5%)x－1 D．y＝a(1＋5%)x
4．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )
A.eq \f(p＋q,2) B．eq \f(1＋p1＋q－1,2)
C.eq \r(pq) D．eq \r(1＋p1＋q)－1
5．某品牌电视机投放市场后，第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好反映销量y(台)与投放市场的月数x之间的关系的是( )
A．y＝100x B．y＝500x2－50x＋100
C．y＝50×2x D．y＝100lg2x＋100
6．某个体企业的一个车间去年有8名工人，每人年薪为1万元，从今年起，计划每人的年薪比上一年增加20%；另外，每年新招3名工人，每名新工人第一年的年薪为8千元，第二年起与老工人的年薪相同．若以今年为第一年，那么，将第n年企业付给工人的工资总额y(单位：万元)表示成n的函数，其表达式为( )
A．y＝(3n＋5)×1.2n＋2.4
B．y＝8×1.2n＋2.4n
C．y＝(3n＋8)×1.2n＋2.4
D．y＝(3n＋5)×1.2n－1＋2.4
7．已知光通过一块玻璃，强度要损失10%.那么要使光的强度减弱到原来的eq \f(1,4)以下，则至少需要通过这样的玻璃(参考数据：lg 3≈0.477，lg 2≈0.301)( )
A．12块 B．13块
C．14块 D．15块
8．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进去的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V＝a·e－kt.已知新丸经过50天后，体积变为eq \f(4,9)a.若一个新丸体积变为eq \f(8,27)a，则需经过的天数为( )
A．125 B．100
C．75 D．50
二、多项选择题
9．如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y与净化时间t(月)的近似函数关系：y＝at(t≥0，a>0且a≠1)的图像，则( )
A．第3个月有害物质的剩留量是eq \f(2,27)
B．第4个月时，剩留量就会低于eq \f(1,5)
C．每月减少的有害物质质量都相等
D．当剩留量为eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，eq \f(1,8)时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3
10．江苏省高邮市素有“鱼米之乡”之称，高邮城西有风光秀丽的高邮湖，湖内盛产花鲢鱼，记花鲢鱼在湖中的游速为v m/s，花鲢鱼在湖中的耗氧量的单位数为x，经研究发现，花鲢鱼的游速v与lg2eq \f(x,100)(x≥100)成正比，经测定，当花鲢鱼的耗氧量为200单位时，其游速为eq \f(1,2) m/s.则下列说法正确的是( )
A．v＝eq \f(1,2)lg2 eq \f(x,100)(x≥100)
B．当花鲢鱼静止时，耗氧量为100单位
C．当花鲢鱼的耗氧量为400单位时，其游速为2 m/s
D．若某条花鲢鱼的游速提高了1 m/s，则它的耗氧量的单位数是原来的2倍
11．某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态，经抢修后恢复正常．排气4分钟后测得车库内一氧化碳浓度为64 ppm(ppm为浓度单位，1 ppm表示百万分之一)，再过4分钟又测得浓度为32 ppm.经检验知，该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分钟)之间存在函数关系y＝ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))mt(c，m为常数)．则( )
A．c＝128
B．m＝eq \f(1,8)
C．排气16分钟后，一氧化碳浓度为8 ppm
D．若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm为正常，至少排气32分钟才能使这个地下车库中一氧化碳的含量达到正常状态
12．在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度(单位ml/L，记作[H＋])和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位ml/L，记作[OH－])的乘积等于常数10－14.已知pH值的定义为pH＝－lg [H＋]，健康人体血液的pH值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的eq \f([H＋],[OH－])可以为(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48，lg 7≈0.85)( )
A.eq \f(1,2) B．eq \f(1,3)
C．eq \f(1,6) D．eq \f(1,7)
三、填空题
13．在一次数学试验中，应用图形计算器采集到如下一组数据：
给出下列几个函数：
①y＝a＋bx；②y＝a＋bx；③y＝ax2＋b；④y＝a＋eq \f(b,x).
其中可以近似表示这些数据满足的规律的是________．
14．有关数据显示，中国某行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长率为50%，有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从________年开始，该行业产生的包装垃圾将超过4000万吨．(参考数据：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771)
15．一个驾驶员喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，规定驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么这个驾驶员至少要经过________小时才能开车．(精确到1小时，参考数据lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)
16．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)))t－a(a为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为________；
(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．
四、解答题
17．某公司对营销人员有如下规定：①年销售额x(万元)在8万元以下，没有奖金；②年销售额x(万元)，x∈[8,64]时，奖金为y万元，且y＝lgax，y∈[3，6]，且年销售额越大，奖金越多；③年销售额x(万元)超过64万元，按年销售额的10%发奖金．
(1)求奖金y关于x的函数解析式；
(2)某营销人员争取年奖金y∈[4,10](万元)，求年销售额x在什么范围内．
18．美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮．某公司研发的A，B两种芯片都已经获得成功．该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产．经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B芯片的毛收入y(千万元)与投入的资金x(千万元)的函数关系为y＝kxa(x>0)，其图像如图所示．
(1)试分别求出生产A，B两种芯片的毛收入y(千万元)与投入资金x(千万元)的函数关系式；
(2)如果公司只生产一种芯片，那么生产哪种芯片毛收入更大？
(3)现在公司准备投入4亿元资金同时生产A，B两种芯片，设投入x千万元生产B芯片，用f(x)表示公司所获净利润，当x为多少时，可以获得最大净利润？并求出最大净利润．(净利润＝A芯片毛收入＋B芯片毛收入－研发耗费资金)
4.6 函数的应用(二)
知识点一 指数型函数模型
1．某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少eq \f(1,3)，则使产品达到市场要求的最少过滤次数为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)( )
A．10 B．9
C．8 D．7
答案 C
解析 设经过n次过滤，产品达到市场要求，则eq \f(2,100)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))n≤eq \f(1,1000)，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))n≤eq \f(1,20)，由nlg eq \f(2,3)≤－lg 20，即n(lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)，得n≥eq \f(1＋lg 2,lg 3－lg 2)≈7.4，所以选C.
2．据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%.如果按此速度，设2010年的冬季冰雪覆盖面积为m，从2010年起，经过x年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是( )
答案 A
解析 设每年减少的百分比为a，由在50年内减少5%，得(1－a)50＝1－5%＝95%，即a＝1－.所以经过x年后，y与x的函数关系式为y＝m·(1－a)x＝m··m.
3．某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入．若该公司2016年全年投入研发奖金130万元．在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( )
A．2018年 B．2019年
C．2020年 D．2021年
答案 C
解析 设第x年的研发奖金为200万元，则由题意可得130×(1＋12%)x＝200，∴1.12x＝eq \f(20,13)，
∴x＝lg1.12eq \f(20,13)＝lg1.1220－lg1.1213＝eq \f(lg 20,lg 1.12)－eq \f(lg 13,lg 1.12)＝eq \f(lg 2＋lg 10－lg 1.3＋lg 10,lg 1.12)≈eq \f(0.3＋1－0.11－1,0.05)＝3.8.即3年后不到200万元，第4年超过200万元，即2020年超过200万元．
4．某个病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．
答案 2ln 2 1024
解析 当t＝0.5时，y＝2，∴2＝.∴k＝2ln 2.
∴y＝e2tln 2.∴当t＝5时，y＝e10ln 2＝210＝1024.
5．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)·，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期．现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min，那么降温到35 ℃时，需要多少时间？
解 由题意知40－24＝(88－24)·，
即eq \f(1,4)＝，解得h＝10.
故T－24＝(88－24)·.
将T＝35代入上式，得
35－24＝(88－24)·，即＝eq \f(11,64).
两边取对数，用计算器求得t≈25.
因此，约需要25 min可降温到35 ℃.
知识点二 对数型函数模型
6．据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(只)与时间x(年)近似满足关系y＝alg3(x＋2)，观测发现2014年冬(作为第1年)有越冬白鹤3000只，估计到2020年冬有越冬白鹤( )
A．4000只 B．5000只
C．6000只 D．7000只
答案 C
解析 当x＝1时，y＝alg33＝a＝3000，∴y＝3000lg3(x＋2)．当x＝7时，y＝3000lg39＝6000，即2020年冬有越冬白鹤6000只．
7．我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10lg eq \f(I,I0)(其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度)．设η1＝70 dB的声音强度为I1，η2＝60 dB的声音强度为I2，则I1是I2的( )
A.eq \f(7,6)倍 B．10倍
C．10eq \f(7,6)倍 D．ln eq \f(7,6)倍
答案 B
解析 依题意可知，η1＝10lg eq \f(I1,I0)，η2＝10lg eq \f(I2,I0)，所以η1－η2＝10lg eq \f( I1,I0)－10lg eq \f(I2,I0)，则1＝lg I1－lg I2，所以eq \f(I1,I2)＝10.故选B.
8．已知地震的震级R与震源释放的能量E的关系式为R＝eq \f(2,3)(lg E－C)(C为常数)，则9.0级地震释放的能量约是7.1级地震释放的能量的________倍．(参考数据：102.85≈708)
答案 708
解析 设9.0级地震释放的能量为E1,7.1级地震释放的能量为E2，由9.0＝eq \f(2,3)(lg E1－C)，得lg E1＝eq \f(3,2)×9.0＋C＝13.5＋C，同理可得lg E2＝eq \f(3,2)×7.1＋C＝10.65＋C，从而lg E1－lg E2＝2.85，故lg eq \f(E1,E2)＝2.85，则eq \f(E1,E2)＝102.85≈708，即9.0级地震释放的能量约是7.1级地震释放的能量的708倍．
9．载人飞船是通过火箭发射的．已知某型号火箭的起飞重量M t是箭体(包括搭载的飞行器)的重量m t和燃料重量x t之和．在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y km/s关于x的函数关系为y＝k[ln (m＋x)－ln (eq \r(2)m)]＋4 ln 2(其中k≠0)．当燃料重量为(eq \r(e)－1)m t时，该火箭的最大速度为4 km/s.
(1)求此型号火箭的最大速度y km/s与燃料重量x t之间的函数关系式；
(2)若此型号火箭的起飞重量是479.8 t，则应装载多少吨燃料(精确到0.1 t，取e≈2.718)才能使火箭的最大飞行速度达到8 km/s顺利地把飞船发送到预定的椭圆轨道？
解 (1)由题意，得4＝k{ln [m＋(eq \r(e)－1)m]－ln (eq \r(2)m)}＋4ln 2，解得k＝8，
所以y＝8[ln (m＋x)－ln (eq \r(2)m)]＋4ln 2＝8ln eq \f(m＋x,m).
(2)由已知，得M＝m＋x＝479.8，则m＝479.8－x.
将y＝8代入(1)中所得式中，得8＝8ln eq \f(479.8,479.8－x)，
解得x≈303.3.
所以应装载大约303.3 t燃料，才能使火箭的最大飞行速度达到8 km/s顺利地把飞船发送到预定的椭圆轨道．
知识点三 幂函数模型
10．一个模具厂一年中12月份的产量是1月份产量的m倍，那么该模具厂这一年中产量的月平均增长率是( )
A.eq \f(m,11) B．eq \f(m,12)
C．eq \r(12,m)－1 D．eq \r(11,m)－1
答案 D
解析 设每月的平均增长率为x,1月份产量为a，则a(1＋x)11＝ma，所以1＋x＝eq \r(11,m)，即x＝eq \r(11,m)－1.
11．某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为y＝xα(α为常数)，其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为________万元．
答案 125
解析 由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，代入y＝xα中，即3α＝27，解得α＝3，故函数关系式为y＝x3，所以当x＝5时，y＝125.
12．2019年某地官方数字显示：该地区人口约有60万，但其人口总数在过去40年内翻了一番，问该地区每年人口的平均增长率是多少？
以下数据供计算时使用：
解 设该地区每年人口的平均增长率为x，n年前的人口数为y，
则y·(1＋x)n＝60，则当n＝40时，y＝30，
即30(1＋x)40＝60.
∴(1＋x)40＝2，两边取对数，
则40lg (1＋x)＝lg 2，
则lg (1＋x)＝eq \f(lg 2,40)≈0.007525，
∴1＋x≈1.017，解得x≈1.7%.
13．在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量R与管道半径r的四次方成正比．
(1)写出函数解析式；
(2)假设气体在半径为3 cm的管道中的流量为400 cm3/s，求该气体通过半径为r cm的管道时，其流量R的函数解析式；
(3)已知(2)中的气体通过的管道半径为5 cm，计算该气体的流量(精确到1 cm3/s)．
解 (1)由题意，得R＝kr4(k是大于0的常数)．
(2)由r＝3 cm，R＝400 cm3/s，得k·34＝400，
所以k＝eq \f(400,81)，
所以流量R的函数解析式为R＝eq \f(400,81)·r4.
(3)因为R＝eq \f(400,81)·r4，
所以当r＝5 cm时，R＝eq \f(400,81)×54≈3086 cm3/s.
易错点一 审题不清致误
某工厂在两年内生产产值的月增长率都是a，则第二年某月的生产产值与第一年相应月相比增长了第一年相应月的________．
易错分析 若某月的生产产值为b，月增长率为a，则x个月后的生产产值为b(1＋a)x，在解题过程中，易错认为是b(1＋a)x－1，从而导致错误．
答案 (1＋a)12－1
正解 不妨设第一年1月份的生产产值为b，则2月份的生产产值是b(1＋a)，3月份的生产产值是b(1＋a)2，依次类推，到第二年1月份就是第一年1月份后的第12个月，
故第二年1月份的生产产值是b(1＋a)12.
故第二年某月的生产产值与第一年相应月相比增长了第一年相应月的eq \f(b1＋a12－b,b)＝(1＋a)12－1.
易错点二 忽视指数与对数的运算方法而致错
如图所示，桶1中的水按一定规律流入桶2中，已知开始时桶1中有a升水，桶2是空的，t分钟后桶1中剩余的水量符合指数衰减曲线y1＝ae－nt(其中n是常数，e是自然对数的底数)．假设经过5分钟后，桶1和桶2中的水恰好相等．求：
(1)桶2中的水y2(升)与时间t(分钟)的函数关系式；
(2)经过多少分钟，桶1中的水是eq \f(a,8)升？
易错分析 本题容易出现因忽视指数与对数的关系，不能充分应用指数式与对数式的互化而致误．
正解 (1)∵桶2中的水是从桶1中流出的，而开始时桶1中的水是a升，又满足y1＝ae－nt，
∴桶2中的水与t的函数关系式是y2＝a－ae－nt.
(2)∵t＝5时，y1＝y2，
∴ae－5n＝a－ae－5n，解得2e－5n＝1，n＝eq \f(1,5)ln 2.
∴y1＝.
当y1＝eq \f(a,8)时，有eq \f(a,8)＝，解得t＝15.
∴经过15分钟桶1中的水是eq \f(a,8)升．
一、单项选择题
1．某公司为适应市场需求，对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后期增长越来越慢．若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用( )
A．一次函数 B．二次函数
C．指数型函数 D．对数型函数
答案 D
解析 由题意分析，符合对数型函数的特点．
2．已知函数t＝－144lg eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(N,100)))的图像可表示打字任务的“学习曲线”，其中t表示达到打字水平N(字/min)所需的学习时间，N表示打字速度(字/min)．则按此曲线要达到90字/min的水平，所需的学习时间是( )
A．144 min B．90 min
C．60 min D．40 min
答案 A
解析 由题意把N＝90代入t＝－144lg eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(N,100)))中，得t＝－144lg eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(90,100)))＝－144lg eq \f(10,100)＝144.
3．某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年(x∈N*)，该产品的产量y满足( )
A．y＝a(1＋5%x) B．y＝a＋5%x
C．y＝a(1＋5%)x－1 D．y＝a(1＋5%)x
答案 D
解析 经过1年，y＝a(1＋5%)，经过2年，y＝a(1＋5%)2，…，经过x年，y＝a(1＋5%)x.
4．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )
A.eq \f(p＋q,2) B．eq \f(1＋p1＋q－1,2)
C.eq \r(pq) D．eq \r(1＋p1＋q)－1
答案 D
解析 设年平均增长率为x，则有(1＋p)(1＋q)＝(1＋x)2，解得x＝eq \r(1＋p1＋q)－1.
5．某品牌电视机投放市场后，第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好反映销量y(台)与投放市场的月数x之间的关系的是( )
A．y＝100x B．y＝500x2－50x＋100
C．y＝50×2x D．y＝100lg2x＋100
答案 C
解析 对于A中的函数，当x＝3或4时，误差较大；对于B中的函数，当x＝3或4时误差也较大；对于 C中的函数，当x＝1,2,3时，误差为0，当x＝4时，误差为10，误差很小；对于D中的函数，当x＝4时，据函数式得到的结果为300，与实际值790相差很远，故选C.
6．某个体企业的一个车间去年有8名工人，每人年薪为1万元，从今年起，计划每人的年薪比上一年增加20%；另外，每年新招3名工人，每名新工人第一年的年薪为8千元，第二年起与老工人的年薪相同．若以今年为第一年，那么，将第n年企业付给工人的工资总额y(单位：万元)表示成n的函数，其表达式为( )
A．y＝(3n＋5)×1.2n＋2.4
B．y＝8×1.2n＋2.4n
C．y＝(3n＋8)×1.2n＋2.4
D．y＝(3n＋5)×1.2n－1＋2.4
答案 A
解析 第一年企业付给工人的工资总额为1×1.2×8＋0.8×3＝9.6＋2.4＝12万元，而对于4个选项而言，当n＝1时，C，D相对应的函数值均不为12，故可排除C，D.再考虑第二年企业付给工人的工资总额，第二年有11个老工人，3个新工人，工资总额为(11×1.22＋2.4)万元，故选A.
7．已知光通过一块玻璃，强度要损失10%.那么要使光的强度减弱到原来的eq \f(1,4)以下，则至少需要通过这样的玻璃(参考数据：lg 3≈0.477，lg 2≈0.301)( )
A．12块 B．13块
C．14块 D．15块
答案 C
解析 设光原来的强度为k，通过x(x∈N＋)块这样的玻璃以后强度为y.光通过1块玻璃后，强度y＝(1－10%)·k＝0.9k，光通过2块玻璃后，强度y＝(1－10%)·0.9k＝0.92k，…，光通过x块玻璃后，强度y＝0.9xk.由题意得0.9xk
8．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进去的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V＝a·e－kt.已知新丸经过50天后，体积变为eq \f(4,9)a.若一个新丸体积变为eq \f(8,27)a，则需经过的天数为( )
A．125 B．100
C．75 D．50
答案 C
解析 依题意，eq \f(4,9)a＝a·e－50k，∴e－k＝.
设经过t1天后，新丸体积变为eq \f(8,27)a，则eq \f(8,27)a＝a·e－kt1，
∴eq \f(8,27)＝，∴eq \f(1,50)t1＝eq \f(3,2)，即t1＝75.
二、多项选择题
9．如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y与净化时间t(月)的近似函数关系：y＝at(t≥0，a>0且a≠1)的图像，则( )
A．第3个月有害物质的剩留量是eq \f(2,27)
B．第4个月时，剩留量就会低于eq \f(1,5)
C．每月减少的有害物质质量都相等
D．当剩留量为eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，eq \f(1,8)时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3
答案 BD
解析 由于函数的图像经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(4,9)))，故函数的关系式为y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))t.当t＝3时，y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))3＝eq \f(8,27)，故A错误；当t＝4时，y＝eq \f(16,81)
A．v＝eq \f(1,2)lg2 eq \f(x,100)(x≥100)
B．当花鲢鱼静止时，耗氧量为100单位
C．当花鲢鱼的耗氧量为400单位时，其游速为2 m/s
D．若某条花鲢鱼的游速提高了1 m/s，则它的耗氧量的单位数是原来的2倍
答案 AB
解析 因为花鲢鱼的游速v与lg2eq \f(x,100)(x≥100)成正比，所以设v＝k·lg2eq \f(x,100).又因为当x＝200时，v＝eq \f(1,2)，所以eq \f(1,2)＝k·lg2eq \f(200,100)，解得k＝eq \f(1,2)，所以v＝eq \f(1,2)lg2eq \f(x,100)(x≥100)．故A正确；当花鲢鱼静止时即v＝0，得eq \f(1,2)lg2eq \f(x,100)＝0，解得x＝100.故B正确；当花鲢鱼的耗氧量为400单位时，即x＝400，得v＝eq \f(1,2)lg2eq \f(400,100)＝eq \f(1,2)lg24＝1 m/s，故C错误；设花鲢鱼开始的游速为v0，耗氧的单位数为x0，则后来的速度为v1，设提速后的耗氧单位数为x1，因为v1＝v0＋1＝eq \f(1,2)lg2eq \f(x0,100)＋1＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg2\f(x0,100)＋2))＝eq \f(1,2)lg2eq \f(4x0,100)，又因为v1＝eq \f(1,2)lg2eq \f(x1,100)，即eq \f(1,2)lg2eq \f(4x0,100)＝eq \f(1,2)lg2eq \f(x1,100)，所以x1＝4x0，即耗氧量的单位数是原来的4倍．故D错误．
11．某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态，经抢修后恢复正常．排气4分钟后测得车库内一氧化碳浓度为64 ppm(ppm为浓度单位，1 ppm表示百万分之一)，再过4分钟又测得浓度为32 ppm.经检验知，该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分钟)之间存在函数关系y＝ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))mt(c，m为常数)．则( )
A．c＝128
B．m＝eq \f(1,8)
C．排气16分钟后，一氧化碳浓度为8 ppm
D．若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm为正常，至少排气32分钟才能使这个地下车库中一氧化碳的含量达到正常状态
答案 ACD
解析 由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(c\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))4m＝64，,c\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))8m＝32，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(c＝128，,m＝\f(1,4)，))A正确，B错误；y＝128×，当t＝16时，y＝128×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))4＝8，C正确；令128×≤eq \f(1,2)，即≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))8，解得t≥32，即至少排气32分钟才能使这个地下车库中一氧化碳的含量达到正常状态，D正确．故选ACD.
12．在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度(单位ml/L，记作[H＋])和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位ml/L，记作[OH－])的乘积等于常数10－14.已知pH值的定义为pH＝－lg [H＋]，健康人体血液的pH值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的eq \f([H＋],[OH－])可以为(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48，lg 7≈0.85)( )
A.eq \f(1,2) B．eq \f(1,3)
C．eq \f(1,6) D．eq \f(1,7)
答案 CD
解析 由题意可得pH＝－lg [H＋]∈(7.35,7.45)，且[H＋]·[OH－]＝10－14，∴lgeq \f( [H＋],[OH－])＝lg eq \f([H＋],\f(10－14,[H＋]))＝lg [H＋]2＋14＝2lg [H＋]＋14.∵7.35<－lg [H＋]<7.45，∴－7.45
13．在一次数学试验中，应用图形计算器采集到如下一组数据：
给出下列几个函数：
①y＝a＋bx；②y＝a＋bx；③y＝ax2＋b；④y＝a＋eq \f(b,x).
其中可以近似表示这些数据满足的规律的是________．
答案 ②
解析 由题中表格数据画出函数的大致图像，可知这些数据满足的规律近似于指数函数．故答案是②.
14．有关数据显示，中国某行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长率为50%，有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从________年开始，该行业产生的包装垃圾将超过4000万吨．(参考数据：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771)
答案 2021
解析 设该行业生产的包装垃圾为y万吨，n表示从2015年开始增加的年份的数量，
由题意可得y＝400×(1＋50%)n＝400×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))n，
当y＝4000时，有eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))n＝10，
两边取对数可得n(lg 3－lg 2)＝1，
∴n(0.4771－0.3010)＝1，解得n≈6，
∴从2015＋6＝2021年开始，该行业产生的包装垃圾将超过4000万吨．
15．一个驾驶员喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，规定驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么这个驾驶员至少要经过________小时才能开车．(精确到1小时，参考数据lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)
答案 5
解析 设经过n小时后才能开车，此时酒精含量为0.3(1－0.25)n.根据题意，有0.3(1－0.25)n≤0.09，在不等式两边取常用对数，则有nlgeq \f(3,4)＝n(lg 3－2lg 2)≤lg 0.3＝lg 3－1，将已知数据代入，得n(0.48－0.6)≤0.48－1，解得n≥eq \f(13,3)＝4eq \f(1,3)，故至少经过5小时才能开车．
16．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)))t－a(a为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为________；
(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．
答案 (1)y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(10t0≤t≤0.1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)))t－0.1t>0.1)) (2)0.6
解析 (1)因为药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比，
则设函数为y＝kt(k>0)，
将点(0.1,1)代入y＝kt，
可得k＝10，所以y＝10t；
将点(0.1,1)代入y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)))t－a，得a＝0.1.
故所求的函数关系式为y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(10t0≤t≤0.1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)))t－0.1t>0.1.))
(2)由eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)))t－0.1＝0.25＝，得t＝0.6.
即至少要经过0.6小时后，学生才能回到教室．
四、解答题
17．某公司对营销人员有如下规定：①年销售额x(万元)在8万元以下，没有奖金；②年销售额x(万元)，x∈[8,64]时，奖金为y万元，且y＝lgax，y∈[3，6]，且年销售额越大，奖金越多；③年销售额x(万元)超过64万元，按年销售额的10%发奖金．
(1)求奖金y关于x的函数解析式；
(2)某营销人员争取年奖金y∈[4,10](万元)，求年销售额x在什么范围内．
解 (1)依题意知y＝lgax在x∈[8,64]上为增函数，
由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lga8＝3，,lga64＝6，))
所以a＝2，
所以y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0，0≤x<8，,lg2x，8≤x≤64，,\f(1,10)x，x>64.))
(2)易知x≥8.
当8≤x≤64时，要使y∈[4,10]，
则4≤lg2x≤10，所以16≤x≤1024，所以16≤x≤64.
当x>64时，要使y∈[4,10]，则eq \f(1,10)x∈[4,10]，即40≤x≤100，所以64
18．美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮．某公司研发的A，B两种芯片都已经获得成功．该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产．经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B芯片的毛收入y(千万元)与投入的资金x(千万元)的函数关系为y＝kxa(x>0)，其图像如图所示．
(1)试分别求出生产A，B两种芯片的毛收入y(千万元)与投入资金x(千万元)的函数关系式；
(2)如果公司只生产一种芯片，那么生产哪种芯片毛收入更大？
(3)现在公司准备投入4亿元资金同时生产A，B两种芯片，设投入x千万元生产B芯片，用f(x)表示公司所获净利润，当x为多少时，可以获得最大净利润？并求出最大净利润．(净利润＝A芯片毛收入＋B芯片毛收入－研发耗费资金)
解 (1)设投入资金x千万元，
则生产A芯片的毛收入y＝eq \f(x,4)(x>0)．
将(1,1)，(4,2)代入y＝kxa，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝1，,k·4a＝2，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝1，,a＝\f(1,2)，))
∴生产B芯片的毛收入y＝eq \r(x)(x>0)．
(2)由eq \f(x,4)>eq \r(x)，得x>16；由eq \f(x,4)＝eq \r(x)，得x＝16；
由eq \f(x,4)
(3)由题知投入x千万元生产B芯片，则投入(40－x)千万元资金生产A芯片．公司所获净利润f(x)＝eq \f(40－x,4)＋eq \r(x)－2＝－eq \f(1,4)(eq \r(x)－2)2＋9,0
1.010
1.015
1.017
1.310
2.000
对数lg N
0.0043
0.0065
0.0073
0.1173
0.3010
x
－2.0
－1.0
0
1.00
2.00
3.00
y
0.24
0.51
1
2.02
3.98
8.02
真数N
1.010
1.015
1.017
1.310
2.000
对数lg N
0.0043
0.0065
0.0073
0.1173
0.3010
x
－2.0
－1.0
0
1.00
2.00
3.00
y
0.24
0.51
1
2.02
3.98
8.02
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