卷9-备战2021年中考数学【名校地市好题必刷】全真模拟卷（河南专用）•2月卷

这是一份卷9-备战2021年中考数学【名校地市好题必刷】全真模拟卷（河南专用）•2月卷，文件包含卷9-备战2021年中考数学名校地市好题必刷全真模拟卷河南专用•2月卷原卷版doc、卷9-备战2021年中考数学名校地市好题必刷全真模拟卷河南专用•2月卷解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共43页， 欢迎下载使用。

绝密★启用前
备战2021年中考数学【名校、地市好题必刷】全真模拟卷·2月卷
第九模拟
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（2020年河南省安阳市安阳县中考数学一模试卷）2sin60°的值等于（　　）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【解析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
解：2sin60°＝2×＝，
故选：C．
2．（2020年河南省郑州外国语学校分校中考数学6月模拟试题） 2020年5月22日，第十三届全国人民代表大会第三次会议顺利召开，李克强总理在政府工作报告中指出，2019年国内生产总值达到99.1万亿，增长6.1%，将99.1万亿用科学记数法表示是（　　）
A. 9.91×104 B. 9.91×108 C. 99.1×1012 D. 9.91×1013
【答案】D
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：将99.1万亿用科学记数法表示9.91×1013．
故选：D．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（2020年河南省郑州外国语中学中考第四次质量检测数学试题）2022年将在北京﹣张家口举办冬季奥运会，很多学校开设了相关的课程．如表记录了某校4名同学短道速滑选拔赛成绩的平均数与方差s2：根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（　　）

队员1
队员2
队员3
队员4
平均数（秒）
52
51
52
51
方差s2（秒2）
45
4.5
12.5
17.5

A. 队员1 B. 队员2 C. 队员3 D. 队员4
【答案】A
【解析】
【分析】
先利用平均数的大小确定成绩好的运动员，然后根据方差的意义，方差小的成绩稳定，从而选出队员．
【详解】解：因为队员1和队员3平均数比另外两人大，但队员1的方差比队员3的方差小，发挥稳定，则队员1的成绩好且稳定，所以应该选队员1．
故选：A．
【点睛】本题考查了方差：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
4．（2020年河南省周口市西华县九年级中考三模数学试题）下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
A选项，二次根式减法，不是同类项不能相减，故错误；B选项，积的乘方，分别乘方即可得到，故错误；C选项，同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，故正确；D选项，第二个括号提出负号才可用平方差公式，故错误，即可解决本题．
【详解】解：A选项，，不是同类项不能相减，故错误；
B选项，，故错误；
C选项，，故正确；
D选项，，故错误．
故选C．
【点睛】本题主要考查了二次根式的减法，积的乘方，同底数幂的乘法以及平方差公式，熟练各运算法则是解决本题的关键．
5．（2020年河南省郑州一中教育集团中考数学三模试卷）如图，DE∥BC，BE平分∠ABC，若∠1＝70°，则∠CBE的度数为（　　）

A. 20° B. 35° C. 55° D. 70°
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据平行线的性质求得∠ABC=70°，再运用角平分线的性质即可求得∠CBE．
【详解】解：∵DE∥BC，
∴∠1＝∠ABC＝70°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠ABC＝35°，
故答案为B．
【点睛】本题考查了平行的性质和角平分线的性质，灵活应用相关性质定理是解答本题的关键．
6．（2020年河南省安阳市安阳县中考数学一模试卷）《增删算法统宗》记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问君每日读多少？”其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字？已知《孟子》一书共有34685个字，设他第一天读x个字，则下面所列方程正确的是（　　）
A．x+2x+4x＝34685 B．x+2x+3x＝34685
C．x+2x+2x＝34685 D．x+x+x＝34685
【答案】A
【解析】设他第一天读x个字，根据题意列出方程解答即可．
解：设他第一天读x个字，根据题意可得：x+2x+4x＝34685，
故选：A．
7.（2020年河南省郑州外国语学校分校中考数学6月模拟试题）一元二次方程(x+3)(x+6)=x+1的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
【答案】D
【解析】
【分析】
先把化为一般形式，再计算的值，根据的值判断即可．
【详解】解：，



＜，
原方程没有实数解．
故选D．
【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的知识是解题的关键．
8．（2020年河南省郑州一中教育集团中考数学三模试卷）如图，在菱形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点M，N；②作直线MN，且恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE，则下列说法错误的是（ ）

A. B. C. 若AB=4，则 D.
【答案】C
【解析】
分析】
由作法得AE垂直平分CD，则∠AED=90°，CE=DE，于是可判断∠DAE=30°，∠D=60°，从而得到∠ABC=60°；利用AB=2DE得到S△ABE=2S△ADE；作EH⊥BC于H，如图，若AB=4，则可计算出CH=CE=1，EH=CH=，利用勾股定理可计算出BE=2 ；利用正弦的定义得sin∠CBE=．
【详解】解：由作法得AE垂直平分CD，
∴∠AED=90°，CE=DE，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=2DE，
∴∠DAE=30°，∠D=60°，
∴∠ABC=60°，所以A选项的说法正确；
∵AB=2DE，
∴S△ABE=2S△ADE，所以B选项的说法正确；
作EH⊥BC于H，如图，若AB=4，

在Rt△ECH中，∵∠ECH=60°，
∴CH=CE=1，EH=CH=，
在Rt△BEH中，BE=，所以C选项的说法错误；
sin∠CBE=，所以D选项的说法正确．
故选C．
【点睛】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了菱形的性质和解直角三角形．
9.（2020年河南省巩义市九年级二模数学试题）如图，已知矩形的顶点分别落在轴轴上，，AB=2BC则点的坐标是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
过C作CE⊥x轴于E，根据矩形的性质得到CD=AB，∠ABC=90°，，根据余角的性质得到∠BCE=∠ABO，进而得出△BCE∽△ABO，根据相似三角形的性质得到结论．
【详解】解：过C作CE⊥x轴于E，

∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB，∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBE=∠CBE+∠BCE=90°，
∴∠BCE=∠ABO，
∵，
∴△BCE∽△ABO，
∴，
∵
∴AB=，
∵AB=2BC，
∴BC=AB=4，
∵，
∴CE=2，BE=2
∴OE=4+2
∴C（4+2，2），
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，坐标与图形性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
10．（2020年河南省周口市西华县九年级中考三模数学试题）如图，正方形的四个顶点均在坐标轴上，且，点从点出发，在正方形的边上沿上的方向以每秒个单位长度的速度运动，在的上方作等腰直角三角形，且，则第2019秒时，点的坐标为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据A点坐标可得正方形ABCD的边长，且P点运行2019秒，可得P点最后运动到BC中点，即点P坐标为(1,1),且PEF为等腰直角三角形，可得F点坐标．
【详解】解：在正方形ABCD中，A点坐标(-2,0),
∴正方形ABCD边长AB=，
又∵点P沿着A-B-C-D-A的方向，以每秒个单位长度运动2019秒，
∴点P所经过路程为，此时P点运动到BC中点，
∴点P坐标为(1,1),点E坐标为(-3,0),且PEF为等腰直角三角形，
∴点F坐标为(-4,4)，
故选：D．
【点睛】本题考察了特殊平行四边形中的动点问题及坐标系中点坐标的描述，解题的关键在于判断出点P在运动了2019秒后停止的位置．
二．填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（2020年河南省郑州外国语中学中考第四次质量检测数学试题） 计算:_________．
【答案】
【解析】
【分析】
先将负整数指数幂、立方根进行化简，然后计算求解．
【详解】解：
故答案为：2．
【点睛】本题考查负整数指数幂和求一个数的立方根的计算，掌握相关概念和计算法则正确计算是解题关键．
12．（2020年河南省周口市西华县九年级中考三模数学试题）不等式组的解集是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
先求出每个不等式的解集，然后取公共部分，即可得到答案．
【详解】解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为：；
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元二次不等式组，解题的关键是熟练掌握解不等式组的方法和步骤．
13．（2020年河南省安阳市安阳县中考数学一模试卷）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是　 　．

【答案】4
【解析】如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．由tanA＝＝2，设AE＝a，BE＝2a，利用勾股定理构建方程求出a，再证明DH＝BD，推出CD+BD＝CD+DH，由垂线段最短即可解决问题．
解：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．

∵BE⊥AC，
∴∠AEB＝90°，
∵tanA＝＝2，设AE＝a，BE＝2a，
则有：100＝a2+4a2，
∴a2＝20，
∴a＝2或﹣2（舍弃），
∴BE＝2a＝4，
∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AB，
∴CM＝BE＝4（等腰三角形两腰上的高相等））
∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA，
∴sin∠DBH＝＝＝，
∴DH＝BD，
∴CD+BD＝CD+DH，
∴CD+DH≥CM，
∴CD+BD≥4，
∴CD+BD的最小值为4．
故答案为4．
14.（2020年河南省郑州外国语学校分校中考数学6月模拟试题）如图，AC是半圆O的一条弦，以弦AC为折线将弧AC折叠后过圆心O，⊙O的半径为2，则圆中阴影部分的面积为_____．

【答案】
【解析】
【分析】
过点作，交于，连接、，证明弓形的面积弓形的面积，这样图中阴影部分的面积的面积.
【详解】过点作，交于，连接、，

，
，
是的直径，
，
，
，
是等边三角形，
，
弓形面积弓形的面积，
阴影部分面积.
故答案为.
【点睛】本题考查了折叠问题、扇形的面积.解决本题的关键是把阴影部分的面积转化为的面积.
15.（2020年河南省郑州一中教育集团中考数学三模试卷）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝4，点E为线段CD的中点，动点F从点C出发，沿C→B→A的方向在CB和BA上运动，将矩形沿EF折叠，点C的对应点为C'，当点C'恰好落在矩形的对角线上时（不与矩形顶点重合），点F运动的距离为_____．

【答案】2或4＋．
【解析】
【分析】
分点C′落在对角线BD上和点C′落在对角线AC上两种情况分别进行讨论求解，即可得出点F运动的距离．
【详解】分两种情况：
①当点C′落在对角线BD上时，连接CC′，如图1所示：
∵将矩形沿EF折叠，点C的对应点为点C′，且点C'恰好落在矩形的对角线上，
∴CC′⊥EF，
∵点E为线段CD的中点，
∴CE＝ED＝EC′，
∴∠CC′D＝90°，即CC′⊥BD，
∴EF∥BD，
∴点F是BC的中点，
∵在矩形ABCD中，AD＝4，
∴BC＝AD＝4，
∴CF＝2，
∴点F运动的距离为2；

②当点C′落在对角线AC上时，作FH⊥CD于H，则CC′⊥EF，四边形CBFH为矩形，如图2所示：
在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝4，∠B＝∠BCD＝90°，AB∥CD，
∴BC＝AD＝4，tan∠BAC＝，
∴∠BAC＝30°，
∵EF⊥AC，
∴∠AFE＝60°，
∴∠FEH＝60°，
∵四边形CBFH为矩形，
∴HF＝BC＝4，
∴EH＝＝＝，
∵EC＝CD＝2，
∴BF＝CH＝CE﹣EH＝2﹣＝，
∴点F运动的距离为4＋；
综上所述：点F运动的距离为2或4＋；
故答案为：2或4＋．

【点睛】本题考查了几何变换综合题，需要利用翻折变换的性质、矩形的性质、平行线的性质、三角函数的应用等知识；熟练掌握矩形的性质，熟记翻折变换的性质是解题的关键
三．解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（2020年河南省郑州一中教育集团中考数学三模试卷）（8分）化简求值：÷（﹣1﹣x），其中x的值是方程x2﹣x﹣7＝0的根．
【答案】，
【解析】
【分析】
先化简原分式，再求得x2﹣x＝7，最后整体代入求解即可．
【详解】解：原式＝

＝﹣
∵x的值是方程x2﹣x﹣7＝0的根，
∴x2﹣x＝7，
当x2﹣x＝7时，原式＝．
【点睛】本题主要考查了分式方程的化简求值以及整体思想的运用，根据题意化简原分式是正确解答本题的关键．
17．（2020年河南省周口市西华县九年级中考三模数学试题）（9分）某校为了解七、八年级学生英语听力训练情况（七、八年级学生人数相同），某周从这两个年级学生中分别随机抽查了30名同学，调查了他们周一至周五的听力训练情况，根据调查情况得到如下统计图表：周一至周五英语听力训练人数统计表
年级
参加英语听力训练人数
周一
周二
周三
周四
周五
七年级
15
20

30
30
八年级
20
24
26
30
30
合计
35
44
51
60
60



（1）填空：________；
（2）根据上述统计图表完成下表中的相关统计量：
年级
平均训练时间的中位数
参加英语听力训练人数的方差
七年级
24
34
八年级

14.4

（3）请你利用上述统计图表，对七、八年级英语听力训练情况写出两条合理的评价；
（4）请你结合周一至周五英语听力训练人数统计表，估计该校七、八年级共480名学生中周一至周五平均每天有多少人进行英语听力训练．
【答案】（1）25；（2）27；（3）①从平均训练时间的中位数角度看，八年级英语听力训练的平均训练时间比七年级多，②从参加英语听力训练人数的方差角度看，八年级参加英语听力训练的人数比七年级的更稳定；（4）400人．
【解析】
【分析】
（1）由题意得：；
（2）按照从小到大的顺序排列为：18、25、27、30、30，由中位数的定义即可得出结果；
（3）从众数和方差角度分析即可；
（4）求出抽查的七、八年级共60名学生中，周一至周五训练人数的平均数为50，用该校七、八年级共480名周一至周五平均每天进行英语听力训练的人数所占比例即可．
【详解】解：（1）由题意得：；
故答案为25；
（2）按照从小到大的顺序排列为：18、25、27、30、30，
八年级平均训练时间的中位数为：27；
故答案为27；
（3）①从平均训练时间的中位数角度看，八年级英语听力训练的平均训练时间比七年级多；
②从参加英语听力训练人数的方差角度看，八年级参加英语听力训练的人数比七年级的更稳定．
（4）抽查的七、八年级共60名学生中，周一至周五训练人数的平均数为，
该校七、八年级共480名学生中周一至周五平均每天进行英语听力训练的人数为（人．
【点睛】此题考查了条形统计图，统计表，以及用样本估计总体，弄清题中的数据是解本题的关键．
18.（2020年河南省郑州外国语中学中考第四次质量检测数学试题）（9分）如图，为的直径，为下方半圆上(不与点重合)的一个动点，过点作交的延长线于点点为的中点，连接．

（1）求证：是的切线；
（2）连接交于点连接．填空：
① 时，四边形为菱形；
②当 时，四边形为正方形．
【答案】（1）详见解析；（2）①；②
【解析】
【分析】
（1）连接OE，BD，OD，由圆周角定理可得∠ADB=90°=∠CDB，由直角三角形的性质可求DE=BE=CE，由“SSS”可证△ODE≌△OBE，可得∠OBE=∠ODE=90°，由切线的判定可证DE是⊙O的切线；
（2）①由菱形的性质可证△AOD是等边三角形，即可求解；
②由正方形的性质可得OB=OD=DE=BE，∠DEB=90°=∠DEC，可求EF=OE-OF=（-1）OB，DC=DE=OB，即可求解．
【详解】解：（1）连接，如图1，

∵BC⊥AB，
∴∠ABC=90°，
为直径，

又∵点为的中点
，
在和中，





是的半径．
是的切线；
（2）①如图2，

∵四边形ADFO为菱形，
∴OA=AD，
又∵OA=OD，
∴OD=OA=AD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠A=60°，
又∵∠ABC=90°，
∴∠C=30°，
当∠C=30°时，四边形ADFO为菱形；
②如图3，

∵四边形ODEB为正方形，
∴OB=OD=DE=BE，∠DEB=90°=∠DEC，
∴OE=OB，
∴EF=OE-OF=（-1）OB，
∵DE=BE=CE，∠DEC=90°，
∴DC=DE=OB，
∴，
∴当时，四边形ODEB为正方形，
故答案为：30°，2+．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的性质，圆的有关知识，菱形的性质，正方形的性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
19．（2020年河南省郑州外国语学校分校中考数学6月模拟试题）（9分）某数学兴趣小组学过锐角三角函数后，计划测量中原福塔的总高度．如图所示，在B处测得福塔主体建筑顶点A的仰角为45°，福塔顶部桅杆天线AD高120m，再沿CB方向前进20m到达E处，测得桅杆天线顶部D的仰角为53.4°．求中原福塔CD的总高度．（结果精确到1m．参考数据：sin53.4°≈0.803，cos53.4°≈0.596，tan53.4°≈1.346）

【答案】389m．
【解析】
【分析】
设AC为xm，根据等腰直角三角形的性质得到BC=AC=x，根据正切的定义列出方程，解方程即可得到答案．
【详解】设AC为xm，则CD=（x+120）m，
在Rt△ACB中，∠ABC=45°，
∴BC=AC=x，
∴CE=x+20，
在Rt△DCE中，tan∠DEC=，即≈1.346，
解得，x≈269.0，
∴CD=x+120=389.0≈389，
答：中原福塔CD的总高度约为389m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
20．（2020年河南省郑州一中教育集团中考数学三模试卷）（9分）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数y=的图象与性质，探究过程如下，请补充完整．
（1）列表：
x
…
﹣3
﹣
-2
﹣
﹣1
﹣
0

1

2

3
…
y
…
m

1

2

1

0

1

n
…
其中，m＝　 ，n＝　 ．
（2）描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示，请画出函数的图象．

（3）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：
①点A（﹣6，y1），B（﹣，y2），C（x1，），D（x2，6）在函数图象上，则y 　y2，x1　 　x2；（填“＞”，“＝”或“＜”）
②当函数值y＝1时，求自变量x的值；
（4）若直线y＝x+b与函数图象有且只有一个交点，请直接写出b的取值范围．
【答案】（1），2；（2）如图所示，见解析；（3）①＜，＜；②x＝0或x＝2或x＝﹣2；（4）﹣1＜b＜2或b＞3．
【解析】
【分析】
（1）把x=-3代入y=﹣中即可求得m的值；再把x=3代入y=|x-1|中，即可求得n的值；
（2）先描点，再连线即可；
（3）①先说明A与B在y=﹣上，y随x的增大而增大，得到y1 ②由图象可知，﹣1＜b＜2或b＞3．
【详解】解：（1）将x＝﹣3代入y＝﹣得，y＝，
∴m＝，
把x＝3代入y＝|x﹣1|中得，y＝2，
∴n＝2，
故答案为，2；
（2）如图所示：

（3）①由图象可知A与B在y＝﹣上，y随x的增大而增大，所以y1＜y2；
C与D在y＝|x﹣1|上，所以x1＜x2；
故答案为＜，＜；
②当y＝1时，x＞﹣1时，有1＝|x﹣1|，
∴x＝0或x＝2，
当y＝1时，x≤﹣1时，有1＝﹣，
∴x＝﹣2，
故x＝0或x＝2或x＝﹣2；
（4）由图象可知，﹣1＜b＜2或b＞3．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象及性质，根据题意准确画出函数图象是解答本题的关键．
21．（2020年河南省周口市西华县九年级中考三模数学试题）（10分）2017年9月，共享单车在某市投入，服务于广大市民，现已运营将近三年．“哈喽”单车租赁公司为缓解暑假期间及假期后的交通压力，鼓励市民绿色出行，特推出以下优惠活动：
①优惠卡：月租15元，每次凭卡号用车五折优惠；
②月卡：月租 元，凭卡号用车不再收取费用．
以上两种优惠活动元旦前均有效，不限次数，同时普通用车正常出售，每次用车不超过30分钟，收费1.5元（记作次卡）．若市民出行每次用车均不超过30分钟，设每月用车次数为，所需费用为元．在同一直角坐标系中，三种计费方式对应的函数图象如图所示．

（1）分别求出的值及选择次卡和优惠卡时，与之间的函数关系式；
（2）请根据函数图象，判断如何选择才能使一个月内骑“哈喽”共享单车最合算．
【答案】（1）m=39，n=26，，；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）由题意，先求出点B的坐标，然后求出直线AB的解析式，再求出m、n的值；
（2）根据题意，结合函数的图像进行分析，即可得到答案．
【详解】解：（1）由题意知，次卡对应的函数关系式为，
将代入中，可得，
∴点的坐标为，
设优惠卡对应的函数关系式为，
将代入中，
得，解得，
∴优惠卡对应的函数关系式为，
将代入中，可得，
将代入中，可得．
（2）由图象，可知当时，选择次卡最合算：
当时，选择次卡和优惠卡的总费用相同，均比月卡合算；
当时，选择优惠卡最合算；
当时，选择优惠卡和月卡的总费用相同，均比次卡合算；
当时，选择月卡最合算．
【点睛】此题主要考查了一次函数的应用，根据数形结合得出自变量的取值范围得出是解题关键．
22． （2020年河南省安阳市安阳县中考数学一模试卷）（10分）如图1，在△ABC中，AB＝AC＝10，，点D为BC边上的动点（点D不与点B，C重合）．以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F，连接CF．

（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）当DE∥AB时（如图2），求AE的长；
（3）点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF＝CF？若存在，求出此时BD的长；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由等腰三角形的性质可得∠B＝∠ACB，由外角的性质可得∠BAD＝∠CDE，可证△ABD∽△DCE；
（2）作AM⊥BC于M．由锐角三角函数可求AM＝6，BM＝8，通过证明△ABD∽△CBA，可求BD的长，再由平行线分线段成比例可求AE的长；
（3）作FH⊥BC于H，AM⊥BC于M，AN⊥FH于N．可证四边形AMHN为矩形，可得∠MAN＝90°，MH＝AN，通过证明△AFN∽△ADM，可求AN的长，由等腰三角形的性质可求BD的长，即可求解．
【解答】证明：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，∠ADE＝∠B，
∴∠BAD＝∠CDE，
∴△BAD∽△DCE；
（2）如图2中，作AM⊥BC于M．

在Rt△ABM中，设BM＝4k，
∵＝，
∴，
由勾股定理，得到AB2＝AM2+BM2，
∴102＝（3k）2+（4k）2，
∴k＝2或﹣2（舍弃），
∴AM＝6，BM＝8，
∵AB＝AC，AM⊥BC，
∴BC＝2BM＝2×2k＝16，
∵DE∥AB，
∴∠BAD＝∠ADE，
∵∠ADE＝∠B，∠B＝∠ACB，
∴∠BAD＝∠ACB，
∵∠ABD＝∠CBA，
∴△ABD∽△CBA，
∴，
∴＝，
∵DE∥AB，
∴，
∴＝．
（3）点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF．

理由：作FH⊥BC于H，AM⊥BC于M，AN⊥FH于N．则∠NHM＝∠AMH＝∠ANH＝90°，
∴四边形AMHN为矩形，
∴∠MAN＝90°，MH＝AN，
∵AB＝AC，AM⊥BC，
∵AB＝10，
∴BM＝CM＝8，
∴BC＝16，
在Rt△ABM中，由勾股定理，得AM＝6，
∵AN⊥FH，AM⊥BC，
∴∠ANF＝90°＝∠AMD，
∵∠DAF＝90°＝∠MAN，
∴∠NAF＝∠MAD，
∴△AFN∽△ADM，
∴，
∴，
∴CH＝CM﹣MH＝CM﹣AN＝8﹣＝，
当DF＝CF时，由点D不与点C重合，可知△DFC为等腰三角形，
∵FH⊥DC，
∴CD＝2CH＝7，
∴BD＝BC﹣CD＝16﹣7＝9，
∴点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF，此时BD＝9．
23．（2020年河南省郑州外国语中学中考第四次质量检测数学试题）（11分）如图，矩形中，为原点，点在轴上，点在轴上，点的坐标为（4,3），抛物线与轴交于点，与直线交于点，与轴交于两点.
（1）求抛物线的表达式；
（2）点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点运动，与此同时，点从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动.连接，设运动时间为（秒）.
①当为何值时，得面积最小？
②是否存在某一时刻，使为直角三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）；（2）① ；②
【解析】
【分析】
（1）根据点B的坐标可得出点A，C的坐标，代入抛物线解析式即可求出b，c的值，求得抛物线的解析式；
（2）①过点Q、P作QF⊥AB、PG⊥AC，垂足分别为F、G，推出△QFA∽△CBA，△CGP∽△CBA，用含t式子表示OF，PG，将三角形的面积用含t的式子表示出来，结合二次函数的性质可求出最值；②由于三角形直角的位置不确定，需分情况讨论，根据点的坐标，再结合两点间的距离公式用勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）由题意知：A(0,3),C(4,0)，
∵抛物线经过A、B两点，
∴，解得，，
∴抛物线的表达式为：．
(2)① ∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90O， ∴AC2=AB2+BC2=5；
由，可得，∴D（2,3）．
过点Q、P作QF⊥AB、PG⊥AC，垂足分别为F、G，
∵∠FAQ=∠BAC， ∠QFA=∠CBA，
∴△QFA∽△CBA．
∴，
∴．
同理：△CGP∽△CBA，
∴∴，∴，

当时，△DPQ的面积最小.最小值为．
② 由图像可知点D的坐标为(2,3)，AC=5,直线AC的解析式为：．
三角形直角的位置不确定，需分情况讨论：
当时，根据勾股定理可得出：
，
整理，解方程即可得解；
当时，可知点G运动到点B的位置，点P运动到C的位置，所需时间为t=3；
当时,同理用勾股定理得出：
；
整理求解可得t的值．
由此可得出t的值为：,,,,．

【点睛】
本题考查的知识点是二次函数与几何图形的动点问题，掌握二次函数图象的性质是解此题的关键．