卷13-备战2021年中考数学【名校地市好题必刷】全真模拟卷（河南专用）•3月卷

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备战2021年中考数学【名校、地市好题必刷】全真模拟卷·3月卷

第十三模拟

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

1．（2020年河南省巩义市九年级二模数学试题）|﹣|的相反数是（    ）

A. ﹣ B.  C. ﹣2 D. 2

【答案】A

【解析】

|﹣|=， 的相反数为﹣，故选A．

2．（2020年河南省开封市九年级二模数学试题）被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST，在理论上可以接收到137亿光年以外的电磁信号．数据137亿用科学记数法表示为（　　）

A. 1.37×108 B. 1.37×109 C. 1.37×1010 D. 1.37×1011

【答案】C

【解析】

【分析】

科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【详解】解：将137亿用科学记数法表示为1.37×1010．

故选：C．

【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3．（2020年河南省鹤壁市中考数学一模试题）某个几何体的三视图如图所示，该几何体是

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据常见几何体的三视图进行逐一判断即可得出答案.

【详解】由该几何体的主视图可以判断C项错误，由该几何体的俯视图可以判断B和D错误，所以选择A项.

【点睛】本题考查由三视图判断几何体，解题的关键是掌握根据三视图判断几何体.

4．（2020年河南省巩义市九年级二模数学试题）下列计算正确的是（  ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据合并同类项、同底数幂、单项式乘多项式、幂的的乘方逐一判断即可

【详解】解：A. ，原选项错误；

B. ，原选项正确；

C. ，原选项错误；

D. ，原选项错误；

故选：B

【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂、单项式乘多项式、幂的的乘方，熟练掌握法则是解题的关键

5．（2020年河南省焦作市沁阳市中考数学二模数学试题）对于反比例函数y＝，下列说法不正确的是（　　）

A. y随x的增大而增大

B. 它的图象在第二、四象限

C. 当k＝2时，它的图象经过点（5，﹣1）

D. 它的图象关于原点对称

【答案】A

【解析】

【分析】

利用反比例函数的性质用排除法解答．

【详解】A、反比例函数y＝，因为﹣k2﹣1＜0，根据反比例函数的性质它的图象分布在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，故本选项错误．

B、反比例函数y＝，因为﹣k2﹣1＜0，根据反比例函数的性质它的图象分布在第二、四象限，故本选项正确；

C、当k＝2时，y＝﹣，把点(5，﹣1)代入反比例函数y＝中成立，故本选项正确；

D、反比例函数y＝中﹣k2﹣1＜0根据反比例函数的性质它的图象分布在第一、三象限，是关于原点对称，故本选项正确；

故选A．

【点睛】本题考查了反比例函数的性质：①、当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．

②、当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．

6．（2020年河南省邓州市九年级一模数学试题） 如图，在中对角线，相交于点，点，分别是，的中点，连接，若，则的长为（    ）

A. 10 B. 8 C. 6 D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】

根据平行四边形的对角线互相平分，可得，由已知条件可知是三角形ABO的中位线，根据三角形中位线定理可得，从而推出．

【详解】解：∵四边形是平行四边形

∴

∵点，分别是，的中点

∴是三角形ABO的中位线

∴

∴

故选：B．

【点睛】本题考查的知识点是平行四边形的性质以及三角形的中位线定理，根据已知条件得出是解此题的关键．

7.（2020年河南省许昌市中考数学一模试卷）九年级一班同学根据兴趣分成A、B、C、D、E五个小组，把各小组人数分布绘制成如图所示的不完整统计图．则D小组的人数是（　　）

A．10人 B．11人 C．12人 D．15人

【答案】C

【解析】从条形统计图可看出A的具体人数，从扇形图找到所占的百分比，可求出总人数．然后结合D所占的百分比求得D小组的人数．

解：总人数＝＝50（人）

D小组的人数＝50×＝12（人）．

故选：C．

8．（2020年河南省焦作市沁阳市中考数学二模数学试题）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB，BD于M，N两点．若AM＝2，则线段ON的长为(    )

A.  B.  C. 1 D.

【答案】C

【解析】

【分析】

作MH⊥AC于H，如图，根据正方形的性质得∠MAH=45°，则△AMH为等腰直角三角形，所以AH=MH=AM=，再根据角平分线性质得BM=MH=，则AB=2+，于是利用正方形的性质得到AC=AB=2+2，OC=AC=+1，所以CH=AC-AH=2+，然后证明△CON∽△CHM，再利用相似比可计算出ON的长．

【详解】试题分析：作MH⊥AC于H，如图，

∵四边形ABCD为正方形，

∴∠MAH=45°，

∴△AMH为等腰直角三角形，

∴AH=MH=AM=×2=，

∵CM平分∠ACB，

∴BM=MH=，

∴AB=2+，

∴AC=AB=（2+）=2+2，

∴OC=AC=+1，CH=AC﹣AH=2+2﹣=2+，

∵BD⊥AC，

∴ON∥MH，

∴△CON∽△CHM，

∴，即，

∴ON=1．

故选C．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了角平分线的性质和正方形的性质．

9.（2020年河南省鹤壁市中考数学一模试题）将一个含30°角的直角三角板ABC与一个直尺如图放置，∠ACB＝90°，点A在直尺边MN上，点B在直尺边PQ上，BC交MN于点D，若∠ABP＝15°，AC＝8，则AD的长为（　　）

A.  B. 8 C. 8 D. 8

【答案】C

【解析】

【分析】

先由平行线的性质可得∠DAB＝∠ABP＝15°，根据三角形内角和定理得到∠CAB＝60°，∠CAD＝∠CAB﹣∠DAB＝45°，那么△ACD是等腰直角三角形，从而得到AD＝AC即可求解．

【详解】解：由题意可得，，

，

，

，

，

，

是等腰直角三角形，

．

故选：C．

【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，等腰直角三角形的判定与性质，证明是等腰直角三角形是解题的关键．

10．（2020年河南省开封市九年级二模数学试题）  如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=10，AB⊥AC，点P从点B出发沿着B→A→C的路径运动，同时点Q从点A出发沿着A→C→D的路径以相同的速度运动，当点P到达点C时，点Q随之停止运动，设点P运动的路程为x，y=PQ2，下列图象中大致反映y与x之间的函数关系的是（　　）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先利用勾股定理求出AC长，然后分三种情况分别求出y与x间的关系式即可进行判断. 三种情况是：①0≤x≤6 ，②6≤x≤8 ，③8≤x≤14.

【详解】在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，BC=10，∴AC==8，

当0≤x≤6时，AP=6﹣x，AQ=x，∴y=PQ2=AP2+AQ2=2x2﹣12x+36；

当6≤x≤8时，AP=x﹣6，AQ=x，∴y=PQ2=（AQ﹣AP）2=36；

当8≤x≤14时，CP=14﹣x，CQ=x﹣8，∴y=PQ2=CP2+CQ2=2x2﹣44x+260，

故选B．

【点睛】本题考查了二次函数的应用，动点问题的函数图象，结合图形正确地分三种情况进行讨论是解题的关键.

二．填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）

11．（2020年河南省鹤壁市中考数学一模试题）计算：2cos45°﹣（+1）0＝_____．

【答案】

【解析】

【分析】

直接利用特殊角的三角函数值、零指数幂的性质分别化简得出答案．

【详解】解：原式＝2×﹣1

＝﹣1．

故答案为：．

【点睛】本题考查特殊角的三角函数值、零指数幂，熟记特殊角的三角函数值，掌握运算法则是解题的关键．

12．（2020年河南省邓州市九年级一模数学试题）如图，在平行四边形中，，，，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交于点，交于点，则的长为_______．

【答案】2

【解析】

【分析】

根据两圆相交两圆心的连线垂直平分公共弦，又因为以点，为圆心的圆半径相等，因此，PF垂直平分AB，即AE=BE=3，由已知条件可知，，BF=2BE=6，即可得出CF=8-6=2．

【详解】解：由两圆相交我们可知：两圆心的连线垂直平分公共弦，

由题意可得，

又∵

∴

∴

∴

故答案为：2．

【点睛】本题考查的知识点是线段垂直平分线的性质，解此题的关键是根据题意得出PF垂直平分AB．

13.（2020年河南省许昌市中考数学一模试卷）在机器人社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，现决定从这四人中任选两名参加机器人大赛，恰好选中甲、乙两位同学的概率为　  　．

【答案】

【解析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中甲、乙两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．

解：画树状图得：

∵共有12种等可能的情况，恰好选中甲、乙两位同学的有2种，

∴P（选中甲、乙）＝＝．

故答案为：．

14.（2020年河南省开封市九年级二模数学试题）如图，AC⊥BC，AC=BC=4，以AC为直径作半圆，圆心为点O；以点C为圆心，BC为半径作．过点O作BC的平行线交两弧于点D、E，则阴影部分的面积是___．

【答案】

【解析】

试题分析：如图，连接CE．

∵AC⊥BC，AC=BC=4，以AC为直径作半圆，圆心为点O；以点C为圆心，BC为半径作，

∴∠ABC=90°，OA=OC=OD=2，BC=CE=4．

又∵OE∥BC，∴∠AOE=∠COE=90°．

∴在直角△OEC中，OC=CE．

∴∠OEC=60°，OE=．∴∠ECB=∠OEC=60°．

∴S阴影=S扇形ACB﹣S扇形AOD﹣S扇形ECB﹣S△OCE

=．

15.（2020年河南省巩义市九年级二模数学试题）如图，在矩形中，是的中点，连接是边上一动点，过点的直线将矩形折叠，使点落在上的处，当是等腰三角形时，__________．

【答案】3或或

【解析】

【分析】

根据矩形的性质得到AD=BC=6，∠BAD=∠D=∠B=90°，根据勾股定理得到AE=5，设AP=x，则PD′=PD=6-x，当△APD′是等腰三角形时，分三种情况分别求解即可．

【详解】∵在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，

∴AD=BC=6，∠BAD=∠D=∠B=90°，

∵E是BC的中点，

∴BE=CE=3，

∴，

∵沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点D′处，

∴PD′=PD，

设AP=x，则PD′=PD=6-x，

当△APD′是等腰三角形时，可分三种情况讨论：

①若，则，

解得x=3；

②若，如图，过点作⊥AD于点F，

∵AD∥BC，

∴，

∴，，

∴，，

∴，

在Rt△中，，

解得，（不合题意，舍去）；

③若，如图，过点作⊥AD于点F，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

解得；

综上，AP的值为3或或.

【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理、锐角三角函数等知识，正确的理解题意并分类讨论是解题的关键．

三．解答题（本大题共8个小题，共75分）

16．（2020年河南省开封市九年级二模数学试题）（8分）先化简，再求值：÷（﹣x﹣1），其中|x|＝1．

【答案】，-1

【解析】

【分析】

先根据分式的运算法则进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案．

【详解】解：原式＝÷

＝•（x﹣1）

＝，

∵|x|＝1，

∴x＝±1，

由分式有意义的条件可知：x≠1，

∴当x＝﹣1时，

原式＝＝﹣1．

【点睛】此题考查了分式的化简求值，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

17．（2020年河南省巩义市九年级二模数学试题）（9分）阅读对学生的成长有着深远的影响，某中学为了解学生每周课余阅读的时间，在本校随机抽取了若干名学生进行调查，依据每个学生阅读时间的长短分为五组：组表示“阅读时间不超过小时”，组表示“阅读时间超过小时但不超过小时”，组表示“阅读时间超过小时但不超过小时”，组表示“阅读时间超过小时但不超过小时”，组表示“阅读时间超过小时但不超过小时”，并依据调查结果绘制了以下不完整的统计图．

请根据图表中的信息，解答下列问题：

（1）本次共抽取          名学生进行调查统计，统计数据的中位数落在          组；

（2）扇形统计图中， 组所对应的扇形圆心角的大小是           ；

（3）将频数分布直方图补全；

（4）估计该校名学生中，每周课余阅读时间超过小时的学生大约有多少名？

【答案】（1）40，C；（2）72º；（3）见解析；（4）450名

【解析】

【分析】

（1）根据两个图知，C组的调查人数和所占百分比即可得出总人数，从而得出B组人数，再根据中位数的概念即可得出在哪组；

（2）已知D组人数和总人数，他们的比值再乘以360度即可得出答案；

（3）根据（1）求出的B组人数即可画出图；

（4）先找到超过1.5小时的人数除以总人数40，再乘以1500即可得出答案．

【详解】（1）本次共抽取的学生人数为：名

由调查结果频数分布直方图知，A组人数为6名，C组人数为10名，D组人数为8名，E组人数为4名

B组人数为：40-6-10-8-4=12名

中位数是按顺序排列的一组数据居于中间位置的数，总数为40人，第20、21个数都在C组，所以中位数落在C组

（2）D组人数为8名，总人数为40名

组所对应的扇形圆心角的大小是：

由（1）知，B组人数为12名

如图

由题意计算得，

所以该校每周课余阅读时间超过小时的学生大约有名．

【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图信息关联，能够能图中找到相关信息数据是解题关键．

18.（2020年河南省鹤壁市中考数学一模试题）（9分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．

（1）求∠CDE的度数；

（2）求证：DF是⊙O的切线；

（3）若AC=DE，求tan∠ABD的值．

【答案】（1）90°；（2）证明见解析；（3）2．

【解析】

【分析】

（1）根据圆周角定理即可得∠CDE的度数；（2）连接DO，根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质易证∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，即可判定DF是⊙O的切线；（3）根据已知条件易证△CDE∽△ADC，利用相似三角形的性质结合勾股定理表示出AD，DC的长，再利用圆周角定理得出tan∠ABD的值即可．

【详解】解：（1）解：∵对角线AC为⊙O的直径，

∴∠ADC=90°，

∴∠EDC=90°；

（2）证明：连接DO，

∵∠EDC=90°，F是EC的中点，

∴DF=FC，

∴∠FDC=∠FCD，

∵OD=OC，

∴∠OCD=∠ODC，

∵∠OCF=90°，

∴∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，

∴DF是⊙O的切线；

（3）解：如图所示：可得∠ABD=∠ACD，

∵∠E+∠DCE=90°，∠DCA+∠DCE=90°，

∴∠DCA=∠E，

又∵∠ADC=∠CDE=90°，

∴△CDE∽△ADC，

∴，

∴DC2=AD•DE

∵AC=2DE，

∴设DE=x，则AC=2x，

则AC2﹣AD2=AD•DE，

期（2x）2﹣AD2=AD•x，

整理得：AD2+AD•x﹣20x2=0，

解得：AD=4x或﹣4.5x（负数舍去），

则DC=，

故tan∠ABD=tan∠ACD=．

19．（2020年河南省焦作市沁阳市中考数学二模数学试题）（9分）如图，直线y＝x与双曲线y＝ (k＞0)交于A、B两点，且点A的横坐标为4.

(1)求k的值；

(2)若双曲线y＝ (k＞0)上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积．

【答案】（1）8；（2）15.

【解析】

【详解】解：(1)∵点A的横坐标为4，点A在直线y＝x上，

∴点A的纵坐标为y＝×4＝2，即A(4，2)．

又∵点A(4，2)双曲线y＝上，

∴k＝2×4＝8；

(2)∵点C在双曲线y＝上，且点C纵坐标为8，

∴C(1，8)．

如图，过点C作CM⊥x轴于M，过点A作AN⊥x轴于N.

∵S△COM＝S△AON＝＝4，

∴S△AOC＝S四边形CMNA＝×(|yA|＋|yC|)×(|xA|－|xc|)＝15.

【点睛】主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式和反比例函数y＝中k的几何意义.这里体现了数形结合的思想,做此类题一定要正确理解k的几何意义.

20．（2020年河南省开封市九年级二模数学试题） 如图1，为放置在水平桌面上的台灯，底座的高为.长度均为的连杆，与始终在同一水平面上.

（1）旋转连杆，，使成平角，，如图2，求连杆端点离桌面的高度.

（2）将（1）中的连杆绕点逆时针旋转，使，如图3，问此时连杆端点离桌面的高度是增加了还是减少？增加或减少了多少？（精确到，参考数据：，）

【答案】（1）；（2）下降了，约.

【解析】

【分析】

（1）如图2中，作BO⊥DE于O．解直角三角形求出OD即可解决问题．

（2）作DF⊥l于F，CP⊥DF于P，BG⊥DF于G，CH⊥BG于H．则四边形PCHG是矩形，求出DF，再求出DF-DE即可解决问题．

【详解】（1）过点作，垂足为，如图2，

则四边形是矩形，，

∴，

∴.

（2）下降了.

如图3，过点作于点，过点作于点，过点作于点，过点作于点，则四边形为矩形，

∵，∴，

又∵，∴，

∴，，

∴

.

∴下降高度：

.

【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．

21．（2020年河南省许昌市中考数学一模试卷）（10分）某商场销售A、B两种型号的电风扇，进价及售价如表：

（1）该商场4月份用21000元购进A、B两种型号的电风扇，全部售完后获利6000元，求商场4月份购进A、B两种型号电风扇的数量；

（2）该商场5月份计划用不超过42000元购进A、B两种型号电风扇共300台，且B种型号的电风扇不少于50台；销售时准备A种型号的电风扇价格不变，B种型号的电风扇打9折销售．那么商场如何进货才能使利润最大？

【解析】（1）设A品牌的洗衣机购进x台，B品牌的洗衣机购进y台，根据购进两种洗衣机的总价及销售完后的利润，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）根据总利润＝单台利润×销售数量（购进数量），列出函数关系式即可求解．

解：（1）设4月份购进A种型号的电风扇x台，B种型号的电风扇y台，

依题意得：，解得：．

答：商场4月份购进A种型号的电风扇100台，B种型号的电风扇50台．

（2）设5月份购进A种型号的电风扇m台，则购进B种型号的电风扇（300﹣m）台，利润为w元．

由题意得，120m+180（300﹣m）≤42000，

解不等式得：m≥200，

又∵300﹣m≥50，即m≤250，

∴200≤m≤250，

w＝（150﹣120）m+（0.9×240﹣180）（300﹣m）＝﹣6m+10800，

∵﹣6＜0，w随m的增大而减小，

∴当m＝200时，w有最大值，此时，300﹣m＝100．

答：A种型号的电风扇购进200台，B种型号的电风扇购进100台时，利润最大．

22.（2020年河南省鹤壁市中考数学一模试题）（10分）（1）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”

（1）概念理解：

请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；

（2）问题探究；

如图1，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB边上一点P，连结AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；

（3）应用拓展；

如图2，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C=∠D=90°，BC=BD=3，AB=5，将Rt△ABD绕着点A顺时针旋转角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如图3），当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时，求出它的面积．

【答案】（1）矩形或正方形；（2）AC=BD，理由见解析；（3）10 或12﹣．

【解析】

【分析】

（1）矩形或正方形邻角相等，满足“等邻角四边形”条件；

（2）AC=BD，理由为：连接PD，PC，如图1所示，根据PE、PF分别为AD、BC的垂直平分线，得到两对角相等，利用等角对等角得到两对角相等，进而确定出∠APC=∠DPB，利用SAS得到三角形ACB与三角形DPB全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；

（3）分两种情况考虑：（i）当∠AD′B=∠D′BC时，延长AD′，CB交于点E，如图3（i）所示，由S四边形ACBD′=S△ACE﹣S△BED′，求出四边形ACBD′面积；（ii）当∠D′BC=∠ACB=90°时，过点D′作D′E⊥AC于点E，如图3（ii）所示，由S四边形ACBD′=S△AED′+S矩形ECBD′，求出四边形ACBD′面积即可．

【详解】（1）矩形或正方形；

（2）AC=BD，理由为：连接PD，PC，如图1所示：

∵PE是AD的垂直平分线，PF是BC的垂直平分线，

∴PA=PD，PC=PB，

∴∠PAD=∠PDA，∠PBC=∠PCB，

∴∠DPB=2∠PAD，∠APC=2∠PBC，

即∠PAD=∠PBC，

∴∠APC=∠DPB，

∴△APC≌△DPB（SAS），

∴AC=BD；

（3）分两种情况考虑：

（i）当∠AD′B=∠D′BC时，延长AD′，CB交于点E， 如图3（i）所示，

∴∠ED′B=∠EBD′，

∴EB=ED′，

设EB=ED′=x， 由勾股定理得：42+（3+x）2=（4+x）2， 解得：x=4.5，

过点D′作D′F⊥CE于F，

∴D′F∥AC，

∴△ED′F∽△EAC，

∴，

即，

解得：D′F=，

∴S△ACE=AC×EC=×4×（3+4.5）=15；S△BED′=BE×D′F=×4.5×=，

则S四边形ACBD′=S△ACE﹣S△BED′=15﹣=10；

（ii）当∠D′BC=∠ACB=90°时，过点D′作D′E⊥AC于点E， 如图3（ii）所示，

∴四边形ECBD′是矩形，

∴ED′=BC=3，

在Rt△AED′中，根据勾股定理得：AE=，

∴S△AED′=AE×ED′=××3=，S矩形ECBD′=CE×CB=（4﹣）×3=12﹣3，

则S四边形ACBD′=S△AED′+S矩形ECBD′=+12﹣3=12﹣．

【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了“等邻角四边形”的理解，三角形，四边形的内角和定理，角平分线的意义，勾股定理，旋转的性质，相似三角形的性质和判定，理解“等邻角四边形”的定义是解本题的关键，分类讨论是解本题的难点，是一道中考常考题．

23．（2020年河南省邓州市九年级一模数学试题）（11分）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于，抛物线经过点、，且与轴交于另一点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点为第一象限内抛物线上一动点，过点作轴于点，交直线于点，设点的横坐标为．

①过点作于点，设的长度为，请用含的式子表示，并求出当取得最大值时，点的坐标．

②在①的条件下，当直线到直线的距离等于时，请直接写出符合要求的直线的解析式．

【答案】（1）；（2）①，点坐标为，②或．

【解析】

【分析】

（1）根据直线BC求出点B、C的坐标，用待定系数法即可求出抛物线解析式；

（2）①过点作于点，推出，再设点，，得出PE后即可得出答案；②根据①z中得出h值，代入两直线的距离公式即可．

【详解】解：（1）在直线中，令，得；令，得，

∴、

把点，的坐标代入抛物线解析式中，得

解得

∴抛物线解析式为

（2）①如解图，过点作于点.

∴

∵，

∴

∴

又∵

∴

∵

∴是等腰直角三角形

∴

设点，

∴

则

即：.

∴当时，取得最大值

此时点坐标为

②直线BC的解析式为：

直线的解析式为：

由题意可得，两直线间的距离为：

根据两直线间的距离公式可得：

解得：

直线的解析式为：或．

【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质和轴对称的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键．