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2021学年4.6 函数的应用(二)测试题
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这是一份2021学年4.6 函数的应用(二)测试题，共20页。试卷主要包含了5,lg 1－r)，3级的地震．，4 cm3/s等内容，欢迎下载使用。
(教师独具内容)
课程标准：1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.2.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律．
教学重点：根据给定的函数模型解决实际问题．
教学难点：建立函数模型解决实际问题.
知识点 用函数模型解决实际问题的步骤
(1)审题：eq \(□,\s\up3(01))弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型．
(2)建模：eq \(□,\s\up3(02))将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型．
(3)求模：eq \(□,\s\up3(03))求解函数模型，得到数学结论．
(4)还原：eq \(□,\s\up3(04))利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中．
可将这些步骤用框图表示如下：
1．人口数的计算
设原有人口数为a，人口的自然年增长率为b，则经过x年后，人口数y＝a(1＋b)x.
2．复利及应用
(1)复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算做本金，再计算下一期的利息．
(2)本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，则本利和y随存期x变化的函数式为y＝a(1＋r)x(x∈N＋)．
3．半衰期及应用
(1)放射性元素剩留量为原来的一半所需要的时间叫做半衰期．
(2)放射性元素最初质量为a g．按每年r衰减(01．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)某种商品2019年提价25%,2020年要恢复原价则应降价25%.( )
(2)利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：审题、建模、求模、还原．( )
2．做一做
(1)某企业生产总值的月平均增长率为P，则年平均增长率为( )
A．(1＋P)11B．(1＋P)12
C．(1＋P)12－1D．(1＋P)11－1
(2)抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽______次(已知lg 2≈0.3010，lg 5≈0.6990)．
题型一 指数函数模型应用题
例1 某公司拟投资100万元，有两种投资方案可供选择：一种是年利率10%，按单利计算利息，5年后收回本金和利息；另一种是年利率9%，按每年复利一次计算利息，5年后收回本金和利息．问哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年后可多得利息多少万元(结果精确到0.01万元)?
eq \a\vs4\al([跟踪训练1]) 某工厂引用某海水制盐需要对海水过滤某杂质，按市场要求，该杂质含量不能超过0.01%，若初时含杂质0.2%，每过滤一次可使杂质含量减少eq \f(1,3)，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(提示：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771)
题型二 对数函数模型应用题
例2 20世纪30年代，查尔斯·里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lg A－lg A0，其中，A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差)．
(1)假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级(精确到0.1)；
(2)5级地震给人震感已比较明显，计算7.6级地震最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍(精确到1)?
eq \a\vs4\al([跟踪训练2]) 某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过8万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过8万元时，若超出A万元，则超出部分按lg5(2A＋1)进行奖励．记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)．
(1)写出奖金y关于销售利润x的关系式；
(2)如果业务员小江获得3.2万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
题型三 幂函数模型应用题
例3 在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量速率R(单位：cm3/s)与管道半径r(单位：cm)的四次方成正比．
(1)写出流量速率R与管道半径r的函数解析式；
(2)若气体在半径为3 cm的管道中，流量速率为400 cm3/s，求气体通过半径为r的管道时，其流量速率R的表达式；
(3)若已知(2)中的气体通过的管道半径为5 cm，计算该气体的流量速率(精确到0.1 cm3/s)．
eq \a\vs4\al([跟踪训练3]) 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元．
(1)分别写出两类产品的收益与投资额x的函数关系式；
(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，最大收益是多少万元？
．
1．某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次(由一个分裂成两个)，这种细菌由1个繁殖成4096个需经过( )
A．12小时B．4小时
C．3小时D．2小时
2．某林区的森林蓄积量每一年比上一年平均增长10%，那么经过y年后可增长到原来的x倍，则函数y＝f(x)的图像大致为( )
3. (多选)在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后再显示的图像如图所示，下列说法正确的是( )
A．前5分钟温度增加的速度越来越快
B．前5分钟温度增加的速度越来越慢
C．5分钟后温度保持匀速增加
D．5分钟后温度保持不变
4．某物体一天中的温度T是时间t的函数：T(t)＝t3－3t＋60，t＝0表示时间为中午12：00，其后t取值为正，则上午8时的温度是________．
5．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上2000 m，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数y＝eq \f(1,2)lg3eq \f(x,100)，单位是m/s，其中x表示鲑鱼的耗氧量的单位数．
(1)当一条鲑鱼的耗氧量是8100个单位时，它的游速是多少？
(2)计算一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数；
(3)若鲑鱼A的游速大于鲑鱼B的游速，问这两条鲑鱼谁的耗氧量较大？并说明理由．
一、选择题
1．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alg2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，第七年它们发展到( )
A．300只B．400只
C．500只D．600只
2．某工厂去年12月份的产值是去年1月份产值的m倍，则该厂去年产值的月平均增长率为( )
A.eq \f(m,11) B.eq \f(m,12) C.eq \r(12,m)－1 D.eq \r(11,m)－1
3．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：min)为f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(c,\r(x))，xA．75,25B．75,16
C．60,25D．60,16
4．我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同的要求．音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10·lgeq \f(I,I0)(其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度)，设η1＝70 dB的声音强度为I1，η2＝60 dB的声音强度为I2，则I1是I2的( )
A.eq \f(7,6)倍B．10倍
C．10eq \f(7,6)倍D．ln eq \f(7,6)倍
5. (多选)某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系：y＝at的图像如图所示．则下列说法正确的是( )
A．第5个月时浮萍面积就会超过30 m2
B．浮萍从4 m2蔓延到12 m2要经过1.5个月
C．浮萍每月增加的面积相等
D．若浮萍蔓延到2 m2,3 m2,6 m2所经过的时间分别为t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3
二、填空题
6．一种产品的成本原来是a元，在今后m年内，计划使成本平均每年比上一年降低p%，则成本y随经过的年数x变化的函数关系式为________．
7．在不考虑空气阻力的情况下，火箭(除燃料外)的质量m kg、火箭的最大速度v m/s和燃料的质量M kg之间的函数关系是v＝2000ln eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(M,m))).当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12 km/s.
8．某种细菌经30分钟数量变为原来的2倍，且该种细菌的繁殖规律为y＝ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：小时)，y表示繁殖后细菌的总个数，则k＝________，经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为________．
三、解答题
9．光线通过一块玻璃，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃重叠起来．设光线原来的强度为a，通过x块这样的玻璃后的强度为y.
(1)写出y关于x的函数关系式；
(2)至少通过多少块这样的玻璃后，光线强度减弱到原来的eq \f(1,3)以下(lg 3≈0.4771)?
10．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5lg2eq \f(Q,10)，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．
(1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？
(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
1．某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(mg)与时间t(h)之间近似满足如图所示的曲线．
(1)写出服药后y与t之间的函数关系式y＝f(t)；
(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25 mg时，对治疗疾病有效，求服药一次治疗疾病有效的时间．
2．近年来，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响．经研究发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓．为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染．已知过滤过程中废气的污染物数量P(单位：mg/L)与过滤时间t(单位：h)间的关系为P(t)＝P0e－kt(P0，k均为非零常数，e为自然对数的底数)，其中P0为t＝0时的污染物数量．若经过5 h过滤后还剩余90%的污染物．
(1)求常数k的值；
(2)试计算污染物减少到40%至少需要多长时间．(精确到1 h，参考数据：ln 0.2≈－1.61，ln 0.3≈－1.20，ln 0.4≈－0.92，ln 0.5≈－0.69，ln 0.9≈－0.11)
(教师独具内容)
课程标准：1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.2.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律．
教学重点：根据给定的函数模型解决实际问题．
教学难点：建立函数模型解决实际问题.
知识点 用函数模型解决实际问题的步骤
(1)审题：eq \(□,\s\up3(01))弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型．
(2)建模：eq \(□,\s\up3(02))将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型．
(3)求模：eq \(□,\s\up3(03))求解函数模型，得到数学结论．
(4)还原：eq \(□,\s\up3(04))利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中．
可将这些步骤用框图表示如下：
1．人口数的计算
设原有人口数为a，人口的自然年增长率为b，则经过x年后，人口数y＝a(1＋b)x.
2．复利及应用
(1)复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算做本金，再计算下一期的利息．
(2)本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，则本利和y随存期x变化的函数式为y＝a(1＋r)x(x∈N＋)．
3．半衰期及应用
(1)放射性元素剩留量为原来的一半所需要的时间叫做半衰期．
(2)放射性元素最初质量为a g．按每年r衰减(01．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)某种商品2019年提价25%,2020年要恢复原价则应降价25%.( )
(2)利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：审题、建模、求模、还原．( )
答案 (1)× (2)√
2．做一做
(1)某企业生产总值的月平均增长率为P，则年平均增长率为( )
A．(1＋P)11B．(1＋P)12
C．(1＋P)12－1D．(1＋P)11－1
(2)抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽______次(已知lg 2≈0.3010，lg 5≈0.6990)．
答案 (1)C (2)8
题型一 指数函数模型应用题
例1 某公司拟投资100万元，有两种投资方案可供选择：一种是年利率10%，按单利计算利息，5年后收回本金和利息；另一种是年利率9%，按每年复利一次计算利息，5年后收回本金和利息．问哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年后可多得利息多少万元(结果精确到0.01万元)?
[解] 本金100万元，年利率10%，按单利计算，5年后的本息和是100×(1＋10%×5)＝150(万元)．
本金100万元，年利率9%，按每年复利一次计算，5年后的本息和是100×(1＋9%)5≈153.86(万元)．
由此可见，5年后按年利率9%每年复利一次计算的要比年利率10%单利计算的更有利，多得利息3.86万元．
金版点睛
可以用指数函数模型来解决的几类问题
在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型来解决．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．
eq \a\vs4\al([跟踪训练1]) 某工厂引用某海水制盐需要对海水过滤某杂质，按市场要求，该杂质含量不能超过0.01%，若初时含杂质0.2%，每过滤一次可使杂质含量减少eq \f(1,3)，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(提示：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771)
解 由题意，得eq \f(2,1000)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))n≤eq \f(1,10000)，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))n≤eq \f(1,20)，所以n≥lg eq \s\d10(\f(2,3)) eq \f(1,20)＝eq \f(lg \f(1,20),lg \f(2,3))＝eq \f(－lg 2－1,lg 2－lg 3)≈7.4.
所以至少要过滤8次才能达到市场要求．
题型二 对数函数模型应用题
例2 20世纪30年代，查尔斯·里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lg A－lg A0，其中，A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差)．
(1)假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级(精确到0.1)；
(2)5级地震给人震感已比较明显，计算7.6级地震最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍(精确到1)?
[解] (1)依题意知M＝lg 20－lg 0.001＝lg eq \f(20,0.001)＝lg 20000＝lg 2＋lg 104＝4＋lg 2≈4.3.
因此这是一次约里氏4.3级的地震．
(2)由M＝lg A－lg A0可知M＝lg eq \f(A,A0)，所以eq \f(A,A0)＝10M，所以A＝A0·10M，当M＝7.6时，地震的最大振幅为A1＝A0·107.6.当M＝5时，地震的最大振幅为A2＝A0·105.所以，两次地震的最大振幅之比是eq \f(A1,A2)＝eq \f(A0·107.6,A0·105)＝107.6－5＝102.6≈398，所以7.6级地震的最大振幅大约是5级地震最大振幅的398倍．
金版点睛
对数型函数应用题的基本类型和求解策略
1基本类型：有关对数型函数的应用题一般都会给出函数解析式，然后根据实际问题再求解.
2求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义.
eq \a\vs4\al([跟踪训练2]) 某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过8万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过8万元时，若超出A万元，则超出部分按lg5(2A＋1)进行奖励．记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)．
(1)写出奖金y关于销售利润x的关系式；
(2)如果业务员小江获得3.2万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
解 (1)由题意，当销售利润不超过8万元时，按销售利润的15%进行奖励，当销售利润超过8万元时，若超出A万元，则超出部分按lg5(2A＋1)进行奖励，∴当0≤x≤8时，y＝0.15x；
当x>8时，y＝1.2＋lg5(2x－15)．
∴奖金y关于销售利润x的关系式为y＝
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0.15x，0≤x≤8，,1.2＋lg52x－15，x>8.))
(2)由题意，1.2＋lg5(2x－15)＝3.2，解得x＝20，
故小江的销售利润是20万元．
题型三 幂函数模型应用题
例3 在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量速率R(单位：cm3/s)与管道半径r(单位：cm)的四次方成正比．
(1)写出流量速率R与管道半径r的函数解析式；
(2)若气体在半径为3 cm的管道中，流量速率为400 cm3/s，求气体通过半径为r的管道时，其流量速率R的表达式；
(3)若已知(2)中的气体通过的管道半径为5 cm，计算该气体的流量速率(精确到0.1 cm3/s)．
[解] (1)由题意可得流量速率R与管道半径r的函数解析式为R＝kr4(k>0)．
(2)当r＝3，R＝400时，则k＝eq \f(R,r4)＝eq \f(400,81)，
所以流量速率R的表达式为R＝eq \f(400,81)r4.
(3)当气体通过的管道半径r＝5 cm时，该气体的流量速率为R＝eq \f(400,81)×54＝eq \f(250000,81)≈3086.4 cm3/s.
金版点睛
利用幂函数模型解决实际问题的一般步骤
1设出函数关系式.
2利用待定系数法求出函数关系式.
3根据题意，利用得出的函数关系式解决问题.
eq \a\vs4\al([跟踪训练3]) 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元．
(1)分别写出两类产品的收益与投资额x的函数关系式；
(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，最大收益是多少万元？
解 (1)设两类产品的收益与投资额x的函数关系式分别为f(x)＝k1x(x≥0)，g(x)＝k2eq \r(x)(x≥0)，
结合已知得f(1)＝eq \f(1,8)＝k1，g(1)＝eq \f(1,2)＝k2，
所以f(x)＝eq \f(1,8)x(x≥0)，g(x)＝eq \f(1,2)eq \r(x)(x≥0)．
(2)设投资稳健型产品x万元，则投资风险型产品(20－x)万元，依题意得获得收益为y＝f(x)＋g(20－x)＝eq \f(x,8)＋eq \f(1,2)eq \r(20－x)(0≤x≤20)，令t＝eq \r(20－x)(0≤t≤2eq \r(5))，则x＝20－t2，所以y＝eq \f(20－t2,8)＋eq \f(t,2)＝－eq \f(1,8)(t－2)2＋3，所以当t＝2，即x＝16时，y取得最大值，ymax＝3.
故当投资稳健型产品16万元，风险型产品4万元时，可使投资获得最大收益，最大收益是3万元．
1．某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次(由一个分裂成两个)，这种细菌由1个繁殖成4096个需经过( )
A．12小时B．4小时
C．3小时D．2小时
答案 C
解析 设共分裂了x次，则有2x＝4096，∴2x＝212，又∵每次为15分钟，∴共15×12＝180分钟，即3个小时．
2．某林区的森林蓄积量每一年比上一年平均增长10%，那么经过y年后可增长到原来的x倍，则函数y＝f(x)的图像大致为( )
答案 B
解析 设原来的蓄积量为a，则a(1＋10%)y＝a·x，
∴y＝lg1.1x，故选B.
3. (多选)在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后再显示的图像如图所示，下列说法正确的是( )
A．前5分钟温度增加的速度越来越快
B．前5分钟温度增加的速度越来越慢
C．5分钟后温度保持匀速增加
D．5分钟后温度保持不变
答案 BD
解析 由图像分析单位时间内y的变化量可知，选BD.
4．某物体一天中的温度T是时间t的函数：T(t)＝t3－3t＋60，t＝0表示时间为中午12：00，其后t取值为正，则上午8时的温度是________．
答案 8 ℃
解析 由12：00时，t＝0，且12：00以后t为正值，可知12：00以前t为负值，即上午8时应t＝－4，故T(－4)＝(－4)3－3×(－4)＋60＝8 ℃.
5．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上2000 m，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数y＝eq \f(1,2)lg3eq \f(x,100)，单位是m/s，其中x表示鲑鱼的耗氧量的单位数．
(1)当一条鲑鱼的耗氧量是8100个单位时，它的游速是多少？
(2)计算一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数；
(3)若鲑鱼A的游速大于鲑鱼B的游速，问这两条鲑鱼谁的耗氧量较大？并说明理由．
解 (1)将x＝8100代入函数关系式，得y＝eq \f(1,2)lg381＝eq \f(1,2)×4＝2，所以一条鲑鱼的耗氧量是8100个单位时，它的游速是2 m/s.
(2)令y＝0，得eq \f(1,2)lg3eq \f(x,100)＝0，即eq \f(x,100)＝1，则x＝100，所以一条鲑鱼静止时的耗氧量为100个单位．
(3)由yA>yB，得eq \f(1,2)lg3eq \f(xA,100)>eq \f(1,2)lg3eq \f(xB,100)，即lg3xA>lg3xB，则xA>xB，所以鲑鱼A的耗氧量较大．
一、选择题
1．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alg2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，第七年它们发展到( )
A．300只B．400只
C．500只D．600只
答案 A
解析 由x＝1时，y＝100，得a＝100，∴当x＝7时，y＝100·lg28＝300.
2．某工厂去年12月份的产值是去年1月份产值的m倍，则该厂去年产值的月平均增长率为( )
A.eq \f(m,11) B.eq \f(m,12) C.eq \r(12,m)－1 D.eq \r(11,m)－1
答案 D
解析 设1月份产值为a，月平均增长率为x，则有a(1＋x)11＝ma，∴x＝eq \r(11,m)－1.
3．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：min)为f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(c,\r(x))，xA．75,25B．75,16
C．60,25D．60,16
答案 D
解析 由题意知，组装第A件产品所需时间为eq \f(c,\r(A))＝15，故组装第4件产品所需时间为eq \f(c,\r(4))＝30，解得c＝60.将c＝60代入eq \f(c,\r(A))＝15，得A＝16.
4．我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同的要求．音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10·lgeq \f(I,I0)(其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度)，设η1＝70 dB的声音强度为I1，η2＝60 dB的声音强度为I2，则I1是I2的( )
A.eq \f(7,6)倍B．10倍
C．10eq \f(7,6)倍D．ln eq \f(7,6)倍
答案 B
解析 依题意可知，η1＝10·lg eq \f(I1,I0)，η2＝10·lg eq \f(I2,I0)，所以η1－η2＝10·lg eq \f(I1,I0)－10·lg eq \f(I2,I0)，则1＝lg I1－lg I2，所以eq \f(I1,I2)＝10.故选B.
5. (多选)某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系：y＝at的图像如图所示．则下列说法正确的是( )
A．第5个月时浮萍面积就会超过30 m2
B．浮萍从4 m2蔓延到12 m2要经过1.5个月
C．浮萍每月增加的面积相等
D．若浮萍蔓延到2 m2,3 m2,6 m2所经过的时间分别为t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3
答案 AD
解析 把点(1,2)代入y＝at，得a＝2，∴y＝2t.当t＝5时，y＝25＝32，∴A正确；由2t＝4，得t＝2；由2t＝12，得t＝lg212，而lg212－2≠1.5，∴B不正确；C可通过1月到2月，2月到3月增加的面积验证不正确；∵2t1＝2，∴t1＝1，∵2t2＝3，∴t2＝lg23，∵2t3＝6，∴t3＝lg26，显然t1＋t2＝1＋lg23＝lg26＝t3，∴D正确．故选AD.
二、填空题
6．一种产品的成本原来是a元，在今后m年内，计划使成本平均每年比上一年降低p%，则成本y随经过的年数x变化的函数关系式为________．
答案 y＝a(1－p%)x(x∈N*，且x≤m)
解析 成本经过x年降低到y元，
第一年为y＝a(1－p%)，
第二年为y＝a(1－p%)(1－p%)＝a(1－p%)2，
第三年为y＝a(1－p%)(1－p%)(1－p%)＝a(1－p%)3，
…
第x年为y＝a(1－p%)x(x∈N*，且x≤m)．
故答案为y＝a(1－p%)x(x∈N*，且x≤m)．
7．在不考虑空气阻力的情况下，火箭(除燃料外)的质量m kg、火箭的最大速度v m/s和燃料的质量M kg之间的函数关系是v＝2000ln eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(M,m))).当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12 km/s.
答案 e6－1
解析 设M＝tm，则有2000ln (1＋t)＝12000，
即ln (1＋t)＝6，解得t＝e6－1.
8．某种细菌经30分钟数量变为原来的2倍，且该种细菌的繁殖规律为y＝ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：小时)，y表示繁殖后细菌的总个数，则k＝________，经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为________．
答案 2ln 2 1024
解析 由题意知，当t＝eq \f(1,2)时，y＝2，即2＝eeq \f(1,2)k，∴k＝2ln 2，∴y＝e2tln 2.当t＝5时，y＝e2×5×ln 2＝210＝1024.即经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为1024.
三、解答题
9．光线通过一块玻璃，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃重叠起来．设光线原来的强度为a，通过x块这样的玻璃后的强度为y.
(1)写出y关于x的函数关系式；
(2)至少通过多少块这样的玻璃后，光线强度减弱到原来的eq \f(1,3)以下(lg 3≈0.4771)?
解 (1)y＝a(1－10%)x(x∈N*)．
(2)由题意，得y解得0.9xlg0.9eq \f(1,3)＝eq \f(－lg 3,2lg 3－1)≈10.4.
所以至少通过11块这样的玻璃后，光线强度减弱到原来的eq \f(1,3)以下．
10．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5lg2eq \f(Q,10)，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．
(1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？
(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
解 (1)由题知，当燕子静止时，它的速度v＝0，
代入v＝5lg2eq \f(Q,10)可得：0＝5lg2eq \f(Q,10)，解得Q＝10.
即燕子静止时的耗氧量是10个单位．
(2)将耗氧量Q＝80代入v＝5lg2eq \f(Q,10)得：
v＝5lg2eq \f(80,10)＝5lg28＝15(m/s)．
即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s.
1．某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(mg)与时间t(h)之间近似满足如图所示的曲线．
(1)写出服药后y与t之间的函数关系式y＝f(t)；
(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25 mg时，对治疗疾病有效，求服药一次治疗疾病有效的时间．
解 (1)当0≤t<1时，y＝4t；当t≥1时，y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))t－a，
此时M(1,4)在曲线上，故4＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))1－a，
解得a＝3，即y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))t－3.
故y＝f(t)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4t，0≤t<1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))t－3，t≥1.))
(2)因为f(t)≥0.25，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4t≥0.25，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))t－3≥0.25.))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(t≥\f(1,16)，,t≤5.))所以eq \f(1,16)≤t≤5，
因此服药一次治疗疾病有效的时间为5－eq \f(1,16)＝4eq \f(15,16)(h)．
2．近年来，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响．经研究发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓．为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染．已知过滤过程中废气的污染物数量P(单位：mg/L)与过滤时间t(单位：h)间的关系为P(t)＝P0e－kt(P0，k均为非零常数，e为自然对数的底数)，其中P0为t＝0时的污染物数量．若经过5 h过滤后还剩余90%的污染物．
(1)求常数k的值；
(2)试计算污染物减少到40%至少需要多长时间．(精确到1 h，参考数据：ln 0.2≈－1.61，ln 0.3≈－1.20，ln 0.4≈－0.92，ln 0.5≈－0.69，ln 0.9≈－0.11)
解 (1)由已知，得当t＝0时，P＝P0；
当t＝5时，P＝90%P0.
于是有90%P0＝P0e－5k，解得k＝－eq \f(1,5)ln 0.9(或k≈0.022)．
(2)由(1)，知P＝P0e eq \s\up15(eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)ln 0.9))t) ，
当P＝40%P0时，有0.4P0＝P0e eq \s\up15(eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)ln 0.9))t) ，
解得t＝eq \f(ln 0.4,\f(1,5)ln 0.9)≈eq \f(－0.92,\f(1,5)×－0.11)＝eq \f(4.60,0.11)≈42(h)．
故污染物减少到40%至少需要42 h.
(教师独具内容)
课程标准：1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.2.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律．
教学重点：根据给定的函数模型解决实际问题．
教学难点：建立函数模型解决实际问题.
知识点 用函数模型解决实际问题的步骤
(1)审题：eq \(□,\s\up3(01))弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型．
(2)建模：eq \(□,\s\up3(02))将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型．
(3)求模：eq \(□,\s\up3(03))求解函数模型，得到数学结论．
(4)还原：eq \(□,\s\up3(04))利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中．
可将这些步骤用框图表示如下：
1．人口数的计算
设原有人口数为a，人口的自然年增长率为b，则经过x年后，人口数y＝a(1＋b)x.
2．复利及应用
(1)复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算做本金，再计算下一期的利息．
(2)本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，则本利和y随存期x变化的函数式为y＝a(1＋r)x(x∈N＋)．
3．半衰期及应用
(1)放射性元素剩留量为原来的一半所需要的时间叫做半衰期．
(2)放射性元素最初质量为a g．按每年r衰减(0
(1)某种商品2019年提价25%,2020年要恢复原价则应降价25%.( )
(2)利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：审题、建模、求模、还原．( )
2．做一做
(1)某企业生产总值的月平均增长率为P，则年平均增长率为( )
A．(1＋P)11B．(1＋P)12
C．(1＋P)12－1D．(1＋P)11－1
(2)抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽______次(已知lg 2≈0.3010，lg 5≈0.6990)．
题型一 指数函数模型应用题
例1 某公司拟投资100万元，有两种投资方案可供选择：一种是年利率10%，按单利计算利息，5年后收回本金和利息；另一种是年利率9%，按每年复利一次计算利息，5年后收回本金和利息．问哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年后可多得利息多少万元(结果精确到0.01万元)?
eq \a\vs4\al([跟踪训练1]) 某工厂引用某海水制盐需要对海水过滤某杂质，按市场要求，该杂质含量不能超过0.01%，若初时含杂质0.2%，每过滤一次可使杂质含量减少eq \f(1,3)，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(提示：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771)
题型二 对数函数模型应用题
例2 20世纪30年代，查尔斯·里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lg A－lg A0，其中，A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差)．
(1)假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级(精确到0.1)；
(2)5级地震给人震感已比较明显，计算7.6级地震最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍(精确到1)?
eq \a\vs4\al([跟踪训练2]) 某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过8万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过8万元时，若超出A万元，则超出部分按lg5(2A＋1)进行奖励．记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)．
(1)写出奖金y关于销售利润x的关系式；
(2)如果业务员小江获得3.2万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
题型三 幂函数模型应用题
例3 在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量速率R(单位：cm3/s)与管道半径r(单位：cm)的四次方成正比．
(1)写出流量速率R与管道半径r的函数解析式；
(2)若气体在半径为3 cm的管道中，流量速率为400 cm3/s，求气体通过半径为r的管道时，其流量速率R的表达式；
(3)若已知(2)中的气体通过的管道半径为5 cm，计算该气体的流量速率(精确到0.1 cm3/s)．
eq \a\vs4\al([跟踪训练3]) 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元．
(1)分别写出两类产品的收益与投资额x的函数关系式；
(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，最大收益是多少万元？
．
1．某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次(由一个分裂成两个)，这种细菌由1个繁殖成4096个需经过( )
A．12小时B．4小时
C．3小时D．2小时
2．某林区的森林蓄积量每一年比上一年平均增长10%，那么经过y年后可增长到原来的x倍，则函数y＝f(x)的图像大致为( )
3. (多选)在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后再显示的图像如图所示，下列说法正确的是( )
A．前5分钟温度增加的速度越来越快
B．前5分钟温度增加的速度越来越慢
C．5分钟后温度保持匀速增加
D．5分钟后温度保持不变
4．某物体一天中的温度T是时间t的函数：T(t)＝t3－3t＋60，t＝0表示时间为中午12：00，其后t取值为正，则上午8时的温度是________．
5．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上2000 m，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数y＝eq \f(1,2)lg3eq \f(x,100)，单位是m/s，其中x表示鲑鱼的耗氧量的单位数．
(1)当一条鲑鱼的耗氧量是8100个单位时，它的游速是多少？
(2)计算一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数；
(3)若鲑鱼A的游速大于鲑鱼B的游速，问这两条鲑鱼谁的耗氧量较大？并说明理由．
一、选择题
1．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alg2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，第七年它们发展到( )
A．300只B．400只
C．500只D．600只
2．某工厂去年12月份的产值是去年1月份产值的m倍，则该厂去年产值的月平均增长率为( )
A.eq \f(m,11) B.eq \f(m,12) C.eq \r(12,m)－1 D.eq \r(11,m)－1
3．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：min)为f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(c,\r(x))，x
C．60,25D．60,16
4．我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同的要求．音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10·lgeq \f(I,I0)(其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度)，设η1＝70 dB的声音强度为I1，η2＝60 dB的声音强度为I2，则I1是I2的( )
A.eq \f(7,6)倍B．10倍
C．10eq \f(7,6)倍D．ln eq \f(7,6)倍
5. (多选)某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系：y＝at的图像如图所示．则下列说法正确的是( )
A．第5个月时浮萍面积就会超过30 m2
B．浮萍从4 m2蔓延到12 m2要经过1.5个月
C．浮萍每月增加的面积相等
D．若浮萍蔓延到2 m2,3 m2,6 m2所经过的时间分别为t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3
二、填空题
6．一种产品的成本原来是a元，在今后m年内，计划使成本平均每年比上一年降低p%，则成本y随经过的年数x变化的函数关系式为________．
7．在不考虑空气阻力的情况下，火箭(除燃料外)的质量m kg、火箭的最大速度v m/s和燃料的质量M kg之间的函数关系是v＝2000ln eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(M,m))).当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12 km/s.
8．某种细菌经30分钟数量变为原来的2倍，且该种细菌的繁殖规律为y＝ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：小时)，y表示繁殖后细菌的总个数，则k＝________，经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为________．
三、解答题
9．光线通过一块玻璃，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃重叠起来．设光线原来的强度为a，通过x块这样的玻璃后的强度为y.
(1)写出y关于x的函数关系式；
(2)至少通过多少块这样的玻璃后，光线强度减弱到原来的eq \f(1,3)以下(lg 3≈0.4771)?
10．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5lg2eq \f(Q,10)，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．
(1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？
(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
1．某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(mg)与时间t(h)之间近似满足如图所示的曲线．
(1)写出服药后y与t之间的函数关系式y＝f(t)；
(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25 mg时，对治疗疾病有效，求服药一次治疗疾病有效的时间．
2．近年来，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响．经研究发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓．为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染．已知过滤过程中废气的污染物数量P(单位：mg/L)与过滤时间t(单位：h)间的关系为P(t)＝P0e－kt(P0，k均为非零常数，e为自然对数的底数)，其中P0为t＝0时的污染物数量．若经过5 h过滤后还剩余90%的污染物．
(1)求常数k的值；
(2)试计算污染物减少到40%至少需要多长时间．(精确到1 h，参考数据：ln 0.2≈－1.61，ln 0.3≈－1.20，ln 0.4≈－0.92，ln 0.5≈－0.69，ln 0.9≈－0.11)
(教师独具内容)
课程标准：1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.2.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律．
教学重点：根据给定的函数模型解决实际问题．
教学难点：建立函数模型解决实际问题.
知识点 用函数模型解决实际问题的步骤
(1)审题：eq \(□,\s\up3(01))弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型．
(2)建模：eq \(□,\s\up3(02))将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型．
(3)求模：eq \(□,\s\up3(03))求解函数模型，得到数学结论．
(4)还原：eq \(□,\s\up3(04))利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中．
可将这些步骤用框图表示如下：
1．人口数的计算
设原有人口数为a，人口的自然年增长率为b，则经过x年后，人口数y＝a(1＋b)x.
2．复利及应用
(1)复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算做本金，再计算下一期的利息．
(2)本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，则本利和y随存期x变化的函数式为y＝a(1＋r)x(x∈N＋)．
3．半衰期及应用
(1)放射性元素剩留量为原来的一半所需要的时间叫做半衰期．
(2)放射性元素最初质量为a g．按每年r衰减(0
(1)某种商品2019年提价25%,2020年要恢复原价则应降价25%.( )
(2)利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：审题、建模、求模、还原．( )
答案 (1)× (2)√
2．做一做
(1)某企业生产总值的月平均增长率为P，则年平均增长率为( )
A．(1＋P)11B．(1＋P)12
C．(1＋P)12－1D．(1＋P)11－1
(2)抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽______次(已知lg 2≈0.3010，lg 5≈0.6990)．
答案 (1)C (2)8
题型一 指数函数模型应用题
例1 某公司拟投资100万元，有两种投资方案可供选择：一种是年利率10%，按单利计算利息，5年后收回本金和利息；另一种是年利率9%，按每年复利一次计算利息，5年后收回本金和利息．问哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年后可多得利息多少万元(结果精确到0.01万元)?
[解] 本金100万元，年利率10%，按单利计算，5年后的本息和是100×(1＋10%×5)＝150(万元)．
本金100万元，年利率9%，按每年复利一次计算，5年后的本息和是100×(1＋9%)5≈153.86(万元)．
由此可见，5年后按年利率9%每年复利一次计算的要比年利率10%单利计算的更有利，多得利息3.86万元．
金版点睛
可以用指数函数模型来解决的几类问题
在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型来解决．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．
eq \a\vs4\al([跟踪训练1]) 某工厂引用某海水制盐需要对海水过滤某杂质，按市场要求，该杂质含量不能超过0.01%，若初时含杂质0.2%，每过滤一次可使杂质含量减少eq \f(1,3)，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(提示：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771)
解 由题意，得eq \f(2,1000)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))n≤eq \f(1,10000)，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))n≤eq \f(1,20)，所以n≥lg eq \s\d10(\f(2,3)) eq \f(1,20)＝eq \f(lg \f(1,20),lg \f(2,3))＝eq \f(－lg 2－1,lg 2－lg 3)≈7.4.
所以至少要过滤8次才能达到市场要求．
题型二 对数函数模型应用题
例2 20世纪30年代，查尔斯·里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lg A－lg A0，其中，A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差)．
(1)假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级(精确到0.1)；
(2)5级地震给人震感已比较明显，计算7.6级地震最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍(精确到1)?
[解] (1)依题意知M＝lg 20－lg 0.001＝lg eq \f(20,0.001)＝lg 20000＝lg 2＋lg 104＝4＋lg 2≈4.3.
因此这是一次约里氏4.3级的地震．
(2)由M＝lg A－lg A0可知M＝lg eq \f(A,A0)，所以eq \f(A,A0)＝10M，所以A＝A0·10M，当M＝7.6时，地震的最大振幅为A1＝A0·107.6.当M＝5时，地震的最大振幅为A2＝A0·105.所以，两次地震的最大振幅之比是eq \f(A1,A2)＝eq \f(A0·107.6,A0·105)＝107.6－5＝102.6≈398，所以7.6级地震的最大振幅大约是5级地震最大振幅的398倍．
金版点睛
对数型函数应用题的基本类型和求解策略
1基本类型：有关对数型函数的应用题一般都会给出函数解析式，然后根据实际问题再求解.
2求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义.
eq \a\vs4\al([跟踪训练2]) 某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过8万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过8万元时，若超出A万元，则超出部分按lg5(2A＋1)进行奖励．记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)．
(1)写出奖金y关于销售利润x的关系式；
(2)如果业务员小江获得3.2万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
解 (1)由题意，当销售利润不超过8万元时，按销售利润的15%进行奖励，当销售利润超过8万元时，若超出A万元，则超出部分按lg5(2A＋1)进行奖励，∴当0≤x≤8时，y＝0.15x；
当x>8时，y＝1.2＋lg5(2x－15)．
∴奖金y关于销售利润x的关系式为y＝
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0.15x，0≤x≤8，,1.2＋lg52x－15，x>8.))
(2)由题意，1.2＋lg5(2x－15)＝3.2，解得x＝20，
故小江的销售利润是20万元．
题型三 幂函数模型应用题
例3 在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量速率R(单位：cm3/s)与管道半径r(单位：cm)的四次方成正比．
(1)写出流量速率R与管道半径r的函数解析式；
(2)若气体在半径为3 cm的管道中，流量速率为400 cm3/s，求气体通过半径为r的管道时，其流量速率R的表达式；
(3)若已知(2)中的气体通过的管道半径为5 cm，计算该气体的流量速率(精确到0.1 cm3/s)．
[解] (1)由题意可得流量速率R与管道半径r的函数解析式为R＝kr4(k>0)．
(2)当r＝3，R＝400时，则k＝eq \f(R,r4)＝eq \f(400,81)，
所以流量速率R的表达式为R＝eq \f(400,81)r4.
(3)当气体通过的管道半径r＝5 cm时，该气体的流量速率为R＝eq \f(400,81)×54＝eq \f(250000,81)≈3086.4 cm3/s.
金版点睛
利用幂函数模型解决实际问题的一般步骤
1设出函数关系式.
2利用待定系数法求出函数关系式.
3根据题意，利用得出的函数关系式解决问题.
eq \a\vs4\al([跟踪训练3]) 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元．
(1)分别写出两类产品的收益与投资额x的函数关系式；
(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，最大收益是多少万元？
解 (1)设两类产品的收益与投资额x的函数关系式分别为f(x)＝k1x(x≥0)，g(x)＝k2eq \r(x)(x≥0)，
结合已知得f(1)＝eq \f(1,8)＝k1，g(1)＝eq \f(1,2)＝k2，
所以f(x)＝eq \f(1,8)x(x≥0)，g(x)＝eq \f(1,2)eq \r(x)(x≥0)．
(2)设投资稳健型产品x万元，则投资风险型产品(20－x)万元，依题意得获得收益为y＝f(x)＋g(20－x)＝eq \f(x,8)＋eq \f(1,2)eq \r(20－x)(0≤x≤20)，令t＝eq \r(20－x)(0≤t≤2eq \r(5))，则x＝20－t2，所以y＝eq \f(20－t2,8)＋eq \f(t,2)＝－eq \f(1,8)(t－2)2＋3，所以当t＝2，即x＝16时，y取得最大值，ymax＝3.
故当投资稳健型产品16万元，风险型产品4万元时，可使投资获得最大收益，最大收益是3万元．
1．某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次(由一个分裂成两个)，这种细菌由1个繁殖成4096个需经过( )
A．12小时B．4小时
C．3小时D．2小时
答案 C
解析 设共分裂了x次，则有2x＝4096，∴2x＝212，又∵每次为15分钟，∴共15×12＝180分钟，即3个小时．
2．某林区的森林蓄积量每一年比上一年平均增长10%，那么经过y年后可增长到原来的x倍，则函数y＝f(x)的图像大致为( )
答案 B
解析 设原来的蓄积量为a，则a(1＋10%)y＝a·x，
∴y＝lg1.1x，故选B.
3. (多选)在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后再显示的图像如图所示，下列说法正确的是( )
A．前5分钟温度增加的速度越来越快
B．前5分钟温度增加的速度越来越慢
C．5分钟后温度保持匀速增加
D．5分钟后温度保持不变
答案 BD
解析 由图像分析单位时间内y的变化量可知，选BD.
4．某物体一天中的温度T是时间t的函数：T(t)＝t3－3t＋60，t＝0表示时间为中午12：00，其后t取值为正，则上午8时的温度是________．
答案 8 ℃
解析 由12：00时，t＝0，且12：00以后t为正值，可知12：00以前t为负值，即上午8时应t＝－4，故T(－4)＝(－4)3－3×(－4)＋60＝8 ℃.
5．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上2000 m，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数y＝eq \f(1,2)lg3eq \f(x,100)，单位是m/s，其中x表示鲑鱼的耗氧量的单位数．
(1)当一条鲑鱼的耗氧量是8100个单位时，它的游速是多少？
(2)计算一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数；
(3)若鲑鱼A的游速大于鲑鱼B的游速，问这两条鲑鱼谁的耗氧量较大？并说明理由．
解 (1)将x＝8100代入函数关系式，得y＝eq \f(1,2)lg381＝eq \f(1,2)×4＝2，所以一条鲑鱼的耗氧量是8100个单位时，它的游速是2 m/s.
(2)令y＝0，得eq \f(1,2)lg3eq \f(x,100)＝0，即eq \f(x,100)＝1，则x＝100，所以一条鲑鱼静止时的耗氧量为100个单位．
(3)由yA>yB，得eq \f(1,2)lg3eq \f(xA,100)>eq \f(1,2)lg3eq \f(xB,100)，即lg3xA>lg3xB，则xA>xB，所以鲑鱼A的耗氧量较大．
一、选择题
1．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alg2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，第七年它们发展到( )
A．300只B．400只
C．500只D．600只
答案 A
解析 由x＝1时，y＝100，得a＝100，∴当x＝7时，y＝100·lg28＝300.
2．某工厂去年12月份的产值是去年1月份产值的m倍，则该厂去年产值的月平均增长率为( )
A.eq \f(m,11) B.eq \f(m,12) C.eq \r(12,m)－1 D.eq \r(11,m)－1
答案 D
解析 设1月份产值为a，月平均增长率为x，则有a(1＋x)11＝ma，∴x＝eq \r(11,m)－1.
3．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：min)为f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(c,\r(x))，x
C．60,25D．60,16
答案 D
解析 由题意知，组装第A件产品所需时间为eq \f(c,\r(A))＝15，故组装第4件产品所需时间为eq \f(c,\r(4))＝30，解得c＝60.将c＝60代入eq \f(c,\r(A))＝15，得A＝16.
4．我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同的要求．音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10·lgeq \f(I,I0)(其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度)，设η1＝70 dB的声音强度为I1，η2＝60 dB的声音强度为I2，则I1是I2的( )
A.eq \f(7,6)倍B．10倍
C．10eq \f(7,6)倍D．ln eq \f(7,6)倍
答案 B
解析 依题意可知，η1＝10·lg eq \f(I1,I0)，η2＝10·lg eq \f(I2,I0)，所以η1－η2＝10·lg eq \f(I1,I0)－10·lg eq \f(I2,I0)，则1＝lg I1－lg I2，所以eq \f(I1,I2)＝10.故选B.
5. (多选)某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系：y＝at的图像如图所示．则下列说法正确的是( )
A．第5个月时浮萍面积就会超过30 m2
B．浮萍从4 m2蔓延到12 m2要经过1.5个月
C．浮萍每月增加的面积相等
D．若浮萍蔓延到2 m2,3 m2,6 m2所经过的时间分别为t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3
答案 AD
解析 把点(1,2)代入y＝at，得a＝2，∴y＝2t.当t＝5时，y＝25＝32，∴A正确；由2t＝4，得t＝2；由2t＝12，得t＝lg212，而lg212－2≠1.5，∴B不正确；C可通过1月到2月，2月到3月增加的面积验证不正确；∵2t1＝2，∴t1＝1，∵2t2＝3，∴t2＝lg23，∵2t3＝6，∴t3＝lg26，显然t1＋t2＝1＋lg23＝lg26＝t3，∴D正确．故选AD.
二、填空题
6．一种产品的成本原来是a元，在今后m年内，计划使成本平均每年比上一年降低p%，则成本y随经过的年数x变化的函数关系式为________．
答案 y＝a(1－p%)x(x∈N*，且x≤m)
解析 成本经过x年降低到y元，
第一年为y＝a(1－p%)，
第二年为y＝a(1－p%)(1－p%)＝a(1－p%)2，
第三年为y＝a(1－p%)(1－p%)(1－p%)＝a(1－p%)3，
…
第x年为y＝a(1－p%)x(x∈N*，且x≤m)．
故答案为y＝a(1－p%)x(x∈N*，且x≤m)．
7．在不考虑空气阻力的情况下，火箭(除燃料外)的质量m kg、火箭的最大速度v m/s和燃料的质量M kg之间的函数关系是v＝2000ln eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(M,m))).当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12 km/s.
答案 e6－1
解析 设M＝tm，则有2000ln (1＋t)＝12000，
即ln (1＋t)＝6，解得t＝e6－1.
8．某种细菌经30分钟数量变为原来的2倍，且该种细菌的繁殖规律为y＝ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：小时)，y表示繁殖后细菌的总个数，则k＝________，经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为________．
答案 2ln 2 1024
解析 由题意知，当t＝eq \f(1,2)时，y＝2，即2＝eeq \f(1,2)k，∴k＝2ln 2，∴y＝e2tln 2.当t＝5时，y＝e2×5×ln 2＝210＝1024.即经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为1024.
三、解答题
9．光线通过一块玻璃，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃重叠起来．设光线原来的强度为a，通过x块这样的玻璃后的强度为y.
(1)写出y关于x的函数关系式；
(2)至少通过多少块这样的玻璃后，光线强度减弱到原来的eq \f(1,3)以下(lg 3≈0.4771)?
解 (1)y＝a(1－10%)x(x∈N*)．
(2)由题意，得y
所以至少通过11块这样的玻璃后，光线强度减弱到原来的eq \f(1,3)以下．
10．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5lg2eq \f(Q,10)，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．
(1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？
(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
解 (1)由题知，当燕子静止时，它的速度v＝0，
代入v＝5lg2eq \f(Q,10)可得：0＝5lg2eq \f(Q,10)，解得Q＝10.
即燕子静止时的耗氧量是10个单位．
(2)将耗氧量Q＝80代入v＝5lg2eq \f(Q,10)得：
v＝5lg2eq \f(80,10)＝5lg28＝15(m/s)．
即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s.
1．某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(mg)与时间t(h)之间近似满足如图所示的曲线．
(1)写出服药后y与t之间的函数关系式y＝f(t)；
(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25 mg时，对治疗疾病有效，求服药一次治疗疾病有效的时间．
解 (1)当0≤t<1时，y＝4t；当t≥1时，y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))t－a，
此时M(1,4)在曲线上，故4＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))1－a，
解得a＝3，即y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))t－3.
故y＝f(t)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4t，0≤t<1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))t－3，t≥1.))
(2)因为f(t)≥0.25，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4t≥0.25，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))t－3≥0.25.))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(t≥\f(1,16)，,t≤5.))所以eq \f(1,16)≤t≤5，
因此服药一次治疗疾病有效的时间为5－eq \f(1,16)＝4eq \f(15,16)(h)．
2．近年来，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响．经研究发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓．为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染．已知过滤过程中废气的污染物数量P(单位：mg/L)与过滤时间t(单位：h)间的关系为P(t)＝P0e－kt(P0，k均为非零常数，e为自然对数的底数)，其中P0为t＝0时的污染物数量．若经过5 h过滤后还剩余90%的污染物．
(1)求常数k的值；
(2)试计算污染物减少到40%至少需要多长时间．(精确到1 h，参考数据：ln 0.2≈－1.61，ln 0.3≈－1.20，ln 0.4≈－0.92，ln 0.5≈－0.69，ln 0.9≈－0.11)
解 (1)由已知，得当t＝0时，P＝P0；
当t＝5时，P＝90%P0.
于是有90%P0＝P0e－5k，解得k＝－eq \f(1,5)ln 0.9(或k≈0.022)．
(2)由(1)，知P＝P0e eq \s\up15(eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)ln 0.9))t) ，
当P＝40%P0时，有0.4P0＝P0e eq \s\up15(eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)ln 0.9))t) ，
解得t＝eq \f(ln 0.4,\f(1,5)ln 0.9)≈eq \f(－0.92,\f(1,5)×－0.11)＝eq \f(4.60,0.11)≈42(h)．
故污染物减少到40%至少需要42 h.
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