卷12-备战2021年中考数学【名校地市好题必刷】全真模拟卷（河南专用）•3月卷

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备战2021年中考数学【名校、地市好题必刷】全真模拟卷·3月卷

第十二模拟

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

1．（2020年河南省鹤壁市中考数学一模试题）的相反数是（　　）

A.  B. 2 C.  D.

【答案】D

【解析】

【详解】因为-+＝0，所以-的相反数是.

故选D.

2．（2020年河南省邓州市九年级一模数学试题）2020年1月24日，中国疾控中心成功分离我国首株新型冠状病毒毒种，该毒种直径大约为90纳米（1纳米=0.000001毫米），数据“90纳米”用科学记数法表示为（    ）

A. 毫米 B. 毫米 C. 毫米 D. 毫米

【答案】C

【解析】

【分析】

科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．

【详解】解：90纳米毫米毫米

故选：C．

【点睛】本题考查的知识点是用科学记数法表示较小的数，需要注意的是当原数的绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．

3．（2020年河南省巩义市九年级二模数学试题）如图，这是一个机械模具，则它的左视图是（  ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据左视图的画法解答即可．

【详解】A.不是三视图，故本选项错误；

B.是左视图，故本选项正确；

C.是主视图，故本选项错误；

D.是俯视图，故本选项错误.

故选：B．

【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，解题的关键是根据左视图的画法判断．

4．（2020年河南省开封市九年级二模数学试题）下列计算正确是（　　）

A. （﹣2a）3＝﹣6a3 B. （a﹣b）2＝a2﹣b2

C. 3﹣1+3＝1 D. ﹣＝

【答案】D

【解析】

【分析】

直接利用完全平方公式、二次根式的性质、积的乘方运算法则分别化简得出答案．

【详解】解：A、（﹣2a）3＝﹣8a3，故此选项不符合题意；

B、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故此选项不符合题意；

C、3﹣1+3＝3，故此选项不符合题意；

D、﹣＝，故此选项符合题意；

故选：D．

【点睛】本题考查完全平方公式、二次根式的性质、积的乘方运算，掌握运算法则是解题的关键．

5．（2020年河南省开封市九年级二模数学试题）如图，已知AB＝AC，AB＝6，BC＝4，分别以A、B两点为圆心，大于AB的长为半径画圆弧，两弧分别相交于点E、F，直线EF与AC相交于点D，则△BDC的周长为（　　）

A. 15 B. 13 C. 11 D. 10

【答案】D

【解析】

【分析】

利用基本作图得到MN垂直平分AB，利用线段垂直平分线的定义得到DA＝DB，然后利用等线段代换得到△BDC的周长＝AC+BC．

【详解】解：由作法得MN垂直平分AB，

∴DA＝DB，

∴△BDC的周长＝DB+DC+BC＝DA+DC+BC＝AC+BC＝6+4＝10．

故选：D．

【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，能够识别出MN垂直平分AB是解题的关键．

6．（2020年河南省焦作市沁阳市中考数学二模数学试题） 如图，AB是⊙O的直径，D，E是半圆上任意两点，连接AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△BDA相似，可以添加一个条件．下列添加的条件中错误的是(    )

A. ∠ACD＝∠DAB B. AD＝DE C. AD·AB＝CD·BD D. AD2＝BD·CD

【答案】D

【解析】

【详解】解：∵∠ADC=∠ADB，∠ACD=∠DAB，

∴△ADC∽△BDA，故A选项正确；

∵AD=DE，

∴ ，

∴∠DAE=∠B，

∴△ADC∽△BDA，∴故B选项正确；

∵AD2=BD•CD，

∴AD：BD=CD：AD，

∴△ADC∽△BDA，故C选项正确；

∵CD•AB=AC•BD，

∴CD：AC=BD：AB，

但∠ACD=∠ABD不是对应夹角，故D选项错误，

故选：D．

考点：1．圆周角定理2．相似三角形的判定

7.（2020年河南省鹤壁市中考数学一模试题）如图，共有12个大小相同的小正方形，其中阴影部分的5个小正方形是一个正方体的表面展开图的一部分，现从其余的小正方形中任取一个涂上阴影，能构成这个正方体的表面展开图的概率是（ ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【详解】试题分析：设没有涂上阴影的分别为：A、B、C、D、E、F、G，如图所示，从其余的小正方形中任取一个涂上阴影共有7种情况，而能够构成正方体的表面展开图的有以下情况，D、E、F、G，因此能构成这个正方体的表面展开图的概率是，

故选A

考点：概率

8．（2020年河南省邓州市九年级一模数学试题）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数的图象可能是:

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【详解】由方程有两个不相等的实数根,

可得，

解得，即异号，

当时，一次函数的图象过一三四象限，

当时，一次函数的图象过一二四象限，故答案选B.

9.（2020年河南省南阳市淅川县中考数学一模试卷）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（2，4），将△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到△AB1C1，若AC1⊥x轴，则点B1的坐标为（　　）

A． B． 

C． D．

【答案】A

【解析】过点B1作B1H⊥x轴于H．解直角三角形求出B1H，OH即可解决问题．

解：过点B1作B1H⊥x轴于H．

∵A（﹣1，0），B（2，4），

∴AB＝＝5，

∵∠BAC＝∠B1AC1＝60°，AC1⊥OA，

∴∠OAB1＝30°，

∴B1H＝AB1＝，AH＝B1H＝，

∴OH＝，

∴B1（，）．

故选：A．

10．（2020年河南省焦作市沁阳市中考数学二模数学试题） 在四边形 ABCD 中，∠B＝90°，AC＝4，AB∥CD，DH 垂直平分AC，点 H 为垂足，设 AB＝x，AD＝y，则y 关于x 的函数关系用图象大致可以表示为 (     )

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【详解】因为DH垂直平分AC，∴DA=DC，AH=HC=2，

∴∠DAC=∠DCH，∵CD∥AB，∴∠DCA=∠BAC，

∴∠DAN=∠BAC,∵∠DHA=∠B=90°，

∴△DAH∽△CAB，∴，

∴ ，∴y=，

∵AB<AC，∴x<4，

∴图象是D.  

故选D.

二．填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）

11．（2020年河南省邓州市九年级一模数学试题）计算：______．

【答案】-6

【解析】

【分析】

根据负整数指数幂的运算法则以及二次根式的化简计算即可．

【详解】解：原式

故答案为：-6．

【点睛】本题考查的知识点是负整指数幂的运算法则以及二次根式的化简，属于基础题目，解此题的关键是掌握负整数指数幂的运算法则．

12．（2020年河南省开封市九年级二模数学试题）不等式组的解集是_____．

【答案】

【解析】

【分析】

分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．

【详解】解：解不等式1﹣x＜0，得：x＞1，

解不等式x﹣1≤0，得：x≤3，

则不等式组的解集为1＜x≤3，

故答案为：1＜x≤3．

【点睛】本题考查了解不等式组，求不等式组的解集应遵循“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则．

13．（2020年河南省焦作市沁阳市中考数学二模数学试题）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为　    　．

【答案】2

【解析】

【详解】如图，过A点作AE⊥y轴，垂足为E，

∵点A在双曲线上，∴四边形AEOD的面积为1

∵点B在双曲线上，且AB∥x轴，∴四边形BEOC的面积为3

∴四边形ABCD为矩形，则它的面积为3－1＝2

14.（2020年河南省巩义市九年级二模数学试题）如图，点在半径为的上，过点作，交延长线于点．连接，且，则图中阴影部分的面积为__________．

【答案】

【解析】

【分析】

连接OB，证明∠OBD=90°，再由得到∠D=∠OAC=30°，求出BD，分别求出△BOD的面积和扇形AOB的面积，再相减即可得出答案．

【详解】解：证明：连接OB，交CA于E，

∵∠C=30°，∠C=∠BOA，

∴∠BOA=60°，

又，

∴∠D=∠OAC=30°

∴∠DBO=180°-∠D-∠BOA=180°-30°-60°=90°，

∵∠D=30°，∴，

∴．

故答案为．

【点睛】本题考查了平行线的性质，圆周角定理，扇形的面积，三角形的面积，解直角三角形等知识点的综合运用，题目比较好，难度适中．

15.（2020年河南省鹤壁市中考数学一模试题）如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点P为射线BD，CE的交点，若AB＝2，AD＝1，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC＝90°时，则PB的长为_____．

【答案】或

【解析】

【分析】

分为点在上和点在的延长线上两种情况画出图形，然后再证明，最后依据相似三角形的性质进行证明即可．

【详解】解：和是等腰直角三角形，，

，，，

，

①当点在上时，，

，

，

，

，

，

，

，

，

；

②当点在延长线上时，，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

综上所述，的长为或．

故答案为：或．

【点睛】本题主要考查的是旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定，证明得是解题的关键．

三．解答题（本大题共8个小题，共75分）

16．（2020年河南省鹤壁市中考数学一模试题）（8分）先化简，再求值：，其中．

【答案】

【解析】

【分析】

先通分，再利用因式分解，把可以分解的分解，然后统一化成乘法运算，约分化简，再将所给等式化简，得出和的值，最后代回化简后的分式即可．

【详解】

．

∵．

，，

，．

．

原式的值为．

【点睛】本题是分式化简求值题，需要熟练掌握通分和因式分解及分式乘除法运算．

17．（2020年河南省邓州市九年级一模数学试题）（9分）为响应“学雷锋、树新风、做文明中学生”的号召，某校开展了志愿者服务活动，活动项目有“防疫宜宣传”、“文明交通岗”、“关爱老人”、“义务植树”、“社区服务”五项，活动期间，随机抽取了部分学生对志思者服务情况进行调查，结果发现，被调查的每名学生都参与了活动，最少的参与了1项，最多的参与了5项，根据调查结果绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．

根据以上统计图解答下列问题：

（1）本次随机抽取的学生共有______名；

（2）补全条形统计图；

（3）若该校有3000名学生，请估计参与了4项活动的学生人数；

（4）在所调查的学生中随机选取一人谈活动心得，求选中参与了5项活动的学生的概率．

【答案】（1）50；（2）补全条形统计图见解析；（3）估计参与了4项活动的学生大约有720人；（4）（选中参与了5项活动的学生）．

【解析】

【分析】

（1）根据参与2项的人数为14名，占参与调查人数的28%，进行除法运算即可得出抽取学生的总人数；

（2）总人数减去参加活动项目个数分别为1项、2项、3项、4项的人数，即可得出参与5项活动的人数，即可补全条形统计图；

（3）利用总学生人数乘以参与了4项活动的学生所占的百分比，即可得出答案；

（4）利用概率公式求解即可．

【详解】解：（1）本次随机抽取的学生共有：

（名）

答：被随机抽取的学生共50名；

（2）活动数为5项的人数为：名，

补全条形统计图如解图：

（3）（人）.

∴估计参与了4项活动的学生大约有720人；

（4）∵共抽取了50名学生，其中参与了5项活动的学生有6名，

∴（选中参与了5项活动的学生）.

【点睛】本题考查的知识点是条形统计图与扇形统计图，解题的关键是找出两个图形中相关联的信息，作为突破口求解即可．

18.（2020年河南省开封市九年级二模数学试题）（9分）如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O切线AP，点C是射线AP上的动点，连接CO交⊙O于点E，过点B作BDCO，交⊙O于点D，连接DE、OD、CD．

（1）求证：CA＝CD；

（2）填空：

①当∠ACO的度数为　   　时，四边形EOBD是菱形．

②若BD＝m，则当AC＝　   　（用含m的式子表示）时，四边形ACDO是正方形．

【答案】（1）见解析；（2）①30°；②

【解析】

【分析】

（1）根据平行线的性质、等腰三角形的性质得到∠AOC＝∠DOC，证明△AOC≌△DOC，根据全等三角形的性质证明结论；

（2）①根据菱形的四条边相等、圆的半径相等得到△OBD为等边三角形，得到∠OBD＝60°，根据切线的性质得到∠OAC＝90°，计算得到答案；

②根据等腰直角三角形的性质得到OB＝BD＝m，根据正方形的性质解答即可．

【详解】（1）证明：∵BD∥OC，

∴∠AOC＝∠OBD，∠DOC＝∠ODB，

∵OB＝OD，

∴∠ODB＝∠OBD，

∴∠AOC＝∠DOC，

在△AOC和△DOC中，

，

∴△AOC≌△DOC（SAS）

∴CA＝CD；

（2）解：①当四边形EOBD是菱形时，OB＝BD，

∵OB＝OD，

∴OB＝OD＝BD，

∴△OBD为等边三角形，

∴∠OBD＝60°，

∴∠AOC＝∠OBD＝60°，

∵AP是⊙O的切线，

∴∠OAC＝90°，

∴∠ACO＝30°；

②当四边形ACDO是正方形时，AC＝OA＝OD，∠AOD＝90°，

∴∠DOB＝90°，

∵OB＝OD，

∴OB＝BD＝m，

∴AC＝OB＝m，

故答案为：①30°；②m．

【点睛】本题考查了切线的性质、全等三角形的判定和性质、菱形、正方形的性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

19．（2020年河南省巩义市九年级二模数学试题）（9分）某区域平面示意图如图，点在河的一侧，和表示两条互相垂直的公路．甲勘测员在处测得点位于南偏东，乙勘测员在处测得点位于北偏西，测得．现需通过公路或旁边的地下水管向点铺设自来水管道，请说出管道如何铺设，才能使所用管道最短，并求出最短长度．（参考数据： ．结果保留到整数）

【答案】过点O作OE⊥AC于E，按照线路OE铺设管道，管道最短，长度为402m

【解析】

【分析】

过点分别作于于长度较短者即为所求，然后通过解直角三角形求出OD,OE的长度，然后进行比较即可得出答案．

【详解】过点分别作于于长度较短者即为所求，

由作图可知四边形为矩形，

，

设则，

在中，，

即，

则，

，

在中，

由题意可知，

，

，

由题意得，

解得，

，

，

过点作于，按照线路铺设管道，管道最短，长度为．

【点睛】本题主要考查解直角三角形应用，能够构造出直角三角形是解题的关键．

20．（2020年河南省鹤壁市中考数学一模试题）如图，直线y=﹣2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，与反比例函数y=的图象有唯一的公共点C．

（1）求k的值及C点坐标；

（2）直线l与直线y=﹣2x+4关于x轴对称，且与y轴交于点B'，与双曲线y=交于D、E两点，求△CDE的面积．

【答案】（1）k=2; C（1，2）；(2)8.

【解析】

分析：（1）令-2x+4=，则2x2-4x+k=0，依据直线y=-2x+4与反比例函数y=的图象有唯一的公共点C，即可得到k的值，进而得出点C的坐标；

（2）依据直线l与直线y=-2x+4关于x轴对称，即可得到直线l为y=2x-4，再根据=2x-4，即可得到E（-1，-6），D（3，2），可得CD=2，进而得出△CDE的面积=×2×（6+2）=8．

详解：（1）令-2x+4=，则2x2-4x+k=0，

∵直线y=-2x+4与反比例函数y=的图象有唯一的公共点C，

∴△=16-8k=0，

解得k=2，

∴2x2-4x+2=0，

解得x=1，

∴y=2，

即C（1，2）；

（2）∵直线l与直线y=-2x+4关于x轴对称，

∴A（2，0），B'（0，-4），

∴直线l为y=2x-4，

令=2x-4，则x2-2x-3=0，

解得x1=3，x2=-1，

∴E（-1，-6），D（3，2），

又∵C（1，2），

∴CD=3-1=2，

∴△CDE的面积=×2×（6+2）=8．

点睛：此题属于反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了解一元二次方程，坐标与图形性质以及三角形面积公式的运用，求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．

21．（2020年河南省邓州市九年级一模数学试题）（10分）某社会团体准备购进甲、乙两种防护服捐给一线抗疫人员，经了解，购进5件甲种防护服和4件乙种防护服需要2万元，购进10件甲种防护服和3件乙种防护服需要3万元．

（1）甲种防护服和乙种防护服每件各多少元？

（2）实际购买时，发现厂家有两种优惠方案，方案一：购买甲种防护服超过20件时，超过的部分按原价的8折付款，乙种防护服没有优惠；方案二：两种防护服都按原价的9折付款，该社会团体决定购买件甲种防护服和30件乙种防护服．

①求两种方案的费用与件数的函数解析式；

②请你帮该社会团体决定选择哪种方案更合算．

【答案】（1）甲种防护服每件2400元，乙种防护服每件2000元；（2）①，，②当购买甲种防护服65件时，两种方案一样；当购买甲种防护服的，件数超过20件而少于65件时，选择方案二更合算；当购买甲种防，护服的件数多于65件时，选择方案一更合算．

【解析】

【分析】

（1）根据题意列二元一次方程组即可求解；

（2）①根据题意找出两种方案的函数关系式即可；②分三种情况进行比较即可．

【详解】解：（1）设甲种防护服每件元，乙种防护服每件元，

根据题意，得

解得

答：甲种防护服每件2400元，乙种防护服每件2000元.

（2）①方案一：

方案二：

②当时，

即：

解得：

∴当时

即：，解得；

当时，

即：，解得.

∴当购买甲种防护服65件时，两种方案一样；当购买甲种防护服件数超过20件而少于65件时，选择方案二更合算；当购买甲种防护服的件数多于65件时，选择方案一更合算．

【点睛】本题考查的知识点是二元一次方程组与一元一次不等式的实际应用，解此题的关键是弄清题意，找出题目中的等量关系．

22.（2020年河南省开封市九年级二模数学试题）（10分）（1）【问题发现】

如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，点D为BC的中点，以CD为一边作正方形CDEF，点E恰好与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为　   　

（2）【拓展研究】

在（1）的条件下，如果正方形CDEF绕点C旋转，连接BE，CE，AF，线段BE与AF的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明；

（3）【问题发现】

当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时候，直接写出线段AF的长．

【答案】（1）BE=AF；（2）无变化；（3）﹣1或+1．

【解析】

分析】

（1）先利用等腰直角三角形的性质得出AD= ，再得出BE=AB=2，即可得出结论；

（2）先利用三角函数得出，同理得出，夹角相等即可得出△ACF∽△BCE，进而得出结论；

（3）分两种情况计算，当点E在线段BF上时，如图2，先利用勾股定理求出EF=CF=AD=，BF=，即可得出BE=﹣，借助（2）得出的结论，当点E在线段BF的延长线上，同前一种情况一样即可得出结论．

【详解】解：（1）Rt△ABC中，AB=AC=2，

根据勾股定理得，BC=AB=2，

点D为BC的中点，∴AD=BC=，

∵四边形CDEF是正方形，∴AF=EF=AD=，

∵BE=AB=2，∴BE=AF，

故答案为BE=AF；

（2）无变化；

如图2，在Rt△ABC中，AB=AC=2，

∴∠ABC=∠ACB=45°，∴sin∠ABC=，

在正方形CDEF中，∠FEC=∠FED=45°，

在Rt△CEF中，sin∠FEC=，

∴，

∵∠FCE=∠ACB=45°，∴∠FCE﹣∠ACE=∠ACB﹣∠ACE，∴∠FCA=∠ECB，

∴△ACF∽△BCE，∴ =，∴BE=AF，

∴线段BE与AF的数量关系无变化；

（3）当点E在线段AF上时，如图2，

由（1）知，CF=EF=CD=，

在Rt△BCF中，CF=，BC=2，

根据勾股定理得，BF=，∴BE=BF﹣EF=﹣，

由（2）知，BE=AF，∴AF=﹣1，

当点E在线段BF的延长线上时，如图3，

在Rt△ABC中，AB=AC=2，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴sin∠ABC=，

在正方形CDEF中，∠FEC=∠FED=45°，

在Rt△CEF中，sin∠FEC= ，∴ ，

∵∠FCE=∠ACB=45°，∴∠FCB+∠ACB=∠FCB+∠FCE，∴∠FCA=∠ECB，

∴△ACF∽△BCE，∴ =，∴BE=AF，

由（1）知，CF=EF=CD=，

在Rt△BCF中，CF=，BC=2，

根据勾股定理得，BF=，∴BE=BF+EF=+，

由（2）知，BE=AF，∴AF=+1．

即：当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时候，线段AF的长为﹣1或+1．

23．（2020年河南省焦作市沁阳市中考数学二模数学试题）（11分）如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，且过点．点P、Q是抛物线上的动点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)当点P在直线OD下方时，求面积的最大值．

(3)直线OQ与线段BC相交于点E，当与相似时，求点Q的坐标．

【答案】(1)抛物线的表达式为：；(2)有最大值，当时，其最大值为；(3) 或或或．

【解析】

【分析】

（1）函数的表达式为：y=a（x+1）（x-3），将点D坐标代入上式，即可求解；

（2）设点，求出，根据，利用二次函数的性质即可求解；

（3）分∠ACB=∠BOQ、∠BAC=∠BOQ，两种情况分别求解，通过角关系，确定直线OQ倾斜角，进而求解．

【详解】解：(1)函数的表达式为：，将点D坐标代入上式并解得：，

故抛物线的表达式为：…①；

(2)设直线PD与y轴交于点G，设点，

将点P、D的坐标代入一次函数表达式：并解得，直线PD的表达式为：，则，

，

∵，故有最大值，当时，其最大值为；

(3)∵，∴，

∵，故与相似时，分为两种情况：

①当时，，，，

过点A作AH⊥BC与点H，

，解得：，

∴CH＝

则，

则直线OQ的表达式为：…②，

联立①②并解得：，

故点或；

②时，

，

则直线OQ的表达式为：…③，

联立①③并解得：，

故点或；

综上，点或或或．

【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、三角形相似、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．