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高中数学人教B版 (2019)必修 第二册5.3.5 随机事件的独立性同步达标检测题
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这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第二册5.3.5 随机事件的独立性同步达标检测题，共26页。试卷主要包含了掷一个正方体骰子一次，设事件A等内容，欢迎下载使用。
知识点一 随机事件独立性的判定
1．袋中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用A1表示第一次摸得黑球，A2表示第二次摸得黑球，则A1与eq \x\t(A)2是( )
A．相互独立事件 B．不相互独立事件
C．互斥事件 D．对立事件
2．甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B( )
A．相互独立但不互斥 B．互斥但不相互独立
C．相互独立且互斥 D．既不相互独立也不互斥
3．掷一个正方体骰子一次，设事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3点或6点”，则事件A，B的关系是( )
A．互斥但不相互独立 B．相互独立但不互斥
C．互斥且相互独立 D．既不相互独立也不互斥
4．从一副扑克牌(去掉大、小王，共52张)中任抽一张，记事件A为“抽得K”，记事件B为“抽得草花”，记事件C为“抽得J”，判断下列每对事件是否相互独立？为什么？
(1)A与B；
(2)C与A．
知识点二 相互独立事件同时发生的概率
5．如图所示，在两个转盘中，指针落在转盘每个数所在区域的机会均等(区域的分界线忽略不计)，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )
A．eq \f(4,9) B．eq \f(2,9)
C．eq \f(2,3) D．eq \f(1,3)
6．某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为0.8,0.6,0.5，只有通过前一关才能进入下一关，且通过每关相互独立，一选手参加该节目，则该选手只闯过前两关的概率为( )
A．0.48 B．0.4
C．0.32 D．0.24
7．如图，用K，A1，A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K，A1，A2正常工作的概率依次是0.9,0.8,0.8，则系统正常工作的概率为( )
A．0.960 B．0.864
C．0.720 D．0.576
8．在某次人才招聘会上，假定某毕业生赢得甲公司面试机会的概率为eq \f(2,3)，赢得乙、丙两公司面试机会的概率均为eq \f(1,4)，且三家公司是否让其面试是相互独立的，则该毕业生只赢得甲、乙两家公司面试机会的概率为( )
A．eq \f(1,16) B．eq \f(1,8)
C．eq \f(1,4) D．eq \f(1,2)
9．三人破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为eq \f(1,5)，eq \f(1,3)，eq \f(1,4)，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为________．
知识点三 相互独立事件概率的综合应用
10．设两个相互独立事件A，B都不发生的概率为eq \f(1,9)，则A与B都发生的概率的取值范围是( )
A．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(8,9))) B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,9)，\f(5,9)))
C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(8,9))) D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(4,9)))
11．某次战役中，狙击手A受命射击敌机，若要击落敌机，需命中机首2次或命中机中3次或命中机尾1次，已知A每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为0.2,0.4,0.1，未命中敌机的概率为0.3，且各次射击相互独立，若A至多射击2次，则他能击落敌机的概率为( )
A．0.23 B．0.2
C．0.16 D．0.1
12．若进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．
(1)求进入商场的一位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
(2)求进入商场的一位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率．
13．某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：
A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．
14．某机械厂制造一种汽车零件，已知甲机床的正品率是0.96，乙机床的次品率是0.05，现从它们制造的产品中各任意抽取一件，试求：
(1)两件产品都是正品的概率；
(2)恰有一件是正品的概率；
(3)至少有一件是正品的概率．
易错点一 混淆独立事件和互斥事件致误
某自助银行共有A，B，C三台ATM机，在某段时间内，这三台ATM机被占用的概率分别为eq \f(1,3)，eq \f(1,4)，eq \f(1,5).若一位顾客到自助银行使用ATM机，则其不需要等待的概率为________．
易错点二 不能正确理解独立事件发生的概率致误
设事件A与B相互独立，两个事件中只有A发生的概率和只有B发生的概率都是eq \f(1,4)，求事件A和事件B同时发生的概率．
一、单项选择题
1．若P(AB)＝eq \f(1,9)，P(eq \(A,\s\up6(－)))＝eq \f(2,3)，P(B)＝eq \f(1,3)，则事件A与B的关系是( )
A．事件A与B互斥
B．事件A与B互为对立
C．事件A与B相互独立
D．事件A与B既互斥又独立
2．从应届高中生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为eq \f(1,3)，视力合格的概率为eq \f(1,6)，其他几项标准合格的概率为eq \f(1,5)，从中任选一名学生，则该生所有项均合格的概率为(假设各项标准互不影响)( )
A．eq \f(4,9) B．eq \f(1,90)
C．eq \f(4,5) D．eq \f(5,9)
3．张老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，他预估做对第一道题的概率是0.80，做对两道题的概率是0.60，则预估做对第二道题的概率是( )
A．0.80 B．0.75
C．0.60 D．0.48
4．甲、乙两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为eq \f(2,3)和eq \f(3,4)，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(5,12)
C．eq \f(1,4) D．eq \f(1,6)
5．设两个独立事件A和B都不发生的概率为eq \f(1,9)，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率为( )
A．eq \f(2,9) B．eq \f(1,18)
C．eq \f(1,3) D．eq \f(2,3)
6. 同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为y(若指针落在分界线，则重新转动该转盘)，x，y构成数对(x，y)，则所有数对(x，y)中满足xy＝4的概率为( )
A．eq \f(1,16) B．eq \f(1,8)
C．eq \f(3,16) D．eq \f(1,4)
7．甲、乙两颗卫星同时独立地监测台风．在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为( )
A．0.95 B．0.6
C．0.05 D．0.4
8．在如图所示的电路中，5个格子表示保险匣，格子中所示数据表示通电时保险丝被熔断的概率，则当开关合上时，电路畅通的概率是( )
A．eq \f(29,36) B．eq \f(551,720)
C．eq \f(29,72) D．eq \f(29,144)
二、多项选择题
9．已知A，B是相互独立事件，且P(A)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(2,3)，则下列说法正确的是( )
A．P(eq \(A,\s\up6(－)))＝eq \f(1,2) B．P(eq \(B,\s\up6(－)))＝eq \f(1,3)
C．P(Aeq \(B,\s\up6(－)))＝eq \f(1,3) D．P(eq \(A,\s\up6(－))B)＝eq \f(1,6)
10．国庆节放假，甲、乙、丙三人去北京旅游的概率分别是eq \f(1,3)，eq \f(1,4)，eq \f(1,5)，假定三人的行动相互之间没有影响，则下列说法正确的是( )
A．甲不去北京旅游的概率为eq \f(2,3)
B．甲去北京旅游且丙不去北京旅游的概率为eq \f(2,15)
C．至少有1人去北京旅游的概率为eq \f(3,5)
D．至少有2人去北京旅游的概率为eq \f(3,20)
11．甲、乙、丙三位同学用计算机联网学习数学，每天上课后独立完成6道自我检测题，甲及格的概率为eq \f(4,5)，乙及格的概率为eq \f(3,5)，丙及格的概率为eq \f(7,10)，三人各答一次，则下列说法正确的是( )
A．仅甲及格的概率为eq \f(28,125)
B．仅乙及格的概率为eq \f(9,250)
C．三人都不及格的概率为eq \f(3,125)
D．三人中只有1人及格的概率为eq \f(47,250)
12．甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，则下列说法正确的是( )
A．2人都射中目标的概率是0.72
B．2人中恰有1人射中目标的概率是0.28
C．2人至少有1人射中目标的概率是0.98
D．2人至多有1人射中目标的概率是0.02
三、填空题
13．甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为eq \f(1,2)和eq \f(1,3)，两人同时参加测试，其中有且只有一人能通过的概率是________．
14．在一次三人象棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜甲的概率为0.6，比赛顺序如下：第一局，甲对乙；第二局，第一局胜者对丙；第三局，第二局胜者对第一局败者；第四局，第三局胜者对第二局败者，则乙连胜四局的概率为________．
15．已知P(A)＝0.3，P(B)＝0.5，当事件A，B相互独立时，P(A＋B)＝________；当A，B互斥时，P(A＋B)＝________.
16．同学甲参加某科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错或不答均得零分．假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.6,0.5，且各题答对与否相互之间没有影响，则同学甲得分不低于300分的概率是________．
四、解答题
17．在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众需彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名，观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．
(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；
(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X＝2的概率．
18．小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．
19．A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：
A组：10,11,12,13,14,15,16；
B组：12,13,15,16,17,14，a.
假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．
(1)求甲的康复时间不少于14天的概率；
(2)如果a＝25, 求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率．
20．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)，设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为eq \f(1,4)，eq \f(1,2)，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为eq \f(1,2)，eq \f(1,4)；两人租车时间都不会超过4小时．
(1)求出甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率．
5.3.5 随机事件的独立性
知识点一 随机事件独立性的判定
1．袋中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用A1表示第一次摸得黑球，A2表示第二次摸得黑球，则A1与eq \x\t(A)2是( )
A．相互独立事件 B．不相互独立事件
C．互斥事件 D．对立事件
答案 A
解析 根据相互独立事件的概念可知，A1与A2相互独立，故A1与eq \x\t(A)2也相互独立．
2．甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B( )
A．相互独立但不互斥 B．互斥但不相互独立
C．相互独立且互斥 D．既不相互独立也不互斥
答案 A
解析 对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件．
3．掷一个正方体骰子一次，设事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3点或6点”，则事件A，B的关系是( )
A．互斥但不相互独立 B．相互独立但不互斥
C．互斥且相互独立 D．既不相互独立也不互斥
答案 B
解析 事件A＝{2,4,6}，事件B＝{3,6}，事件AB＝{6}，样本点空间Ω＝{1，2,3,4,5,6}．所以P(A)＝eq \f(3,6)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(2,6)＝eq \f(1,3)，P(AB)＝eq \f(1,6)＝eq \f(1,2)×eq \f(1,3)，即P(AB)＝P(A)P(B)，因此，事件A与B相互独立．当“出现6点”时，事件A，B同时发生，所以A，B不是互斥事件．
4．从一副扑克牌(去掉大、小王，共52张)中任抽一张，记事件A为“抽得K”，记事件B为“抽得草花”，记事件C为“抽得J”，判断下列每对事件是否相互独立？为什么？
(1)A与B；
(2)C与A．
解 (1)解法一：事件A与B相互独立．
因为任抽一张，事件B发生的概率为eq \f(1,4)，若事件A发生了，因为有4张K，是草花K的概率还是eq \f(1,4).
故A的发生与否并不影响事件B发生的概率，故事件A与B相互独立．
解法二：P(A)＝eq \f(4,52)＝eq \f(1,13)，P(B)＝eq \f(13,52)＝eq \f(1,4)，
事件AB即为“抽得草花K”，故P(AB)＝eq \f(1,52).
从而有P(A)P(B)＝P(AB)，因此事件A与B相互独立．
(2)事件A与C不相互独立．
任抽一张，事件C发生的概率为eq \f(1,13).若事件A发生了，则事件C就没有发生，即事件A的发生影响了事件C发生的概率，故二者不是相互独立事件．
知识点二 相互独立事件同时发生的概率
5．如图所示，在两个转盘中，指针落在转盘每个数所在区域的机会均等(区域的分界线忽略不计)，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )
A．eq \f(4,9) B．eq \f(2,9)
C．eq \f(2,3) D．eq \f(1,3)
答案 A
解析 ∵左边转盘指针落在奇数区域的概率为eq \f(2,3)，右边转盘指针落在奇数区域的概率为eq \f(2,3)，∴两个转盘指针同时落在奇数区域的概率为eq \f(2,3)×eq \f(2,3)＝eq \f(4,9).
6．某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为0.8,0.6,0.5，只有通过前一关才能进入下一关，且通过每关相互独立，一选手参加该节目，则该选手只闯过前两关的概率为( )
A．0.48 B．0.4
C．0.32 D．0.24
答案 D
解析 由题意可知该选手只闯过前两关，则第三关没闯过，由相互独立事件的概率可知P＝0.8×0.6×(1－0.5)＝0.24，故该选手只闯过前两关的概率为0.24，故D正确．
7．如图，用K，A1，A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K，A1，A2正常工作的概率依次是0.9,0.8,0.8，则系统正常工作的概率为( )
A．0.960 B．0.864
C．0.720 D．0.576
答案 B
解析 根据题意，记K，A1，A2正常工作分别为事件A，B，C．则P(A)＝0.9，A1，A2至少有一个正常工作的概率为1－P(eq \(B,\s\up6(－)))P(eq \(C,\s\up6(－)))＝1－0.2×0.2＝0.96，则系统正常工作的概率为0.9×0.96＝0.864.故选B.
8．在某次人才招聘会上，假定某毕业生赢得甲公司面试机会的概率为eq \f(2,3)，赢得乙、丙两公司面试机会的概率均为eq \f(1,4)，且三家公司是否让其面试是相互独立的，则该毕业生只赢得甲、乙两家公司面试机会的概率为( )
A．eq \f(1,16) B．eq \f(1,8)
C．eq \f(1,4) D．eq \f(1,2)
答案 B
解析 记事件A为“该毕业生赢得甲公司的面试机会”，事件B为“该毕业生赢得乙公司的面试机会”，事件C为“该毕业生赢得丙公司的面试机会”．由题意可得P(A)＝eq \f(2,3)，P(B)＝P(C)＝eq \f(1,4)，则“该毕业生只赢得甲、乙两家公司面试机会”为事件ABeq \(C,\s\up6(－))，由相互独立事件同时发生的概率公式，可得P(ABeq \(C,\s\up6(－)))＝P(A)P(B)P(eq \(C,\s\up6(－)))＝eq \f(2,3)×eq \f(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4)))＝eq \f(1,8).故选B.
9．三人破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为eq \f(1,5)，eq \f(1,3)，eq \f(1,4)，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为________．
答案 eq \f(3,5)
解析 用A，B，C分别表示“甲、乙、丙三人能破译出密码”，则P(A)＝eq \f(1,5)，P(B)＝eq \f(1,3)，P(C)＝eq \f(1,4)，
且P(eq \(A,\s\up6(－))eq \(B,\s\up6(－))eq \(C,\s\up6(－)))＝P(eq \(A,\s\up6(－)))P(eq \(B,\s\up6(－)))P(eq \(C,\s\up6(－)))＝eq \f(4,5)×eq \f(2,3)×eq \f(3,4)＝eq \f(2,5).
∴此密码被破译的概率为1－eq \f(2,5)＝eq \f(3,5).
知识点三 相互独立事件概率的综合应用
10．设两个相互独立事件A，B都不发生的概率为eq \f(1,9)，则A与B都发生的概率的取值范围是( )
A．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(8,9))) B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,9)，\f(5,9)))
C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(8,9))) D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(4,9)))
答案 D
解析 设事件A，B发生的概率分别为P(A)＝x，P(B)＝y，则P(eq \(A,\s\up6(－))eq \(B,\s\up6(－)))＝P(eq \(A,\s\up6(－)))P(eq \(B,\s\up6(－)))＝(1－x)·(1－y)＝eq \f(1,9)，即1＋xy＝eq \f(1,9)＋x＋y≥eq \f(1,9)＋2eq \r(xy)，当且仅当x＝y时取“＝”，∴(eq \r(xy)－1)2≥eq \f(1,9)，eq \r(xy)≤eq \f(2,3)或eq \r(xy)≥eq \f(4,3)(舍去)，∴0≤xy≤eq \f(4,9).∴P(AB)＝P(A)P(B)＝xy∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(4,9))).
11．某次战役中，狙击手A受命射击敌机，若要击落敌机，需命中机首2次或命中机中3次或命中机尾1次，已知A每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为0.2,0.4,0.1，未命中敌机的概率为0.3，且各次射击相互独立，若A至多射击2次，则他能击落敌机的概率为( )
A．0.23 B．0.2
C．0.16 D．0.1
答案 A
解析 A每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为0.2,0.4,0.1，未命中敌机的概率为0.3，且各次射击相互独立，若A射击1次就击落敌机，则他击中了敌机的机尾，概率为0.1；若A射击2次就击落敌机，则他2次都击中了敌机的机首，概率为0.2×0.2＝0.04或者第1次没有击中机尾且第2次击中了机尾，概率为0.9×0.1＝0.09，因此若A至多射击2次，则他能击落敌机的概率为0.1＋0.04＋0.09＝0.23，故选A．
12．若进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．
(1)求进入商场的一位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
(2)求进入商场的一位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率．
解 记事件A为“进入商场的一位顾客购买甲种商品”；记事件B为“进入商场的一位顾客购买乙种商品”；记事件C为“进入商场的一位顾客购买甲、乙两种商品中的一种”；记事件D为“进入商场的一位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种”．
(1)∵C＝Aeq \(B,\s\up6(－))＋eq \(A,\s\up6(－))B，∴P(C)＝P(Aeq \(B,\s\up6(－))＋eq \(A,\s\up6(－))B)＝P(Aeq \(B,\s\up6(－)))＋P(eq \(A,\s\up6(－))B)＝P(A)P(eq \(B,\s\up6(－)))＋P(eq \(A,\s\up6(－)))P(B)＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5.
(2)∵eq \(D,\s\up6(－))＝eq \(A,\s\up6(－))eq \(B,\s\up6(－))，∴P(eq \(D,\s\up6(－)))＝P(eq \(A,\s\up6(－))eq \(B,\s\up6(－)))＝P(eq \(A,\s\up6(－)))P(eq \(B,\s\up6(－)))＝0.5×0.4＝0.2，P(D)＝1－P(eq \(D,\s\up6(－)))＝0.8.
13．某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：
A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．
解 记CA1表示事件：“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”；
CA2表示事件：“A地区用户的满意度等级为非常满意”；
CB1表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”；
CB2表示事件：“B地区用户的满意度等级为满意”，
则CA1与CB1独立，CA2与CB2独立，CB1与CB2互斥，
C＝CB1CA1＋CB2CA2.
P(C)＝P(CB1CA1＋CB2CA2)＝P(CB1CA1)＋P(CB2CA2)
＝P(CB1)P(CA1)＋P(CB2)P(CA2)．
由所给数据得CA1，CA2，CB1，CB2发生的频率分别为eq \f(4,5)，eq \f(1,5)，eq \f(1,2)，eq \f(2,5)，故P(CA1)＝eq \f(4,5)，P(CA2)＝eq \f(1,5)，P(CB1)＝eq \f(1,2)，P(CB2)＝eq \f(2,5)，P(C)＝eq \f(1,2)×eq \f(4,5)＋eq \f(2,5)×eq \f(1,5)＝0.48.
14．某机械厂制造一种汽车零件，已知甲机床的正品率是0.96，乙机床的次品率是0.05，现从它们制造的产品中各任意抽取一件，试求：
(1)两件产品都是正品的概率；
(2)恰有一件是正品的概率；
(3)至少有一件是正品的概率．
解 用A表示“从甲机床生产的产品中抽得正品”，用B表示“从乙机床生产的产品中抽得正品”，用C表示“抽得的两件产品中恰有一件是正品”，用D表示“抽得的两件产品中至少有一件正品”，
则C＝Aeq \(B,\s\up6(－))＋eq \(A,\s\up6(－))B，D＝AB＋C．
(1)由题意知，A与B是相互独立事件，
P(B)＝1－P(eq \(B,\s\up6(－)))＝1－0.05＝0.95，P(A)＝0.96，
所以两件都是正品的概率为
P(AB)＝P(A)P(B)＝0.96×0.95＝0.912.
(2)由于事件Aeq \(B,\s\up6(－))与eq \(A,\s\up6(－))B互斥，且A，B，eq \(A,\s\up6(－))，eq \(B,\s\up6(－))彼此相互独立，所以恰有一件是正品的概率为
P(C)＝P(Aeq \(B,\s\up6(－))＋eq \(A,\s\up6(－))B)＝P(Aeq \(B,\s\up6(－)))＋P(eq \(A,\s\up6(－))B)＝P(A)P(eq \(B,\s\up6(－)))＋P(eq \(A,\s\up6(－)))P(B)＝0.96×0.05＋0.04×0.95＝0.086.
(3)由于事件AB与C互斥，
所以至少有一件是正品的概率为P(D)＝P(AB＋C)
＝P(AB)＋P(C)＝0.912＋0.086＝0.998.
易错点一 混淆独立事件和互斥事件致误
某自助银行共有A，B，C三台ATM机，在某段时间内，这三台ATM机被占用的概率分别为eq \f(1,3)，eq \f(1,4)，eq \f(1,5).若一位顾客到自助银行使用ATM机，则其不需要等待的概率为________．
易错分析 本题中在计算P(eq \(D,\s\up6(－)))时易将独立事件与互斥事件混淆，将独立事件误认为是互斥事件从而错用概率计算公式．
答案 eq \f(59,60)
正解 设事件A，B，C分别为“ATM机A，B，C被占用”，则P(A)＝eq \f(1,3)，P(B)＝eq \f(1,4)，P(C)＝eq \f(1,5).
记事件D：“顾客不需要等待”，则eq \(D,\s\up6(－))为“顾客需要等待”，
由已知得eq \(D,\s\up6(－))＝ABC，
所以P(eq \(D,\s\up6(－)))＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝eq \f(1,3)×eq \f(1,4)×eq \f(1,5)＝eq \f(1,60)，于是P(D)＝1－P(eq \(D,\s\up6(－)))＝1－eq \f(1,60)＝eq \f(59,60).
易错点二 不能正确理解独立事件发生的概率致误
设事件A与B相互独立，两个事件中只有A发生的概率和只有B发生的概率都是eq \f(1,4)，求事件A和事件B同时发生的概率．
易错分析 在相互独立事件A和B中，只有A发生，即事件Aeq \(B,\s\up6(－))发生；只有B发生，即事件eq \(A,\s\up6(－))B发生．
解决此类问题时，往往会误认为P(A)＝P(B)＝eq \f(1,4)，其实在A和B中只有A发生是指A发生和B不发生这两个基本事件同时发生，即事件Aeq \(B,\s\up6(－))发生．
正解 因为A和B相互独立，
所以A与eq \(B,\s\up6(－))，eq \(A,\s\up6(－))和B也相互独立．
所以P(Aeq \(B,\s\up6(－)))＝P(A)P(eq \(B,\s\up6(－)))＝P(A)[1－P(B)]＝eq \f(1,4)，①
P(eq \(A,\s\up6(－))B)＝P(eq \(A,\s\up6(－)))P(B)＝[1－P(A)]P(B)＝eq \f(1,4).②
①－②，得P(A)＝P(B)．③
①③联立，解得P(A)＝P(B)＝eq \f(1,2)，
所以P(AB)＝P(A)P(B)＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,4).
故事件A和事件B同时发生的概率为eq \f(1,4).
一、单项选择题
1．若P(AB)＝eq \f(1,9)，P(eq \(A,\s\up6(－)))＝eq \f(2,3)，P(B)＝eq \f(1,3)，则事件A与B的关系是( )
A．事件A与B互斥
B．事件A与B互为对立
C．事件A与B相互独立
D．事件A与B既互斥又独立
答案 C
解析 ∵P(A)＝1－P(eq \(A,\s\up6(－)))＝1－eq \f(2,3)＝eq \f(1,3)，∴P(AB)＝P(A)P(B)，∴事件A与B相互独立．
2．从应届高中生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为eq \f(1,3)，视力合格的概率为eq \f(1,6)，其他几项标准合格的概率为eq \f(1,5)，从中任选一名学生，则该生所有项均合格的概率为(假设各项标准互不影响)( )
A．eq \f(4,9) B．eq \f(1,90)
C．eq \f(4,5) D．eq \f(5,9)
答案 B
解析 该生各项均合格的概率为eq \f(1,3)×eq \f(1,6)×eq \f(1,5)＝eq \f(1,90).
3．张老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，他预估做对第一道题的概率是0.80，做对两道题的概率是0.60，则预估做对第二道题的概率是( )
A．0.80 B．0.75
C．0.60 D．0.48
答案 B
解析 设事件Ai(i＝1,2)表示“做对第i道题”，A1，A2相互独立，由已知得，P(A1)＝0.8，P(A1A2)＝0.6，
由P(A1A2)＝P(A1)·P(A2)＝0.8P(A2)＝0.6，
解得P(A2)＝eq \f(0.6,0.8)＝0.75.
4．甲、乙两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为eq \f(2,3)和eq \f(3,4)，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(5,12)
C．eq \f(1,4) D．eq \f(1,6)
答案 B
解析 设事件A：甲实习生加工的零件为一等品，事件B：乙实习生加工的零件为一等品，则P(A)＝eq \f(2,3)，P(B)＝eq \f(3,4)，所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为P(Aeq \(B,\s\up6(－)))＋P(eq \(A,\s\up6(－))B)＝P(A)P(eq \(B,\s\up6(－)))＋P(eq \(A,\s\up6(－)))P(B)＝eq \f(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,4)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))×eq \f(3,4)＝eq \f(5,12).
5．设两个独立事件A和B都不发生的概率为eq \f(1,9)，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率为( )
A．eq \f(2,9) B．eq \f(1,18)
C．eq \f(1,3) D．eq \f(2,3)
答案 D
解析 设事件A，B发生的概率分别为P(A)，P(B)，
由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(P\(A,\s\up6(－))\(B,\s\up6(－))＝\f(1,9)，,PA\(B,\s\up6(－))＝P\(A,\s\up6(－))B，))
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1([1－PA][1－PB]＝\f(1,9)，,PA[1－PB]＝[1－PA]PB，))
解得P(A)＝eq \f(2,3)，P(B)＝eq \f(2,3).故选D.
6. 同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为y(若指针落在分界线，则重新转动该转盘)，x，y构成数对(x，y)，则所有数对(x，y)中满足xy＝4的概率为( )
A．eq \f(1,16) B．eq \f(1,8)
C．eq \f(3,16) D．eq \f(1,4)
答案 C
解析 满足xy＝4的所有可能如下：x＝1，y＝4；x＝2，y＝2；x＝4，y＝1.∴所求事件的概率P＝P(x＝1，y＝4)＋P(x＝2，y＝2)＋P(x＝4，y＝1)＝eq \f(1,4)×eq \f(1,4)＋eq \f(1,4)×eq \f(1,4)＋eq \f(1,4)×eq \f(1,4)＝eq \f(3,16).
7．甲、乙两颗卫星同时独立地监测台风．在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为( )
A．0.95 B．0.6
C．0.05 D．0.4
答案 A
解析 解法一：在同一时刻至少有一颗卫星预报准确可分为：①甲预报准确，乙预报不准确；②甲预报不准确，乙预报准确；③甲预报准确，乙预报准确．这三个事件彼此互斥，故所求事件的概率为0.8×(1－0.75)＋(1－0.8)×0.75＋0.8×0.75＝0.95.
解法二：“在同一时刻至少有一颗卫星预报准确”的对立事件是“在同一时刻甲、乙两颗卫星预报都不准确”，故所求事件的概率为1－(1－0.8)(1－0.75)＝0.95.故选A．
8．在如图所示的电路中，5个格子表示保险匣，格子中所示数据表示通电时保险丝被熔断的概率，则当开关合上时，电路畅通的概率是( )
A．eq \f(29,36) B．eq \f(551,720)
C．eq \f(29,72) D．eq \f(29,144)
答案 A
解析 当开关合上时，电路畅通，即A至B畅通，且B至C畅通，A至B畅通的概率P1＝1－eq \f(1,4)×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))))＝eq \f(5,6)，B至C畅通的概率P2＝1－eq \f(1,5)×eq \f(1,6)＝eq \f(29,30)，所以电路畅通的概率P＝P1P2＝eq \f(5,6)×eq \f(29,30)＝eq \f(29,36).
二、多项选择题
9．已知A，B是相互独立事件，且P(A)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(2,3)，则下列说法正确的是( )
A．P(eq \(A,\s\up6(－)))＝eq \f(1,2) B．P(eq \(B,\s\up6(－)))＝eq \f(1,3)
C．P(Aeq \(B,\s\up6(－)))＝eq \f(1,3) D．P(eq \(A,\s\up6(－))B)＝eq \f(1,6)
答案 AB
解析 ∵A，B是相互独立事件，∴A与eq \(B,\s\up6(－))，eq \(A,\s\up6(－))与eq \(B,\s\up6(－))也是相互独立事件．又P(A)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(2,3)，故P(eq \(A,\s\up6(－)))＝1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)，P(eq \(B,\s\up6(－)))＝1－eq \f(2,3)＝eq \f(1,3)，∴P(Aeq \(B,\s\up6(－)))＝P(A)P(eq \(B,\s\up6(－)))＝eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,6)；P(eq \(A,\s\up6(－))B)＝P(eq \(A,\s\up6(－)))P(B)＝eq \f(1,2)×eq \f(2,3)＝eq \f(1,3).故选AB.
10．国庆节放假，甲、乙、丙三人去北京旅游的概率分别是eq \f(1,3)，eq \f(1,4)，eq \f(1,5)，假定三人的行动相互之间没有影响，则下列说法正确的是( )
A．甲不去北京旅游的概率为eq \f(2,3)
B．甲去北京旅游且丙不去北京旅游的概率为eq \f(2,15)
C．至少有1人去北京旅游的概率为eq \f(3,5)
D．至少有2人去北京旅游的概率为eq \f(3,20)
答案 AC
解析 设“国庆节放假，甲、乙、丙三人去北京旅游”分别为事件A，B，C，则A，B，C相互独立且P(A)＝eq \f(1,3)，P(B)＝eq \f(1,4)，P(C)＝eq \f(1,5)，则P(eq \(A,\s\up6(－)))＝1－eq \f(1,3)＝eq \f(2,3)，故A正确；甲去北京旅游且丙不去北京旅游的概率为P(Aeq \(C,\s\up6(－)))＝P(A)P(eq \(C,\s\up6(－)))＝eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,5)))＝eq \f(4,15)，故B错误；至少有1人去北京旅游的概率P＝1－P(eq \(A,\s\up6(－))eq \(B,\s\up6(－))eq \(C,\s\up6(－)))＝1－P(eq \(A,\s\up6(－)))P(eq \(B,\s\up6(－)))P(eq \(C,\s\up6(－)))＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,5)))＝1－eq \f(2,5)＝eq \f(3,5)，故C正确；至少有2人去北京旅游的概率为P(ABeq \(C,\s\up6(－))＋Aeq \(B,\s\up6(－))C＋eq \(A,\s\up6(－))BC＋ABC)＝P(A)P(B)P(eq \(C,\s\up6(－)))＋P(A)P(eq \(B,\s\up6(－)))P(C)＋P(eq \(A,\s\up6(－)))P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＝eq \f(1,3)×eq \f(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,5)))＋eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4)))×eq \f(1,5)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))×eq \f(1,4)×eq \f(1,5)＋eq \f(1,3)×eq \f(1,4)×eq \f(1,5)＝eq \f(1,6)，故D错误．故选AC．
11．甲、乙、丙三位同学用计算机联网学习数学，每天上课后独立完成6道自我检测题，甲及格的概率为eq \f(4,5)，乙及格的概率为eq \f(3,5)，丙及格的概率为eq \f(7,10)，三人各答一次，则下列说法正确的是( )
A．仅甲及格的概率为eq \f(28,125)
B．仅乙及格的概率为eq \f(9,250)
C．三人都不及格的概率为eq \f(3,125)
D．三人中只有1人及格的概率为eq \f(47,250)
答案 BCD
解析 ∵甲及格的概率为eq \f(4,5)，乙及格的概率为eq \f(3,5)，丙及格的概率为eq \f(7,10)，∴仅甲及格的概率为eq \f(4,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,5)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(7,10)))＝eq \f(24,250)＝eq \f(12,125)，仅乙及格的概率为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(4,5)))×eq \f(3,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(7,10)))＝eq \f(9,250)，仅丙及格的概率为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(4,5)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,5)))×eq \f(7,10)＝eq \f(14,250)＝eq \f(7,125)，三人都不及格的概率为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(4,5)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,5)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(7,10)))＝eq \f(3,125)，∴三人中只有一人及格的概率为eq \f(12,125)＋eq \f(9,250)＋eq \f(7,125)＝eq \f(47,250).故选BCD.
12．甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，则下列说法正确的是( )
A．2人都射中目标的概率是0.72
B．2人中恰有1人射中目标的概率是0.28
C．2人至少有1人射中目标的概率是0.98
D．2人至多有1人射中目标的概率是0.02
答案 AC
解析 设“甲射击1次，击中目标”为事件A，“乙射击1次，击中目标”为事件B，则A与B，eq \(A,\s\up6(－))与B，A与eq \(B,\s\up6(－))，eq \(A,\s\up6(－))与eq \(B,\s\up6(－))为相互独立事件，且P(A)＝0.8，P(B)＝0.9.A中，2人都射中目标的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝0.8×0.9＝0.72.B中，“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲射中、乙未射中(事件Aeq \(B,\s\up6(－))发生)，另一种是甲未射中、乙射中(事件eq \(A,\s\up6(－))B发生)．根据题意，事件Aeq \(B,\s\up6(－))与eq \(A,\s\up6(－))B互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为P(Aeq \(B,\s\up6(－)))＋P(eq \(A,\s\up6(－))B)＝P(A)P(eq \(B,\s\up6(－)))＋P(eq \(A,\s\up6(－)))P(B)＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9＝0.08＋0.18＝0.26.C中，“2人至少有1人射中目标”包括“2人都射中目标”和“2人中有1人射中目标”2种情况，其概率为P＝P(AB)＋[P(Aeq \(B,\s\up6(－)))＋P(eq \(A,\s\up6(－))B)]＝0.72＋0.26＝0.98.D中，“2人至多有1人射中目标”包括“有1人射中目标”和“2人都未射中目标”两种情况，故所求概率为P＝P(Aeq \(B,\s\up6(－)))＋P(eq \(A,\s\up6(－))B)＋P(eq \(A,\s\up6(－))eq \(B,\s\up6(－)))＝P(A)P(eq \(B,\s\up6(－)))＋P(eq \(A,\s\up6(－)))P(B)＋P(eq \(A,\s\up6(－)))P(eq \(B,\s\up6(－)))＝0.08＋0.18＋0.02＝0.28.故选AC．
三、填空题
13．甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为eq \f(1,2)和eq \f(1,3)，两人同时参加测试，其中有且只有一人能通过的概率是________．
答案 eq \f(1,2)
解析 设事件A表示“甲通过听力测试”，事件B表示“乙通过听力测试”．依题意知，事件A和B相互独立，且P(A)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(1,3).记“有且只有一人通过听力测试”为事件C，则C＝Aeq \(B,\s\up6(－))＋eq \(A,\s\up6(－))B，且Aeq \(B,\s\up6(－))和eq \(A,\s\up6(－))B互斥．故P(C)＝P(Aeq \(B,\s\up6(－))＋eq \(A,\s\up6(－))B)＝P(Aeq \(B,\s\up6(－)))＋P(eq \(A,\s\up6(－))B)＝P(A)P(eq \(B,\s\up6(－)))＋P(eq \(A,\s\up6(－)))P(B)＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))×eq \f(1,3)＝eq \f(1,2).
14．在一次三人象棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜甲的概率为0.6，比赛顺序如下：第一局，甲对乙；第二局，第一局胜者对丙；第三局，第二局胜者对第一局败者；第四局，第三局胜者对第二局败者，则乙连胜四局的概率为________．
答案 0.09
解析 乙连胜四局，即乙先胜甲，然后胜丙，接着再胜甲，最后再胜丙，∴概率P＝(1－0.4)×0.5×(1－0.4)×0.5＝0.09.
15．已知P(A)＝0.3，P(B)＝0.5，当事件A，B相互独立时，P(A＋B)＝________；当A，B互斥时，P(A＋B)＝________.
答案 0.65 0.8
解析 当A，B相互独立时，有P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝0.3＋0.5－0.3×0.5＝0.65.
当A，B互斥时，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8.
16．同学甲参加某科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错或不答均得零分．假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.6,0.5，且各题答对与否相互之间没有影响，则同学甲得分不低于300分的概率是________．
答案 0.46
解析 设“同学甲答对第i个题”为事件Ai(i＝1,2,3)，则P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.6，P(A3)＝0.5，且A1，A2，A3相互独立，同学甲得分不低于300分对应于事件A1A2A3＋A1eq \x\t(A2)A3＋eq \x\t(A1)A2A3发生，故所求概率为P＝P(A1A2A3＋A1eq \x\t(A2)A3＋eq \x\t(A1)A2A3)＝P(A1A2A3)＋P(A1eq \x\t(A2)A3)＋P(eq \x\t(A1)A2A3)＝P(A1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(eq \x\t(A2))P(A3)＋P(eq \x\t(A1))P(A2)P(A3)＝0.8×0.6×0.5＋0.8×0.4×0.5＋0.2×0.6×0.5＝0.46.
四、解答题
17．在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众需彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名，观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．
(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；
(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X＝2的概率．
解 (1)设事件A表示“观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手”．观众甲选中3号歌手的概率为eq \f(2,3)，观众乙未选中3号歌手的概率为1－eq \f(3,5)＝eq \f(2,5)，
所以P(A)＝eq \f(2,3)×eq \f(2,5)＝eq \f(4,15).
(2)用事件B，C，D分别表示“甲、乙、丙选中3号歌手”．根据题意，得P(B)＝eq \f(2,3)，P(C)＝eq \f(3,5)，P(D)＝eq \f(3,5).
X＝2意味着甲、乙、丙三人中只有2人选中3号歌手，所以P(X＝2)＝P(BCeq \(D,\s\up6(－)))＋P(Beq \(C,\s\up6(－))D)＋P(eq \(B,\s\up6(－))CD)＝eq \f(2,3)×eq \f(3,5)×eq \f(2,5)＋eq \f(2,3)×eq \f(2,5)×eq \f(3,5)＋eq \f(1,3)×eq \f(3,5)×eq \f(3,5)＝eq \f(11,25).
18．小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．
解 用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件，
则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，
所以P(eq \(A,\s\up6(－)))＝0.2，P(eq \(B,\s\up6(－)))＝0.3，P(eq \(C,\s\up6(－)))＝0.1.
由题意得A，B，C之间互相独立，
所以A，B，C，eq \(A,\s\up6(－))，eq \(B,\s\up6(－))，eq \(C,\s\up6(－))彼此相互独立．
(1)恰好有两列正点到达的概率为
P1＝P(eq \(A,\s\up6(－))BC)＋P(Aeq \(B,\s\up6(－))C)＋P(ABeq \(C,\s\up6(－)))
＝P(eq \(A,\s\up6(－)))P(B)P(C)＋P(A)P(eq \(B,\s\up6(－)))P(C)＋P(A)P(B)P(eq \(C,\s\up6(－)))
＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1
＝0.398.
(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为
P2＝1－P(eq \(A,\s\up6(－))eq \(B,\s\up6(－))eq \(C,\s\up6(－)))＝1－P(eq \(A,\s\up6(－)))P(eq \(B,\s\up6(－)))P(eq \(C,\s\up6(－)))
＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.
19．A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：
A组：10,11,12,13,14,15,16；
B组：12,13,15,16,17,14，a.
假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．
(1)求甲的康复时间不少于14天的概率；
(2)如果a＝25, 求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率．
解 设事件Ai为“甲是A组的第i个人”，
事件Bi为“乙是B组的第i个人”，i＝1,2，…，7.
由题意可知P(Ai)＝P(Bi)＝eq \f(1,7)，i＝1,2，…，7.
(1)由题意知，事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5人，或者第6人，或者第7人”，所以甲的康复时间不少于14天的概率是P(A5＋A6＋A7)＝P(A5)＋P(A6)＋P(A7)＝eq \f(3,7).
(2)设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”．由题意知，C＝A4B1＋A5B1＋A6B1＋A7B1＋A5B2＋A6B2＋A7B2＋A7B3＋A6B6＋A7B6.
因此P(C)＝P(A4B1)＋P(A5B1)＋P(A6B1)＋P(A7B1)＋P(A5B2)＋P(A6B2)＋P(A7B2)＋P(A7B3)＋P(A6B6)＋P(A7B6)＝10P(A4B1)＝10P(A4)P(B1)＝eq \f(10,49).
20．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)，设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为eq \f(1,4)，eq \f(1,2)，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为eq \f(1,2)，eq \f(1,4)；两人租车时间都不会超过4小时．
(1)求出甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率．
解 甲、乙两人租车时间超过三小时不超过四小时的概率分别为
1－eq \f(1,4)－eq \f(1,2)＝eq \f(1,4)，1－eq \f(1,2)－eq \f(1,4)＝eq \f(1,4).
(1)租车费用相同可分为租车费都为0元、2元、4元三种情况，都付0元的概率为P1＝eq \f(1,4)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,8)，都付2元的概率为P2＝eq \f(1,2)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,8)，
都付4元的概率为P3＝eq \f(1,4)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,16).
则甲、乙两人所付租车费用相同的概率为
P＝P1＋P2＋P3＝eq \f(5,16).
(2)甲、乙两人所付的租车费用之和为4元，其可能的情况是甲、乙两人的租车费用分别为①0元、4元，②2元、2元，③4元，0元，所以所求概率P＝eq \f(1,4)×eq \f(1,4)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,4)＋eq \f(1,4)×eq \f(1,2)＝eq \f(5,16)，即甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率为eq \f(5,16).满意度评分
低于70分
70分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
满意度评分
低于70分
70分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
知识点一 随机事件独立性的判定
1．袋中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用A1表示第一次摸得黑球，A2表示第二次摸得黑球，则A1与eq \x\t(A)2是( )
A．相互独立事件 B．不相互独立事件
C．互斥事件 D．对立事件
2．甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B( )
A．相互独立但不互斥 B．互斥但不相互独立
C．相互独立且互斥 D．既不相互独立也不互斥
3．掷一个正方体骰子一次，设事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3点或6点”，则事件A，B的关系是( )
A．互斥但不相互独立 B．相互独立但不互斥
C．互斥且相互独立 D．既不相互独立也不互斥
4．从一副扑克牌(去掉大、小王，共52张)中任抽一张，记事件A为“抽得K”，记事件B为“抽得草花”，记事件C为“抽得J”，判断下列每对事件是否相互独立？为什么？
(1)A与B；
(2)C与A．
知识点二 相互独立事件同时发生的概率
5．如图所示，在两个转盘中，指针落在转盘每个数所在区域的机会均等(区域的分界线忽略不计)，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )
A．eq \f(4,9) B．eq \f(2,9)
C．eq \f(2,3) D．eq \f(1,3)
6．某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为0.8,0.6,0.5，只有通过前一关才能进入下一关，且通过每关相互独立，一选手参加该节目，则该选手只闯过前两关的概率为( )
A．0.48 B．0.4
C．0.32 D．0.24
7．如图，用K，A1，A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K，A1，A2正常工作的概率依次是0.9,0.8,0.8，则系统正常工作的概率为( )
A．0.960 B．0.864
C．0.720 D．0.576
8．在某次人才招聘会上，假定某毕业生赢得甲公司面试机会的概率为eq \f(2,3)，赢得乙、丙两公司面试机会的概率均为eq \f(1,4)，且三家公司是否让其面试是相互独立的，则该毕业生只赢得甲、乙两家公司面试机会的概率为( )
A．eq \f(1,16) B．eq \f(1,8)
C．eq \f(1,4) D．eq \f(1,2)
9．三人破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为eq \f(1,5)，eq \f(1,3)，eq \f(1,4)，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为________．
知识点三 相互独立事件概率的综合应用
10．设两个相互独立事件A，B都不发生的概率为eq \f(1,9)，则A与B都发生的概率的取值范围是( )
A．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(8,9))) B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,9)，\f(5,9)))
C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(8,9))) D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(4,9)))
11．某次战役中，狙击手A受命射击敌机，若要击落敌机，需命中机首2次或命中机中3次或命中机尾1次，已知A每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为0.2,0.4,0.1，未命中敌机的概率为0.3，且各次射击相互独立，若A至多射击2次，则他能击落敌机的概率为( )
A．0.23 B．0.2
C．0.16 D．0.1
12．若进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．
(1)求进入商场的一位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
(2)求进入商场的一位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率．
13．某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：
A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．
14．某机械厂制造一种汽车零件，已知甲机床的正品率是0.96，乙机床的次品率是0.05，现从它们制造的产品中各任意抽取一件，试求：
(1)两件产品都是正品的概率；
(2)恰有一件是正品的概率；
(3)至少有一件是正品的概率．
易错点一 混淆独立事件和互斥事件致误
某自助银行共有A，B，C三台ATM机，在某段时间内，这三台ATM机被占用的概率分别为eq \f(1,3)，eq \f(1,4)，eq \f(1,5).若一位顾客到自助银行使用ATM机，则其不需要等待的概率为________．
易错点二 不能正确理解独立事件发生的概率致误
设事件A与B相互独立，两个事件中只有A发生的概率和只有B发生的概率都是eq \f(1,4)，求事件A和事件B同时发生的概率．
一、单项选择题
1．若P(AB)＝eq \f(1,9)，P(eq \(A,\s\up6(－)))＝eq \f(2,3)，P(B)＝eq \f(1,3)，则事件A与B的关系是( )
A．事件A与B互斥
B．事件A与B互为对立
C．事件A与B相互独立
D．事件A与B既互斥又独立
2．从应届高中生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为eq \f(1,3)，视力合格的概率为eq \f(1,6)，其他几项标准合格的概率为eq \f(1,5)，从中任选一名学生，则该生所有项均合格的概率为(假设各项标准互不影响)( )
A．eq \f(4,9) B．eq \f(1,90)
C．eq \f(4,5) D．eq \f(5,9)
3．张老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，他预估做对第一道题的概率是0.80，做对两道题的概率是0.60，则预估做对第二道题的概率是( )
A．0.80 B．0.75
C．0.60 D．0.48
4．甲、乙两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为eq \f(2,3)和eq \f(3,4)，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(5,12)
C．eq \f(1,4) D．eq \f(1,6)
5．设两个独立事件A和B都不发生的概率为eq \f(1,9)，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率为( )
A．eq \f(2,9) B．eq \f(1,18)
C．eq \f(1,3) D．eq \f(2,3)
6. 同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为y(若指针落在分界线，则重新转动该转盘)，x，y构成数对(x，y)，则所有数对(x，y)中满足xy＝4的概率为( )
A．eq \f(1,16) B．eq \f(1,8)
C．eq \f(3,16) D．eq \f(1,4)
7．甲、乙两颗卫星同时独立地监测台风．在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为( )
A．0.95 B．0.6
C．0.05 D．0.4
8．在如图所示的电路中，5个格子表示保险匣，格子中所示数据表示通电时保险丝被熔断的概率，则当开关合上时，电路畅通的概率是( )
A．eq \f(29,36) B．eq \f(551,720)
C．eq \f(29,72) D．eq \f(29,144)
二、多项选择题
9．已知A，B是相互独立事件，且P(A)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(2,3)，则下列说法正确的是( )
A．P(eq \(A,\s\up6(－)))＝eq \f(1,2) B．P(eq \(B,\s\up6(－)))＝eq \f(1,3)
C．P(Aeq \(B,\s\up6(－)))＝eq \f(1,3) D．P(eq \(A,\s\up6(－))B)＝eq \f(1,6)
10．国庆节放假，甲、乙、丙三人去北京旅游的概率分别是eq \f(1,3)，eq \f(1,4)，eq \f(1,5)，假定三人的行动相互之间没有影响，则下列说法正确的是( )
A．甲不去北京旅游的概率为eq \f(2,3)
B．甲去北京旅游且丙不去北京旅游的概率为eq \f(2,15)
C．至少有1人去北京旅游的概率为eq \f(3,5)
D．至少有2人去北京旅游的概率为eq \f(3,20)
11．甲、乙、丙三位同学用计算机联网学习数学，每天上课后独立完成6道自我检测题，甲及格的概率为eq \f(4,5)，乙及格的概率为eq \f(3,5)，丙及格的概率为eq \f(7,10)，三人各答一次，则下列说法正确的是( )
A．仅甲及格的概率为eq \f(28,125)
B．仅乙及格的概率为eq \f(9,250)
C．三人都不及格的概率为eq \f(3,125)
D．三人中只有1人及格的概率为eq \f(47,250)
12．甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，则下列说法正确的是( )
A．2人都射中目标的概率是0.72
B．2人中恰有1人射中目标的概率是0.28
C．2人至少有1人射中目标的概率是0.98
D．2人至多有1人射中目标的概率是0.02
三、填空题
13．甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为eq \f(1,2)和eq \f(1,3)，两人同时参加测试，其中有且只有一人能通过的概率是________．
14．在一次三人象棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜甲的概率为0.6，比赛顺序如下：第一局，甲对乙；第二局，第一局胜者对丙；第三局，第二局胜者对第一局败者；第四局，第三局胜者对第二局败者，则乙连胜四局的概率为________．
15．已知P(A)＝0.3，P(B)＝0.5，当事件A，B相互独立时，P(A＋B)＝________；当A，B互斥时，P(A＋B)＝________.
16．同学甲参加某科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错或不答均得零分．假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.6,0.5，且各题答对与否相互之间没有影响，则同学甲得分不低于300分的概率是________．
四、解答题
17．在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众需彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名，观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．
(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；
(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X＝2的概率．
18．小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．
19．A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：
A组：10,11,12,13,14,15,16；
B组：12,13,15,16,17,14，a.
假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．
(1)求甲的康复时间不少于14天的概率；
(2)如果a＝25, 求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率．
20．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)，设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为eq \f(1,4)，eq \f(1,2)，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为eq \f(1,2)，eq \f(1,4)；两人租车时间都不会超过4小时．
(1)求出甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率．
5.3.5 随机事件的独立性
知识点一 随机事件独立性的判定
1．袋中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用A1表示第一次摸得黑球，A2表示第二次摸得黑球，则A1与eq \x\t(A)2是( )
A．相互独立事件 B．不相互独立事件
C．互斥事件 D．对立事件
答案 A
解析 根据相互独立事件的概念可知，A1与A2相互独立，故A1与eq \x\t(A)2也相互独立．
2．甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B( )
A．相互独立但不互斥 B．互斥但不相互独立
C．相互独立且互斥 D．既不相互独立也不互斥
答案 A
解析 对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件．
3．掷一个正方体骰子一次，设事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3点或6点”，则事件A，B的关系是( )
A．互斥但不相互独立 B．相互独立但不互斥
C．互斥且相互独立 D．既不相互独立也不互斥
答案 B
解析 事件A＝{2,4,6}，事件B＝{3,6}，事件AB＝{6}，样本点空间Ω＝{1，2,3,4,5,6}．所以P(A)＝eq \f(3,6)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(2,6)＝eq \f(1,3)，P(AB)＝eq \f(1,6)＝eq \f(1,2)×eq \f(1,3)，即P(AB)＝P(A)P(B)，因此，事件A与B相互独立．当“出现6点”时，事件A，B同时发生，所以A，B不是互斥事件．
4．从一副扑克牌(去掉大、小王，共52张)中任抽一张，记事件A为“抽得K”，记事件B为“抽得草花”，记事件C为“抽得J”，判断下列每对事件是否相互独立？为什么？
(1)A与B；
(2)C与A．
解 (1)解法一：事件A与B相互独立．
因为任抽一张，事件B发生的概率为eq \f(1,4)，若事件A发生了，因为有4张K，是草花K的概率还是eq \f(1,4).
故A的发生与否并不影响事件B发生的概率，故事件A与B相互独立．
解法二：P(A)＝eq \f(4,52)＝eq \f(1,13)，P(B)＝eq \f(13,52)＝eq \f(1,4)，
事件AB即为“抽得草花K”，故P(AB)＝eq \f(1,52).
从而有P(A)P(B)＝P(AB)，因此事件A与B相互独立．
(2)事件A与C不相互独立．
任抽一张，事件C发生的概率为eq \f(1,13).若事件A发生了，则事件C就没有发生，即事件A的发生影响了事件C发生的概率，故二者不是相互独立事件．
知识点二 相互独立事件同时发生的概率
5．如图所示，在两个转盘中，指针落在转盘每个数所在区域的机会均等(区域的分界线忽略不计)，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )
A．eq \f(4,9) B．eq \f(2,9)
C．eq \f(2,3) D．eq \f(1,3)
答案 A
解析 ∵左边转盘指针落在奇数区域的概率为eq \f(2,3)，右边转盘指针落在奇数区域的概率为eq \f(2,3)，∴两个转盘指针同时落在奇数区域的概率为eq \f(2,3)×eq \f(2,3)＝eq \f(4,9).
6．某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为0.8,0.6,0.5，只有通过前一关才能进入下一关，且通过每关相互独立，一选手参加该节目，则该选手只闯过前两关的概率为( )
A．0.48 B．0.4
C．0.32 D．0.24
答案 D
解析 由题意可知该选手只闯过前两关，则第三关没闯过，由相互独立事件的概率可知P＝0.8×0.6×(1－0.5)＝0.24，故该选手只闯过前两关的概率为0.24，故D正确．
7．如图，用K，A1，A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K，A1，A2正常工作的概率依次是0.9,0.8,0.8，则系统正常工作的概率为( )
A．0.960 B．0.864
C．0.720 D．0.576
答案 B
解析 根据题意，记K，A1，A2正常工作分别为事件A，B，C．则P(A)＝0.9，A1，A2至少有一个正常工作的概率为1－P(eq \(B,\s\up6(－)))P(eq \(C,\s\up6(－)))＝1－0.2×0.2＝0.96，则系统正常工作的概率为0.9×0.96＝0.864.故选B.
8．在某次人才招聘会上，假定某毕业生赢得甲公司面试机会的概率为eq \f(2,3)，赢得乙、丙两公司面试机会的概率均为eq \f(1,4)，且三家公司是否让其面试是相互独立的，则该毕业生只赢得甲、乙两家公司面试机会的概率为( )
A．eq \f(1,16) B．eq \f(1,8)
C．eq \f(1,4) D．eq \f(1,2)
答案 B
解析 记事件A为“该毕业生赢得甲公司的面试机会”，事件B为“该毕业生赢得乙公司的面试机会”，事件C为“该毕业生赢得丙公司的面试机会”．由题意可得P(A)＝eq \f(2,3)，P(B)＝P(C)＝eq \f(1,4)，则“该毕业生只赢得甲、乙两家公司面试机会”为事件ABeq \(C,\s\up6(－))，由相互独立事件同时发生的概率公式，可得P(ABeq \(C,\s\up6(－)))＝P(A)P(B)P(eq \(C,\s\up6(－)))＝eq \f(2,3)×eq \f(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4)))＝eq \f(1,8).故选B.
9．三人破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为eq \f(1,5)，eq \f(1,3)，eq \f(1,4)，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为________．
答案 eq \f(3,5)
解析 用A，B，C分别表示“甲、乙、丙三人能破译出密码”，则P(A)＝eq \f(1,5)，P(B)＝eq \f(1,3)，P(C)＝eq \f(1,4)，
且P(eq \(A,\s\up6(－))eq \(B,\s\up6(－))eq \(C,\s\up6(－)))＝P(eq \(A,\s\up6(－)))P(eq \(B,\s\up6(－)))P(eq \(C,\s\up6(－)))＝eq \f(4,5)×eq \f(2,3)×eq \f(3,4)＝eq \f(2,5).
∴此密码被破译的概率为1－eq \f(2,5)＝eq \f(3,5).
知识点三 相互独立事件概率的综合应用
10．设两个相互独立事件A，B都不发生的概率为eq \f(1,9)，则A与B都发生的概率的取值范围是( )
A．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(8,9))) B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,9)，\f(5,9)))
C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(8,9))) D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(4,9)))
答案 D
解析 设事件A，B发生的概率分别为P(A)＝x，P(B)＝y，则P(eq \(A,\s\up6(－))eq \(B,\s\up6(－)))＝P(eq \(A,\s\up6(－)))P(eq \(B,\s\up6(－)))＝(1－x)·(1－y)＝eq \f(1,9)，即1＋xy＝eq \f(1,9)＋x＋y≥eq \f(1,9)＋2eq \r(xy)，当且仅当x＝y时取“＝”，∴(eq \r(xy)－1)2≥eq \f(1,9)，eq \r(xy)≤eq \f(2,3)或eq \r(xy)≥eq \f(4,3)(舍去)，∴0≤xy≤eq \f(4,9).∴P(AB)＝P(A)P(B)＝xy∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(4,9))).
11．某次战役中，狙击手A受命射击敌机，若要击落敌机，需命中机首2次或命中机中3次或命中机尾1次，已知A每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为0.2,0.4,0.1，未命中敌机的概率为0.3，且各次射击相互独立，若A至多射击2次，则他能击落敌机的概率为( )
A．0.23 B．0.2
C．0.16 D．0.1
答案 A
解析 A每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为0.2,0.4,0.1，未命中敌机的概率为0.3，且各次射击相互独立，若A射击1次就击落敌机，则他击中了敌机的机尾，概率为0.1；若A射击2次就击落敌机，则他2次都击中了敌机的机首，概率为0.2×0.2＝0.04或者第1次没有击中机尾且第2次击中了机尾，概率为0.9×0.1＝0.09，因此若A至多射击2次，则他能击落敌机的概率为0.1＋0.04＋0.09＝0.23，故选A．
12．若进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．
(1)求进入商场的一位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
(2)求进入商场的一位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率．
解 记事件A为“进入商场的一位顾客购买甲种商品”；记事件B为“进入商场的一位顾客购买乙种商品”；记事件C为“进入商场的一位顾客购买甲、乙两种商品中的一种”；记事件D为“进入商场的一位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种”．
(1)∵C＝Aeq \(B,\s\up6(－))＋eq \(A,\s\up6(－))B，∴P(C)＝P(Aeq \(B,\s\up6(－))＋eq \(A,\s\up6(－))B)＝P(Aeq \(B,\s\up6(－)))＋P(eq \(A,\s\up6(－))B)＝P(A)P(eq \(B,\s\up6(－)))＋P(eq \(A,\s\up6(－)))P(B)＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5.
(2)∵eq \(D,\s\up6(－))＝eq \(A,\s\up6(－))eq \(B,\s\up6(－))，∴P(eq \(D,\s\up6(－)))＝P(eq \(A,\s\up6(－))eq \(B,\s\up6(－)))＝P(eq \(A,\s\up6(－)))P(eq \(B,\s\up6(－)))＝0.5×0.4＝0.2，P(D)＝1－P(eq \(D,\s\up6(－)))＝0.8.
13．某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：
A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．
解 记CA1表示事件：“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”；
CA2表示事件：“A地区用户的满意度等级为非常满意”；
CB1表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”；
CB2表示事件：“B地区用户的满意度等级为满意”，
则CA1与CB1独立，CA2与CB2独立，CB1与CB2互斥，
C＝CB1CA1＋CB2CA2.
P(C)＝P(CB1CA1＋CB2CA2)＝P(CB1CA1)＋P(CB2CA2)
＝P(CB1)P(CA1)＋P(CB2)P(CA2)．
由所给数据得CA1，CA2，CB1，CB2发生的频率分别为eq \f(4,5)，eq \f(1,5)，eq \f(1,2)，eq \f(2,5)，故P(CA1)＝eq \f(4,5)，P(CA2)＝eq \f(1,5)，P(CB1)＝eq \f(1,2)，P(CB2)＝eq \f(2,5)，P(C)＝eq \f(1,2)×eq \f(4,5)＋eq \f(2,5)×eq \f(1,5)＝0.48.
14．某机械厂制造一种汽车零件，已知甲机床的正品率是0.96，乙机床的次品率是0.05，现从它们制造的产品中各任意抽取一件，试求：
(1)两件产品都是正品的概率；
(2)恰有一件是正品的概率；
(3)至少有一件是正品的概率．
解 用A表示“从甲机床生产的产品中抽得正品”，用B表示“从乙机床生产的产品中抽得正品”，用C表示“抽得的两件产品中恰有一件是正品”，用D表示“抽得的两件产品中至少有一件正品”，
则C＝Aeq \(B,\s\up6(－))＋eq \(A,\s\up6(－))B，D＝AB＋C．
(1)由题意知，A与B是相互独立事件，
P(B)＝1－P(eq \(B,\s\up6(－)))＝1－0.05＝0.95，P(A)＝0.96，
所以两件都是正品的概率为
P(AB)＝P(A)P(B)＝0.96×0.95＝0.912.
(2)由于事件Aeq \(B,\s\up6(－))与eq \(A,\s\up6(－))B互斥，且A，B，eq \(A,\s\up6(－))，eq \(B,\s\up6(－))彼此相互独立，所以恰有一件是正品的概率为
P(C)＝P(Aeq \(B,\s\up6(－))＋eq \(A,\s\up6(－))B)＝P(Aeq \(B,\s\up6(－)))＋P(eq \(A,\s\up6(－))B)＝P(A)P(eq \(B,\s\up6(－)))＋P(eq \(A,\s\up6(－)))P(B)＝0.96×0.05＋0.04×0.95＝0.086.
(3)由于事件AB与C互斥，
所以至少有一件是正品的概率为P(D)＝P(AB＋C)
＝P(AB)＋P(C)＝0.912＋0.086＝0.998.
易错点一 混淆独立事件和互斥事件致误
某自助银行共有A，B，C三台ATM机，在某段时间内，这三台ATM机被占用的概率分别为eq \f(1,3)，eq \f(1,4)，eq \f(1,5).若一位顾客到自助银行使用ATM机，则其不需要等待的概率为________．
易错分析 本题中在计算P(eq \(D,\s\up6(－)))时易将独立事件与互斥事件混淆，将独立事件误认为是互斥事件从而错用概率计算公式．
答案 eq \f(59,60)
正解 设事件A，B，C分别为“ATM机A，B，C被占用”，则P(A)＝eq \f(1,3)，P(B)＝eq \f(1,4)，P(C)＝eq \f(1,5).
记事件D：“顾客不需要等待”，则eq \(D,\s\up6(－))为“顾客需要等待”，
由已知得eq \(D,\s\up6(－))＝ABC，
所以P(eq \(D,\s\up6(－)))＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝eq \f(1,3)×eq \f(1,4)×eq \f(1,5)＝eq \f(1,60)，于是P(D)＝1－P(eq \(D,\s\up6(－)))＝1－eq \f(1,60)＝eq \f(59,60).
易错点二 不能正确理解独立事件发生的概率致误
设事件A与B相互独立，两个事件中只有A发生的概率和只有B发生的概率都是eq \f(1,4)，求事件A和事件B同时发生的概率．
易错分析 在相互独立事件A和B中，只有A发生，即事件Aeq \(B,\s\up6(－))发生；只有B发生，即事件eq \(A,\s\up6(－))B发生．
解决此类问题时，往往会误认为P(A)＝P(B)＝eq \f(1,4)，其实在A和B中只有A发生是指A发生和B不发生这两个基本事件同时发生，即事件Aeq \(B,\s\up6(－))发生．
正解 因为A和B相互独立，
所以A与eq \(B,\s\up6(－))，eq \(A,\s\up6(－))和B也相互独立．
所以P(Aeq \(B,\s\up6(－)))＝P(A)P(eq \(B,\s\up6(－)))＝P(A)[1－P(B)]＝eq \f(1,4)，①
P(eq \(A,\s\up6(－))B)＝P(eq \(A,\s\up6(－)))P(B)＝[1－P(A)]P(B)＝eq \f(1,4).②
①－②，得P(A)＝P(B)．③
①③联立，解得P(A)＝P(B)＝eq \f(1,2)，
所以P(AB)＝P(A)P(B)＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,4).
故事件A和事件B同时发生的概率为eq \f(1,4).
一、单项选择题
1．若P(AB)＝eq \f(1,9)，P(eq \(A,\s\up6(－)))＝eq \f(2,3)，P(B)＝eq \f(1,3)，则事件A与B的关系是( )
A．事件A与B互斥
B．事件A与B互为对立
C．事件A与B相互独立
D．事件A与B既互斥又独立
答案 C
解析 ∵P(A)＝1－P(eq \(A,\s\up6(－)))＝1－eq \f(2,3)＝eq \f(1,3)，∴P(AB)＝P(A)P(B)，∴事件A与B相互独立．
2．从应届高中生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为eq \f(1,3)，视力合格的概率为eq \f(1,6)，其他几项标准合格的概率为eq \f(1,5)，从中任选一名学生，则该生所有项均合格的概率为(假设各项标准互不影响)( )
A．eq \f(4,9) B．eq \f(1,90)
C．eq \f(4,5) D．eq \f(5,9)
答案 B
解析 该生各项均合格的概率为eq \f(1,3)×eq \f(1,6)×eq \f(1,5)＝eq \f(1,90).
3．张老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，他预估做对第一道题的概率是0.80，做对两道题的概率是0.60，则预估做对第二道题的概率是( )
A．0.80 B．0.75
C．0.60 D．0.48
答案 B
解析 设事件Ai(i＝1,2)表示“做对第i道题”，A1，A2相互独立，由已知得，P(A1)＝0.8，P(A1A2)＝0.6，
由P(A1A2)＝P(A1)·P(A2)＝0.8P(A2)＝0.6，
解得P(A2)＝eq \f(0.6,0.8)＝0.75.
4．甲、乙两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为eq \f(2,3)和eq \f(3,4)，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(5,12)
C．eq \f(1,4) D．eq \f(1,6)
答案 B
解析 设事件A：甲实习生加工的零件为一等品，事件B：乙实习生加工的零件为一等品，则P(A)＝eq \f(2,3)，P(B)＝eq \f(3,4)，所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为P(Aeq \(B,\s\up6(－)))＋P(eq \(A,\s\up6(－))B)＝P(A)P(eq \(B,\s\up6(－)))＋P(eq \(A,\s\up6(－)))P(B)＝eq \f(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,4)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))×eq \f(3,4)＝eq \f(5,12).
5．设两个独立事件A和B都不发生的概率为eq \f(1,9)，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率为( )
A．eq \f(2,9) B．eq \f(1,18)
C．eq \f(1,3) D．eq \f(2,3)
答案 D
解析 设事件A，B发生的概率分别为P(A)，P(B)，
由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(P\(A,\s\up6(－))\(B,\s\up6(－))＝\f(1,9)，,PA\(B,\s\up6(－))＝P\(A,\s\up6(－))B，))
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1([1－PA][1－PB]＝\f(1,9)，,PA[1－PB]＝[1－PA]PB，))
解得P(A)＝eq \f(2,3)，P(B)＝eq \f(2,3).故选D.
6. 同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为y(若指针落在分界线，则重新转动该转盘)，x，y构成数对(x，y)，则所有数对(x，y)中满足xy＝4的概率为( )
A．eq \f(1,16) B．eq \f(1,8)
C．eq \f(3,16) D．eq \f(1,4)
答案 C
解析 满足xy＝4的所有可能如下：x＝1，y＝4；x＝2，y＝2；x＝4，y＝1.∴所求事件的概率P＝P(x＝1，y＝4)＋P(x＝2，y＝2)＋P(x＝4，y＝1)＝eq \f(1,4)×eq \f(1,4)＋eq \f(1,4)×eq \f(1,4)＋eq \f(1,4)×eq \f(1,4)＝eq \f(3,16).
7．甲、乙两颗卫星同时独立地监测台风．在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为( )
A．0.95 B．0.6
C．0.05 D．0.4
答案 A
解析 解法一：在同一时刻至少有一颗卫星预报准确可分为：①甲预报准确，乙预报不准确；②甲预报不准确，乙预报准确；③甲预报准确，乙预报准确．这三个事件彼此互斥，故所求事件的概率为0.8×(1－0.75)＋(1－0.8)×0.75＋0.8×0.75＝0.95.
解法二：“在同一时刻至少有一颗卫星预报准确”的对立事件是“在同一时刻甲、乙两颗卫星预报都不准确”，故所求事件的概率为1－(1－0.8)(1－0.75)＝0.95.故选A．
8．在如图所示的电路中，5个格子表示保险匣，格子中所示数据表示通电时保险丝被熔断的概率，则当开关合上时，电路畅通的概率是( )
A．eq \f(29,36) B．eq \f(551,720)
C．eq \f(29,72) D．eq \f(29,144)
答案 A
解析 当开关合上时，电路畅通，即A至B畅通，且B至C畅通，A至B畅通的概率P1＝1－eq \f(1,4)×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))))＝eq \f(5,6)，B至C畅通的概率P2＝1－eq \f(1,5)×eq \f(1,6)＝eq \f(29,30)，所以电路畅通的概率P＝P1P2＝eq \f(5,6)×eq \f(29,30)＝eq \f(29,36).
二、多项选择题
9．已知A，B是相互独立事件，且P(A)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(2,3)，则下列说法正确的是( )
A．P(eq \(A,\s\up6(－)))＝eq \f(1,2) B．P(eq \(B,\s\up6(－)))＝eq \f(1,3)
C．P(Aeq \(B,\s\up6(－)))＝eq \f(1,3) D．P(eq \(A,\s\up6(－))B)＝eq \f(1,6)
答案 AB
解析 ∵A，B是相互独立事件，∴A与eq \(B,\s\up6(－))，eq \(A,\s\up6(－))与eq \(B,\s\up6(－))也是相互独立事件．又P(A)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(2,3)，故P(eq \(A,\s\up6(－)))＝1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)，P(eq \(B,\s\up6(－)))＝1－eq \f(2,3)＝eq \f(1,3)，∴P(Aeq \(B,\s\up6(－)))＝P(A)P(eq \(B,\s\up6(－)))＝eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,6)；P(eq \(A,\s\up6(－))B)＝P(eq \(A,\s\up6(－)))P(B)＝eq \f(1,2)×eq \f(2,3)＝eq \f(1,3).故选AB.
10．国庆节放假，甲、乙、丙三人去北京旅游的概率分别是eq \f(1,3)，eq \f(1,4)，eq \f(1,5)，假定三人的行动相互之间没有影响，则下列说法正确的是( )
A．甲不去北京旅游的概率为eq \f(2,3)
B．甲去北京旅游且丙不去北京旅游的概率为eq \f(2,15)
C．至少有1人去北京旅游的概率为eq \f(3,5)
D．至少有2人去北京旅游的概率为eq \f(3,20)
答案 AC
解析 设“国庆节放假，甲、乙、丙三人去北京旅游”分别为事件A，B，C，则A，B，C相互独立且P(A)＝eq \f(1,3)，P(B)＝eq \f(1,4)，P(C)＝eq \f(1,5)，则P(eq \(A,\s\up6(－)))＝1－eq \f(1,3)＝eq \f(2,3)，故A正确；甲去北京旅游且丙不去北京旅游的概率为P(Aeq \(C,\s\up6(－)))＝P(A)P(eq \(C,\s\up6(－)))＝eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,5)))＝eq \f(4,15)，故B错误；至少有1人去北京旅游的概率P＝1－P(eq \(A,\s\up6(－))eq \(B,\s\up6(－))eq \(C,\s\up6(－)))＝1－P(eq \(A,\s\up6(－)))P(eq \(B,\s\up6(－)))P(eq \(C,\s\up6(－)))＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,5)))＝1－eq \f(2,5)＝eq \f(3,5)，故C正确；至少有2人去北京旅游的概率为P(ABeq \(C,\s\up6(－))＋Aeq \(B,\s\up6(－))C＋eq \(A,\s\up6(－))BC＋ABC)＝P(A)P(B)P(eq \(C,\s\up6(－)))＋P(A)P(eq \(B,\s\up6(－)))P(C)＋P(eq \(A,\s\up6(－)))P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＝eq \f(1,3)×eq \f(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,5)))＋eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4)))×eq \f(1,5)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))×eq \f(1,4)×eq \f(1,5)＋eq \f(1,3)×eq \f(1,4)×eq \f(1,5)＝eq \f(1,6)，故D错误．故选AC．
11．甲、乙、丙三位同学用计算机联网学习数学，每天上课后独立完成6道自我检测题，甲及格的概率为eq \f(4,5)，乙及格的概率为eq \f(3,5)，丙及格的概率为eq \f(7,10)，三人各答一次，则下列说法正确的是( )
A．仅甲及格的概率为eq \f(28,125)
B．仅乙及格的概率为eq \f(9,250)
C．三人都不及格的概率为eq \f(3,125)
D．三人中只有1人及格的概率为eq \f(47,250)
答案 BCD
解析 ∵甲及格的概率为eq \f(4,5)，乙及格的概率为eq \f(3,5)，丙及格的概率为eq \f(7,10)，∴仅甲及格的概率为eq \f(4,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,5)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(7,10)))＝eq \f(24,250)＝eq \f(12,125)，仅乙及格的概率为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(4,5)))×eq \f(3,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(7,10)))＝eq \f(9,250)，仅丙及格的概率为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(4,5)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,5)))×eq \f(7,10)＝eq \f(14,250)＝eq \f(7,125)，三人都不及格的概率为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(4,5)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,5)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(7,10)))＝eq \f(3,125)，∴三人中只有一人及格的概率为eq \f(12,125)＋eq \f(9,250)＋eq \f(7,125)＝eq \f(47,250).故选BCD.
12．甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，则下列说法正确的是( )
A．2人都射中目标的概率是0.72
B．2人中恰有1人射中目标的概率是0.28
C．2人至少有1人射中目标的概率是0.98
D．2人至多有1人射中目标的概率是0.02
答案 AC
解析 设“甲射击1次，击中目标”为事件A，“乙射击1次，击中目标”为事件B，则A与B，eq \(A,\s\up6(－))与B，A与eq \(B,\s\up6(－))，eq \(A,\s\up6(－))与eq \(B,\s\up6(－))为相互独立事件，且P(A)＝0.8，P(B)＝0.9.A中，2人都射中目标的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝0.8×0.9＝0.72.B中，“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲射中、乙未射中(事件Aeq \(B,\s\up6(－))发生)，另一种是甲未射中、乙射中(事件eq \(A,\s\up6(－))B发生)．根据题意，事件Aeq \(B,\s\up6(－))与eq \(A,\s\up6(－))B互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为P(Aeq \(B,\s\up6(－)))＋P(eq \(A,\s\up6(－))B)＝P(A)P(eq \(B,\s\up6(－)))＋P(eq \(A,\s\up6(－)))P(B)＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9＝0.08＋0.18＝0.26.C中，“2人至少有1人射中目标”包括“2人都射中目标”和“2人中有1人射中目标”2种情况，其概率为P＝P(AB)＋[P(Aeq \(B,\s\up6(－)))＋P(eq \(A,\s\up6(－))B)]＝0.72＋0.26＝0.98.D中，“2人至多有1人射中目标”包括“有1人射中目标”和“2人都未射中目标”两种情况，故所求概率为P＝P(Aeq \(B,\s\up6(－)))＋P(eq \(A,\s\up6(－))B)＋P(eq \(A,\s\up6(－))eq \(B,\s\up6(－)))＝P(A)P(eq \(B,\s\up6(－)))＋P(eq \(A,\s\up6(－)))P(B)＋P(eq \(A,\s\up6(－)))P(eq \(B,\s\up6(－)))＝0.08＋0.18＋0.02＝0.28.故选AC．
三、填空题
13．甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为eq \f(1,2)和eq \f(1,3)，两人同时参加测试，其中有且只有一人能通过的概率是________．
答案 eq \f(1,2)
解析 设事件A表示“甲通过听力测试”，事件B表示“乙通过听力测试”．依题意知，事件A和B相互独立，且P(A)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(1,3).记“有且只有一人通过听力测试”为事件C，则C＝Aeq \(B,\s\up6(－))＋eq \(A,\s\up6(－))B，且Aeq \(B,\s\up6(－))和eq \(A,\s\up6(－))B互斥．故P(C)＝P(Aeq \(B,\s\up6(－))＋eq \(A,\s\up6(－))B)＝P(Aeq \(B,\s\up6(－)))＋P(eq \(A,\s\up6(－))B)＝P(A)P(eq \(B,\s\up6(－)))＋P(eq \(A,\s\up6(－)))P(B)＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))×eq \f(1,3)＝eq \f(1,2).
14．在一次三人象棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜甲的概率为0.6，比赛顺序如下：第一局，甲对乙；第二局，第一局胜者对丙；第三局，第二局胜者对第一局败者；第四局，第三局胜者对第二局败者，则乙连胜四局的概率为________．
答案 0.09
解析 乙连胜四局，即乙先胜甲，然后胜丙，接着再胜甲，最后再胜丙，∴概率P＝(1－0.4)×0.5×(1－0.4)×0.5＝0.09.
15．已知P(A)＝0.3，P(B)＝0.5，当事件A，B相互独立时，P(A＋B)＝________；当A，B互斥时，P(A＋B)＝________.
答案 0.65 0.8
解析 当A，B相互独立时，有P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝0.3＋0.5－0.3×0.5＝0.65.
当A，B互斥时，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8.
16．同学甲参加某科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错或不答均得零分．假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.6,0.5，且各题答对与否相互之间没有影响，则同学甲得分不低于300分的概率是________．
答案 0.46
解析 设“同学甲答对第i个题”为事件Ai(i＝1,2,3)，则P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.6，P(A3)＝0.5，且A1，A2，A3相互独立，同学甲得分不低于300分对应于事件A1A2A3＋A1eq \x\t(A2)A3＋eq \x\t(A1)A2A3发生，故所求概率为P＝P(A1A2A3＋A1eq \x\t(A2)A3＋eq \x\t(A1)A2A3)＝P(A1A2A3)＋P(A1eq \x\t(A2)A3)＋P(eq \x\t(A1)A2A3)＝P(A1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(eq \x\t(A2))P(A3)＋P(eq \x\t(A1))P(A2)P(A3)＝0.8×0.6×0.5＋0.8×0.4×0.5＋0.2×0.6×0.5＝0.46.
四、解答题
17．在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众需彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名，观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．
(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；
(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X＝2的概率．
解 (1)设事件A表示“观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手”．观众甲选中3号歌手的概率为eq \f(2,3)，观众乙未选中3号歌手的概率为1－eq \f(3,5)＝eq \f(2,5)，
所以P(A)＝eq \f(2,3)×eq \f(2,5)＝eq \f(4,15).
(2)用事件B，C，D分别表示“甲、乙、丙选中3号歌手”．根据题意，得P(B)＝eq \f(2,3)，P(C)＝eq \f(3,5)，P(D)＝eq \f(3,5).
X＝2意味着甲、乙、丙三人中只有2人选中3号歌手，所以P(X＝2)＝P(BCeq \(D,\s\up6(－)))＋P(Beq \(C,\s\up6(－))D)＋P(eq \(B,\s\up6(－))CD)＝eq \f(2,3)×eq \f(3,5)×eq \f(2,5)＋eq \f(2,3)×eq \f(2,5)×eq \f(3,5)＋eq \f(1,3)×eq \f(3,5)×eq \f(3,5)＝eq \f(11,25).
18．小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．
解 用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件，
则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，
所以P(eq \(A,\s\up6(－)))＝0.2，P(eq \(B,\s\up6(－)))＝0.3，P(eq \(C,\s\up6(－)))＝0.1.
由题意得A，B，C之间互相独立，
所以A，B，C，eq \(A,\s\up6(－))，eq \(B,\s\up6(－))，eq \(C,\s\up6(－))彼此相互独立．
(1)恰好有两列正点到达的概率为
P1＝P(eq \(A,\s\up6(－))BC)＋P(Aeq \(B,\s\up6(－))C)＋P(ABeq \(C,\s\up6(－)))
＝P(eq \(A,\s\up6(－)))P(B)P(C)＋P(A)P(eq \(B,\s\up6(－)))P(C)＋P(A)P(B)P(eq \(C,\s\up6(－)))
＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1
＝0.398.
(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为
P2＝1－P(eq \(A,\s\up6(－))eq \(B,\s\up6(－))eq \(C,\s\up6(－)))＝1－P(eq \(A,\s\up6(－)))P(eq \(B,\s\up6(－)))P(eq \(C,\s\up6(－)))
＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.
19．A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：
A组：10,11,12,13,14,15,16；
B组：12,13,15,16,17,14，a.
假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．
(1)求甲的康复时间不少于14天的概率；
(2)如果a＝25, 求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率．
解 设事件Ai为“甲是A组的第i个人”，
事件Bi为“乙是B组的第i个人”，i＝1,2，…，7.
由题意可知P(Ai)＝P(Bi)＝eq \f(1,7)，i＝1,2，…，7.
(1)由题意知，事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5人，或者第6人，或者第7人”，所以甲的康复时间不少于14天的概率是P(A5＋A6＋A7)＝P(A5)＋P(A6)＋P(A7)＝eq \f(3,7).
(2)设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”．由题意知，C＝A4B1＋A5B1＋A6B1＋A7B1＋A5B2＋A6B2＋A7B2＋A7B3＋A6B6＋A7B6.
因此P(C)＝P(A4B1)＋P(A5B1)＋P(A6B1)＋P(A7B1)＋P(A5B2)＋P(A6B2)＋P(A7B2)＋P(A7B3)＋P(A6B6)＋P(A7B6)＝10P(A4B1)＝10P(A4)P(B1)＝eq \f(10,49).
20．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)，设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为eq \f(1,4)，eq \f(1,2)，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为eq \f(1,2)，eq \f(1,4)；两人租车时间都不会超过4小时．
(1)求出甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率．
解 甲、乙两人租车时间超过三小时不超过四小时的概率分别为
1－eq \f(1,4)－eq \f(1,2)＝eq \f(1,4)，1－eq \f(1,2)－eq \f(1,4)＝eq \f(1,4).
(1)租车费用相同可分为租车费都为0元、2元、4元三种情况，都付0元的概率为P1＝eq \f(1,4)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,8)，都付2元的概率为P2＝eq \f(1,2)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,8)，
都付4元的概率为P3＝eq \f(1,4)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,16).
则甲、乙两人所付租车费用相同的概率为
P＝P1＋P2＋P3＝eq \f(5,16).
(2)甲、乙两人所付的租车费用之和为4元，其可能的情况是甲、乙两人的租车费用分别为①0元、4元，②2元、2元，③4元，0元，所以所求概率P＝eq \f(1,4)×eq \f(1,4)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,4)＋eq \f(1,4)×eq \f(1,2)＝eq \f(5,16)，即甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率为eq \f(5,16).满意度评分
低于70分
70分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
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70分到89分
不低于90分
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不满意
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