卷16-备战2021年中考数学【名校地市好题必刷】全真模拟卷（河南专用）•4月卷

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备战2021年中考数学【名校、地市好题必刷】全真模拟卷·4月卷
第十六模拟
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（2020年河南省周口市扶沟县中考数学一模试题）下列各数中比﹣2小的是（　　）
A. ﹣1 B. ﹣3 C. D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据正数都大于0，负数都小于0，可排除D，再根据两个负数，绝对值大的反而小，可得比﹣2小的数是﹣3．
【详解】解：根据负数小于0，可知，故D选项不符合题意；
根据两个负数，绝对值大的反而小可知﹣3＜﹣2＜﹣1＜﹣，A和C错误，B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握正数、负数及0的关系是解题的关键．
2．（2020年河南省驻马店市中考九年级质量监测数学试题）据环球报报道：中国为防控疫情做出的巨大努力有目共睹，受到了世卫组织和国际权威，公共卫生专家的称赞．其他一些国家也在寻求借鉴中国的经验和防控措施．截止5月13日报道前，海外累计确诊病例约人次．将用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：＝
故选：C．
【点睛】此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（2020年河南省周口市扶沟县中考数学一模试题）下列运算正确的是（　　）
A. （﹣a4）5＝a9 B. 2a2+3a2＝6a4
C. 2a2•a5＝2a10 D. （﹣）2＝
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用幂的乘方法则，合并同类项法则，单项式乘以单项式以及分式的乘方运算法则分别计算得出答案．
【详解】解：A、（﹣a4）5＝﹣a20，故此选项错误；
B、2a2+3a2＝5a2，故此选项错误；
C、2a2•a5＝2a7，故此选项错误；
D、（﹣）2＝，正确．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了整式的运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4．（河南省南阳市镇平县2020-2021学年九年级上学期期末数学试题）将抛物线y=﹣5x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（　　）
A. y=﹣5（x+1）2﹣1 B. y=﹣5（x﹣1）2﹣1 C. y=﹣5（x+1）2+3 D. y=﹣5（x﹣1）2+3
【答案】A
【解析】
分析：直接利用二次函数图象与几何变换的性质分别平移得出答案．
详解：将抛物线y=-5x2+1向左平移1个单位长度，得到y=-5（x+1）2+1，再向下平移2个单位长度，
所得到的抛物线为：y=-5（x+1）2-1．
故选A．
点睛：此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．

5．（河南省三门峡市陕州区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题）将函数与函数的大致图象画在同一坐标系中，正确的函数图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一次函数及反比例函数的图象与系数的关系依次分析各项即可.
【详解】解：A、从一次函数的图象与y轴的负半轴相交知k＜0与反比例函数的图象k＞0相矛盾，错误；
B、从一次函数的图象经过原点知k=0与反比例函数的图象k＜0相矛盾，错误；
C、从一次函数的图象知k＞0与反比例函数的图象k＜0相矛盾，错误；
D、从一次函数的图象知k＜0与反比例函数的图象k＜0一致，正确．
故选D．
【点睛】解答本题的关键是熟练掌握反比例函数：当时，图象在第一、三象限；当时，图象在第二、四象限.
6．（河南省南阳市镇平县2020-2021学年九年级上学期期末数学试题 ） 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，若S△ADE＝1，则四边形DBCE的面积为（　　）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】先由中位线定理得出DE∥BC，DE＝BC，从而判定△ADE∽△ABC并得出相似比，进而得出△ADE与△ABC的面积比，然后结合S△ADE＝1，可得答案．
【详解】解：在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE//BC，DE＝BC，
∴△ADE∽△ABC，＝，
∴S△ADE：S△ABC＝1：4，
∵S△ADE＝1，
∴S△ABC＝4，
∴四边形DBCE的面积为3．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理和相似三角形的判定与性质，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
7.（2020年河南省周口市扶沟县中考数学一模试题）数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题可迎刃而解，且解法简洁．如图，直线y＝3x和直线y＝ax+b交于点（1，3），根据图象分析，方程3x＝ax+b的解为（　　）

A. x＝1 B. x＝﹣1 C. x＝3 D. x＝﹣3
【答案】A
【解析】
【分析】
根据方程的解即为函数图象的交点横坐标解答．
【详解】解：∵直线y＝3x和直线y＝ax+b交于点（1，3）
∴方程3x＝ax+b的解为x＝1．
故选：A．
8.（河南省三门峡市陕州区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题 ）如图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果

下面有三个推断：
①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，所以“正面向上”的概率是0.47；
②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5；
③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率一定是0.45．
其中合理的是(　　)
A. ① B. ② C. ①② D. ①③
【答案】B
【解析】
【分析】
随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5，据此进行判断即可．
【详解】解：①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，“正面向上”的概率不一定是0.47，故错误；
②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5，故正确；
③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率不一定是0.45，故错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，明确概率的定义是解题的关键．
9.（2020年河南省驻马店市中考九年级质量监测数学试题）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点；再分别以为圆心，以大于为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交边于点若，则的面积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
作GH⊥BC于H，如图，利用基本作法得BP平分∠ABC，根据角平分线的性质得GA=GH=，再利用含30度的直角三角形三边的关系求出AB、BC，然后利用三角形面积公式求解．
【详解】解：作GH⊥BC于H，如图，
由作法得BP平分∠ABC，
∴GA=GH=，
∵∠A=90°，∠ABC=2∠C，
∴∠ABC=60°，∠C=30°，
在Rt△ABG，
∵∠ABG=∠ABC=30°，
∴AB=AG=3，
在Rt△ABC中，BC=2AB=6，
∴S△BCG=×6×=3，
故选A.

【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，难度不大.
10．（2020年河南省驻马店市中考九年级质量监测数学试题） 如图，在中，直线经过点且垂直于分别与相交于点直线从点出发，沿方向以的速度向点运动，当直线经过点时停止运动，若运动过程中的面积是直线的运动时间是，则与之间函数关系的图象大致是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用面积公式，分段求出△AMN的面积即可求解．
【详解】解：过点C作CD⊥AB于D，
∵AC2+BC2=64+36=100=AB2，
故△ABC为直角三角形，
则
故 同理
（1）当0≤x≤6.4，如图1，

即

∴该函数为开口向上的抛物线，且对称轴为y轴，位于y轴的右侧抛物线的一部分；
（2）当6.4＜x≤10时，如图2，

同理：
，
∴该函数为开口向下的抛物线的一部分，对称轴为x=5
故选：B．
【点睛】本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函数的图象，解直角三角形等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
二．填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（2020年河南省周口市扶沟县中考数学一模试题）计算：（﹣）﹣2﹣2cos60°=_____．
【答案】3
【解析】
【分析】
按顺序先进行负指数幂的运算、代入特殊角的三角函数值，然后再进行减法运算即可.
【详解】（﹣）﹣2﹣2cos60°
=4-2×
=3，
故答案为3.
【点睛】本题考查了实数的运算，涉及了负指数幂、特殊角的三角函数值，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键.
12．（2020年河南省驻马店市中考九年级质量监测数学试题） 不等式组的所有整数解的和为______．
【答案】
【解析】
【分析】
首先解不等式组，再从不等式组的解集中找出适合条件的整数即可．
【详解】解：，
由①得，
由②得，
原不等式组的解集是，
原不等式组的所有整数解为，
它们的和为．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，正确解不等式组并求出解集是解题的关键．
13.（2021年河南省许昌市禹州市中考数学一模试题）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B两点，则点B的坐标为_____．
【答案】（5，0）
【解析】
【分析】先求出抛物线的对称轴，然后再根据抛物线的对称性得出点B的坐标
【详解】解：∵抛物线y＝ax2﹣4ax+c的对称轴为：，
又∵二次函数y＝ax2﹣4ax+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B两点，
∴点B的坐标为（5，0）．
故答案为：（5，0）．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
14.（河南省三门峡市陕州区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=4cm，则球的半径为____cm．

【答案】2.5
【解析】
试题解析：

EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，
设OF=x，则OM=4−x，MF=2，
在中,
即：
解得：x=2.5
故答案为2.5.
15.（河南省南阳市镇平县2020-2021学年九年级上学期期末数学试题） 如图，矩形ABCD中，AD＝5，AB＝7，正方形MBND′的顶点M，N分别在矩形的边AB，BC上，点E为DC上一个动点，当点D与点D′关于AE对称时，DE的长为_____．

【答案】或
【解析】
【分析】连接ED′，AD′，延长MD′交DC于点P．根据题意设MD′＝ND′＝BM＝x，则AM＝AB-BM＝7-x， AD＝AD′＝5，在中，利用勾股定理可求出x=3或4，即MD′的长，分类讨论①当MD′=3时，设ED′＝a，则AM＝7-3＝4，D′P＝5-3＝2，EP＝4-a，在Rt△EPD′中利用勾股定理可求出a的值，即DE的长；②当MD′=4时，同理即可求出DE的长．
【详解】解：如图，连接ED′，AD′，延长MD′交DC于点P，

∵正方形MBND′的顶点M，N分别在矩形的边AB，BC上，点E为DC上一个动点，点D与点D′关于AE对称，
∴设MD′＝ND′＝BM＝x，
∴AM＝AB﹣BM＝7﹣x，
∵AE为对称轴，
∴AD＝AD′＝5，
在中，，即，
解得，
即MD′＝3或4．
在Rt△EPD′中，设ED′＝a，
①当MD′＝3时，AM＝7﹣3＝4，D′P＝5﹣3＝2，EP＝4﹣a，
∴，即，
解得a＝，即DE＝．
②当MD′＝4时，AM＝7﹣4＝3，D′P＝5﹣4＝1，EP＝3﹣a，
同理， ，
解得a＝，即DE＝．
综上所述：DE的长为：或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查图形对称的性质，矩形的性质以及勾股定理．根据对称并利用勾股定理求出MD′的长度是解答本题的关键．
三．解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（2020年河南省周口市扶沟县中考数学一模试题）（8分）已知分式．
请对分式进行化简；
如图，若m为正整数，则该分式的值对应的点落在数轴上的第_____段上．填写序号即可

【答案】（1）；（2）②．
【解析】
【分析】
利用分式的运算法则进行化简.
m为正整数，则 ， ，
【详解】解：原式
（2）∵m为正整数，即m是最小为1的正整数，则，.
∴
故选②
【点睛】本题考查分式的化简及分式的基本性质，理解并掌握分式的基本性质来解题是关键.
17．（2021年河南省许昌市禹州市中考数学一模试题）（9分）某校在第五届全国学生“学宪法 讲宪法”活动中举办了宪法知识竞赛，并从中选取了部分学生的竞赛成绩进行统计（满分100分，成绩均不低于50分），绘制了如下尚不完整的统计图表．
调查结果频数分布表
分数段/分
频数
频率
50≤x＜60
2
0.04
60≤x＜70
8
0.16
70≤x＜80
m
0.24
80≤x＜90
24
n
90≤x＜100
4
0.08
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：m＝　 ，n＝　 ，本次抽取了　 名学生；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若甲同学的竞赛成绩是所有竞赛成绩的中位数，据此推测他的成绩落在　 分数段内；
（4）竞赛成绩不低于90分的4名同学中正好有2名男生和2名女生，现准备从中随机选出2名同学参加市里面“学宪法 讲完法”演讲比赛，求正好抽到一男一女的概率．

【答案】（1）50，0.48；（2）图见解析；（3）80≤x＜90；（4）．
【解析】
【分析】（1）由50≤x＜60的频数及频率得出被调查的总人数，再根据频率频数总人数可得、的值；
（2）根据所求的值即可补全图形；
（3）根据中位数的概念求解可得；
（4）根据概率的求法求解即可．
【详解】解：（1）被调查总人数为（人，
，，
故答案为：50，0.48；
（2）补全频数分布直方图如下：

（3）这50个数据的中位数是第24、25个数据的平均数，而第24、25个数据均落在80≤x＜90，
推断他的成绩在80≤x＜90；
（4） 根据题意，列表得：




男1
男2
女1
女2
男1

男1男2
男1女1
男1女2
男2
男1男1

男2女1
男2女2
女1
男1女1
男2女1

女1女2
女2
男1女2
男2女2
女1女2

故全部可能性有12种，正好抽到一男一女的有8种，
∴（正好抽到一男一女）．
【点睛】本题考查了频数分布直方图和概率的求法，熟悉相关性质是解题的关键．
18.（2020年河南省驻马店市中考九年级质量监测数学试题）（9分）如图，AB为的直径，C为半圆上一动点，过点C作的切线l，过点B作l的垂线BD，垂足为D，BD与交于点E，连接OC、CE、AE，AE交OC于点F．
（1）求证：；
（2）若，连接AC，
①当________时，四边形OBEC为菱形；
②当________时，四边形EDCF为正方形．

【答案】（1）证明见解析； （2）①2；②．
【解析】
【详解】（1）证明：，
．
是的直径，
，
是的切线，
．
∴四边形是矩形，
，，
又，
；
（2）解：①2；②．
[解法提示]①如解图，连接，
∵四边形为菱形，
，
，
和都是等边三角形，
，
，
，
为等边三角形，
；

②∵四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
是的直径，
，
是等腰直角三角形，
∴．
19．（河南省南阳市镇平县2020-2021学年九年级上学期期末数学试题）（9分）如图，某小区楼房附近有一个斜坡CD＝6m，坡角到楼房的距离CB＝8m，在坡顶D点处观察点A的仰角为54°，已知坡角为30°，求楼房AB的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38，）

【答案】楼房AB的高度约是21.2m．
【解析】
【分析】过D点作DF⊥AB，交AB于点F，在Rt△ECD中，根据含30°角的直角三角形的性质，解得线段DF的长，再在Rt△ADF中利用正弦定义求得AF的长，最后由线段的和差解题即可．
【详解】解：过D点作DF⊥AB，交AB于点F，如图，
则BF＝DE，
在Rt△ECD中，CD＝6，∠ECD＝30°，
∴BF＝DE＝CD＝3，EC＝DE＝，
∴DF＝EC+CB＝+8，
在Rt△ADF中，tan∠ADF＝，
∴，
，
答：楼房AB的高度约是m．

【点睛】本题考查解直角三角形的应用—俯角、坡角问题，涉及正切、含30°角的直角三角形的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
20．（2020年河南省驻马店市中考九年级质量监测数学试题）如图，反比例函数与正比例函数交于格点(网格线的交点).

（1）填空： ； ；
（2）当时，直接写出时，的取值范围；
（3）点是以格点为圆心， 为半径的圆上一动点，连接取的中点试确定线段的取值范围．
【答案】（1）1，1；（2）；（3）线段的取值范围为
【解析】
【分析】
（1）根据题意可知反比例函数图象与正比例函数图象皆经过点A(1，1)，由此将其坐标代入解析式求出的值即可；
（2）先将变形为，然后根据函数图像进一步分析判断即可；
（3）如图所示，连接AD、AC，根据题意得出点是的中点，由此得知是的中位线，故而，利用勾股定理求出，最后结合题意，分情况讨论求出AD的最大值与最小值，从而进一步分析得出答案即可.
【详解】（1）∵反比例函数与正比例函数皆经过点A(1，1)，
∴，，
∴，，
故答案为：1，1；
（2）由可得，
结合函数图象可知，此时，
∴当时，；
（3）连接、AC，如图所示，

点的坐标为(1，1)，点的坐标为，
点是中点，
又点是的中点，
是的中位线，
，
又点的坐标为，
，
点在以点为圆心，为半径的圆上，
，
由题意可知：
当A、C、D三点共线，且点在线段上时，有最小值，
当A、C、D三点共线，且点在延长线上时，有最大值，
的取值范围为，
线段的取值范围为.
【点睛】本题主要考查了反比例函数与圆的相关性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
21．（2020年河南省周口市扶沟县中考数学一模试题）（10分）深圳某书店为了迎接“读书节”制定了活动计划，以下是活动计划书的部分信息：
“读书节“活动计划书
书本类别
科普类
文学类
进价（单位：元）
18
12
备注
（1）用不超过16800元购进两类图书共1000本；
（2）科普类图书不少于600本；
…

（1）已知科普类图书的标价是文学类图书标价的1.5倍，若顾客用540元购买的图书，能单独购买科普类图书的数量恰好比单独购买文学类图书的数量少10本，请求出两类图书的标价；
（2）经市场调査后发现：他们高估了“读书节”对图书销售的影响，便调整了销售方案，科普类图书每本标价降低a（0＜a＜5）元销售，文学类图书价格不变，那么书店应如何进货才能获得最大利润？
【答案】（1）A类图书的标价为27元，B类图书的标价为18元；（2）当A类图书每本降价少于3元时，A类图书购进800本，B类图书购进200本，利润最大；当A类图书每本降价大于等于3元，小于5元时，A类图书购进600本，B类图书购进400本，利润最大.
【解析】
【分析】
（1）先设B类图书的标价为x元，则由题意可知A类图书的标价为1.5x元，然后根据题意列出方程，求解即可．
（2）先设购进A类图书t本，总利润为w元，则购进B类图书为（1000-t）本，根据题目中所给的信息列出不等式组，求出t的取值范围，然后根据总利润w=总售价-总成本，求出最佳的进货方案．
【详解】解：（1）设B类图书的标价为x元，则A类图书的标价为1.5x元，
根据题意可得，
化简得：540-10x=360，
解得：x=18，
经检验：x=18是原分式方程的解，且符合题意，
则A类图书的标价为：1.5x=1.5×18=27（元），
答：A类图书的标价为27元，B类图书的标价为18元；
（2）设购进A类图书t本，总利润为w元，A类图书的标价为（27-a）元（0＜a＜5），
由题意得，，
解得：600≤t≤800，
则总利润w=（27-a-18）t+（18-12）（1000-t）
=（9-a）t+6（1000-t）
=6000+（3-a）t，
故当0＜a＜3时，3-a＞0，t=800时，总利润最大，且大于6000元；
当a=3时，3-a=0，无论t值如何变化，总利润均为6000元；
当3＜a＜5时，3-a＜0，t=600时，总利润最大，且小于6000元；
答：当A类图书每本降价少于3元时，A类图书购进800本，B类图书购进200本时，利润最大；当A类图书每本降价大于等于3元，小于5元时，A类图书购进600本，B类图书购进400本时，利润最大．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的最值问题，解答本题的关键在于读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程和不等式组求解．
22.（2021年河南省许昌市禹州市中考数学一模试题）（10分）抛物线y＝x2﹣2ax﹣a﹣3与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点D（4，﹣a﹣3）在抛物线的图象上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）现规定平面直角坐标系中横纵坐标相等的点为“不动点”．已知点N（xN，yN），Q（xQ，yQ）是抛物线y＝x2﹣2ax﹣a﹣3图象上的“不动点”，点H是点N，Q之间抛物线上一点（不与点N，Q重合），求点H的纵坐标的取值范围．
【答案】（1）y＝x2﹣4x-5；（2）-9＜y＜．
【解析】
【分析】（1）把点D坐标代入抛物线解析式求出a，问题得解；
（2）先根据“不动点”的定义求出N、Q的坐标，再根据抛物线性质确定对称轴、开口方向，得到点N、Q位于对称轴两侧，求出抛物线图象最低点坐标，进而即可确定点H取值范围．
【详解】解：（1）∵点D（4，﹣a﹣3）在抛物线y＝x2﹣2ax﹣a﹣3的图象上，
∴16-8a-a-3=-a-3
解得a=2，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x-5；
（2）∵点N（xN，yN），Q（xQ，yQ）是抛物线y＝x2﹣4x-5图象上的“不动点”，
∴x2﹣4x-5=x，
即x2﹣5x-5=0，
解得，
∴点N、Q的坐标分别为、，
由抛物线y＝x2﹣4x-5得对称轴为x=2，开口向上；
∴N、Q位于对称轴两侧，
图象有最低点，坐标为（2，-9），
∴点H的纵坐标的取值范围为-9＜y＜．
【点睛】本题考查了抛物线点的坐标特点，抛物线的性质等知识，理解“不动点”的定义，构造方程求出点N、Q坐标是解题关键．
23．（河南省南阳市镇平县2020-2021学年九年级上学期期末数学试题）（11分）如图1，E，F分别是正方形ABCD的边AD和对角线AC的中点，
（1）的值为　 　；
（2）①将△AEF绕点A旋转，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情况进行证明；如果不成立，请说明理由；②如果AB＝2，当以点E，F，C在一条直线上时，请直接写出CF的值．

【答案】（1）；（2）①仍然成立，理由见解析；②+1．
【解析】
【分析】（1）由四边形ABCD是正方形可知．又因为E，F分别是正方形ABCD的边AD和对角线AC的中点，即可推出，即．
（2）①因为△AFE和△ACD都是等腰直角三角形，可推出△AFE∽△ACD，即得出结论，．再由∠FAE＝∠CAD＝45°，可推出∠FAC＝∠EAD，即证明△ACF∽△ADE，即得出结论．
②由题意可知AD＝CD＝AB＝2， EF＝AE＝AD＝1，∠ADC＝90°，∠AEF＝90°．因为点E，F，C在一条直线上，说明∠AEC＝90°．在中，利用勾股定理可求出CE的长度，即可求出CF的长度．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠D＝90°，
∴，
∵E，F分别是正方形ABCD的边AD和对角线AC的中点，
∴，
∴，即．
（2）①（1）中的结论仍然成立，理由如下：
∵△AFE和△ACD都是等腰直角三角形，
∴△AFE∽△ACD，
∴，
∵∠FAE＝∠CAD＝45°，
∴∠FAE+∠CAE＝∠CAD+∠CAE，即∠FAC＝∠EAD，
∴△ACF∽△ADE，
∴．
②如图3所示：
∵四边形ABCD正方形，
∴AD＝CD＝AB＝2，∠ADC＝90°，
∴
同②得：EF＝AE＝AD＝1，∠AEF＝90°，
∵点E，F，C在一条直线上，
∴∠AEC＝90°，
在中，，
∴CF＝CE+EF＝．

【点睛】本题为四边形综合题，掌握正方形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理是解答本题的关键．