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2021年安徽省合肥市中考数学模拟试卷（一）（word版 含答案）
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这是一份2021年安徽省合肥市中考数学模拟试卷（一）（word版 含答案），共26页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
2021年中考数学模拟试卷（一）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．﹣2的绝对值是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
2．2020年安徽省粮食总产803.8亿斤，居全国第4位．数据803.8亿用科学记数法表示为（ ）
A．803.8×108 B．8.038×109 C．8.038×1010 D．8.038×1011
3．计算（﹣a）12÷（﹣a）3的结果为（ ）
A．a4 B．﹣a4 C．a9 D．﹣a9
4．下面图形是由4个完全相同的小立方体组成的，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
5．下列分解因式中正确的是（ ）
A．x2﹣4y＝（x+2y）（x﹣2y）
B．﹣4x2﹣1＝（﹣2x+1）（﹣2x﹣1）
C．x2+4x﹣4＝（x﹣2）2
D．4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2
6．下表是某校男子排球队员的年龄分布，则这些队员年龄的中位数（岁）是（ ）
年龄/岁
13
14
15
16
人数
1
5
4
2
A．14 B．14.5 C．15 D．16
7．若一次函数y＝（m﹣1）x﹣m的图象经过第二、三、四象限，则m的取值范围是（ ）
A．m＜0 B．m＜1 C．0＜m＜1 D．m＞1
8．下列关于x的一元二次方程中没有实数根的是（ ）
A．x2﹣x﹣1＝0 B．2x2﹣5＝﹣x
C．x2﹣2ax+a2＝0 D．x2﹣ax+a2+1＝0
9．过△ABC的顶点C画线段CD，使得线段CD与AB边平行且相等，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若∠BAC＝90°，则以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形
B．若以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形，则∠BAC＝90°
C．若AB＝AC＝BC，则以A，B，C，D为顶点的四边形是菱形
D．若以A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，则AB＝AC
10．如图，正方形ABCD的边长为5，动点P的运动路线为AB→BC，动点Q的运动路线为BD．点P与Q以相同的均匀速度分别从A，B两点同时出发，当一个点到达终点停止运动时另一个点也随之停止．设点P运动的路程为x，△BPQ的面积为y，则下列能大致表示y与x的函数关系的图象为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
11．不等式﹣x＜1的解集是 ．
12．如图，在⊙O中，两条弦BA和CD的延长线交于E点，已知AB＝CD，∠E＝20°，则∠B的大小为 ．
13．如图，在第二象限的双曲线y＝﹣上有一点A，过点A作AB∥x轴交第二象限的另一条双曲线y＝于点B．连接OA，交双曲线y＝于点D，若点C在x轴负半轴上，OA平分∠BOC，且点A的纵坐标为4，则＝ ．
14．在数学探究活动中，某同学进行了如下操作：如图，在直角三角形纸片ABC（∠C＝90°）内剪取一个直角△DEF（∠EDF＝90°），点D，E，F分别在AB，AC，BC边上．请完成如下探究：
（1）当D为AB的中点时，设∠A＝α，∠DEF为 ；（用含α的代数式表示）
（2）当AC＝3，BC＝4，DE＝2DF时，AD的长为 ．
三．解答题（共90分）
15．计算：2cos60°﹣（﹣3）2﹣（﹣）﹣1．
16．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的△ABC．
（1）将线段AB绕点C顺时针旋转90°得到线段EF，画出线段EF（点E，F分别为A，B的对应点）
（2）以点C为位似中心，将线段EF作位似变换，且放大到原来的3倍，得到线段GH（点G，H分别为E，F的对应点），在网格内画出线段GH．
17．观察以下等式：
第1个等式：．
第2个等式：．
第3个等式：．
第4个等式：．
第5个等式：．
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ．
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
18．如图，在西山脚下的两个观察点A，B测得山顶C的仰角∠DAC＝37°，∠DBC＝45°，在山顶C测得东山脚D的俯角∠ECD＝64°．已知A，B，C，D在同一平面上，AB＝600米，如果在C，D之间修一条索道，求索道CD的长（参考数据：sin37°≈0.60，tan37°≈0.75，sin64°≈0.90，tan64°≈2.05）．
19．某种农产品今年第一季度价格大幅度下降，下降后每千克的价格是原价格的，下降后，用60元买这种农产品比原来多买了2千克．
（1）求该种农产品下降后的价格．
（2）从第二季度开始，该种农产品的价格开始回升，经过两个季度该种农产品的价格上升到每千克14.4元．求第二和第三季度该种农产品价格的平均增长率．
20．如图，锐角△ABC内接于⨀O，BE⊥AC于点D，交O于点E，DF⊥BC于点F，DE＝DF，连接AE．
（1）求证：AE＝BD．
（2）若CD＝1，AE＝2，圆心O到弦AB的距离OH＝，求⊙O的半径及AB的长．
21．某校在倡导“光盘行动”活动中，在食堂随机观察50名学生午餐剩余情况并据此打分（以百分制呈现，分数都大于49.5且为整数），统计后绘制了频数分布表和频数分布直方图，部分信息如下：
频数分布表
分组
分数
频数
第一组
49.5～59.5
16
第二组
59.5～69.5
20
第三组
69.5～79.5
第四组
79.5～89.5
第五组
89.5～100.5
2
合计
50
（1）补全频数分布表和频数分布直方图．
（2）据此估计全校2000名学生午餐剩余情况高于80分（含80分）的人数为 ，如果将本次统计结果绘制成扇形统计图，那么午餐剩余情况高于80分（含80分）的人数所占扇形的圆心角的度数为 ．
（3）若从以上第四组和第五组的学生中随机挑选2名学生为学校午餐“光盘行动”监督员．求挑选的2名学生恰好都在第五组的概率．
22．在平面直角坐标系中，两条线段AB和CD关于直线x＝1对称，（点A、B分别与点C、D对应），且C，D两点的坐标分别为C（﹣2，0），D（2，﹣4）．
（1）直接写出A，B两点的坐标；
（2）以直线x＝1为对称轴的抛物线l经过A，B，C，D四点．
①求抛物线l的函数解析式；
②P（m，n）是抛物线l上AB之间的一个动点，过点P分别作x轴和y轴的垂线，与直线AB分别相交于M，N两点，记W＝PM+PN，求W关于m的函数解析式，并求W的最大值．
23．在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，△ADE∼△ABC，分别连接BD，CE．
（1）如图1，B，D，E三点在同一条直线上．
①若AD＝2，BC＝3，求AB的长；
②求证：CE2＝AB•CD．
（2）如图2，若∠BAC＝60°，D，M，N分别是AC，BD，CE的中点，求的值．
2021年中考数学模拟试卷（一）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．﹣2的绝对值是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答．
【解答】解：﹣2的绝对值是2，
即|﹣2|＝2．
故选：A．
2．2020年安徽省粮食总产803.8亿斤，居全国第4位．数据803.8亿用科学记数法表示为（ ）
A．803.8×108 B．8.038×109 C．8.038×1010 D．8.038×1011
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：803.8亿＝80380000000＝8.038×1010．
故选：C．
3．计算（﹣a）12÷（﹣a）3的结果为（ ）
A．a4 B．﹣a4 C．a9 D．﹣a9
【分析】同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．据此进行计算即可．
【解答】解：（﹣a）12÷（﹣a）3＝（﹣a）12﹣3＝（﹣a）9＝﹣a9，
故选：D．
4．下面图形是由4个完全相同的小立方体组成的，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从左面看得到的平面图形即可．
【解答】解：从左面看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形．
故选：A．
5．下列分解因式中正确的是（ ）
A．x2﹣4y＝（x+2y）（x﹣2y）
B．﹣4x2﹣1＝（﹣2x+1）（﹣2x﹣1）
C．x2+4x﹣4＝（x﹣2）2
D．4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2
【分析】直接利用乘法公式分解因式判断即可．
【解答】解：A、x2﹣4y无法分解因式，故此选项错误；
B、﹣4x2﹣1无法分解因式，故此选项错误；
C、x2+4x﹣4无法分解因式，故此选项错误；
D、4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2，故此选项正确．
故选：D．
6．下表是某校男子排球队员的年龄分布，则这些队员年龄的中位数（岁）是（ ）
年龄/岁
13
14
15
16
人数
1
5
4
2
A．14 B．14.5 C．15 D．16
【分析】根据中位数的定义求解即可．
【解答】解：∵共有1+5+4+2＝12个数据，
∴其中位数是第6、7个数据的平均数，而第6、7个数据分别为14、15，
则这组数据的中位数为＝14.5，
故选：B．
7．若一次函数y＝（m﹣1）x﹣m的图象经过第二、三、四象限，则m的取值范围是（ ）
A．m＜0 B．m＜1 C．0＜m＜1 D．m＞1
【分析】一次函数y＝（m﹣1）x﹣m的图象经过第二、三、四象限，则一次项系数m﹣1是负数，﹣m是负数，即可求得m的范围．
【解答】解：根据题意得：，
解得：0＜m＜1，
故选：C．
8．下列关于x的一元二次方程中没有实数根的是（ ）
A．x2﹣x﹣1＝0 B．2x2﹣5＝﹣x
C．x2﹣2ax+a2＝0 D．x2﹣ax+a2+1＝0
【分析】分别计算各方程的判别式的值，然后利用判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：A、△＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）＝5＞0，方程有两个不相等的实数根，所以A选项不符合题意；
B、方程变形为2x2+x﹣5＝0，△＝12﹣4×2×（﹣5）＝41＞0，方程有两个不相等的实数根，所以B选项不符合题意；
C、△＝（﹣2a）2﹣4×a2＝0，方程有两个相等的实数根，所以C选项不符合题意；
C、△＝（﹣a）2﹣4×（a2+1）＝﹣3a2﹣4＜0，方程没有实数根，所以D选项符合题意．
故选：D．
9．过△ABC的顶点C画线段CD，使得线段CD与AB边平行且相等，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若∠BAC＝90°，则以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形
B．若以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形，则∠BAC＝90°
C．若AB＝AC＝BC，则以A，B，C，D为顶点的四边形是菱形
D．若以A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，则AB＝AC
【分析】根据矩形的判定和菱形的判定解答即可．
【解答】解：∵CD∥AB，CD＝AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
A、若∠BAC＝90°，则以A，B，C，D为顶点的四边形不是矩形，原命题是假命题；
B、若以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形，则∠ABC＝90°，原命题是假命题；
C、若AB＝AC＝BC，则以A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，是真命题；
D、若以A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，则AB＝BC，原命题是假命题；
故选：C．
10．如图，正方形ABCD的边长为5，动点P的运动路线为AB→BC，动点Q的运动路线为BD．点P与Q以相同的均匀速度分别从A，B两点同时出发，当一个点到达终点停止运动时另一个点也随之停止．设点P运动的路程为x，△BPQ的面积为y，则下列能大致表示y与x的函数关系的图象为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分两种情况：P点在AB上运动时，点P在BC上运动时；分别求出解析式判定即可．
【解答】解：P点在AB上运动时，y＝（5﹣x）×＝﹣x2+x，0＜x≤5）抛物线的一部分；
点P在BC上运动时，y＝（x﹣5）×＝x2﹣x（5＜x≤5）．抛物线的一部分．
故选：B．
二．填空题（共4小题）
11．不等式﹣x＜1的解集是 x＞﹣2 ．
【分析】两边都乘以﹣2即可得出答案．
【解答】解：两边都乘以﹣2，得：x＞﹣2，
故答案为：x＞﹣2．
12．如图，在⊙O中，两条弦BA和CD的延长线交于E点，已知AB＝CD，∠E＝20°，则∠B的大小为 80° ．
【分析】先证，得，再由圆周角定理得∠B＝∠C，然后由三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：∵AB＝CD，
∴，
∴，
即，
∴∠B＝∠C，
∵∠E＝20°，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣20°）＝80°，
故答案为：80°．
13．如图，在第二象限的双曲线y＝﹣上有一点A，过点A作AB∥x轴交第二象限的另一条双曲线y＝于点B．连接OA，交双曲线y＝于点D，若点C在x轴负半轴上，OA平分∠BOC，且点A的纵坐标为4，则＝ ．
【分析】求得A（﹣8，4），即可求得B（，4），根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得出AB＝OB，从而得出+8＝，解得k＝﹣12，根据待定系数法求得直线OA的解析式，与y＝﹣联立，解方程组求得D的坐标，进而即可求得＝＝．
【解答】解：∵在第二象限的双曲线y＝﹣上有一点A，且点A的纵坐标为4，
∴A（﹣8，4），
∵AB∥x轴，
∴B的纵坐标为4，
∵点B双曲线y＝上，
∴B（，4），
∵OA平分∠BOC，
∴∠AOC＝∠AOB，
∵AB∥x轴，
∴∠OAB＝∠AOC，
∴∠OAB＝∠AOB，
∴AB＝OB，
∴+8＝，
解得k＝﹣12，
∴y＝﹣，
设直线OA的解析式为y＝mx，
把（﹣8，4）代入求得m＝﹣，
∴直线OA为y＝﹣，
解得，或，
∴D（﹣2，），
∴＝＝．
14．在数学探究活动中，某同学进行了如下操作：如图，在直角三角形纸片ABC（∠C＝90°）内剪取一个直角△DEF（∠EDF＝90°），点D，E，F分别在AB，AC，BC边上．请完成如下探究：
（1）当D为AB的中点时，设∠A＝α，∠DEF为 ；（用含α的代数式表示）
（2）当AC＝3，BC＝4，DE＝2DF时，AD的长为 3 ．
【分析】（1）由∠EDF＝∠C＝90°可知D，E，C，F四点共圆，则∠DEF＝∠DCB＝∠B即可解决；
（2）过D分别作DP⊥AC，DQ⊥BC，易证△DPE∽△DQF，即DP＝2DQ，再根据DP∥BC，借助相似解决问题．
【解答】解：（1）如图，连接CD，
∵当D为AB的中点，
∴DC＝DA，
∴∠DAC＝∠DCA＝α，
∴∠DCF＝90°﹣α，
∵∠EDF＝∠C＝90°，
∴D，E，C，F四点共圆，
∴∠DEF＝∠DCF＝90°﹣α，
故答案为：90°﹣α．
（2）如图，过D分别作DP⊥AC于P，DQ⊥BC于Q，
∵∠EDF＝90°，
易得△DPE∽△DQF，
∴，
∴DP＝2DQ，
∵DP∥BC，
∴，
∴，
∵DQ＝PC，
∴，
即，
∵，
∴，
∴AD＝3．
故答案为：3．
三．解答题
15．计算：2cos60°﹣（﹣3）2﹣（﹣）﹣1．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2×﹣9+3
＝1﹣9+3
＝﹣5．
16．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的△ABC．
（1）将线段AB绕点C顺时针旋转90°得到线段EF，画出线段EF（点E，F分别为A，B的对应点）
（2）以点C为位似中心，将线段EF作位似变换，且放大到原来的3倍，得到线段GH（点G，H分别为E，F的对应点），在网格内画出线段GH．
【分析】（1）根据旋转的性质画出图形即可；
（2）根据位似变换画出图形解答即可．
【解答】解：（1）线段EF即为所求
；
（2）线段GH即为所求．
17．观察以下等式：
第1个等式：．
第2个等式：．
第3个等式：．
第4个等式：．
第5个等式：．
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ．
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
【分析】（1）观察所给等式中的各个分数的分子与分母的数字与序号的关系可得结论；
（2）同（1）一样的方法进行总结可得；利用分式的加减法则分别计算等式的左边和右边可得．
【解答】解：（1）第六个等式为：．
（2）猜想，第n个等式为：；
证明：∵左边＝＝，
右边＝，
∴左边＝右边．
∴等式成立．
即：．
18．如图，在西山脚下的两个观察点A，B测得山顶C的仰角∠DAC＝37°，∠DBC＝45°，在山顶C测得东山脚D的俯角∠ECD＝64°．已知A，B，C，D在同一平面上，AB＝600米，如果在C，D之间修一条索道，求索道CD的长（参考数据：sin37°≈0.60，tan37°≈0.75，sin64°≈0.90，tan64°≈2.05）．
【分析】过C作CH⊥AD于H，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：过C作CH⊥AD于H，
在Rt△ACH中，tan37°＝，
∴AH＝，
在Rt△BCH中，∠DBC＝45°，
∴BH＝CH，
∴﹣CH＝600，
解得：CH≈1800（米），
在Rt△DCH中，sin64°＝，
∴CD＝，
∴CD≈2000（米），
答：索道CD的长为2000米．
19．某种农产品今年第一季度价格大幅度下降，下降后每千克的价格是原价格的，下降后，用60元买这种农产品比原来多买了2千克．
（1）求该种农产品下降后的价格．
（2）从第二季度开始，该种农产品的价格开始回升，经过两个季度该种农产品的价格上升到每千克14.4元．求第二和第三季度该种农产品价格的平均增长率．
【分析】（1）设该种农产品原来的价格为x元/千克，则下降后的价格为x元/千克，利用数量＝总价÷单价，结合价格下降后用60元买这种农产品比原来多买了2千克，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设第二和第三季度该种农产品价格的平均增长率为y，根据该种农产品第一季度和第三季度的价格，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）设该种农产品原来的价格为x元/千克，则下降后的价格为x元/千克，
依题意得：﹣＝2，
解得：x＝15，
经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意，
∴x＝10．
答：该种农产品下降后的价格为10元/千克．
（2）设第二和第三季度该种农产品价格的平均增长率为y，
依题意得：10（1+y）2＝14.4，
解得：y1＝0.2＝20%，y2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：第二和第三季度该种农产品价格的平均增长率为20%．
20．如图，锐角△ABC内接于⨀O，BE⊥AC于点D，交O于点E，DF⊥BC于点F，DE＝DF，连接AE．
（1）求证：AE＝BD．
（2）若CD＝1，AE＝2，圆心O到弦AB的距离OH＝，求⊙O的半径及AB的长．
【分析】（1）求出∠ADE＝∠BFD＝90°，由圆周角定理得出∠EAD＝∠CBD，关键全等三角形的判定得出△EAD≌△DBF，根据全等三角形的性质得出答案即可；
（2）过O作OH⊥AB于H，连接BO，AO，求出∠C＝∠BOH，根据勾股定理求出BC，根据相似三角形的判定得出△BOH∽△BCD，根据相似三角形的性质求出OB，再根据勾股定理求出BH即可．
【解答】（1）证明：∵BE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠ADE＝∠BFD＝90°，
由圆周角定理得：∠EAD＝∠CBD，
在△EAD和△DBF中，
，
∴△EAD≌△DBF（AAS），
∴AE＝BD；
（2）解：过O作OH⊥AB于H，连接BO，AO，
∵OH⊥AB，OH过O，
∴AH＝BH，
∵OA＝OB，
∴∠AOB＝2∠BOH，
∵∠AOB＝2∠C，
∴∠C＝∠BOH，
∵AE＝2，AE＝BD，
∴BD＝2，
∴CD＝1，
∴BC＝＝＝3，
∵∠BOH＝∠C，∠CDB＝∠OHB＝90°，
∴△BOH∽△BCD，
∴＝，
∴＝，
解得：OB＝2，
即⊙O的半径是2，
由勾股定理得：BH＝＝＝，
∵OH⊥AB，OH过O，
∴AH＝BH，
∴AB＝2BH＝．
21．某校在倡导“光盘行动”活动中，在食堂随机观察50名学生午餐剩余情况并据此打分（以百分制呈现，分数都大于49.5且为整数），统计后绘制了频数分布表和频数分布直方图，部分信息如下：
频数分布表
分组
分数
频数
第一组
49.5～59.5
16
第二组
59.5～69.5
20
第三组
69.5～79.5
10
第四组
79.5～89.5
2
第五组
89.5～100.5
2
合计
50
（1）补全频数分布表和频数分布直方图．
（2）据此估计全校2000名学生午餐剩余情况高于80分（含80分）的人数为 160人 ，如果将本次统计结果绘制成扇形统计图，那么午餐剩余情况高于80分（含80分）的人数所占扇形的圆心角的度数为 28.8° ．
（3）若从以上第四组和第五组的学生中随机挑选2名学生为学校午餐“光盘行动”监督员．求挑选的2名学生恰好都在第五组的概率．
【分析】（1）由题意得第三组的频数为10，再求出第四组的频数为2，然后补全频数分布表和频数分布直方图即可；
（2）由全校学生2000名乘以午餐剩余情况高于80分（含80分）的人数所占的比例列式计算，再由360°乘以午餐剩余情况高于80分（含80分）的人数所占比例即可；
（3）画树状图，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）由题意得：第三组的频数为10，
∴第四组的频数为50﹣16﹣20﹣10﹣2＝2，
故答案为：10，2；
补全频数分布表和频数分布直方图如下：
（2）估计全校2000名学生午餐剩余情况高于80分（含80分）的人数为：2000×＝160（人），
午餐剩余情况高于80分（含80分）的人数所占扇形的圆心角的度数为：360°×＝28.8°，
故答案为：160人，28.8°；
（3）把第四组的学生记为A，第五组的学生记为B，画树状图如图：
共有12个等可能的结果，其中挑选的2名学生恰好都在第五组的结果有2个，
∴挑选的2名学生恰好都在第五组的概率为＝．
22．在平面直角坐标系中，两条线段AB和CD关于直线x＝1对称，（点A、B分别与点C、D对应），且C，D两点的坐标分别为C（﹣2，0），D（2，﹣4）．
（1）直接写出A，B两点的坐标；
（2）以直线x＝1为对称轴的抛物线l经过A，B，C，D四点．
①求抛物线l的函数解析式；
②P（m，n）是抛物线l上AB之间的一个动点，过点P分别作x轴和y轴的垂线，与直线AB分别相交于M，N两点，记W＝PM+PN，求W关于m的函数解析式，并求W的最大值．
【分析】（1）根据点的对称性即可求解；
（2）①用待定系数法即可求解；②由W＝PM+PM＝2PM＝2（m﹣4﹣m2+m+4），即可求解．
【解答】解：（1）如图，点A、C关于直线x＝1对称，则点A的坐标为（4，0），
同理可得，点B的坐标为（0，﹣4）；
故点A、B的坐标分别为（4，0）、（0，4）；
（2）①设抛物线的表达式为y＝a（x﹣1）2+c，则，解得，
故抛物线的表达式为y＝（x﹣1）2﹣＝x2﹣x﹣4；
②由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为y＝x﹣4，
则∠OAB＝45°，故PM＝PN，
设点P的坐标为（m，m2﹣m﹣4），则点M的坐标为（m，m﹣4），
则W＝PM+PM＝2PM＝2（m﹣4﹣m2+m+4）＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣2）2+4≤4，
即W＝﹣m2+4m（0≤m≤4），W的最大值为4．
23．在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，△ADE∼△ABC，分别连接BD，CE．
（1）如图1，B，D，E三点在同一条直线上．
①若AD＝2，BC＝3，求AB的长；
②求证：CE2＝AB•CD．
（2）如图2，若∠BAC＝60°，D，M，N分别是AC，BD，CE的中点，求的值．
【分析】（1）①先判断出∠ACB＝∠AED，进而判断出△ADE∽△BDC，进而得出△BDC∽△ABC，得出，即可得出结论；
②先判断出AD＝AE，进而得出△ABD≌△ACE（SAS），再判断出△ABD∽△ECD，即可得出结论；
（2）先判断出△ABD≌△ACE，得出∠ABM＝∠ACN，BD＝CE，再判断出△ABM≌ACN（SAS），得出AM＝AN，∠BAM＝∠CAN，进而判断出△AMN是等边三角形，得出MN＝AM，设AD＝a，得出AC＝AB＝BC＝2a，BD＝CE＝a，DM＝a，AM＝a，即可得出结论．
【解答】解：（1）①∵△ADE∽△ABC，
∴∠ACB＝∠AED，
∵∠BDC＝∠ADE，
∴△ADE∽△BDC，
∴△BDC∽△ABC，
∴，
设AB＝AC＝x，则CD＝AC﹣AD＝x﹣2，
∴，
∴x＝1+（负值已舍去），
∴AB＝1+；
②∵△ADE∽△ABC，
∴∠DAE＝∠BAC，，
∵AB＝AC，
∴AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴CE＝BD，∠ABD＝∠ECD，
∵∠ADB＝∠CDE，
∴△ABD∽△ECD，
∴，
∴CE2＝AB•CD；
（2）如图2，连接AN，
∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，
∵点D是AC的中点，
∴AC＝2AD，BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
由（1）知，△ABD≌△ACE，
∴∠ABM＝∠ACN，BD＝CE，
∵M，N分别是BD，CE的中点，
∴BM＝BD，CN＝CE，
∴BM＝CN，
∵AB＝AC，
∴△ABM≌ACN（SAS），
∴AM＝AN，∠BAM＝∠CAN，
∴∠MAN＝∠BAC＝60°，
∴△AMN是等边三角形，
∴MN＝AM，
设AD＝a，
∴AC＝AB＝BC＝2a，
根据勾股定理得，BD＝CE＝a，
∵点M是BD的中点，
∴DM＝BD＝a，
根据勾股定理得，AM＝＝，
∴MN＝a，
∴．
2021年中考数学模拟试卷（一）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．﹣2的绝对值是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
2．2020年安徽省粮食总产803.8亿斤，居全国第4位．数据803.8亿用科学记数法表示为（ ）
A．803.8×108 B．8.038×109 C．8.038×1010 D．8.038×1011
3．计算（﹣a）12÷（﹣a）3的结果为（ ）
A．a4 B．﹣a4 C．a9 D．﹣a9
4．下面图形是由4个完全相同的小立方体组成的，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
5．下列分解因式中正确的是（ ）
A．x2﹣4y＝（x+2y）（x﹣2y）
B．﹣4x2﹣1＝（﹣2x+1）（﹣2x﹣1）
C．x2+4x﹣4＝（x﹣2）2
D．4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2
6．下表是某校男子排球队员的年龄分布，则这些队员年龄的中位数（岁）是（ ）
年龄/岁
13
14
15
16
人数
1
5
4
2
A．14 B．14.5 C．15 D．16
7．若一次函数y＝（m﹣1）x﹣m的图象经过第二、三、四象限，则m的取值范围是（ ）
A．m＜0 B．m＜1 C．0＜m＜1 D．m＞1
8．下列关于x的一元二次方程中没有实数根的是（ ）
A．x2﹣x﹣1＝0 B．2x2﹣5＝﹣x
C．x2﹣2ax+a2＝0 D．x2﹣ax+a2+1＝0
9．过△ABC的顶点C画线段CD，使得线段CD与AB边平行且相等，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若∠BAC＝90°，则以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形
B．若以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形，则∠BAC＝90°
C．若AB＝AC＝BC，则以A，B，C，D为顶点的四边形是菱形
D．若以A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，则AB＝AC
10．如图，正方形ABCD的边长为5，动点P的运动路线为AB→BC，动点Q的运动路线为BD．点P与Q以相同的均匀速度分别从A，B两点同时出发，当一个点到达终点停止运动时另一个点也随之停止．设点P运动的路程为x，△BPQ的面积为y，则下列能大致表示y与x的函数关系的图象为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
11．不等式﹣x＜1的解集是 ．
12．如图，在⊙O中，两条弦BA和CD的延长线交于E点，已知AB＝CD，∠E＝20°，则∠B的大小为 ．
13．如图，在第二象限的双曲线y＝﹣上有一点A，过点A作AB∥x轴交第二象限的另一条双曲线y＝于点B．连接OA，交双曲线y＝于点D，若点C在x轴负半轴上，OA平分∠BOC，且点A的纵坐标为4，则＝ ．
14．在数学探究活动中，某同学进行了如下操作：如图，在直角三角形纸片ABC（∠C＝90°）内剪取一个直角△DEF（∠EDF＝90°），点D，E，F分别在AB，AC，BC边上．请完成如下探究：
（1）当D为AB的中点时，设∠A＝α，∠DEF为 ；（用含α的代数式表示）
（2）当AC＝3，BC＝4，DE＝2DF时，AD的长为 ．
三．解答题（共90分）
15．计算：2cos60°﹣（﹣3）2﹣（﹣）﹣1．
16．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的△ABC．
（1）将线段AB绕点C顺时针旋转90°得到线段EF，画出线段EF（点E，F分别为A，B的对应点）
（2）以点C为位似中心，将线段EF作位似变换，且放大到原来的3倍，得到线段GH（点G，H分别为E，F的对应点），在网格内画出线段GH．
17．观察以下等式：
第1个等式：．
第2个等式：．
第3个等式：．
第4个等式：．
第5个等式：．
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ．
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
18．如图，在西山脚下的两个观察点A，B测得山顶C的仰角∠DAC＝37°，∠DBC＝45°，在山顶C测得东山脚D的俯角∠ECD＝64°．已知A，B，C，D在同一平面上，AB＝600米，如果在C，D之间修一条索道，求索道CD的长（参考数据：sin37°≈0.60，tan37°≈0.75，sin64°≈0.90，tan64°≈2.05）．
19．某种农产品今年第一季度价格大幅度下降，下降后每千克的价格是原价格的，下降后，用60元买这种农产品比原来多买了2千克．
（1）求该种农产品下降后的价格．
（2）从第二季度开始，该种农产品的价格开始回升，经过两个季度该种农产品的价格上升到每千克14.4元．求第二和第三季度该种农产品价格的平均增长率．
20．如图，锐角△ABC内接于⨀O，BE⊥AC于点D，交O于点E，DF⊥BC于点F，DE＝DF，连接AE．
（1）求证：AE＝BD．
（2）若CD＝1，AE＝2，圆心O到弦AB的距离OH＝，求⊙O的半径及AB的长．
21．某校在倡导“光盘行动”活动中，在食堂随机观察50名学生午餐剩余情况并据此打分（以百分制呈现，分数都大于49.5且为整数），统计后绘制了频数分布表和频数分布直方图，部分信息如下：
频数分布表
分组
分数
频数
第一组
49.5～59.5
16
第二组
59.5～69.5
20
第三组
69.5～79.5
第四组
79.5～89.5
第五组
89.5～100.5
2
合计
50
（1）补全频数分布表和频数分布直方图．
（2）据此估计全校2000名学生午餐剩余情况高于80分（含80分）的人数为 ，如果将本次统计结果绘制成扇形统计图，那么午餐剩余情况高于80分（含80分）的人数所占扇形的圆心角的度数为 ．
（3）若从以上第四组和第五组的学生中随机挑选2名学生为学校午餐“光盘行动”监督员．求挑选的2名学生恰好都在第五组的概率．
22．在平面直角坐标系中，两条线段AB和CD关于直线x＝1对称，（点A、B分别与点C、D对应），且C，D两点的坐标分别为C（﹣2，0），D（2，﹣4）．
（1）直接写出A，B两点的坐标；
（2）以直线x＝1为对称轴的抛物线l经过A，B，C，D四点．
①求抛物线l的函数解析式；
②P（m，n）是抛物线l上AB之间的一个动点，过点P分别作x轴和y轴的垂线，与直线AB分别相交于M，N两点，记W＝PM+PN，求W关于m的函数解析式，并求W的最大值．
23．在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，△ADE∼△ABC，分别连接BD，CE．
（1）如图1，B，D，E三点在同一条直线上．
①若AD＝2，BC＝3，求AB的长；
②求证：CE2＝AB•CD．
（2）如图2，若∠BAC＝60°，D，M，N分别是AC，BD，CE的中点，求的值．
2021年中考数学模拟试卷（一）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．﹣2的绝对值是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答．
【解答】解：﹣2的绝对值是2，
即|﹣2|＝2．
故选：A．
2．2020年安徽省粮食总产803.8亿斤，居全国第4位．数据803.8亿用科学记数法表示为（ ）
A．803.8×108 B．8.038×109 C．8.038×1010 D．8.038×1011
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：803.8亿＝80380000000＝8.038×1010．
故选：C．
3．计算（﹣a）12÷（﹣a）3的结果为（ ）
A．a4 B．﹣a4 C．a9 D．﹣a9
【分析】同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．据此进行计算即可．
【解答】解：（﹣a）12÷（﹣a）3＝（﹣a）12﹣3＝（﹣a）9＝﹣a9，
故选：D．
4．下面图形是由4个完全相同的小立方体组成的，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从左面看得到的平面图形即可．
【解答】解：从左面看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形．
故选：A．
5．下列分解因式中正确的是（ ）
A．x2﹣4y＝（x+2y）（x﹣2y）
B．﹣4x2﹣1＝（﹣2x+1）（﹣2x﹣1）
C．x2+4x﹣4＝（x﹣2）2
D．4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2
【分析】直接利用乘法公式分解因式判断即可．
【解答】解：A、x2﹣4y无法分解因式，故此选项错误；
B、﹣4x2﹣1无法分解因式，故此选项错误；
C、x2+4x﹣4无法分解因式，故此选项错误；
D、4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2，故此选项正确．
故选：D．
6．下表是某校男子排球队员的年龄分布，则这些队员年龄的中位数（岁）是（ ）
年龄/岁
13
14
15
16
人数
1
5
4
2
A．14 B．14.5 C．15 D．16
【分析】根据中位数的定义求解即可．
【解答】解：∵共有1+5+4+2＝12个数据，
∴其中位数是第6、7个数据的平均数，而第6、7个数据分别为14、15，
则这组数据的中位数为＝14.5，
故选：B．
7．若一次函数y＝（m﹣1）x﹣m的图象经过第二、三、四象限，则m的取值范围是（ ）
A．m＜0 B．m＜1 C．0＜m＜1 D．m＞1
【分析】一次函数y＝（m﹣1）x﹣m的图象经过第二、三、四象限，则一次项系数m﹣1是负数，﹣m是负数，即可求得m的范围．
【解答】解：根据题意得：，
解得：0＜m＜1，
故选：C．
8．下列关于x的一元二次方程中没有实数根的是（ ）
A．x2﹣x﹣1＝0 B．2x2﹣5＝﹣x
C．x2﹣2ax+a2＝0 D．x2﹣ax+a2+1＝0
【分析】分别计算各方程的判别式的值，然后利用判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：A、△＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）＝5＞0，方程有两个不相等的实数根，所以A选项不符合题意；
B、方程变形为2x2+x﹣5＝0，△＝12﹣4×2×（﹣5）＝41＞0，方程有两个不相等的实数根，所以B选项不符合题意；
C、△＝（﹣2a）2﹣4×a2＝0，方程有两个相等的实数根，所以C选项不符合题意；
C、△＝（﹣a）2﹣4×（a2+1）＝﹣3a2﹣4＜0，方程没有实数根，所以D选项符合题意．
故选：D．
9．过△ABC的顶点C画线段CD，使得线段CD与AB边平行且相等，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若∠BAC＝90°，则以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形
B．若以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形，则∠BAC＝90°
C．若AB＝AC＝BC，则以A，B，C，D为顶点的四边形是菱形
D．若以A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，则AB＝AC
【分析】根据矩形的判定和菱形的判定解答即可．
【解答】解：∵CD∥AB，CD＝AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
A、若∠BAC＝90°，则以A，B，C，D为顶点的四边形不是矩形，原命题是假命题；
B、若以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形，则∠ABC＝90°，原命题是假命题；
C、若AB＝AC＝BC，则以A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，是真命题；
D、若以A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，则AB＝BC，原命题是假命题；
故选：C．
10．如图，正方形ABCD的边长为5，动点P的运动路线为AB→BC，动点Q的运动路线为BD．点P与Q以相同的均匀速度分别从A，B两点同时出发，当一个点到达终点停止运动时另一个点也随之停止．设点P运动的路程为x，△BPQ的面积为y，则下列能大致表示y与x的函数关系的图象为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分两种情况：P点在AB上运动时，点P在BC上运动时；分别求出解析式判定即可．
【解答】解：P点在AB上运动时，y＝（5﹣x）×＝﹣x2+x，0＜x≤5）抛物线的一部分；
点P在BC上运动时，y＝（x﹣5）×＝x2﹣x（5＜x≤5）．抛物线的一部分．
故选：B．
二．填空题（共4小题）
11．不等式﹣x＜1的解集是 x＞﹣2 ．
【分析】两边都乘以﹣2即可得出答案．
【解答】解：两边都乘以﹣2，得：x＞﹣2，
故答案为：x＞﹣2．
12．如图，在⊙O中，两条弦BA和CD的延长线交于E点，已知AB＝CD，∠E＝20°，则∠B的大小为 80° ．
【分析】先证，得，再由圆周角定理得∠B＝∠C，然后由三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：∵AB＝CD，
∴，
∴，
即，
∴∠B＝∠C，
∵∠E＝20°，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣20°）＝80°，
故答案为：80°．
13．如图，在第二象限的双曲线y＝﹣上有一点A，过点A作AB∥x轴交第二象限的另一条双曲线y＝于点B．连接OA，交双曲线y＝于点D，若点C在x轴负半轴上，OA平分∠BOC，且点A的纵坐标为4，则＝ ．
【分析】求得A（﹣8，4），即可求得B（，4），根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得出AB＝OB，从而得出+8＝，解得k＝﹣12，根据待定系数法求得直线OA的解析式，与y＝﹣联立，解方程组求得D的坐标，进而即可求得＝＝．
【解答】解：∵在第二象限的双曲线y＝﹣上有一点A，且点A的纵坐标为4，
∴A（﹣8，4），
∵AB∥x轴，
∴B的纵坐标为4，
∵点B双曲线y＝上，
∴B（，4），
∵OA平分∠BOC，
∴∠AOC＝∠AOB，
∵AB∥x轴，
∴∠OAB＝∠AOC，
∴∠OAB＝∠AOB，
∴AB＝OB，
∴+8＝，
解得k＝﹣12，
∴y＝﹣，
设直线OA的解析式为y＝mx，
把（﹣8，4）代入求得m＝﹣，
∴直线OA为y＝﹣，
解得，或，
∴D（﹣2，），
∴＝＝．
14．在数学探究活动中，某同学进行了如下操作：如图，在直角三角形纸片ABC（∠C＝90°）内剪取一个直角△DEF（∠EDF＝90°），点D，E，F分别在AB，AC，BC边上．请完成如下探究：
（1）当D为AB的中点时，设∠A＝α，∠DEF为 ；（用含α的代数式表示）
（2）当AC＝3，BC＝4，DE＝2DF时，AD的长为 3 ．
【分析】（1）由∠EDF＝∠C＝90°可知D，E，C，F四点共圆，则∠DEF＝∠DCB＝∠B即可解决；
（2）过D分别作DP⊥AC，DQ⊥BC，易证△DPE∽△DQF，即DP＝2DQ，再根据DP∥BC，借助相似解决问题．
【解答】解：（1）如图，连接CD，
∵当D为AB的中点，
∴DC＝DA，
∴∠DAC＝∠DCA＝α，
∴∠DCF＝90°﹣α，
∵∠EDF＝∠C＝90°，
∴D，E，C，F四点共圆，
∴∠DEF＝∠DCF＝90°﹣α，
故答案为：90°﹣α．
（2）如图，过D分别作DP⊥AC于P，DQ⊥BC于Q，
∵∠EDF＝90°，
易得△DPE∽△DQF，
∴，
∴DP＝2DQ，
∵DP∥BC，
∴，
∴，
∵DQ＝PC，
∴，
即，
∵，
∴，
∴AD＝3．
故答案为：3．
三．解答题
15．计算：2cos60°﹣（﹣3）2﹣（﹣）﹣1．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2×﹣9+3
＝1﹣9+3
＝﹣5．
16．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的△ABC．
（1）将线段AB绕点C顺时针旋转90°得到线段EF，画出线段EF（点E，F分别为A，B的对应点）
（2）以点C为位似中心，将线段EF作位似变换，且放大到原来的3倍，得到线段GH（点G，H分别为E，F的对应点），在网格内画出线段GH．
【分析】（1）根据旋转的性质画出图形即可；
（2）根据位似变换画出图形解答即可．
【解答】解：（1）线段EF即为所求
；
（2）线段GH即为所求．
17．观察以下等式：
第1个等式：．
第2个等式：．
第3个等式：．
第4个等式：．
第5个等式：．
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ．
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
【分析】（1）观察所给等式中的各个分数的分子与分母的数字与序号的关系可得结论；
（2）同（1）一样的方法进行总结可得；利用分式的加减法则分别计算等式的左边和右边可得．
【解答】解：（1）第六个等式为：．
（2）猜想，第n个等式为：；
证明：∵左边＝＝，
右边＝，
∴左边＝右边．
∴等式成立．
即：．
18．如图，在西山脚下的两个观察点A，B测得山顶C的仰角∠DAC＝37°，∠DBC＝45°，在山顶C测得东山脚D的俯角∠ECD＝64°．已知A，B，C，D在同一平面上，AB＝600米，如果在C，D之间修一条索道，求索道CD的长（参考数据：sin37°≈0.60，tan37°≈0.75，sin64°≈0.90，tan64°≈2.05）．
【分析】过C作CH⊥AD于H，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：过C作CH⊥AD于H，
在Rt△ACH中，tan37°＝，
∴AH＝，
在Rt△BCH中，∠DBC＝45°，
∴BH＝CH，
∴﹣CH＝600，
解得：CH≈1800（米），
在Rt△DCH中，sin64°＝，
∴CD＝，
∴CD≈2000（米），
答：索道CD的长为2000米．
19．某种农产品今年第一季度价格大幅度下降，下降后每千克的价格是原价格的，下降后，用60元买这种农产品比原来多买了2千克．
（1）求该种农产品下降后的价格．
（2）从第二季度开始，该种农产品的价格开始回升，经过两个季度该种农产品的价格上升到每千克14.4元．求第二和第三季度该种农产品价格的平均增长率．
【分析】（1）设该种农产品原来的价格为x元/千克，则下降后的价格为x元/千克，利用数量＝总价÷单价，结合价格下降后用60元买这种农产品比原来多买了2千克，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设第二和第三季度该种农产品价格的平均增长率为y，根据该种农产品第一季度和第三季度的价格，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）设该种农产品原来的价格为x元/千克，则下降后的价格为x元/千克，
依题意得：﹣＝2，
解得：x＝15，
经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意，
∴x＝10．
答：该种农产品下降后的价格为10元/千克．
（2）设第二和第三季度该种农产品价格的平均增长率为y，
依题意得：10（1+y）2＝14.4，
解得：y1＝0.2＝20%，y2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：第二和第三季度该种农产品价格的平均增长率为20%．
20．如图，锐角△ABC内接于⨀O，BE⊥AC于点D，交O于点E，DF⊥BC于点F，DE＝DF，连接AE．
（1）求证：AE＝BD．
（2）若CD＝1，AE＝2，圆心O到弦AB的距离OH＝，求⊙O的半径及AB的长．
【分析】（1）求出∠ADE＝∠BFD＝90°，由圆周角定理得出∠EAD＝∠CBD，关键全等三角形的判定得出△EAD≌△DBF，根据全等三角形的性质得出答案即可；
（2）过O作OH⊥AB于H，连接BO，AO，求出∠C＝∠BOH，根据勾股定理求出BC，根据相似三角形的判定得出△BOH∽△BCD，根据相似三角形的性质求出OB，再根据勾股定理求出BH即可．
【解答】（1）证明：∵BE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠ADE＝∠BFD＝90°，
由圆周角定理得：∠EAD＝∠CBD，
在△EAD和△DBF中，
，
∴△EAD≌△DBF（AAS），
∴AE＝BD；
（2）解：过O作OH⊥AB于H，连接BO，AO，
∵OH⊥AB，OH过O，
∴AH＝BH，
∵OA＝OB，
∴∠AOB＝2∠BOH，
∵∠AOB＝2∠C，
∴∠C＝∠BOH，
∵AE＝2，AE＝BD，
∴BD＝2，
∴CD＝1，
∴BC＝＝＝3，
∵∠BOH＝∠C，∠CDB＝∠OHB＝90°，
∴△BOH∽△BCD，
∴＝，
∴＝，
解得：OB＝2，
即⊙O的半径是2，
由勾股定理得：BH＝＝＝，
∵OH⊥AB，OH过O，
∴AH＝BH，
∴AB＝2BH＝．
21．某校在倡导“光盘行动”活动中，在食堂随机观察50名学生午餐剩余情况并据此打分（以百分制呈现，分数都大于49.5且为整数），统计后绘制了频数分布表和频数分布直方图，部分信息如下：
频数分布表
分组
分数
频数
第一组
49.5～59.5
16
第二组
59.5～69.5
20
第三组
69.5～79.5
10
第四组
79.5～89.5
2
第五组
89.5～100.5
2
合计
50
（1）补全频数分布表和频数分布直方图．
（2）据此估计全校2000名学生午餐剩余情况高于80分（含80分）的人数为 160人 ，如果将本次统计结果绘制成扇形统计图，那么午餐剩余情况高于80分（含80分）的人数所占扇形的圆心角的度数为 28.8° ．
（3）若从以上第四组和第五组的学生中随机挑选2名学生为学校午餐“光盘行动”监督员．求挑选的2名学生恰好都在第五组的概率．
【分析】（1）由题意得第三组的频数为10，再求出第四组的频数为2，然后补全频数分布表和频数分布直方图即可；
（2）由全校学生2000名乘以午餐剩余情况高于80分（含80分）的人数所占的比例列式计算，再由360°乘以午餐剩余情况高于80分（含80分）的人数所占比例即可；
（3）画树状图，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）由题意得：第三组的频数为10，
∴第四组的频数为50﹣16﹣20﹣10﹣2＝2，
故答案为：10，2；
补全频数分布表和频数分布直方图如下：
（2）估计全校2000名学生午餐剩余情况高于80分（含80分）的人数为：2000×＝160（人），
午餐剩余情况高于80分（含80分）的人数所占扇形的圆心角的度数为：360°×＝28.8°，
故答案为：160人，28.8°；
（3）把第四组的学生记为A，第五组的学生记为B，画树状图如图：
共有12个等可能的结果，其中挑选的2名学生恰好都在第五组的结果有2个，
∴挑选的2名学生恰好都在第五组的概率为＝．
22．在平面直角坐标系中，两条线段AB和CD关于直线x＝1对称，（点A、B分别与点C、D对应），且C，D两点的坐标分别为C（﹣2，0），D（2，﹣4）．
（1）直接写出A，B两点的坐标；
（2）以直线x＝1为对称轴的抛物线l经过A，B，C，D四点．
①求抛物线l的函数解析式；
②P（m，n）是抛物线l上AB之间的一个动点，过点P分别作x轴和y轴的垂线，与直线AB分别相交于M，N两点，记W＝PM+PN，求W关于m的函数解析式，并求W的最大值．
【分析】（1）根据点的对称性即可求解；
（2）①用待定系数法即可求解；②由W＝PM+PM＝2PM＝2（m﹣4﹣m2+m+4），即可求解．
【解答】解：（1）如图，点A、C关于直线x＝1对称，则点A的坐标为（4，0），
同理可得，点B的坐标为（0，﹣4）；
故点A、B的坐标分别为（4，0）、（0，4）；
（2）①设抛物线的表达式为y＝a（x﹣1）2+c，则，解得，
故抛物线的表达式为y＝（x﹣1）2﹣＝x2﹣x﹣4；
②由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为y＝x﹣4，
则∠OAB＝45°，故PM＝PN，
设点P的坐标为（m，m2﹣m﹣4），则点M的坐标为（m，m﹣4），
则W＝PM+PM＝2PM＝2（m﹣4﹣m2+m+4）＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣2）2+4≤4，
即W＝﹣m2+4m（0≤m≤4），W的最大值为4．
23．在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，△ADE∼△ABC，分别连接BD，CE．
（1）如图1，B，D，E三点在同一条直线上．
①若AD＝2，BC＝3，求AB的长；
②求证：CE2＝AB•CD．
（2）如图2，若∠BAC＝60°，D，M，N分别是AC，BD，CE的中点，求的值．
【分析】（1）①先判断出∠ACB＝∠AED，进而判断出△ADE∽△BDC，进而得出△BDC∽△ABC，得出，即可得出结论；
②先判断出AD＝AE，进而得出△ABD≌△ACE（SAS），再判断出△ABD∽△ECD，即可得出结论；
（2）先判断出△ABD≌△ACE，得出∠ABM＝∠ACN，BD＝CE，再判断出△ABM≌ACN（SAS），得出AM＝AN，∠BAM＝∠CAN，进而判断出△AMN是等边三角形，得出MN＝AM，设AD＝a，得出AC＝AB＝BC＝2a，BD＝CE＝a，DM＝a，AM＝a，即可得出结论．
【解答】解：（1）①∵△ADE∽△ABC，
∴∠ACB＝∠AED，
∵∠BDC＝∠ADE，
∴△ADE∽△BDC，
∴△BDC∽△ABC，
∴，
设AB＝AC＝x，则CD＝AC﹣AD＝x﹣2，
∴，
∴x＝1+（负值已舍去），
∴AB＝1+；
②∵△ADE∽△ABC，
∴∠DAE＝∠BAC，，
∵AB＝AC，
∴AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴CE＝BD，∠ABD＝∠ECD，
∵∠ADB＝∠CDE，
∴△ABD∽△ECD，
∴，
∴CE2＝AB•CD；
（2）如图2，连接AN，
∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，
∵点D是AC的中点，
∴AC＝2AD，BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
由（1）知，△ABD≌△ACE，
∴∠ABM＝∠ACN，BD＝CE，
∵M，N分别是BD，CE的中点，
∴BM＝BD，CN＝CE，
∴BM＝CN，
∵AB＝AC，
∴△ABM≌ACN（SAS），
∴AM＝AN，∠BAM＝∠CAN，
∴∠MAN＝∠BAC＝60°，
∴△AMN是等边三角形，
∴MN＝AM，
设AD＝a，
∴AC＝AB＝BC＝2a，
根据勾股定理得，BD＝CE＝a，
∵点M是BD的中点，
∴DM＝BD＝a，
根据勾股定理得，AM＝＝，
∴MN＝a，
∴．
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