人教B版 (2019)必修第二册4.2.1 对数运算随堂练习题

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这是一份人教B版 (2019)必修第二册4.2.1 对数运算随堂练习题，共15页。试卷主要包含了2.1　对数运算，设＝25，则x的值等于，已知lg2x＝3，则等于，将下列指数式、对数式互化等内容，欢迎下载使用。

知识点一对数的概念
1．对数式M＝lg(a－3)(10－2a)中，实数a的取值范围是( )
A．(－∞，5) B．(3,5)
C．(3，＋∞) D．(3,4)∪(4,5)
2．使对数lga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为( )
A．a>eq \f(1,2)且a≠1 B．0C．a>0且a≠1 D．a3．方程lg4(1－2x)＝1的解x＝________.
知识点二对数式与指数式的互化与求值
4．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )
A．40＝1与lg41＝0
B．＝eq \f(1,3)与lg27eq \f(1,3)＝－eq \f(1,3)
C．lg39＝2与＝3
D．lg55＝1与51＝5
5．设＝25，则x的值等于( )
A．5 B．6
C．8 D．9
6．已知lg2x＝3，则等于( )
A.eq \f(1,3) B．eq \f(1,2\r(3))
C．eq \f(1,3\r(3)) D．eq \f(\r(2),4)
7．若lg216a＝2，则a＝________.
8．若m＝lg37，则3m＋3－m＝________.
9．将下列指数式、对数式互化．
(1)35＝243；
(2)2－5＝eq \f(1,32)；
(3) ＝－4；
(4)lg2128＝7.
10．若＝m，＝m＋2，求eq \f(x2,y)的值．
11．已知lg2(lg3(lg4x))＝0，且lg4(lg2y)＝1.
求的值．
知识点三对数恒等式
12．化简：等于( )
A．2eq \r(2) B．8
C．eq \f(1,8) D．2
13．已知lgaeq \f(1,2)＝m，lga3＝n，则am＋2n等于( )
A．3 B．eq \f(3,4)
C．9 D．eq \f(9,2)
14．设＝2，则x的值等于________．
15．已知lgx27＝，则x＝________.
16．(1)计算；
(2) (a，b为不等于1的正数，c＞0)．
知识点四常用对数与自然对数
17．若ln (lg x)＝0，则x＝________.
18．lg5m＝lg20n＝eq \f(1,3)，求lg (mn)的值．
19．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)43＝64；(2)ln a＝b；(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))m＝n；(4)lg 1000＝3.
20．求下列各式中x的值．
(1)lg64x＝－eq \f(2,3)；
(2)lgx8＝6；
(3)lg 100＝x；
(4)－ln e2＝x.
易错点忽视底数的取值范围
已知lg(x＋3)(x2＋3x)＝1，则实数x＝________.
一、单项选择题
1．lgab＝1成立的条件是( )
A．a＝b B．a＝b且b>0
C．a>0，a≠1 D．a>0，a＝b≠1
2．lg3eq \f(1,81)等于( )
A．4 B．－4
C．eq \f(1,4) D．－eq \f(1,4)
3．方程＝eq \f(1,4)的解是( )
A．x＝eq \f(1,9) B．x＝eq \f(\r(3),3)
C．x＝eq \r(3) D．x＝9
4．若对数式lg(a－2)9＝2，则a＝( )
A．－1 B．5
C．eq \f(13,4) D．－1或5
5．若lgaeq \r(5,b)＝c，则下列等式正确的是( )
A．b5＝ac B．b＝a5c
C．b＝5ac D．b＝c5a
6．若lg2(lgx9)＝1，则x＝( )
A．3 B．±3
C．9 D．2
7．已知lg3(lg5a)＝lg4(lg5b)＝0，则eq \f(a,b)的值为( )
A．1 B．－1
C．5 D．eq \f(1,5)
8．已知f(a2)＝lg2a，则f(4)＝( )
A．4 B．2
C．1 D．－1
二、多项选择题
9．下列四个命题，其中正确的是( )
A．对数的真数是非负数
B．若a>0且a≠1，则lga1＝0
C．若a>0且a≠1，则lgaa＝1
D．若a>0且a≠1，则＝2
10．以下四个结论中，正确的是( )
A．lg (lg 10)＝0 B．ln (ln e)＝0
C．若10＝lg x，则x＝10 D．若e＝ln x，则x＝e2
11．下列指数式与对数式互化正确的是( )
A．e0＝1与ln 1＝0
B．＝eq \f(1,2)与lg8eq \f(1,2)＝－eq \f(1,3)
C．lg 100＝2与＝10
D．lg77＝1与71＝7
12．对于a>0且a≠1，下列说法正确的是( )
A．若M＝N，则lgaM＝lgaN
B．若lgaM＝lgaN，则M＝N
C．若lgaM3＝lgaN3，则M＝N
D．若M＝N，则lgaM2＝lgaN2
三、填空题
13．若lg3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－2x,5)))＝1，则x＝________.
14．已知方程x2＋xlg26＋lg23＝0的两根为α，β，则2α＋β＝________.
15．若lg(1－x)(1＋x)2＝1，则x＝________.
16．已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－x，x≤1，,lg81x，x>1，))则f(3)＝________，满足f(x)＝eq \f(1,4)的x的值为________．
四、解答题
17．将下列指数式与对数式互化：
(1)ea＝16；(2) ＝eq \f(1,4)；
(3)lg327＝3；(4)lgxy＝z(x>0且x≠1，y>0)．
18．求下列各式中的x.
(1)lg8x＝－eq \f(2,3)；(2)lg (lg2x)＝1；
(3)lg3(2x＋2)＝1；(4)
19．计算：
20．(1)已知lg189＝a，lg1854＝b，求182a－b的值；
(2)已知lgx27＝，求x的值．
4.2 对数与对数函数
4．2.1 对数运算
知识点一对数的概念
1．对数式M＝lg(a－3)(10－2a)中，实数a的取值范围是( )
A．(－∞，5) B．(3,5)
C．(3，＋∞) D．(3,4)∪(4,5)
答案 D
解析由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(10－2a>0，,a－3>0，,a－3≠1，))解得32．使对数lga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为( )
A．a>eq \f(1,2)且a≠1 B．0C．a>0且a≠1 D．a答案 B
解析由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2a＋1>0，,a>0，,a≠1，))解得03．方程lg4(1－2x)＝1的解x＝________.
答案－eq \f(3,2)
解析由1－2x＝4，得x＝－eq \f(3,2).
知识点二对数式与指数式的互化与求值
4．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )
A．40＝1与lg41＝0
B．＝eq \f(1,3)与lg27eq \f(1,3)＝－eq \f(1,3)
C．lg39＝2与＝3
D．lg55＝1与51＝5
答案 C
解析 lg39＝2与32＝9互化，＝3与lg93＝eq \f(1,2)互化．故选C.
5．设＝25，则x的值等于( )
A．5 B．6
C．8 D．9
答案 D
解析＝52，∴lg3x＝2，∴x＝9.
6．已知lg2x＝3，则等于( )
A.eq \f(1,3) B．eq \f(1,2\r(3))
C．eq \f(1,3\r(3)) D．eq \f(\r(2),4)
答案 D
解析因为lg2x＝3，所以x＝23＝8.所以＝eq \f(1,2\r(2))＝eq \f(\r(2),4).故选D.
7．若lg216a＝2，则a＝________.
答案 eq \f(1,2)
解析 lg216a＝2,16a＝22＝4，故a＝eq \f(1,2).
8．若m＝lg37，则3m＋3－m＝________.
答案 eq \f(50,7)
解析因为m＝lg37，所以3m＝7，则3m＋3－m＝7＋7－1＝eq \f(50,7).
9．将下列指数式、对数式互化．
(1)35＝243；
(2)2－5＝eq \f(1,32)；
(3) ＝－4；
(4)lg2128＝7.
解 (1)lg3243＝5.
(2)lg2eq \f(1,32)＝－5.
(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))－4＝81.
(4)27＝128.
10．若＝m，＝m＋2，求eq \f(x2,y)的值．
解因为＝m，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))m＝x，x2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2m.
因为＝m＋2，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))m＋2＝y，y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2m＋4.
所以eq \f(x2,y)＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2m,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2m＋4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2m－(2m＋4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－4＝16.
11．已知lg2(lg3(lg4x))＝0，且lg4(lg2y)＝1.
求的值．
解因为lg2(lg3(lg4x))＝0，所以lg3(lg4x)＝1，
所以lg4x＝3，所以x＝43＝64.
由lg4(lg2y)＝1，知lg2y＝4，所以y＝24＝16.
所以＝eq \r(64)×＝8×8＝64.
知识点三对数恒等式
12．化简：等于( )
A．2eq \r(2) B．8
C．eq \f(1,8) D．2
答案 B
解析设lg0.78＝a⇒0.7a＝8.∴选B.
13．已知lgaeq \f(1,2)＝m，lga3＝n，则am＋2n等于( )
A．3 B．eq \f(3,4)
C．9 D．eq \f(9,2)
答案 D
解析 am＋2n＝＝eq \f(1,2)×32＝eq \f(9,2).
14．设＝2，则x的值等于________．
答案 eq \f(3,4)
解析＝＝eq \f(1,2x－1)＝2.所以4x－2＝1，x＝eq \f(3,4).
15．已知lgx27＝，则x＝________.
答案 eq \r(3)
解析 lgx27＝＝3×2＝6.
所以x6＝27，所以x6＝33，又x>0，所以x＝eq \r(3).
16．(1)计算；
(2) (a，b为不等于1的正数，c＞0)．
解 (1) ＝23×3＋eq \f(35,9)＝24＋27＝51.
(2)原式＝＝c.
知识点四常用对数与自然对数
17．若ln (lg x)＝0，则x＝________.
答案 10
解析因为ln (lg x)＝0，所以lg x＝e0＝1，
所以x＝10.
18．lg5m＝lg20n＝eq \f(1,3)，求lg (mn)的值．
解由lg5m＝lg20n＝eq \f(1,3)可得m＝，n＝，所以mn＝×＝，所以lg (mn)＝eq \f(2,3).
19．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)43＝64；(2)ln a＝b；(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))m＝n；(4)lg 1000＝3.
解 (1)因为43＝64，所以lg464＝3.
(2)因为ln a＝b，所以eb＝a.
(3)因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))m＝n，所以＝m.
(4)因为lg 1000＝3，所以103＝1000.
20．求下列各式中x的值．
(1)lg64x＝－eq \f(2,3)；
(2)lgx8＝6；
(3)lg 100＝x；
(4)－ln e2＝x.
解 (1)由lg64x＝－eq \f(2,3)，得x＝＝4－2＝eq \f(1,16).
(2)由lgx8＝6，得x6＝8，
又x>0，即x＝＝eq \r(2).
(3)由lg 100＝x，得10x＝100＝102，即x＝2.
(4)由－ln e2＝x，得ln e2＝－x，所以e－x＝e2，－x＝2，x＝－2.
易错点忽视底数的取值范围
已知lg(x＋3)(x2＋3x)＝1，则实数x＝________.
易错分析本题容易忽视底数大于0且不等于1，真数大于0.
答案 1
正解由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋3x＝x＋3，,x＋3＞0，,x＋3≠1，,x2＋3x＞0，))解得x＝1.
一、单项选择题
1．lgab＝1成立的条件是( )
A．a＝b B．a＝b且b>0
C．a>0，a≠1 D．a>0，a＝b≠1
答案 D
解析由lgab＝1得a>0，且a＝b≠1.故选D.
2．lg3eq \f(1,81)等于( )
A．4 B．－4
C．eq \f(1,4) D．－eq \f(1,4)
答案 B
解析因为3－4＝eq \f(1,81)，所以lg3eq \f(1,81)＝－4.
3．方程＝eq \f(1,4)的解是( )
A．x＝eq \f(1,9) B．x＝eq \f(\r(3),3)
C．x＝eq \r(3) D．x＝9
答案 A
解析 ∵＝eq \f(1,4)，∴，∴lg3x＝lg2eq \f(1,4)＝－2，∴x＝eq \f(1,9).故选A.
4．若对数式lg(a－2)9＝2，则a＝( )
A．－1 B．5
C．eq \f(13,4) D．－1或5
答案 B
解析若lg(a－2)9＝2，则(a－2)2＝9.故a－2＝±3，a＝－1或5，因为a－2>0且a－2≠1，故a＝5.
5．若lgaeq \r(5,b)＝c，则下列等式正确的是( )
A．b5＝ac B．b＝a5c
C．b＝5ac D．b＝c5a
答案 B
解析根据指数式和对数式的互化关系可知，若lgaeq \r(5,b)＝c，则ac＝eq \r(5,b)，所以b＝a5c.故选B.
6．若lg2(lgx9)＝1，则x＝( )
A．3 B．±3
C．9 D．2
答案 A
解析 ∵lg2(lgx9)＝1，∴lgx9＝2，即x2＝9，又x>0，∴x＝3.
7．已知lg3(lg5a)＝lg4(lg5b)＝0，则eq \f(a,b)的值为( )
A．1 B．－1
C．5 D．eq \f(1,5)
答案 A
解析由lg3(lg5a)＝0得lg5a＝1，即a＝5，同理b＝5，故eq \f(a,b)＝1.
8．已知f(a2)＝lg2a，则f(4)＝( )
A．4 B．2
C．1 D．－1
答案 C
解析令a2＝4，即a＝±2，因为a>0，故a＝2，所以f(4)＝lg22＝1.
二、多项选择题
9．下列四个命题，其中正确的是( )
A．对数的真数是非负数
B．若a>0且a≠1，则lga1＝0
C．若a>0且a≠1，则lgaa＝1
D．若a>0且a≠1，则＝2
答案 BCD
解析对数的真数为正数，A错误；∵a0＝1，∴lga1＝0，B正确；∵a1＝a，∴lgaa＝1，C正确；由对数恒等式＝N，得＝2，D正确．
10．以下四个结论中，正确的是( )
A．lg (lg 10)＝0 B．ln (ln e)＝0
C．若10＝lg x，则x＝10 D．若e＝ln x，则x＝e2
答案 AB
解析 lg (lg 10)＝lg 1＝0，ln (ln e)＝ln 1＝0，故A，B正确；若10＝lg x，则x＝1010，故C错误；若e＝ln x，则x＝ee，故D错误．
11．下列指数式与对数式互化正确的是( )
A．e0＝1与ln 1＝0
B．＝eq \f(1,2)与lg8eq \f(1,2)＝－eq \f(1,3)
C．lg 100＝2与＝10
D．lg77＝1与71＝7
答案 ABD
解析 lg 100＝2⇒102＝100, ＝10⇒lg10010＝eq \f(1,2)，C不正确，A，B，D均正确．
12．对于a>0且a≠1，下列说法正确的是( )
A．若M＝N，则lgaM＝lgaN
B．若lgaM＝lgaN，则M＝N
C．若lgaM3＝lgaN3，则M＝N
D．若M＝N，则lgaM2＝lgaN2
答案 BC
解析对于A，若M，N小于或等于0时，lgaM＝lgaN不成立；B，C正确；对于D，当M＝N＝0时不正确．故选BC.
三、填空题
13．若lg3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－2x,5)))＝1，则x＝________.
答案－7
解析由已知得eq \f(1－2x,5)＝3，解得x＝－7.
14．已知方程x2＋xlg26＋lg23＝0的两根为α，β，则2α＋β＝________.
答案 eq \f(1,6)
解析因为α＋β＝－lg26，所以2α＋β＝＝＝eq \f(1,6).
15．若lg(1－x)(1＋x)2＝1，则x＝________.
答案－3
解析由题意知1－x＝(1＋x)2，解得x＝0或x＝－3.
验证知，当x＝0时，lg(1－x)(1＋x)2无意义，
故x＝0不符合题意，应舍去．所以x＝－3.
16．已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－x，x≤1，,lg81x，x>1，))则f(3)＝________，满足f(x)＝eq \f(1,4)的x的值为________．
答案 eq \f(1,4) 3
解析 ∵当x>1时，f(x)＝lg81x，∴f(3)＝lg813＝eq \f(1,4)，由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤1，,2－x＝\f(1,4)))①或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>1，,lg81x＝\f(1,4)))②，解①得x＝2，与x≤1矛盾，故舍去，解②得x＝3，符合x>1.∴x＝3.
四、解答题
17．将下列指数式与对数式互化：
(1)ea＝16；(2) ＝eq \f(1,4)；
(3)lg327＝3；(4)lgxy＝z(x>0且x≠1，y>0)．
解 (1)lge16＝a，即ln 16＝a.
(2)lg64eq \f(1,4)＝－eq \f(1,3).
(3)33＝27.
(4)xz＝y.
18．求下列各式中的x.
(1)lg8x＝－eq \f(2,3)；(2)lg (lg2x)＝1；
(3)lg3(2x＋2)＝1；(4)
解 (1)由lg8x＝－eq \f(2,3)，得
x＝＝2－2＝eq \f(1,4).
(2)∵lg (lg2x)＝1，
∴lg2x＝10，∴x＝210＝1024.
(3)由lg3(2x＋2)＝1，得2x＋2＝3，∴x＝eq \f(1,2).
(4)由＝0，得
＝1，lg2x＝eq \f(1,2)，x＝eq \r(2).
19．计算：
解
20．(1)已知lg189＝a，lg1854＝b，求182a－b的值；
(2)已知lgx27＝，求x的值．
解 (1)18a＝9,18b＝54，
∴182a－b＝eq \f(18a2,18b)＝eq \f(92,54)＝eq \f(81,54)＝eq \f(3,2).
(2)lgx27＝31×＝3×2＝6，
∴x6＝27，∴x＝＝eq \r(3).