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必修 第二册5.3.4 频率与概率同步达标检测题
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这是一份必修 第二册5.3.4 频率与概率同步达标检测题，共29页。试卷主要包含了下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
知识点一 频率与概率
1．在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为eq \f(m,n)，当n很大时，P(A)与eq \f(m,n)的关系是( )
A．P(A)≈eq \f(m,n) B．P(A)C．P(A)>eq \f(m,n) D．P(A)＝eq \f(m,n)
2．某企业生产的乒乓球被某乒乓球训练基地指定为训练专用球．日前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检测结果如下表所示：
(1)计算表中乒乓球为优等品的频率；
(2)从这批乒乓球产品中任取一个，估计其为优等品的概率是多少？(结果保留到小数点后三位)
3．某市统计近几年新生儿出生数及其中男婴数(单位：人)如下：
(1)试计算男婴出生的频率；(精确到0.001)
(2)该市男婴出生的概率约为多少？
知识点二 对概率的正确理解
4．下列说法正确的是( )
A．甲、乙二人比赛，甲胜的概率为eq \f(3,5)，则比赛5场，甲胜3场
B．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈
C．随机试验的频率与概率相等
D．天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90%
5．围棋盒里放有同样大小的9枚白棋子和1枚黑棋子，每次从中随机摸出1枚棋子后再放回，一共摸10次，你认为一定有一次会摸到黑棋子吗？说明你的理由．
知识点三 用频率估计概率
6．从某校高二年级的所有学生中，随机抽取20人，测得他们的身高(单位：cm)分别为：
162,153,148,154,165,168,172,171,173,150，
151,152,160,165,164,179,149,158,159,175.
根据样本频率分布估计总体分布的原理，在该校高二年级的所有学生中任抽一人，估计该生的身高在155.5～170.5 cm之间的概率约为( )
A．eq \f(2,5) B．eq \f(1,2)
C．eq \f(2,3) D．eq \f(1,3)
7．在检测一批相同规格共500 kg航空用耐热垫片的品质时，随机抽取了280片，检测到有5片非优质品，则这批垫片中非优质品约为( )
A．8.834 kg B．8.929 kg
C．10 kg D．9.835 kg
8．随着互联网的普及，网上购物已逐渐成为消费时尚，为了解消费者对网上购物的满意情况，某公司随机对4500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答)，统计结果如下表：
根据表中数据，估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是( )
A．eq \f(7,15) B．eq \f(2,5)
C．eq \f(11,15) D．eq \f(13,15)
9．某人捡到不规则形状的五面体石块，他在每个面上用数字1～5进行了标记，投掷100次，记录下落在桌面上的数字，得到如下频数表：
估计落在桌面的数字不小于4的概率约为________．
10．某工厂为了节约用电，规定每天的用电量指标为1000度，按照上个月的用电记录，在30天中有12天的用电量超过指标，若这个月(按30天计)仍没有具体的节电措施，则该月的第一天用电量超过指标的概率约是________．
11．对某批产品进行抽样检查，数据如下：
根据上表中的数据，如果要从该批产品中抽到950件合格品，那么大约需要抽查________件产品．
12．某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力出了10个智力题，每个题10分，然后做了统计，统计结果如表：
贫困地区
发达地区
(1)利用计算器计算两地区参加测试的儿童中得60分以上的频率(结果精确到0.001)；
(2)求两个地区参加测试的儿童得60分以上的概率．
13．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如表：
(1)若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．
14．假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如图所示：
(1)估计甲品牌产品寿命小于200 h的概率；
(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200 h，试估计该产品是甲品牌的概率．
15．近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：
(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率；
(2)试估计生活垃圾投放错误的概率；
(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中a>0，a＋b＋c＝600.当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c的值(结论不要求证明)，并求此时s2的值．：
易错点一 混淆概率与频率的概念
把一枚质地均匀的硬币连续掷了1000次，其中有496次正面朝上，504次反面朝上，则可认为掷一次硬币正面朝上的概率为________．
易错点二 对用频率估计概率的方法理解不透致误
已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________．
一、单项选择题
1．从一批电视机中随机抽出10台进行质检，其中有一台次品，下列说法正确的是( )
A．次品率小于10% B．次品率大于10%
C．次品率等于10% D．次品率接近10%
2．某人将一枚硬币连抛10次，正面朝上的情形出现了6次，若用A表示正面朝上这一事件，则A的( )
A．概率为eq \f(3,5) B．频率为eq \f(3,5)
C．频率为6 D．概率接近0.6
3．从存放号码分别为1,2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如表：
估计取到号码为奇数的概率约是( )
A．0.53 B．0.5
C．0.47 D．0.37
4．若在同等条件下进行n次重复试验得到某个事件A发生的频率f(n)，则随着n的逐渐增大，有( )
A．f(n)与某个常数相等
B．f(n)与某个常数的差逐渐减小
C．f(n)与某个常数的差的绝对值逐渐减小
D．f(n)在某个常数的附近摆动并趋于稳定
5．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是( )
A．0.09 B．0.20
C．0.25 D．0.45
6．某厂生产的电器是家电下乡政府补贴的指定品牌，其产品是优等品的概率为90%，现从该厂生产的产品中任意地抽取10件进行检验，结果前9件产品中有8件是优等品，1件是非优等品，那么第10件产品是优等品的概率为( )
A．90% B．小于90%
C．大于90% D．无法确定
7．有下列说法：①抛掷硬币出现正面向上的概率为0.5，那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上；②如果某种彩票的中奖概率为eq \f(1,10)，那么买10张这种彩票一定能中奖；③在乒乓球、排球等比赛中，裁判通过上抛均匀塑料圆板并让运动员猜着地时是正面还是反面来决定哪一方先发球，这样做不公平；④一个骰子掷一次得到点数2的概率是eq \f(1,6)，这说明一个骰子掷6次会出现一次点数2.其中不正确的说法是( )
A．①②③④ B．①②④
C．③④ D．③
8．某市交警部门在调查一起车祸过程中，所有的目击证人都指证肇事车是一辆普通桑塔纳出租车，但由于天黑，均未看清该车的车牌号码及颜色，而该市有两家出租车公司，其中甲公司有100辆桑塔纳出租车，3000辆帕萨特出租车，乙公司有3000辆桑塔纳出租车，100辆帕萨特出租车．交警部门应先调查哪家公司的车辆较合理？( )
A．甲公司 B．乙公司
C．甲与乙公司 D．以上都对
二、多项选择题
9．下列说法中，正确的有( )
A．频率是反映事件发生的频繁程度，概率是反映事件发生的可能性大小
B．百分率是频率，但不是概率
C．频率是不能脱离试验次数n的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值
D．频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值
10．下列说法正确的是( )
A．事件A的概率为P(A)，必有0≤P(A)≤1
B．事件A的概率P(A)＝0.999，则事件A是必然事件
C．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人进行治疗，结果有380人有明显的疗效．现有胃溃疡的病人服用此药，则估计有明显疗效的概率约为76%
D．某奖券的中奖率为50%，则某人购买此奖券10张，一定有5张中奖
11．李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学，下表是李老师这门课3年来学生的考试成绩(取整数)分布：
经济学院一年级的学生王小慧下学期将选修李老师的高等数学课，则下列说法正确的是( )
A．估计她得90分以上(含90分)的概率约为0.067
B．估计她得60～69分的概率约为0.150
C．估计她得60分以上(含60分)的概率约为0.982
D．估计她得59分以下(含59分)的概率约为0.108
12．某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买，则下列说法正确的是( )
A．估计顾客同时购买甲和丙的概率约为0.3
B．估计顾客同时购买乙和丙的概率为0.2
C．估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率为0.4
D．如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中的丙的可能性最大
三、填空题
13．一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率，公司收集了20000辆汽车的数据，时间是从某年的5月1日到下一年的4月30日，共发现有600辆汽车的挡风玻璃破碎，则一辆汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率的近似值是________．
14．一个容量为20的样本，数据的分组及各组的频数如下：[10,20)2个；[20,30)3个；[30,40)x个；[40,50)5个；[50,60)4个；[60,70]2个．则x等于________；根据样本的频率估计概率，数据落在[10,50)的概率约为________．
15．玲玲和倩倩是一对好朋友，她俩都想去观看某明星的演唱会，可手里只有一张票，怎么办呢？玲玲对倩倩说：“我向空中抛2枚同样的一元硬币，如果落地后一正一反，就我去；如果落地后两面一样，就你去！”你认为这个游戏公平吗？答：________.
16．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获收益12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是去年200例类似项目开发的实施结果．
则估计该公司一年后可获收益的平均数是________．
四、解答题
17．电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；
(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化，假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)
18．某中学从参加高一年级上学期期末考试的学生中抽出60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后画出如图所示的频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
(1)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)；
(2)从该校高一年级随机选取一名学生，估计这名学生该次期末考试成绩在70分以上(包括70分)的概率．
19．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
20．甲、乙两台机床同时生产一种零件，其质量按测试指标划分：指标大于或等于100为优品，大于等于90且小于100为合格品，小于90为次品，现随机抽取这两台机床生产的零件各100件进行检测，检测结果统计如下：
(1)试分别估计甲机床、乙机床生产的零件为优品的概率；
(2)甲机床生产1件零件，若是优品可盈利160元，合格品可盈利100元，次品则亏损20，假设甲机床某天生产50零件，请估计甲机床该天的日利润(单位：元)；
(3)从甲、乙机床生产的零件指标在[90,95)内的零件中，采用分层随机抽样的方法抽取5件，从这5件中任意抽取2件进行质量分析，求这2件都是乙机床生产的概率．
5.3.4 频率与概率
知识点一 频率与概率
1．在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为eq \f(m,n)，当n很大时，P(A)与eq \f(m,n)的关系是( )
A．P(A)≈eq \f(m,n) B．P(A)C．P(A)>eq \f(m,n) D．P(A)＝eq \f(m,n)
答案 A
解析 根据概率的定义，当n很大时，频率是概率的近似值．
2．某企业生产的乒乓球被某乒乓球训练基地指定为训练专用球．日前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检测结果如下表所示：
(1)计算表中乒乓球为优等品的频率；
(2)从这批乒乓球产品中任取一个，估计其为优等品的概率是多少？(结果保留到小数点后三位)
解 (1)表中乒乓球为优等品的频率依次是0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951.
(2)由(1)知，随着抽取的球数n的增加，计算得到的频率值虽然不同，但都在常数0.950的附近摆动，所以任意抽取一个乒乓球检测时，其为优等品的概率约为0.950.
3．某市统计近几年新生儿出生数及其中男婴数(单位：人)如下：
(1)试计算男婴出生的频率；(精确到0.001)
(2)该市男婴出生的概率约为多少？
解 (1)2016年男婴出生的频率为eq \f(11453,21840)≈0.524.同理可求得2017年、2018年和2019年男婴出生的频率分别为0.521,0.512,0.513.
(2)该市男婴出生的概率约为0.52.
知识点二 对概率的正确理解
4．下列说法正确的是( )
A．甲、乙二人比赛，甲胜的概率为eq \f(3,5)，则比赛5场，甲胜3场
B．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈
C．随机试验的频率与概率相等
D．天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90%
答案 D
解析 A中，此概率只说明发生的可能性大小，具有随机性，并非一定是比赛5场甲胜3场；B中，此治愈率只说明发生的可能性大小，具有随机性，并非10个病人一定有1人治愈；C中，随机试验的频率可以估计概率，并不等于概率；D中，概率为90%，即可能性是90%.故选D.
5．围棋盒里放有同样大小的9枚白棋子和1枚黑棋子，每次从中随机摸出1枚棋子后再放回，一共摸10次，你认为一定有一次会摸到黑棋子吗？说明你的理由．
解 不一定．有放回地摸10次棋子相当于做10次重复试验，因为每次试验的结果都是随机的，所以摸10次棋子的结果也是随机的．可能有两次或两次以上摸到黑棋子，也可能没有一次摸到黑棋子．
知识点三 用频率估计概率
6．从某校高二年级的所有学生中，随机抽取20人，测得他们的身高(单位：cm)分别为：
162,153,148,154,165,168,172,171,173,150，
151,152,160,165,164,179,149,158,159,175.
根据样本频率分布估计总体分布的原理，在该校高二年级的所有学生中任抽一人，估计该生的身高在155.5～170.5 cm之间的概率约为( )
A．eq \f(2,5) B．eq \f(1,2)
C．eq \f(2,3) D．eq \f(1,3)
答案 A
解析 从已知数据可以看出，在随机抽取的这20名学生中，身高在155.5～170.5 cm之间的学生有8人，频率为eq \f(2,5)，故可估计在该校高二年级的所有学生中任抽一人，其身高在155.5～170.5 cm之间的概率约为eq \f(2,5).
7．在检测一批相同规格共500 kg航空用耐热垫片的品质时，随机抽取了280片，检测到有5片非优质品，则这批垫片中非优质品约为( )
A．8.834 kg B．8.929 kg
C．10 kg D．9.835 kg
答案 B
解析 由题意可得，该批垫片中非优质品约为eq \f(5,280)×500≈8.929 kg.
8．随着互联网的普及，网上购物已逐渐成为消费时尚，为了解消费者对网上购物的满意情况，某公司随机对4500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答)，统计结果如下表：
根据表中数据，估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是( )
A．eq \f(7,15) B．eq \f(2,5)
C．eq \f(11,15) D．eq \f(13,15)
答案 C
解析 由题意，得n＝4500－200－2100－1000＝1200，所以随机调查的网上购物消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的总人数为1200＋2100＝3300，所以随机调查的网上购物消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的频率为eq \f(3300,4500)＝eq \f(11,15).由此估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为eq \f(11,15).故选C．
9．某人捡到不规则形状的五面体石块，他在每个面上用数字1～5进行了标记，投掷100次，记录下落在桌面上的数字，得到如下频数表：
估计落在桌面的数字不小于4的概率约为________．
答案 0.35
解析 落在桌面的数字不小于4，即4,5的频数共13＋22＝35，所以频率为eq \f(35,100)＝0.35，所以估计落在桌面的数字不小于4的概率约为0.35.
10．某工厂为了节约用电，规定每天的用电量指标为1000度，按照上个月的用电记录，在30天中有12天的用电量超过指标，若这个月(按30天计)仍没有具体的节电措施，则该月的第一天用电量超过指标的概率约是________．
答案 0.4
解析 由频率的定义可知用电量超过指标的频率为eq \f(12,30)＝0.4，由频率估计概率，知第一天用电量超过指标的概率约是0.4.
11．对某批产品进行抽样检查，数据如下：
根据上表中的数据，如果要从该批产品中抽到950件合格品，那么大约需要抽查________件产品．
答案 1000
解析 根据题表中数据可知合格品出现的频率依次为0.94,0.92,0.96,0.95,0.95，故合格品出现的概率约为0.95，因此要从该批产品中抽到950件合格品大约需要抽查1000件产品．
12．某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力出了10个智力题，每个题10分，然后做了统计，统计结果如表：
贫困地区
发达地区
(1)利用计算器计算两地区参加测试的儿童中得60分以上的频率(结果精确到0.001)；
(2)求两个地区参加测试的儿童得60分以上的概率．
解 (1)贫困地区
发达地区
(2)随着测试人数的增加，贫困地区和发达地区参加测试的儿童得60分以上的频率分别逐渐趋近于0.5和0.55.故所求概率分别为0.5和0.55.
13．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如表：
(1)若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．
解 (1)设A表示事件“赔付金额为3000元”，B表示事件“赔付金额为4000元”，样本车辆总数n＝500＋130＋100＋150＋120＝1000，以频率估计概率得P(A)＝eq \f(150,1000)＝0.15，P(B)＝eq \f(120,1000)＝0.12.
由于投保金额为2800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3000元或4000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.
(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000＝100辆，而赔付金额为4000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24辆．
所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为eq \f(24,100)＝0.24，由频率估计概率，得P(C)＝0.24.
14．假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如图所示：
(1)估计甲品牌产品寿命小于200 h的概率；
(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200 h，试估计该产品是甲品牌的概率．
解 (1)甲品牌产品寿命小于200 h的频率为eq \f(5＋20,100)＝eq \f(1,4)，用频率估计概率，所以甲品牌产品寿命小于200 h的概率为eq \f(1,4).
(2)根据抽样结果，寿命大于200 h的产品共有75＋70＝145个，其中甲品牌产品有75个，所以在样本中，寿命大于200 h的产品是甲品牌的频率是eq \f(75,145)＝eq \f(15,29)，用频率估计概率，所以已使用了200 h的该产品是甲品牌的概率为eq \f(15,29).
15．近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：
(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率；
(2)试估计生活垃圾投放错误的概率；
(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中a>0，a＋b＋c＝600.当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c的值(结论不要求证明)，并求此时s2的值．求：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(s2＝\f(1,n)[x1－\(x,\s\up6(－))2＋x2－\(x,\s\up6(－))2＋…＋xn－\(x,\s\up6(－))2]，其中\(x,\s\up6(－))为数据x1，x2，…，xn的平均数))
解 (1)由题意可知，厨余垃圾600吨，投放到“厨余垃圾”箱400吨，故厨余垃圾投放正确的概率为eq \f(400,600)＝eq \f(2,3).
(2)由题意可知，生活垃圾投放错误有200＋60＋20＋20＝300，故生活垃圾投放错误的概率为eq \f(300,1000)＝eq \f(3,10).
(3)由题意可知，∵a＋b＋c＝600，∴a，b，c的平均数为200，
∴s2＝eq \f(1,3)[(a－200)2＋(b－200)2＋(c－200)2]＝eq \f(1,3)(a2＋b2＋c2－120000)，∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac≥a2＋b2＋c2，因此有当a＝600，b＝0，c＝0时，有s2＝80000.
易错点一 混淆概率与频率的概念
把一枚质地均匀的硬币连续掷了1000次，其中有496次正面朝上，504次反面朝上，则可认为掷一次硬币正面朝上的概率为________．
易错分析 由于混淆了概率与频率的概念而致误，事实上频率是随机的，而概率是一个确定的常数，与每次试验无关．
答案 0.5
正解 通过做大量的试验可以发现，正面朝上的频率都在0.5附近摆动，故掷一次硬币，正面朝上的概率是0.5，故填0.5.
易错点二 对用频率估计概率的方法理解不透致误
已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________．
易错分析 (1)对随机数表认识不到位，不能准确找出恰有两次命中的组数；
(2)对用频率估计概率的方法理解不到位，不能求出“运动员三次投篮恰有两次命中”的概率．
答案 eq \f(1,4)
正解 20组随机数中，恰有两次命中的有5组，用频率估计概率，因此，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为P＝eq \f(5,20)＝eq \f(1,4).
一、单项选择题
1．从一批电视机中随机抽出10台进行质检，其中有一台次品，下列说法正确的是( )
A．次品率小于10% B．次品率大于10%
C．次品率等于10% D．次品率接近10%
答案 D
解析 抽出的样本中次品率为eq \f(1,10)，即10%，所以总体中次品率大约为10%.
2．某人将一枚硬币连抛10次，正面朝上的情形出现了6次，若用A表示正面朝上这一事件，则A的( )
A．概率为eq \f(3,5) B．频率为eq \f(3,5)
C．频率为6 D．概率接近0.6
答案 B
解析 因为抛了10次硬币，正面朝上的情形出现了6次，我们说频率为eq \f(3,5)，而不能说概率为eq \f(3,5).
3．从存放号码分别为1,2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如表：
估计取到号码为奇数的概率约是( )
A．0.53 B．0.5
C．0.47 D．0.37
答案 A
解析 取到号码为奇数的次数为10＋8＋6＋18＋11＝53，所以f＝eq \f(53,100)＝0.53，所以估计取到号码为奇数的概率约为0.53.
4．若在同等条件下进行n次重复试验得到某个事件A发生的频率f(n)，则随着n的逐渐增大，有( )
A．f(n)与某个常数相等
B．f(n)与某个常数的差逐渐减小
C．f(n)与某个常数的差的绝对值逐渐减小
D．f(n)在某个常数的附近摆动并趋于稳定
答案 D
解析 由频率和概率的关系知，在同等条件下进行n次重复试验得到某个事件A发生的频率f(n)，随着n的逐渐增加，频率f(n)逐渐趋近于概率．
5．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是( )
A．0.09 B．0.20
C．0.25 D．0.45
答案 D
解析 由频率分布直方图的性质可知，样本数据在区间[25,30)上的频率为1－5×(0.02＋0.04＋0.06＋0.03)＝0.25，则二等品的频率为0.25＋0.04×5＝0.45，故任取1件产品为二等品的概率为0.45.
6．某厂生产的电器是家电下乡政府补贴的指定品牌，其产品是优等品的概率为90%，现从该厂生产的产品中任意地抽取10件进行检验，结果前9件产品中有8件是优等品，1件是非优等品，那么第10件产品是优等品的概率为( )
A．90% B．小于90%
C．大于90% D．无法确定
答案 A
解析 概率是一个确定的常数，在试验前已经确定，与试验次数无关．故选A．
7．有下列说法：①抛掷硬币出现正面向上的概率为0.5，那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上；②如果某种彩票的中奖概率为eq \f(1,10)，那么买10张这种彩票一定能中奖；③在乒乓球、排球等比赛中，裁判通过上抛均匀塑料圆板并让运动员猜着地时是正面还是反面来决定哪一方先发球，这样做不公平；④一个骰子掷一次得到点数2的概率是eq \f(1,6)，这说明一个骰子掷6次会出现一次点数2.其中不正确的说法是( )
A．①②③④ B．①②④
C．③④ D．③
答案 A
解析 概率反映的是随机性的规律，但每次试验出现的结果具有不确定性，因此①②④错误；③中抛掷均匀塑料圆板出现正面与反面的概率相等，是公平的，因此③错误．
8．某市交警部门在调查一起车祸过程中，所有的目击证人都指证肇事车是一辆普通桑塔纳出租车，但由于天黑，均未看清该车的车牌号码及颜色，而该市有两家出租车公司，其中甲公司有100辆桑塔纳出租车，3000辆帕萨特出租车，乙公司有3000辆桑塔纳出租车，100辆帕萨特出租车．交警部门应先调查哪家公司的车辆较合理？( )
A．甲公司 B．乙公司
C．甲与乙公司 D．以上都对
答案 B
解析 由于甲公司桑塔纳车占的比例为eq \f(100,100＋3000)＝eq \f(1,31)，乙公司桑塔纳车占的比例为eq \f(3000,3000＋100)＝eq \f(30,31)，可知应选B.
二、多项选择题
9．下列说法中，正确的有( )
A．频率是反映事件发生的频繁程度，概率是反映事件发生的可能性大小
B．百分率是频率，但不是概率
C．频率是不能脱离试验次数n的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值
D．频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值
答案 ACD
解析 概率可以用百分率表示，故B错误，故选ACD.
10．下列说法正确的是( )
A．事件A的概率为P(A)，必有0≤P(A)≤1
B．事件A的概率P(A)＝0.999，则事件A是必然事件
C．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人进行治疗，结果有380人有明显的疗效．现有胃溃疡的病人服用此药，则估计有明显疗效的概率约为76%
D．某奖券的中奖率为50%，则某人购买此奖券10张，一定有5张中奖
答案 AC
解析 A正确；若事件A的概率P(A)＝0.999，则事件A是随机事件，当事件A的概率P(A)＝1时，事件A才是必然事件，故B错误；此药有明显疗效的频率为eq \f(380,500)＝76%，所以估计此药有明显疗效的概率约为76%，故C正确；对于D，奖券的中奖率为50%，若某人购买此奖券10张，则可能会有5张中奖，所以D不正确．故选AC．
11．李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学，下表是李老师这门课3年来学生的考试成绩(取整数)分布：
经济学院一年级的学生王小慧下学期将选修李老师的高等数学课，则下列说法正确的是( )
A．估计她得90分以上(含90分)的概率约为0.067
B．估计她得60～69分的概率约为0.150
C．估计她得60分以上(含60分)的概率约为0.982
D．估计她得59分以下(含59分)的概率约为0.108
答案 AD
解析 根据公式可计算出选修李老师的高等数学课的总人数，总人数为43＋182＋260＋90＋62＋8＝645.考试成绩在各个段上的频率依次为eq \f(43,645)≈0.067，eq \f(182,645)≈0.282，eq \f(260,645)≈0.403，eq \f(90,645)≈0.140，eq \f(62,645)≈0.096，eq \f(8,645)≈0.012.用已有的信息可以估计出王小慧下学期选修李老师的高等数学课得分的概率如下：得“90分以上(含90分)”记为事件A，则P(A)≈0.067；得“60～69分”记为事件B，则P(B)≈0.140；得“60分以上(含60分)”记为事件C，则P(C)≈0.067＋0.282＋0.403＋0.140＝0.892.得“59分以下(含59分)”记为事件D，则P(D)≈0.096＋0.012＝0.108.故选AD.
12．某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买，则下列说法正确的是( )
A．估计顾客同时购买甲和丙的概率约为0.3
B．估计顾客同时购买乙和丙的概率为0.2
C．估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率为0.4
D．如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中的丙的可能性最大
答案 BD
解析 从统计表可以看出，在这1000位顾客中有600位顾客同时购买了甲和丙，有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为eq \f(600,1000)＝0.6，同时购买乙和丙的概率可以估计为eq \f(200,1000)＝0.2.从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为eq \f(100＋200,1000)＝0.3.顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为eq \f(200,1000)＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为eq \f(100＋200＋300,1000)＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为eq \f(100,1000)＝0.1，所以如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中的丙的可能性最大．故选BD.
三、填空题
13．一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率，公司收集了20000辆汽车的数据，时间是从某年的5月1日到下一年的4月30日，共发现有600辆汽车的挡风玻璃破碎，则一辆汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率的近似值是________．
答案 0.03
解析 在一年内挡风玻璃破碎的频率为eq \f(600,20000)＝eq \f(3,100)＝0.03，用频率来估计挡风玻璃破碎的概率为0.03.
14．一个容量为20的样本，数据的分组及各组的频数如下：[10,20)2个；[20,30)3个；[30,40)x个；[40,50)5个；[50,60)4个；[60,70]2个．则x等于________；根据样本的频率估计概率，数据落在[10,50)的概率约为________．
答案 4 0.7
解析 样本中数据总个数为20，∴x＝20－(2＋3＋5＋4＋2)＝4；在[10,50)中的数据有14个，故所求概率P＝eq \f(14,20)＝0.7.
15．玲玲和倩倩是一对好朋友，她俩都想去观看某明星的演唱会，可手里只有一张票，怎么办呢？玲玲对倩倩说：“我向空中抛2枚同样的一元硬币，如果落地后一正一反，就我去；如果落地后两面一样，就你去！”你认为这个游戏公平吗？答：________.
答案 公平
解析 两枚硬币落地共有四种等可能结果：正，正；正，反；反，正；反，反．由此可见，她们两人得到门票的概率是相等的，所以公平．
16．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获收益12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是去年200例类似项目开发的实施结果．
则估计该公司一年后可获收益的平均数是________．
答案 0.476
解析 应先求出投资成功与失败的概率，再计算收益的平均数．设可获收益为x万元，如果成功，x的取值为5×12%，如果失败，x的取值为－5×50%.
一年后公司成功的概率估计为eq \f(192,200)＝eq \f(24,25)，
失败的概率估计为eq \f(8,200)＝eq \f(1,25).
所以估计一年后公司收益的平均数为
5×12%×eq \f(24,25)－5×50%×eq \f(1,25)＝0.476.
四、解答题
17．电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；
(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化，假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)
解 (1)由题意知，样本中电影的总部数是
140＋50＋300＋200＋800＋510＝2000，
获得好评的第四类电影的部数是200×0.25＝50.
故所求概率为eq \f(50,2000)＝0.025.
(2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1＝56＋10＋45＋50＋160＋51＝372.
故所求概率估计为1－eq \f(372,2000)＝0.814.
(3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率．
18．某中学从参加高一年级上学期期末考试的学生中抽出60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后画出如图所示的频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
(1)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)；
(2)从该校高一年级随机选取一名学生，估计这名学生该次期末考试成绩在70分以上(包括70分)的概率．
解 (1)依题意，60分及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为(0.015＋0.03＋0.025＋0.005)×10＝0.75，所以这次考试的及格率是75%.
(2)“[70,80)，[80,90)，[90,100]”的频率分别为0.3,0.25,0.05，即70分以上(包括70分)的频率为0.6.
由用频率估计概率的方法知，这名学生该次期末考试成绩在70分以上(包括70分)的概率为0.6.
19．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
解 (1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为eq \f(2＋16＋36,90)＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y＝6×450－4×450＝900；
若最高气温位于区间[20,25)，
则Y＝6×300＋2×(450－300)－4×450＝300；
若最高气温低于20，
则Y＝6×200＋2×(450－200)－4×450＝－100.
所以Y的所有可能值为900,300，－100.
Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为eq \f(36＋25＋7＋4,90)＝0.8，因此Y大于零的概率的估计值为0.8.
20．甲、乙两台机床同时生产一种零件，其质量按测试指标划分：指标大于或等于100为优品，大于等于90且小于100为合格品，小于90为次品，现随机抽取这两台机床生产的零件各100件进行检测，检测结果统计如下：
(1)试分别估计甲机床、乙机床生产的零件为优品的概率；
(2)甲机床生产1件零件，若是优品可盈利160元，合格品可盈利100元，次品则亏损20，假设甲机床某天生产50零件，请估计甲机床该天的日利润(单位：元)；
(3)从甲、乙机床生产的零件指标在[90,95)内的零件中，采用分层随机抽样的方法抽取5件，从这5件中任意抽取2件进行质量分析，求这2件都是乙机床生产的概率．
解 (1)因为甲机床生产的零件为优品的频率为eq \f(32＋8,100)＝eq \f(2,5)，乙机床生产的零件为优品的频率为eq \f(29＋6,100)＝eq \f(7,20).
所以用频率估计概率，估计甲机床、乙机床生产的零件为优品的概率分别为eq \f(2,5)，eq \f(7,20).
(2)甲机床生产的零件每件的平均利润为eq \f(1,100)×[(32＋8)×160＋(12＋40)×100－8×20]＝114.4元，
所以估计甲机床生产的零件每件的平均利润为114.4元，
所以甲机床该天生产50件零件的日利润为50×114.4＝5720元．
(3)由题意知，甲机床应抽取5×eq \f(12,30)＝2件，
乙机床应抽取5×eq \f(18,30)＝3件，
记甲机床生产的2个零件为A，B，乙机床生产的3个零件为a，b，c.
若从5件中任意抽取2件，共有AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc,10个样本点，这10个样本点发生的可能性是相等的．其中2件都是乙机床生产的有ab，ac，bc,3个样本点．所以这2件都是乙机床生产的概率P＝eq \f(3,10).抽取球数n
50
100
200
500
1000
2000
优等品数m
45
92
194
470
954
1902
优等品频率eq \f(m,n)
时间
2016年
2017年
2018年
2019年
出生婴儿数
21840
23070
20094
19982
出生男婴数
11453
12031
10297
10242
满意情况
不满意
比较满意
满意
非常满意
人数
200
n
2100
1000
落在桌面的数字
1
2
3
4
5
频数
32
18
15
13
22
抽查件数
50
100
200
300
500
合格件数
47
92
192
285
475
参加测试的人数
30
50
100
200
500
800
得60分以上的人数
16
27
52
104
256
402
得60分以上的频率
参加测试的人数
30
50
100
200
500
800
得60分以上的人数
17
29
56
111
276
440
得60分以上的频率
赔付金额(元)
0
1000
2000
3000
4000
车辆数
500
130
100
150
120
“厨余垃圾”箱
“可回收物”箱
“其他垃圾”箱
厨余垃圾
400
100
100
可回收物
30
240
30
其他垃圾
20
20
60
卡片号码
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
取到的次数
10
11
8
8
6
10
18
9
11
9
成绩
人数
90分以上(含90分)
43
80～89分
182
70～79分
260
60～69分
90
50～59分
62
50分以下(不含50分)
8
商品
顾客人数
甲
乙
丙
丁
100
√
×
√
√
217
×
√
×
√
200
√
√
√
×
300
√
×
√
×
85
√
×
×
×
98
×
√
×
×
投资成功
投资失败
192次
8次
电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
最高气温
[10,15)
[15,20)
[20,25)
[25,30)
[30,35)
[35,40)
天数
2
16
36
25
7
4
测试指标
[85,90)
[90,95)
[95,100)
[100,105)
[105,110)
甲机床
8
12
40
32
8
乙机床
7
18
40
29
6
抽取球数n
50
100
200
500
1000
2000
优等品数m
45
92
194
470
954
1902
优等品频率eq \f(m,n)
时间
2016年
2017年
2018年
2019年
出生婴儿数
21840
23070
20094
19982
出生男婴数
11453
12031
10297
10242
满意情况
不满意
比较满意
满意
非常满意
人数
200
n
2100
1000
落在桌面的数字
1
2
3
4
5
频数
32
18
15
13
22
抽查件数
50
100
200
300
500
合格件数
47
92
192
285
475
参加测试的人数
30
50
100
200
500
800
得60分以上的人数
16
27
52
104
256
402
得60分以上的频率
参加测试的人数
30
50
100
200
500
800
得60分以上的人数
17
29
56
111
276
440
得60分以上的频率
参加测试的人数
30
50
100
200
500
800
得60分以上的人数
16
27
52
104
256
402
得60分以上的频率
0.533
0.540
0.520
0.520
0.512
0.503
参加测试的人数
30
50
100
200
500
800
得60分以上的人数
17
29
56
111
276
440
得60分以上的频率
0.567
0.580
0.560
0.555
0.552
0.550
赔付金额(元)
0
1000
2000
3000
4000
车辆数
500
130
100
150
120
“厨余垃圾”箱
“可回收物”箱
“其他垃圾”箱
厨余垃圾
400
100
100
可回收物
30
240
30
其他垃圾
20
20
60
卡片号码
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
取到的次数
10
11
8
8
6
10
18
9
11
9
成绩
人数
90分以上(含90分)
43
80～89分
182
70～79分
260
60～69分
90
50～59分
62
50分以下(不含50分)
8
商品
顾客人数
甲
乙
丙
丁
100
√
×
√
√
217
×
√
×
√
200
√
√
√
×
300
√
×
√
×
85
√
×
×
×
98
×
√
×
×
投资成功
投资失败
192次
8次
电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
最高气温
[10,15)
[15,20)
[20,25)
[25,30)
[30,35)
[35,40)
天数
2
16
36
25
7
4
测试指标
[85,90)
[90,95)
[95,100)
[100,105)
[105,110)
甲机床
8
12
40
32
8
乙机床
7
18
40
29
6
知识点一 频率与概率
1．在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为eq \f(m,n)，当n很大时，P(A)与eq \f(m,n)的关系是( )
A．P(A)≈eq \f(m,n) B．P(A)
2．某企业生产的乒乓球被某乒乓球训练基地指定为训练专用球．日前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检测结果如下表所示：
(1)计算表中乒乓球为优等品的频率；
(2)从这批乒乓球产品中任取一个，估计其为优等品的概率是多少？(结果保留到小数点后三位)
3．某市统计近几年新生儿出生数及其中男婴数(单位：人)如下：
(1)试计算男婴出生的频率；(精确到0.001)
(2)该市男婴出生的概率约为多少？
知识点二 对概率的正确理解
4．下列说法正确的是( )
A．甲、乙二人比赛，甲胜的概率为eq \f(3,5)，则比赛5场，甲胜3场
B．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈
C．随机试验的频率与概率相等
D．天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90%
5．围棋盒里放有同样大小的9枚白棋子和1枚黑棋子，每次从中随机摸出1枚棋子后再放回，一共摸10次，你认为一定有一次会摸到黑棋子吗？说明你的理由．
知识点三 用频率估计概率
6．从某校高二年级的所有学生中，随机抽取20人，测得他们的身高(单位：cm)分别为：
162,153,148,154,165,168,172,171,173,150，
151,152,160,165,164,179,149,158,159,175.
根据样本频率分布估计总体分布的原理，在该校高二年级的所有学生中任抽一人，估计该生的身高在155.5～170.5 cm之间的概率约为( )
A．eq \f(2,5) B．eq \f(1,2)
C．eq \f(2,3) D．eq \f(1,3)
7．在检测一批相同规格共500 kg航空用耐热垫片的品质时，随机抽取了280片，检测到有5片非优质品，则这批垫片中非优质品约为( )
A．8.834 kg B．8.929 kg
C．10 kg D．9.835 kg
8．随着互联网的普及，网上购物已逐渐成为消费时尚，为了解消费者对网上购物的满意情况，某公司随机对4500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答)，统计结果如下表：
根据表中数据，估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是( )
A．eq \f(7,15) B．eq \f(2,5)
C．eq \f(11,15) D．eq \f(13,15)
9．某人捡到不规则形状的五面体石块，他在每个面上用数字1～5进行了标记，投掷100次，记录下落在桌面上的数字，得到如下频数表：
估计落在桌面的数字不小于4的概率约为________．
10．某工厂为了节约用电，规定每天的用电量指标为1000度，按照上个月的用电记录，在30天中有12天的用电量超过指标，若这个月(按30天计)仍没有具体的节电措施，则该月的第一天用电量超过指标的概率约是________．
11．对某批产品进行抽样检查，数据如下：
根据上表中的数据，如果要从该批产品中抽到950件合格品，那么大约需要抽查________件产品．
12．某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力出了10个智力题，每个题10分，然后做了统计，统计结果如表：
贫困地区
发达地区
(1)利用计算器计算两地区参加测试的儿童中得60分以上的频率(结果精确到0.001)；
(2)求两个地区参加测试的儿童得60分以上的概率．
13．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如表：
(1)若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．
14．假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如图所示：
(1)估计甲品牌产品寿命小于200 h的概率；
(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200 h，试估计该产品是甲品牌的概率．
15．近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：
(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率；
(2)试估计生活垃圾投放错误的概率；
(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中a>0，a＋b＋c＝600.当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c的值(结论不要求证明)，并求此时s2的值．：
易错点一 混淆概率与频率的概念
把一枚质地均匀的硬币连续掷了1000次，其中有496次正面朝上，504次反面朝上，则可认为掷一次硬币正面朝上的概率为________．
易错点二 对用频率估计概率的方法理解不透致误
已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________．
一、单项选择题
1．从一批电视机中随机抽出10台进行质检，其中有一台次品，下列说法正确的是( )
A．次品率小于10% B．次品率大于10%
C．次品率等于10% D．次品率接近10%
2．某人将一枚硬币连抛10次，正面朝上的情形出现了6次，若用A表示正面朝上这一事件，则A的( )
A．概率为eq \f(3,5) B．频率为eq \f(3,5)
C．频率为6 D．概率接近0.6
3．从存放号码分别为1,2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如表：
估计取到号码为奇数的概率约是( )
A．0.53 B．0.5
C．0.47 D．0.37
4．若在同等条件下进行n次重复试验得到某个事件A发生的频率f(n)，则随着n的逐渐增大，有( )
A．f(n)与某个常数相等
B．f(n)与某个常数的差逐渐减小
C．f(n)与某个常数的差的绝对值逐渐减小
D．f(n)在某个常数的附近摆动并趋于稳定
5．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是( )
A．0.09 B．0.20
C．0.25 D．0.45
6．某厂生产的电器是家电下乡政府补贴的指定品牌，其产品是优等品的概率为90%，现从该厂生产的产品中任意地抽取10件进行检验，结果前9件产品中有8件是优等品，1件是非优等品，那么第10件产品是优等品的概率为( )
A．90% B．小于90%
C．大于90% D．无法确定
7．有下列说法：①抛掷硬币出现正面向上的概率为0.5，那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上；②如果某种彩票的中奖概率为eq \f(1,10)，那么买10张这种彩票一定能中奖；③在乒乓球、排球等比赛中，裁判通过上抛均匀塑料圆板并让运动员猜着地时是正面还是反面来决定哪一方先发球，这样做不公平；④一个骰子掷一次得到点数2的概率是eq \f(1,6)，这说明一个骰子掷6次会出现一次点数2.其中不正确的说法是( )
A．①②③④ B．①②④
C．③④ D．③
8．某市交警部门在调查一起车祸过程中，所有的目击证人都指证肇事车是一辆普通桑塔纳出租车，但由于天黑，均未看清该车的车牌号码及颜色，而该市有两家出租车公司，其中甲公司有100辆桑塔纳出租车，3000辆帕萨特出租车，乙公司有3000辆桑塔纳出租车，100辆帕萨特出租车．交警部门应先调查哪家公司的车辆较合理？( )
A．甲公司 B．乙公司
C．甲与乙公司 D．以上都对
二、多项选择题
9．下列说法中，正确的有( )
A．频率是反映事件发生的频繁程度，概率是反映事件发生的可能性大小
B．百分率是频率，但不是概率
C．频率是不能脱离试验次数n的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值
D．频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值
10．下列说法正确的是( )
A．事件A的概率为P(A)，必有0≤P(A)≤1
B．事件A的概率P(A)＝0.999，则事件A是必然事件
C．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人进行治疗，结果有380人有明显的疗效．现有胃溃疡的病人服用此药，则估计有明显疗效的概率约为76%
D．某奖券的中奖率为50%，则某人购买此奖券10张，一定有5张中奖
11．李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学，下表是李老师这门课3年来学生的考试成绩(取整数)分布：
经济学院一年级的学生王小慧下学期将选修李老师的高等数学课，则下列说法正确的是( )
A．估计她得90分以上(含90分)的概率约为0.067
B．估计她得60～69分的概率约为0.150
C．估计她得60分以上(含60分)的概率约为0.982
D．估计她得59分以下(含59分)的概率约为0.108
12．某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买，则下列说法正确的是( )
A．估计顾客同时购买甲和丙的概率约为0.3
B．估计顾客同时购买乙和丙的概率为0.2
C．估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率为0.4
D．如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中的丙的可能性最大
三、填空题
13．一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率，公司收集了20000辆汽车的数据，时间是从某年的5月1日到下一年的4月30日，共发现有600辆汽车的挡风玻璃破碎，则一辆汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率的近似值是________．
14．一个容量为20的样本，数据的分组及各组的频数如下：[10,20)2个；[20,30)3个；[30,40)x个；[40,50)5个；[50,60)4个；[60,70]2个．则x等于________；根据样本的频率估计概率，数据落在[10,50)的概率约为________．
15．玲玲和倩倩是一对好朋友，她俩都想去观看某明星的演唱会，可手里只有一张票，怎么办呢？玲玲对倩倩说：“我向空中抛2枚同样的一元硬币，如果落地后一正一反，就我去；如果落地后两面一样，就你去！”你认为这个游戏公平吗？答：________.
16．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获收益12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是去年200例类似项目开发的实施结果．
则估计该公司一年后可获收益的平均数是________．
四、解答题
17．电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；
(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化，假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)
18．某中学从参加高一年级上学期期末考试的学生中抽出60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后画出如图所示的频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
(1)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)；
(2)从该校高一年级随机选取一名学生，估计这名学生该次期末考试成绩在70分以上(包括70分)的概率．
19．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
20．甲、乙两台机床同时生产一种零件，其质量按测试指标划分：指标大于或等于100为优品，大于等于90且小于100为合格品，小于90为次品，现随机抽取这两台机床生产的零件各100件进行检测，检测结果统计如下：
(1)试分别估计甲机床、乙机床生产的零件为优品的概率；
(2)甲机床生产1件零件，若是优品可盈利160元，合格品可盈利100元，次品则亏损20，假设甲机床某天生产50零件，请估计甲机床该天的日利润(单位：元)；
(3)从甲、乙机床生产的零件指标在[90,95)内的零件中，采用分层随机抽样的方法抽取5件，从这5件中任意抽取2件进行质量分析，求这2件都是乙机床生产的概率．
5.3.4 频率与概率
知识点一 频率与概率
1．在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为eq \f(m,n)，当n很大时，P(A)与eq \f(m,n)的关系是( )
A．P(A)≈eq \f(m,n) B．P(A)
答案 A
解析 根据概率的定义，当n很大时，频率是概率的近似值．
2．某企业生产的乒乓球被某乒乓球训练基地指定为训练专用球．日前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检测结果如下表所示：
(1)计算表中乒乓球为优等品的频率；
(2)从这批乒乓球产品中任取一个，估计其为优等品的概率是多少？(结果保留到小数点后三位)
解 (1)表中乒乓球为优等品的频率依次是0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951.
(2)由(1)知，随着抽取的球数n的增加，计算得到的频率值虽然不同，但都在常数0.950的附近摆动，所以任意抽取一个乒乓球检测时，其为优等品的概率约为0.950.
3．某市统计近几年新生儿出生数及其中男婴数(单位：人)如下：
(1)试计算男婴出生的频率；(精确到0.001)
(2)该市男婴出生的概率约为多少？
解 (1)2016年男婴出生的频率为eq \f(11453,21840)≈0.524.同理可求得2017年、2018年和2019年男婴出生的频率分别为0.521,0.512,0.513.
(2)该市男婴出生的概率约为0.52.
知识点二 对概率的正确理解
4．下列说法正确的是( )
A．甲、乙二人比赛，甲胜的概率为eq \f(3,5)，则比赛5场，甲胜3场
B．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈
C．随机试验的频率与概率相等
D．天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90%
答案 D
解析 A中，此概率只说明发生的可能性大小，具有随机性，并非一定是比赛5场甲胜3场；B中，此治愈率只说明发生的可能性大小，具有随机性，并非10个病人一定有1人治愈；C中，随机试验的频率可以估计概率，并不等于概率；D中，概率为90%，即可能性是90%.故选D.
5．围棋盒里放有同样大小的9枚白棋子和1枚黑棋子，每次从中随机摸出1枚棋子后再放回，一共摸10次，你认为一定有一次会摸到黑棋子吗？说明你的理由．
解 不一定．有放回地摸10次棋子相当于做10次重复试验，因为每次试验的结果都是随机的，所以摸10次棋子的结果也是随机的．可能有两次或两次以上摸到黑棋子，也可能没有一次摸到黑棋子．
知识点三 用频率估计概率
6．从某校高二年级的所有学生中，随机抽取20人，测得他们的身高(单位：cm)分别为：
162,153,148,154,165,168,172,171,173,150，
151,152,160,165,164,179,149,158,159,175.
根据样本频率分布估计总体分布的原理，在该校高二年级的所有学生中任抽一人，估计该生的身高在155.5～170.5 cm之间的概率约为( )
A．eq \f(2,5) B．eq \f(1,2)
C．eq \f(2,3) D．eq \f(1,3)
答案 A
解析 从已知数据可以看出，在随机抽取的这20名学生中，身高在155.5～170.5 cm之间的学生有8人，频率为eq \f(2,5)，故可估计在该校高二年级的所有学生中任抽一人，其身高在155.5～170.5 cm之间的概率约为eq \f(2,5).
7．在检测一批相同规格共500 kg航空用耐热垫片的品质时，随机抽取了280片，检测到有5片非优质品，则这批垫片中非优质品约为( )
A．8.834 kg B．8.929 kg
C．10 kg D．9.835 kg
答案 B
解析 由题意可得，该批垫片中非优质品约为eq \f(5,280)×500≈8.929 kg.
8．随着互联网的普及，网上购物已逐渐成为消费时尚，为了解消费者对网上购物的满意情况，某公司随机对4500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答)，统计结果如下表：
根据表中数据，估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是( )
A．eq \f(7,15) B．eq \f(2,5)
C．eq \f(11,15) D．eq \f(13,15)
答案 C
解析 由题意，得n＝4500－200－2100－1000＝1200，所以随机调查的网上购物消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的总人数为1200＋2100＝3300，所以随机调查的网上购物消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的频率为eq \f(3300,4500)＝eq \f(11,15).由此估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为eq \f(11,15).故选C．
9．某人捡到不规则形状的五面体石块，他在每个面上用数字1～5进行了标记，投掷100次，记录下落在桌面上的数字，得到如下频数表：
估计落在桌面的数字不小于4的概率约为________．
答案 0.35
解析 落在桌面的数字不小于4，即4,5的频数共13＋22＝35，所以频率为eq \f(35,100)＝0.35，所以估计落在桌面的数字不小于4的概率约为0.35.
10．某工厂为了节约用电，规定每天的用电量指标为1000度，按照上个月的用电记录，在30天中有12天的用电量超过指标，若这个月(按30天计)仍没有具体的节电措施，则该月的第一天用电量超过指标的概率约是________．
答案 0.4
解析 由频率的定义可知用电量超过指标的频率为eq \f(12,30)＝0.4，由频率估计概率，知第一天用电量超过指标的概率约是0.4.
11．对某批产品进行抽样检查，数据如下：
根据上表中的数据，如果要从该批产品中抽到950件合格品，那么大约需要抽查________件产品．
答案 1000
解析 根据题表中数据可知合格品出现的频率依次为0.94,0.92,0.96,0.95,0.95，故合格品出现的概率约为0.95，因此要从该批产品中抽到950件合格品大约需要抽查1000件产品．
12．某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力出了10个智力题，每个题10分，然后做了统计，统计结果如表：
贫困地区
发达地区
(1)利用计算器计算两地区参加测试的儿童中得60分以上的频率(结果精确到0.001)；
(2)求两个地区参加测试的儿童得60分以上的概率．
解 (1)贫困地区
发达地区
(2)随着测试人数的增加，贫困地区和发达地区参加测试的儿童得60分以上的频率分别逐渐趋近于0.5和0.55.故所求概率分别为0.5和0.55.
13．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如表：
(1)若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．
解 (1)设A表示事件“赔付金额为3000元”，B表示事件“赔付金额为4000元”，样本车辆总数n＝500＋130＋100＋150＋120＝1000，以频率估计概率得P(A)＝eq \f(150,1000)＝0.15，P(B)＝eq \f(120,1000)＝0.12.
由于投保金额为2800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3000元或4000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.
(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000＝100辆，而赔付金额为4000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24辆．
所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为eq \f(24,100)＝0.24，由频率估计概率，得P(C)＝0.24.
14．假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如图所示：
(1)估计甲品牌产品寿命小于200 h的概率；
(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200 h，试估计该产品是甲品牌的概率．
解 (1)甲品牌产品寿命小于200 h的频率为eq \f(5＋20,100)＝eq \f(1,4)，用频率估计概率，所以甲品牌产品寿命小于200 h的概率为eq \f(1,4).
(2)根据抽样结果，寿命大于200 h的产品共有75＋70＝145个，其中甲品牌产品有75个，所以在样本中，寿命大于200 h的产品是甲品牌的频率是eq \f(75,145)＝eq \f(15,29)，用频率估计概率，所以已使用了200 h的该产品是甲品牌的概率为eq \f(15,29).
15．近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：
(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率；
(2)试估计生活垃圾投放错误的概率；
(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中a>0，a＋b＋c＝600.当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c的值(结论不要求证明)，并求此时s2的值．求：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(s2＝\f(1,n)[x1－\(x,\s\up6(－))2＋x2－\(x,\s\up6(－))2＋…＋xn－\(x,\s\up6(－))2]，其中\(x,\s\up6(－))为数据x1，x2，…，xn的平均数))
解 (1)由题意可知，厨余垃圾600吨，投放到“厨余垃圾”箱400吨，故厨余垃圾投放正确的概率为eq \f(400,600)＝eq \f(2,3).
(2)由题意可知，生活垃圾投放错误有200＋60＋20＋20＝300，故生活垃圾投放错误的概率为eq \f(300,1000)＝eq \f(3,10).
(3)由题意可知，∵a＋b＋c＝600，∴a，b，c的平均数为200，
∴s2＝eq \f(1,3)[(a－200)2＋(b－200)2＋(c－200)2]＝eq \f(1,3)(a2＋b2＋c2－120000)，∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac≥a2＋b2＋c2，因此有当a＝600，b＝0，c＝0时，有s2＝80000.
易错点一 混淆概率与频率的概念
把一枚质地均匀的硬币连续掷了1000次，其中有496次正面朝上，504次反面朝上，则可认为掷一次硬币正面朝上的概率为________．
易错分析 由于混淆了概率与频率的概念而致误，事实上频率是随机的，而概率是一个确定的常数，与每次试验无关．
答案 0.5
正解 通过做大量的试验可以发现，正面朝上的频率都在0.5附近摆动，故掷一次硬币，正面朝上的概率是0.5，故填0.5.
易错点二 对用频率估计概率的方法理解不透致误
已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________．
易错分析 (1)对随机数表认识不到位，不能准确找出恰有两次命中的组数；
(2)对用频率估计概率的方法理解不到位，不能求出“运动员三次投篮恰有两次命中”的概率．
答案 eq \f(1,4)
正解 20组随机数中，恰有两次命中的有5组，用频率估计概率，因此，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为P＝eq \f(5,20)＝eq \f(1,4).
一、单项选择题
1．从一批电视机中随机抽出10台进行质检，其中有一台次品，下列说法正确的是( )
A．次品率小于10% B．次品率大于10%
C．次品率等于10% D．次品率接近10%
答案 D
解析 抽出的样本中次品率为eq \f(1,10)，即10%，所以总体中次品率大约为10%.
2．某人将一枚硬币连抛10次，正面朝上的情形出现了6次，若用A表示正面朝上这一事件，则A的( )
A．概率为eq \f(3,5) B．频率为eq \f(3,5)
C．频率为6 D．概率接近0.6
答案 B
解析 因为抛了10次硬币，正面朝上的情形出现了6次，我们说频率为eq \f(3,5)，而不能说概率为eq \f(3,5).
3．从存放号码分别为1,2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如表：
估计取到号码为奇数的概率约是( )
A．0.53 B．0.5
C．0.47 D．0.37
答案 A
解析 取到号码为奇数的次数为10＋8＋6＋18＋11＝53，所以f＝eq \f(53,100)＝0.53，所以估计取到号码为奇数的概率约为0.53.
4．若在同等条件下进行n次重复试验得到某个事件A发生的频率f(n)，则随着n的逐渐增大，有( )
A．f(n)与某个常数相等
B．f(n)与某个常数的差逐渐减小
C．f(n)与某个常数的差的绝对值逐渐减小
D．f(n)在某个常数的附近摆动并趋于稳定
答案 D
解析 由频率和概率的关系知，在同等条件下进行n次重复试验得到某个事件A发生的频率f(n)，随着n的逐渐增加，频率f(n)逐渐趋近于概率．
5．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是( )
A．0.09 B．0.20
C．0.25 D．0.45
答案 D
解析 由频率分布直方图的性质可知，样本数据在区间[25,30)上的频率为1－5×(0.02＋0.04＋0.06＋0.03)＝0.25，则二等品的频率为0.25＋0.04×5＝0.45，故任取1件产品为二等品的概率为0.45.
6．某厂生产的电器是家电下乡政府补贴的指定品牌，其产品是优等品的概率为90%，现从该厂生产的产品中任意地抽取10件进行检验，结果前9件产品中有8件是优等品，1件是非优等品，那么第10件产品是优等品的概率为( )
A．90% B．小于90%
C．大于90% D．无法确定
答案 A
解析 概率是一个确定的常数，在试验前已经确定，与试验次数无关．故选A．
7．有下列说法：①抛掷硬币出现正面向上的概率为0.5，那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上；②如果某种彩票的中奖概率为eq \f(1,10)，那么买10张这种彩票一定能中奖；③在乒乓球、排球等比赛中，裁判通过上抛均匀塑料圆板并让运动员猜着地时是正面还是反面来决定哪一方先发球，这样做不公平；④一个骰子掷一次得到点数2的概率是eq \f(1,6)，这说明一个骰子掷6次会出现一次点数2.其中不正确的说法是( )
A．①②③④ B．①②④
C．③④ D．③
答案 A
解析 概率反映的是随机性的规律，但每次试验出现的结果具有不确定性，因此①②④错误；③中抛掷均匀塑料圆板出现正面与反面的概率相等，是公平的，因此③错误．
8．某市交警部门在调查一起车祸过程中，所有的目击证人都指证肇事车是一辆普通桑塔纳出租车，但由于天黑，均未看清该车的车牌号码及颜色，而该市有两家出租车公司，其中甲公司有100辆桑塔纳出租车，3000辆帕萨特出租车，乙公司有3000辆桑塔纳出租车，100辆帕萨特出租车．交警部门应先调查哪家公司的车辆较合理？( )
A．甲公司 B．乙公司
C．甲与乙公司 D．以上都对
答案 B
解析 由于甲公司桑塔纳车占的比例为eq \f(100,100＋3000)＝eq \f(1,31)，乙公司桑塔纳车占的比例为eq \f(3000,3000＋100)＝eq \f(30,31)，可知应选B.
二、多项选择题
9．下列说法中，正确的有( )
A．频率是反映事件发生的频繁程度，概率是反映事件发生的可能性大小
B．百分率是频率，但不是概率
C．频率是不能脱离试验次数n的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值
D．频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值
答案 ACD
解析 概率可以用百分率表示，故B错误，故选ACD.
10．下列说法正确的是( )
A．事件A的概率为P(A)，必有0≤P(A)≤1
B．事件A的概率P(A)＝0.999，则事件A是必然事件
C．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人进行治疗，结果有380人有明显的疗效．现有胃溃疡的病人服用此药，则估计有明显疗效的概率约为76%
D．某奖券的中奖率为50%，则某人购买此奖券10张，一定有5张中奖
答案 AC
解析 A正确；若事件A的概率P(A)＝0.999，则事件A是随机事件，当事件A的概率P(A)＝1时，事件A才是必然事件，故B错误；此药有明显疗效的频率为eq \f(380,500)＝76%，所以估计此药有明显疗效的概率约为76%，故C正确；对于D，奖券的中奖率为50%，若某人购买此奖券10张，则可能会有5张中奖，所以D不正确．故选AC．
11．李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学，下表是李老师这门课3年来学生的考试成绩(取整数)分布：
经济学院一年级的学生王小慧下学期将选修李老师的高等数学课，则下列说法正确的是( )
A．估计她得90分以上(含90分)的概率约为0.067
B．估计她得60～69分的概率约为0.150
C．估计她得60分以上(含60分)的概率约为0.982
D．估计她得59分以下(含59分)的概率约为0.108
答案 AD
解析 根据公式可计算出选修李老师的高等数学课的总人数，总人数为43＋182＋260＋90＋62＋8＝645.考试成绩在各个段上的频率依次为eq \f(43,645)≈0.067，eq \f(182,645)≈0.282，eq \f(260,645)≈0.403，eq \f(90,645)≈0.140，eq \f(62,645)≈0.096，eq \f(8,645)≈0.012.用已有的信息可以估计出王小慧下学期选修李老师的高等数学课得分的概率如下：得“90分以上(含90分)”记为事件A，则P(A)≈0.067；得“60～69分”记为事件B，则P(B)≈0.140；得“60分以上(含60分)”记为事件C，则P(C)≈0.067＋0.282＋0.403＋0.140＝0.892.得“59分以下(含59分)”记为事件D，则P(D)≈0.096＋0.012＝0.108.故选AD.
12．某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买，则下列说法正确的是( )
A．估计顾客同时购买甲和丙的概率约为0.3
B．估计顾客同时购买乙和丙的概率为0.2
C．估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率为0.4
D．如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中的丙的可能性最大
答案 BD
解析 从统计表可以看出，在这1000位顾客中有600位顾客同时购买了甲和丙，有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为eq \f(600,1000)＝0.6，同时购买乙和丙的概率可以估计为eq \f(200,1000)＝0.2.从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为eq \f(100＋200,1000)＝0.3.顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为eq \f(200,1000)＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为eq \f(100＋200＋300,1000)＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为eq \f(100,1000)＝0.1，所以如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中的丙的可能性最大．故选BD.
三、填空题
13．一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率，公司收集了20000辆汽车的数据，时间是从某年的5月1日到下一年的4月30日，共发现有600辆汽车的挡风玻璃破碎，则一辆汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率的近似值是________．
答案 0.03
解析 在一年内挡风玻璃破碎的频率为eq \f(600,20000)＝eq \f(3,100)＝0.03，用频率来估计挡风玻璃破碎的概率为0.03.
14．一个容量为20的样本，数据的分组及各组的频数如下：[10,20)2个；[20,30)3个；[30,40)x个；[40,50)5个；[50,60)4个；[60,70]2个．则x等于________；根据样本的频率估计概率，数据落在[10,50)的概率约为________．
答案 4 0.7
解析 样本中数据总个数为20，∴x＝20－(2＋3＋5＋4＋2)＝4；在[10,50)中的数据有14个，故所求概率P＝eq \f(14,20)＝0.7.
15．玲玲和倩倩是一对好朋友，她俩都想去观看某明星的演唱会，可手里只有一张票，怎么办呢？玲玲对倩倩说：“我向空中抛2枚同样的一元硬币，如果落地后一正一反，就我去；如果落地后两面一样，就你去！”你认为这个游戏公平吗？答：________.
答案 公平
解析 两枚硬币落地共有四种等可能结果：正，正；正，反；反，正；反，反．由此可见，她们两人得到门票的概率是相等的，所以公平．
16．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获收益12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是去年200例类似项目开发的实施结果．
则估计该公司一年后可获收益的平均数是________．
答案 0.476
解析 应先求出投资成功与失败的概率，再计算收益的平均数．设可获收益为x万元，如果成功，x的取值为5×12%，如果失败，x的取值为－5×50%.
一年后公司成功的概率估计为eq \f(192,200)＝eq \f(24,25)，
失败的概率估计为eq \f(8,200)＝eq \f(1,25).
所以估计一年后公司收益的平均数为
5×12%×eq \f(24,25)－5×50%×eq \f(1,25)＝0.476.
四、解答题
17．电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；
(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化，假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)
解 (1)由题意知，样本中电影的总部数是
140＋50＋300＋200＋800＋510＝2000，
获得好评的第四类电影的部数是200×0.25＝50.
故所求概率为eq \f(50,2000)＝0.025.
(2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1＝56＋10＋45＋50＋160＋51＝372.
故所求概率估计为1－eq \f(372,2000)＝0.814.
(3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率．
18．某中学从参加高一年级上学期期末考试的学生中抽出60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后画出如图所示的频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
(1)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)；
(2)从该校高一年级随机选取一名学生，估计这名学生该次期末考试成绩在70分以上(包括70分)的概率．
解 (1)依题意，60分及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为(0.015＋0.03＋0.025＋0.005)×10＝0.75，所以这次考试的及格率是75%.
(2)“[70,80)，[80,90)，[90,100]”的频率分别为0.3,0.25,0.05，即70分以上(包括70分)的频率为0.6.
由用频率估计概率的方法知，这名学生该次期末考试成绩在70分以上(包括70分)的概率为0.6.
19．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
解 (1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为eq \f(2＋16＋36,90)＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y＝6×450－4×450＝900；
若最高气温位于区间[20,25)，
则Y＝6×300＋2×(450－300)－4×450＝300；
若最高气温低于20，
则Y＝6×200＋2×(450－200)－4×450＝－100.
所以Y的所有可能值为900,300，－100.
Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为eq \f(36＋25＋7＋4,90)＝0.8，因此Y大于零的概率的估计值为0.8.
20．甲、乙两台机床同时生产一种零件，其质量按测试指标划分：指标大于或等于100为优品，大于等于90且小于100为合格品，小于90为次品，现随机抽取这两台机床生产的零件各100件进行检测，检测结果统计如下：
(1)试分别估计甲机床、乙机床生产的零件为优品的概率；
(2)甲机床生产1件零件，若是优品可盈利160元，合格品可盈利100元，次品则亏损20，假设甲机床某天生产50零件，请估计甲机床该天的日利润(单位：元)；
(3)从甲、乙机床生产的零件指标在[90,95)内的零件中，采用分层随机抽样的方法抽取5件，从这5件中任意抽取2件进行质量分析，求这2件都是乙机床生产的概率．
解 (1)因为甲机床生产的零件为优品的频率为eq \f(32＋8,100)＝eq \f(2,5)，乙机床生产的零件为优品的频率为eq \f(29＋6,100)＝eq \f(7,20).
所以用频率估计概率，估计甲机床、乙机床生产的零件为优品的概率分别为eq \f(2,5)，eq \f(7,20).
(2)甲机床生产的零件每件的平均利润为eq \f(1,100)×[(32＋8)×160＋(12＋40)×100－8×20]＝114.4元，
所以估计甲机床生产的零件每件的平均利润为114.4元，
所以甲机床该天生产50件零件的日利润为50×114.4＝5720元．
(3)由题意知，甲机床应抽取5×eq \f(12,30)＝2件，
乙机床应抽取5×eq \f(18,30)＝3件，
记甲机床生产的2个零件为A，B，乙机床生产的3个零件为a，b，c.
若从5件中任意抽取2件，共有AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc,10个样本点，这10个样本点发生的可能性是相等的．其中2件都是乙机床生产的有ab，ac，bc,3个样本点．所以这2件都是乙机床生产的概率P＝eq \f(3,10).抽取球数n
50
100
200
500
1000
2000
优等品数m
45
92
194
470
954
1902
优等品频率eq \f(m,n)
时间
2016年
2017年
2018年
2019年
出生婴儿数
21840
23070
20094
19982
出生男婴数
11453
12031
10297
10242
满意情况
不满意
比较满意
满意
非常满意
人数
200
n
2100
1000
落在桌面的数字
1
2
3
4
5
频数
32
18
15
13
22
抽查件数
50
100
200
300
500
合格件数
47
92
192
285
475
参加测试的人数
30
50
100
200
500
800
得60分以上的人数
16
27
52
104
256
402
得60分以上的频率
参加测试的人数
30
50
100
200
500
800
得60分以上的人数
17
29
56
111
276
440
得60分以上的频率
赔付金额(元)
0
1000
2000
3000
4000
车辆数
500
130
100
150
120
“厨余垃圾”箱
“可回收物”箱
“其他垃圾”箱
厨余垃圾
400
100
100
可回收物
30
240
30
其他垃圾
20
20
60
卡片号码
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
取到的次数
10
11
8
8
6
10
18
9
11
9
成绩
人数
90分以上(含90分)
43
80～89分
182
70～79分
260
60～69分
90
50～59分
62
50分以下(不含50分)
8
商品
顾客人数
甲
乙
丙
丁
100
√
×
√
√
217
×
√
×
√
200
√
√
√
×
300
√
×
√
×
85
√
×
×
×
98
×
√
×
×
投资成功
投资失败
192次
8次
电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
最高气温
[10,15)
[15,20)
[20,25)
[25,30)
[30,35)
[35,40)
天数
2
16
36
25
7
4
测试指标
[85,90)
[90,95)
[95,100)
[100,105)
[105,110)
甲机床
8
12
40
32
8
乙机床
7
18
40
29
6
抽取球数n
50
100
200
500
1000
2000
优等品数m
45
92
194
470
954
1902
优等品频率eq \f(m,n)
时间
2016年
2017年
2018年
2019年
出生婴儿数
21840
23070
20094
19982
出生男婴数
11453
12031
10297
10242
满意情况
不满意
比较满意
满意
非常满意
人数
200
n
2100
1000
落在桌面的数字
1
2
3
4
5
频数
32
18
15
13
22
抽查件数
50
100
200
300
500
合格件数
47
92
192
285
475
参加测试的人数
30
50
100
200
500
800
得60分以上的人数
16
27
52
104
256
402
得60分以上的频率
参加测试的人数
30
50
100
200
500
800
得60分以上的人数
17
29
56
111
276
440
得60分以上的频率
参加测试的人数
30
50
100
200
500
800
得60分以上的人数
16
27
52
104
256
402
得60分以上的频率
0.533
0.540
0.520
0.520
0.512
0.503
参加测试的人数
30
50
100
200
500
800
得60分以上的人数
17
29
56
111
276
440
得60分以上的频率
0.567
0.580
0.560
0.555
0.552
0.550
赔付金额(元)
0
1000
2000
3000
4000
车辆数
500
130
100
150
120
“厨余垃圾”箱
“可回收物”箱
“其他垃圾”箱
厨余垃圾
400
100
100
可回收物
30
240
30
其他垃圾
20
20
60
卡片号码
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
取到的次数
10
11
8
8
6
10
18
9
11
9
成绩
人数
90分以上(含90分)
43
80～89分
182
70～79分
260
60～69分
90
50～59分
62
50分以下(不含50分)
8
商品
顾客人数
甲
乙
丙
丁
100
√
×
√
√
217
×
√
×
√
200
√
√
√
×
300
√
×
√
×
85
√
×
×
×
98
×
√
×
×
投资成功
投资失败
192次
8次
电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
最高气温
[10,15)
[15,20)
[20,25)
[25,30)
[30,35)
[35,40)
天数
2
16
36
25
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测试指标
[85,90)
[90,95)
[95,100)
[100,105)
[105,110)
甲机床
8
12
40
32
8
乙机床
7
18
40
29
6
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