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2021年河南省中招考试模拟数学试卷（二）（word版 含答案）
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这是一份2021年河南省中招考试模拟数学试卷（二）（word版 含答案），共25页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年河南省中招数学模拟试卷（二）
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。
1．﹣3的相反数是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
2．下列运算中，正确的是（ ）
A．x2+2x2＝3x4 B．x2•x3＝x5 C．（x3）2＝x5 D．（xy）2＝x2y
3．已知：如图，OA，OB是⊙O的两条半径，∠AOB＝100°，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为（ ）
A．45° B．35° C．60° D．50°
4．如图，有5个完全相同的小正方体组合成一个立方体图形，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
5．某中学组织全区优秀九年级毕业生参加学校冬令营，一共有x名学生，分成y个学习小组．若每组10人，则还差5人；若每组9人，还余下3人．若求冬令营学生的人数，所列的方程组为（ ）
A． B．
C． D．
6．某校开展“疫情防控小卫士”活动，从学生会“督查部”的4名学生（2男2女）中随机选两名进行督导每日一次体温测量，恰好选中男女学生各一名的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．不等式组的解集是x＞4，那么m的取值范围是（ ）
A．m＝3 B．m≥3 C．m＜3 D．m≤3
8．对于二次函数y＝﹣x2﹣4x+5，以下说法正确的是（ ）
A．x＜﹣1时，y随x的增大而增大
B．x＜﹣5或x＞1时，y＞0
C．A（﹣4，y1），B（，y2）在y＝﹣x2﹣4x+5的图象上，则y1＜y2
D．此二次函数的最大值为8
9．如图，CD是△ABC的边AB上的中线，将线段AD绕点D顺时针旋转90°后，点A的对应点E恰好落在AC边上，若AD＝，BC＝，则CE的长为（ ）
A． B． C． D．1
10．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，AB∥x轴，点B的坐标为（4，1），∠BAD＝60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l与菱形ABCD的两边分别交于点M，N（点N在点M的上方），连接OM，ON，若△OMN的面积为S，直线l的运动时间为t秒（0≤t≤6），则S与t的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．据报道，郑州市私家车拥有量近4500000辆．将数据4500000用科学记数法表示为 ．
12．计算＝ ．
13．若关于x的一元二次方程2mx2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ．
14．如图，在正方形ABCD外作等腰直角三角形CDE，∠CED＝90°，DE＝CE，连接BE，则tan∠DEB＝ ．
15．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝4，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A'EF，连接A'C，A'D，则当△A'DC是以A'D为腰的等腰三角形时，FD的长是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16．先化简，再求值：（+）÷，其中a＝+1．
17．距离中考体考时间越来越近，年级想了解初三年级1512名学生周末在家体育锻炼的情况，在初三年级随机抽取了18名男生和18名女生，对他们周末在家的锻炼时间进行了调查，并收集得到了以下数据（单位：分钟）
男生：28，30，32，46，68，39，80，70，66，57，70，95，100，58，69，88，99，105
女生：36，48，78，99，56，62，35，109，29，88，88，69，73，55，90，98，69，72
统计数据，并制作了如下统计表：
时间x
0≤x≤30
30＜x≤60
60＜x≤90
90＜x
男生
2
5
7
4
女生
1
5
9
3
分析数据：两组数据的极差、平均数、中位数、众数如表所示
平均数
中位数
众数
方差
男生
66.7
a
70
617.3
女生
69.7
70.5
b
547.2
（1）请将上面的表格补充完整：a＝ ，b＝ ；
（2）已知该年级男女生人数差不多，根据调查的数据，估计初三年级周末在家锻炼的时间在90分钟以上（不包含90分钟）的同学约有多少人？
（3）王老师看了表格数据后认为初三年级的女生周末锻炼做得比男生好，请你结合统计数据，写出两条支持王老师观点的理由．
18．疫情期间，为了保障大家的健康，各地采取了多种方式进行预防，某地利用无人机规劝居民回家．如图，一条笔直的街道DC，在街道C处的正上方A处有一架无人机，该无人机在A处测得俯角为45°的街道B处有人聚集，然后沿平行于街道DC的方向再向前飞行60米到达E处，在E处测得俯角为37°的街道D处也有人聚集．已知两处聚集点B、D之间的距离为120米，求无人机飞行的高度AC．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.414．）
19．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，一次函数与坐标轴交于C，D两点，且点C，D是线段AB的三等分点，OD＝4，tan∠DCO＝．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
20．甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段OA表示货车离甲地的距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系；折线BCD表示轿车离甲地的距离y（千米）与时间x（时）之间的函数关系，请根据图象解答下列问题：
（1）轿车到达乙地时，求货车与甲地的距离；
（2）求线段CD对应的函数表达式；
（3）在轿车行进过程，轿车行驶多少时间，两车相距15千米．
21．某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为16元，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系如表所示：
销售单价x（元）
…
25
30
35
40
…
每月销售量y（万件）
…
50
40
30
20
…
（1）求每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）设每月的利润为W（万元），当销售单价为多少元时，厂商每月获得的总利润为480万元？
（3）如果厂商每月的制造成本不超过480万元，那么当销售单价为多少元时，厂商每月获得的利润最大？最大利润为多少万元？
22．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，且OA＝OB，在x轴上有一动点D（m，0）（0＜m＜4），过点D作x轴的垂线交直线AB于点C，交抛物线于点E，
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）当点C是DE的中点时，求出m的值．
（3）在（2）的条件下，将线段OD绕点O逆时针旋转得到OD′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接D′A、D′B，直接写出D′A+D′B的最小值．
23．定义：长宽比为：1（n为正整数）的矩形称为矩形．下面，我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图a所示．
操作1：将正方形ABEF沿过点A的直线折叠，使折叠后的点B落在对角线AE上的点G处，折痕为AH．
操作2：将FE沿过点G的直线折叠，使点F、点E分别落在边AF，BE上，折痕为CD．则四边形ABCD为矩形．
（1）证明：四边形ABCD为矩形；
（2）点M是边AB上一动点．
①如图b，O是对角线AC的中点，若点N在边BC上，OM⊥ON，连接MN．求tan∠OMN的值；
②若AM＝AD，点N在边BC上，当△DMN的周长最小时，求的值；
③连接CM，作BR⊥CM，垂足为R．若AB＝2，则DR的最小值＝ ．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。
1．﹣3的相反数是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
解：﹣3的相反数是3．
故选：A．
2．下列运算中，正确的是（ ）
A．x2+2x2＝3x4 B．x2•x3＝x5 C．（x3）2＝x5 D．（xy）2＝x2y
解：A．x2+2x2＝3x2，故本选项不合题意；
B．x2•x3＝x5，故本选项符合题意；
C．（x3）2＝x6，故本选项不合题意；
D．（xy）2＝x2y2，故本选项不合题意．
故选：B．
3．已知：如图，OA，OB是⊙O的两条半径，∠AOB＝100°，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为（ ）
A．45° B．35° C．60° D．50°
解：∵OA，OB是⊙O的两条半径，∠AOB＝100°，
由圆周角定理得，∠ACB＝∠AOB＝50°，
故选：D．
4．如图，有5个完全相同的小正方体组合成一个立方体图形，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
解：从上面看可得到一个有4个小正方形组成的大正方形．
故选：A．
5．某中学组织全区优秀九年级毕业生参加学校冬令营，一共有x名学生，分成y个学习小组．若每组10人，则还差5人；若每组9人，还余下3人．若求冬令营学生的人数，所列的方程组为（ ）
A． B．
C． D．
解：每组10人时，实际人数可表示为10y﹣5；每组9人时，实际人数可表示为9y+3；
可列方程组为：，
故选：C．
6．某校开展“疫情防控小卫士”活动，从学生会“督查部”的4名学生（2男2女）中随机选两名进行督导每日一次体温测量，恰好选中男女学生各一名的概率是（ ）
A． B． C． D．
解：画树状图如图：
共有12个等可能的结果，恰好选中男女学生各一名的结果有8个，
∴恰好选中男女学生各一名的概率为＝，
故选：C．
7．不等式组的解集是x＞4，那么m的取值范围是（ ）
A．m＝3 B．m≥3 C．m＜3 D．m≤3
解：不等式组整理得：，
∵不等式组的解集为x＞4，
∴m+1≤4，
解得：m≤3．
故选：D．
8．对于二次函数y＝﹣x2﹣4x+5，以下说法正确的是（ ）
A．x＜﹣1时，y随x的增大而增大
B．x＜﹣5或x＞1时，y＞0
C．A（﹣4，y1），B（，y2）在y＝﹣x2﹣4x+5的图象上，则y1＜y2
D．此二次函数的最大值为8
解：y＝﹣x2﹣4x+5的对称轴为x＝﹣2，
∴x≤﹣2时，y随x的增大而增大；A不正确；
﹣x2﹣4x+5＝0时的两个根为x＝﹣5，x＝1，
当﹣5＜x＜1时，y＞0；B不正确；
∵﹣4＜﹣2，﹣＞﹣2，
点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，
∴y1＜y2；C正确；
当x＝﹣2时，y有最大值9；D不正确；
故选：C．
9．如图，CD是△ABC的边AB上的中线，将线段AD绕点D顺时针旋转90°后，点A的对应点E恰好落在AC边上，若AD＝，BC＝，则CE的长为（ ）
A． B． C． D．1
解：因为AD绕点D顺时针旋转90°后，点A的对应点E恰好落在AC边上，
所以△ADE是等腰直角三角形，
所以AB＝，AE＝2，∠A＝45°，
若作BH⊥AC于H，
则AH＝2，
所以E和H重合，
所以BE⊥AC，
在Rt△BCE中，
CE＝，
故选：D．
10．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，AB∥x轴，点B的坐标为（4，1），∠BAD＝60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l与菱形ABCD的两边分别交于点M，N（点N在点M的上方），连接OM，ON，若△OMN的面积为S，直线l的运动时间为t秒（0≤t≤6），则S与t的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
解：四边形ABCD是菱形，点B的坐标为（4，1），∠BAD＝60°，则点C的横坐标为6，
S＝t×MN，
①当0≤t≤2时，MN＝AMtan60°＝t，
S＝t2，为开口向上的二次函数；
②当2＜t≤4时，MN为常数，
故S对应的函数表达式为一次函数；
③同理可得：当4＜t≤6时，MN＝（6﹣t），
S＝（﹣t2+6t），为开口向下的二次函数；
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．据报道，郑州市私家车拥有量近4500000辆．将数据4500000用科学记数法表示为 4.5×106 ．
解：数4500000用科学记数法表示为：4.5×106．
故答案为：4.5×106．
12．计算＝ 0 ．
解：原式＝9﹣9
＝0．
故答案为：0．
13．若关于x的一元二次方程2mx2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 m＜且m≠0 ．
解：根据题意得△＝（﹣3）2﹣4×2m×1＞0且2m≠0，
解得m＜且m≠0，
所以实数m的取值范围为是m＜且m≠0．
故答案为m＜且m≠0．
14．如图，在正方形ABCD外作等腰直角三角形CDE，∠CED＝90°，DE＝CE，连接BE，则tan∠DEB＝ 2 ．
解：如图，连接BD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BDC＝45°，BD＝CD．
又∵△CDE是等腰直角三角形，∠CED＝90°，DE＝CE，
∴∠EDC＝45°，CD＝DE，
∴∠BDE＝∠BDC+∠EDC＝45°+45°＝90°，DE＝CD，
∴tan∠DEB＝＝＝2．
故答案为：2．
15．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝4，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A'EF，连接A'C，A'D，则当△A'DC是以A'D为腰的等腰三角形时，FD的长是 4或3 ．
解：①当A′D＝DC时，如图1，连接ED，
∵点E是AB的中点，AB＝4，BC＝4，四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝4，∠A＝90°，
∴DE＝＝6，
∵将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A'EF，
∴A′E＝AE＝2，
∵A′D＝DC＝AB＝4，
∴DE＝A′E+A′D＝6，
∴点E，A′，D三点共线，
∵∠A＝90°，
∴∠FA′E＝∠FA′D＝90°，
设AF＝x，则A′F＝x，FD＝4﹣x，
在Rt△FA′D中，42+x2＝（4﹣x）2，
解得：x＝，
∴FD＝3；
②当A′D＝A′C时，如图2，
∵A′D＝A′C，
∴点A′在线段CD的垂直平分线上，
∴点A′在线段AB的垂直平分线上，
∵点E是AB的中点，
∴EA′是AB的垂直平分线，
∴∠AEA′＝90°，
∵将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A'EF，
∴∠A＝∠EA′F＝90°，AF＝FA′，
∴四边形AEA′F是正方形，
∴AF＝AE＝2，
∴DF＝4﹣2，
故答案为：4﹣2或3．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16．先化简，再求值：（+）÷，其中a＝+1．
解：（+）÷
＝÷
＝
当a＝+1时，
原式＝＝1+
17．距离中考体考时间越来越近，年级想了解初三年级1512名学生周末在家体育锻炼的情况，在初三年级随机抽取了18名男生和18名女生，对他们周末在家的锻炼时间进行了调查，并收集得到了以下数据（单位：分钟）
男生：28，30，32，46，68，39，80，70，66，57，70，95，100，58，69，88，99，105
女生：36，48，78，99，56，62，35，109，29，88，88，69，73，55，90，98，69，72
统计数据，并制作了如下统计表：
时间x
0≤x≤30
30＜x≤60
60＜x≤90
90＜x
男生
2
5
7
4
女生
1
5
9
3
分析数据：两组数据的极差、平均数、中位数、众数如表所示
平均数
中位数
众数
方差
男生
66.7
a
70
617.3
女生
69.7
70.5
b
547.2
（1）请将上面的表格补充完整：a＝ 68.5 ，b＝ 69和88 ；
（2）已知该年级男女生人数差不多，根据调查的数据，估计初三年级周末在家锻炼的时间在90分钟以上（不包含90分钟）的同学约有多少人？
（3）王老师看了表格数据后认为初三年级的女生周末锻炼做得比男生好，请你结合统计数据，写出两条支持王老师观点的理由．
解：（1）将男生数据从小到大排列后，处在第9、10位的两个数的平均数为＝68.5，因此中位数a＝68.5，
女生数据出现次数最多的是69和88，因此众数是69和88，即b＝69和88．
故答案为：68.5，69和88；
（2）据表格，可得锻炼时间在90分钟以上的男生有4人，女生有3人，1512×＝294（人），
答：初三年级锻炼时间在90分钟以上的同学有294人．
（3）理由一：因为69.7＞66.7，所以女生锻炼时间的平均时间更长，因此女生周末做得更好．
理由二：因为70.5＞68.5，所以锻炼时间排序后在中间位置的女生比男生更好，因此女生周末做得更好．
18．疫情期间，为了保障大家的健康，各地采取了多种方式进行预防，某地利用无人机规劝居民回家．如图，一条笔直的街道DC，在街道C处的正上方A处有一架无人机，该无人机在A处测得俯角为45°的街道B处有人聚集，然后沿平行于街道DC的方向再向前飞行60米到达E处，在E处测得俯角为37°的街道D处也有人聚集．已知两处聚集点B、D之间的距离为120米，求无人机飞行的高度AC．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.414．）
解：如图，过点E作EM⊥DC于M．
∵AE∥CD．
∴∠ABC＝∠BAE＝45°．
∵BC⊥AC，EM⊥DC，
∴AC∥EM，
∴四边形AEMC为矩形．
∴CM＝AE＝60 米．
设 BM＝x 米．
则AC＝BC＝EM（60+x）米．DM＝（120+x）米．
在 Rt△EDM中，
∵∠D＝37°．
∴tan∠D＝＝，
解得：x＝120，
∴AC＝60+x＝60+120＝180 （米）．
∴飞机高度为180米．
答：无人机飞行的高度AC为180米．
19．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，一次函数与坐标轴交于C，D两点，且点C，D是线段AB的三等分点，OD＝4，tan∠DCO＝．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
解：（1）∵OD＝4，tan∠DCO＝＝，
∴，
∴OC＝6，
∴D（0，4），C（﹣6，0），
把D（0，4），C（﹣6，0）代入y＝kx+b中得：，解得：，
∴一次函数的解析式为：y＝x+4；
过A作AE⊥x轴于E，
∵点C、D刚好是线段AB的三等分点，
∴AC＝CD＝BD，
在△AEC和△DOC中，
，
∴△AEC≌△DOC（AAS），
∴EC＝OC＝6，AE＝OD＝4，
∴A（﹣12，﹣4），
∵反比例函数y＝的图象过A点，
∴m＝﹣12×（﹣4）＝48，
∴反比例函数的解析式为：y＝；
（2）同理得：B（6，8），
∴S△AOB＝S△BOC+S△ACO
＝•|yB|+•|yA|
＝+
＝36．
20．甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段OA表示货车离甲地的距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系；折线BCD表示轿车离甲地的距离y（千米）与时间x（时）之间的函数关系，请根据图象解答下列问题：
（1）轿车到达乙地时，求货车与甲地的距离；
（2）求线段CD对应的函数表达式；
（3）在轿车行进过程，轿车行驶多少时间，两车相距15千米．
解：（1）由图象可得，
货车的速度为300÷5＝60（千米/小时），
则轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是60×4.5＝270（千米），
即轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是270千米；
（2）设线段CD对应的函数表达式是y＝kx+b，
∵点C（2.5，80），点D（4.5，300），
∴，
解得，
即线段CD对应的函数表达式是y＝110x﹣195（2.5≤x≤4.5）；
（3）当x＝2.5时，两车之间的距离为：60×2.5﹣80＝70，
∵70＞15，
∴在轿车行进过程，两车相距15千米时间是在2.5～4.5之间，
由图象可得，线段OA对应的函数解析式为y＝60x，
则|60x﹣（110x﹣195）|＝15，
解得x1＝3.6，x2＝4.2，
∵轿车比货车晚出发1.5小时，3.6﹣1.5＝2.1（小时），4.2﹣1.5＝2.7（小时），
∴在轿车行进过程，轿车行驶2.1小时或2.7小时，两车相距15千米，
答：在轿车行进过程，轿车行驶2.1小时或2.7小时，两车相距15千米．
21．某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为16元，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系如表所示：
销售单价x（元）
…
25
30
35
40
…
每月销售量y（万件）
…
50
40
30
20
…
（1）求每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）设每月的利润为W（万元），当销售单价为多少元时，厂商每月获得的总利润为480万元？
（3）如果厂商每月的制造成本不超过480万元，那么当销售单价为多少元时，厂商每月获得的利润最大？最大利润为多少万元？
解：（1）由表格中数据可得：y与x之间的函数关系式为：y＝kx+b，
把（30，40），（40，20）代入得：
，
解得：，
故y与x之间的函数关系式为：y＝﹣2x+100；
（2）由题意得，
W＝y（x﹣16）
＝（﹣2x+100）（x﹣16）
＝﹣2x2+132x+1600；
当W＝480时，
﹣2x2+132x﹣1600＝480，
解得：x1＝26，x2＝40．
答：当销售单价为26元或40元时，厂商每月获得的总利润为480万元；
（3）∵厂商每月的制造成本不超过480万元，每件制造成本为16元，
∴每月的生产量为：小于等于＝30（万件），
∴y＝﹣2x+100≤30，
解得：x≥35，
∵W＝﹣2x2+132x﹣1600＝﹣2（x﹣33）2+578，
∴图象开口向下，对称轴右侧W随x的增大而减小，
∴x＝35时，W最大为：﹣2（35﹣33）2+578＝570（万元）．
答：当销售单价为35元时，厂商每月获得的利润最大，最大利润为570万元．
22．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，且OA＝OB，在x轴上有一动点D（m，0）（0＜m＜4），过点D作x轴的垂线交直线AB于点C，交抛物线于点E，
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）当点C是DE的中点时，求出m的值．
（3）在（2）的条件下，将线段OD绕点O逆时针旋转得到OD′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接D′A、D′B，直接写出D′A+D′B的最小值．
解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，且OA＝OB，
∴B（0，4），
将点B、A的坐标代入抛物线y＝﹣x2+bx+c得，
，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+x+4；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，将点B、A的坐标代入得，
∴，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+4，
∵过点D（m，0）（0＜m＜4）作x轴的垂线交直线AB于点C，交抛物线于点E，
∴E（m，﹣m2+m+4），C（m，﹣m+4）．
∴EC＝﹣m2+m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+2m．
∵点C是DE的中点，
∴﹣m2+2m＝﹣m+4．
解得：m1＝2，m2＝4（舍去），
∴m＝2；
（3）如图，由（2）可知D（2，0），在y轴上取一点M′使得OM′＝1，连接AM′，在AM′上取一点D′使得OD′＝OD．
∵OD′＝2，OM′•OB＝1×4＝4，
∴OD′2＝OM′•OB，
∴，
∵∠BOD′＝∠M′OD′，
∴△M′OD′∽△D′OB，
∴＝．
∴M′D′＝BD′．
∴D′A+D′B＝D′A+M′D′＝AM′，此时D′A+D′B最小（两点间线段最短，A、M′、D′共线时），
∴D′A+D′B的最小值＝AM′＝＝＝，
∴D′A+D′B的最小值．
23．定义：长宽比为：1（n为正整数）的矩形称为矩形．下面，我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图a所示．
操作1：将正方形ABEF沿过点A的直线折叠，使折叠后的点B落在对角线AE上的点G处，折痕为AH．
操作2：将FE沿过点G的直线折叠，使点F、点E分别落在边AF，BE上，折痕为CD．则四边形ABCD为矩形．
（1）证明：四边形ABCD为矩形；
（2）点M是边AB上一动点．
①如图b，O是对角线AC的中点，若点N在边BC上，OM⊥ON，连接MN．求tan∠OMN的值；
②若AM＝AD，点N在边BC上，当△DMN的周长最小时，求的值；
③连接CM，作BR⊥CM，垂足为R．若AB＝2，则DR的最小值＝ 2 ．
【解答】证明：（1）设正方形ABEF的边长为a，
∵AE是正方形ABEF的对角线，
∴∠DAG＝45°，
由折叠性质可知AG＝AB＝a，∠FDC＝∠ADC＝90°，
则四边形ABCD为矩形，
∴△ADG是等腰直角三角形．
∴AD＝DG＝，
∴AB：AD＝a：＝：1．
∴四边形ABCD为矩形；
（2）①解：如图b，作OP⊥AB，OQ⊥BC，垂足分别为P，Q．
∵四边形ABCD是矩形，∠B＝90°，
∴四边形BQOP是矩形．
∴∠POQ＝90°，OP∥BC，OQ∥AB．
∴，．
∵O为AC中点，
∴OP＝BC，OQ＝AB．
∵∠MON＝90°，
∴∠QON＝∠POM．
∴Rt△QON∽Rt△POM．
∴＝．
∴tan∠OMN＝．
②解：如图c，作M关于直线BC对称的点P，连接DP交BC于点N，连接MN．
则△DMN的周长最小，
∵DC∥AP，
∴，
设AM＝AD＝a，则AB＝CD＝a．
∴BP＝BM＝AB﹣AM＝（﹣1）a．
∴＝＝2+，
③如备用图，
∵四边形ABCD为矩形，AB＝2，
∴BC＝AD＝2，
∵BR⊥CM，
∴点R在以BC为直径的圆上，记BC的中点为I，
∴CI＝BC＝1，
∴DR最小＝﹣1＝2
故答案为：2
2021年河南省中招数学模拟试卷（二）
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。
1．﹣3的相反数是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
2．下列运算中，正确的是（ ）
A．x2+2x2＝3x4 B．x2•x3＝x5 C．（x3）2＝x5 D．（xy）2＝x2y
3．已知：如图，OA，OB是⊙O的两条半径，∠AOB＝100°，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为（ ）
A．45° B．35° C．60° D．50°
4．如图，有5个完全相同的小正方体组合成一个立方体图形，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
5．某中学组织全区优秀九年级毕业生参加学校冬令营，一共有x名学生，分成y个学习小组．若每组10人，则还差5人；若每组9人，还余下3人．若求冬令营学生的人数，所列的方程组为（ ）
A． B．
C． D．
6．某校开展“疫情防控小卫士”活动，从学生会“督查部”的4名学生（2男2女）中随机选两名进行督导每日一次体温测量，恰好选中男女学生各一名的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．不等式组的解集是x＞4，那么m的取值范围是（ ）
A．m＝3 B．m≥3 C．m＜3 D．m≤3
8．对于二次函数y＝﹣x2﹣4x+5，以下说法正确的是（ ）
A．x＜﹣1时，y随x的增大而增大
B．x＜﹣5或x＞1时，y＞0
C．A（﹣4，y1），B（，y2）在y＝﹣x2﹣4x+5的图象上，则y1＜y2
D．此二次函数的最大值为8
9．如图，CD是△ABC的边AB上的中线，将线段AD绕点D顺时针旋转90°后，点A的对应点E恰好落在AC边上，若AD＝，BC＝，则CE的长为（ ）
A． B． C． D．1
10．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，AB∥x轴，点B的坐标为（4，1），∠BAD＝60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l与菱形ABCD的两边分别交于点M，N（点N在点M的上方），连接OM，ON，若△OMN的面积为S，直线l的运动时间为t秒（0≤t≤6），则S与t的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．据报道，郑州市私家车拥有量近4500000辆．将数据4500000用科学记数法表示为 ．
12．计算＝ ．
13．若关于x的一元二次方程2mx2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ．
14．如图，在正方形ABCD外作等腰直角三角形CDE，∠CED＝90°，DE＝CE，连接BE，则tan∠DEB＝ ．
15．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝4，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A'EF，连接A'C，A'D，则当△A'DC是以A'D为腰的等腰三角形时，FD的长是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16．先化简，再求值：（+）÷，其中a＝+1．
17．距离中考体考时间越来越近，年级想了解初三年级1512名学生周末在家体育锻炼的情况，在初三年级随机抽取了18名男生和18名女生，对他们周末在家的锻炼时间进行了调查，并收集得到了以下数据（单位：分钟）
男生：28，30，32，46，68，39，80，70，66，57，70，95，100，58，69，88，99，105
女生：36，48，78，99，56，62，35，109，29，88，88，69，73，55，90，98，69，72
统计数据，并制作了如下统计表：
时间x
0≤x≤30
30＜x≤60
60＜x≤90
90＜x
男生
2
5
7
4
女生
1
5
9
3
分析数据：两组数据的极差、平均数、中位数、众数如表所示
平均数
中位数
众数
方差
男生
66.7
a
70
617.3
女生
69.7
70.5
b
547.2
（1）请将上面的表格补充完整：a＝ ，b＝ ；
（2）已知该年级男女生人数差不多，根据调查的数据，估计初三年级周末在家锻炼的时间在90分钟以上（不包含90分钟）的同学约有多少人？
（3）王老师看了表格数据后认为初三年级的女生周末锻炼做得比男生好，请你结合统计数据，写出两条支持王老师观点的理由．
18．疫情期间，为了保障大家的健康，各地采取了多种方式进行预防，某地利用无人机规劝居民回家．如图，一条笔直的街道DC，在街道C处的正上方A处有一架无人机，该无人机在A处测得俯角为45°的街道B处有人聚集，然后沿平行于街道DC的方向再向前飞行60米到达E处，在E处测得俯角为37°的街道D处也有人聚集．已知两处聚集点B、D之间的距离为120米，求无人机飞行的高度AC．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.414．）
19．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，一次函数与坐标轴交于C，D两点，且点C，D是线段AB的三等分点，OD＝4，tan∠DCO＝．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
20．甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段OA表示货车离甲地的距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系；折线BCD表示轿车离甲地的距离y（千米）与时间x（时）之间的函数关系，请根据图象解答下列问题：
（1）轿车到达乙地时，求货车与甲地的距离；
（2）求线段CD对应的函数表达式；
（3）在轿车行进过程，轿车行驶多少时间，两车相距15千米．
21．某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为16元，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系如表所示：
销售单价x（元）
…
25
30
35
40
…
每月销售量y（万件）
…
50
40
30
20
…
（1）求每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）设每月的利润为W（万元），当销售单价为多少元时，厂商每月获得的总利润为480万元？
（3）如果厂商每月的制造成本不超过480万元，那么当销售单价为多少元时，厂商每月获得的利润最大？最大利润为多少万元？
22．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，且OA＝OB，在x轴上有一动点D（m，0）（0＜m＜4），过点D作x轴的垂线交直线AB于点C，交抛物线于点E，
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）当点C是DE的中点时，求出m的值．
（3）在（2）的条件下，将线段OD绕点O逆时针旋转得到OD′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接D′A、D′B，直接写出D′A+D′B的最小值．
23．定义：长宽比为：1（n为正整数）的矩形称为矩形．下面，我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图a所示．
操作1：将正方形ABEF沿过点A的直线折叠，使折叠后的点B落在对角线AE上的点G处，折痕为AH．
操作2：将FE沿过点G的直线折叠，使点F、点E分别落在边AF，BE上，折痕为CD．则四边形ABCD为矩形．
（1）证明：四边形ABCD为矩形；
（2）点M是边AB上一动点．
①如图b，O是对角线AC的中点，若点N在边BC上，OM⊥ON，连接MN．求tan∠OMN的值；
②若AM＝AD，点N在边BC上，当△DMN的周长最小时，求的值；
③连接CM，作BR⊥CM，垂足为R．若AB＝2，则DR的最小值＝ ．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。
1．﹣3的相反数是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
解：﹣3的相反数是3．
故选：A．
2．下列运算中，正确的是（ ）
A．x2+2x2＝3x4 B．x2•x3＝x5 C．（x3）2＝x5 D．（xy）2＝x2y
解：A．x2+2x2＝3x2，故本选项不合题意；
B．x2•x3＝x5，故本选项符合题意；
C．（x3）2＝x6，故本选项不合题意；
D．（xy）2＝x2y2，故本选项不合题意．
故选：B．
3．已知：如图，OA，OB是⊙O的两条半径，∠AOB＝100°，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为（ ）
A．45° B．35° C．60° D．50°
解：∵OA，OB是⊙O的两条半径，∠AOB＝100°，
由圆周角定理得，∠ACB＝∠AOB＝50°，
故选：D．
4．如图，有5个完全相同的小正方体组合成一个立方体图形，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
解：从上面看可得到一个有4个小正方形组成的大正方形．
故选：A．
5．某中学组织全区优秀九年级毕业生参加学校冬令营，一共有x名学生，分成y个学习小组．若每组10人，则还差5人；若每组9人，还余下3人．若求冬令营学生的人数，所列的方程组为（ ）
A． B．
C． D．
解：每组10人时，实际人数可表示为10y﹣5；每组9人时，实际人数可表示为9y+3；
可列方程组为：，
故选：C．
6．某校开展“疫情防控小卫士”活动，从学生会“督查部”的4名学生（2男2女）中随机选两名进行督导每日一次体温测量，恰好选中男女学生各一名的概率是（ ）
A． B． C． D．
解：画树状图如图：
共有12个等可能的结果，恰好选中男女学生各一名的结果有8个，
∴恰好选中男女学生各一名的概率为＝，
故选：C．
7．不等式组的解集是x＞4，那么m的取值范围是（ ）
A．m＝3 B．m≥3 C．m＜3 D．m≤3
解：不等式组整理得：，
∵不等式组的解集为x＞4，
∴m+1≤4，
解得：m≤3．
故选：D．
8．对于二次函数y＝﹣x2﹣4x+5，以下说法正确的是（ ）
A．x＜﹣1时，y随x的增大而增大
B．x＜﹣5或x＞1时，y＞0
C．A（﹣4，y1），B（，y2）在y＝﹣x2﹣4x+5的图象上，则y1＜y2
D．此二次函数的最大值为8
解：y＝﹣x2﹣4x+5的对称轴为x＝﹣2，
∴x≤﹣2时，y随x的增大而增大；A不正确；
﹣x2﹣4x+5＝0时的两个根为x＝﹣5，x＝1，
当﹣5＜x＜1时，y＞0；B不正确；
∵﹣4＜﹣2，﹣＞﹣2，
点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，
∴y1＜y2；C正确；
当x＝﹣2时，y有最大值9；D不正确；
故选：C．
9．如图，CD是△ABC的边AB上的中线，将线段AD绕点D顺时针旋转90°后，点A的对应点E恰好落在AC边上，若AD＝，BC＝，则CE的长为（ ）
A． B． C． D．1
解：因为AD绕点D顺时针旋转90°后，点A的对应点E恰好落在AC边上，
所以△ADE是等腰直角三角形，
所以AB＝，AE＝2，∠A＝45°，
若作BH⊥AC于H，
则AH＝2，
所以E和H重合，
所以BE⊥AC，
在Rt△BCE中，
CE＝，
故选：D．
10．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，AB∥x轴，点B的坐标为（4，1），∠BAD＝60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l与菱形ABCD的两边分别交于点M，N（点N在点M的上方），连接OM，ON，若△OMN的面积为S，直线l的运动时间为t秒（0≤t≤6），则S与t的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
解：四边形ABCD是菱形，点B的坐标为（4，1），∠BAD＝60°，则点C的横坐标为6，
S＝t×MN，
①当0≤t≤2时，MN＝AMtan60°＝t，
S＝t2，为开口向上的二次函数；
②当2＜t≤4时，MN为常数，
故S对应的函数表达式为一次函数；
③同理可得：当4＜t≤6时，MN＝（6﹣t），
S＝（﹣t2+6t），为开口向下的二次函数；
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．据报道，郑州市私家车拥有量近4500000辆．将数据4500000用科学记数法表示为 4.5×106 ．
解：数4500000用科学记数法表示为：4.5×106．
故答案为：4.5×106．
12．计算＝ 0 ．
解：原式＝9﹣9
＝0．
故答案为：0．
13．若关于x的一元二次方程2mx2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 m＜且m≠0 ．
解：根据题意得△＝（﹣3）2﹣4×2m×1＞0且2m≠0，
解得m＜且m≠0，
所以实数m的取值范围为是m＜且m≠0．
故答案为m＜且m≠0．
14．如图，在正方形ABCD外作等腰直角三角形CDE，∠CED＝90°，DE＝CE，连接BE，则tan∠DEB＝ 2 ．
解：如图，连接BD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BDC＝45°，BD＝CD．
又∵△CDE是等腰直角三角形，∠CED＝90°，DE＝CE，
∴∠EDC＝45°，CD＝DE，
∴∠BDE＝∠BDC+∠EDC＝45°+45°＝90°，DE＝CD，
∴tan∠DEB＝＝＝2．
故答案为：2．
15．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝4，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A'EF，连接A'C，A'D，则当△A'DC是以A'D为腰的等腰三角形时，FD的长是 4或3 ．
解：①当A′D＝DC时，如图1，连接ED，
∵点E是AB的中点，AB＝4，BC＝4，四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝4，∠A＝90°，
∴DE＝＝6，
∵将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A'EF，
∴A′E＝AE＝2，
∵A′D＝DC＝AB＝4，
∴DE＝A′E+A′D＝6，
∴点E，A′，D三点共线，
∵∠A＝90°，
∴∠FA′E＝∠FA′D＝90°，
设AF＝x，则A′F＝x，FD＝4﹣x，
在Rt△FA′D中，42+x2＝（4﹣x）2，
解得：x＝，
∴FD＝3；
②当A′D＝A′C时，如图2，
∵A′D＝A′C，
∴点A′在线段CD的垂直平分线上，
∴点A′在线段AB的垂直平分线上，
∵点E是AB的中点，
∴EA′是AB的垂直平分线，
∴∠AEA′＝90°，
∵将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A'EF，
∴∠A＝∠EA′F＝90°，AF＝FA′，
∴四边形AEA′F是正方形，
∴AF＝AE＝2，
∴DF＝4﹣2，
故答案为：4﹣2或3．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16．先化简，再求值：（+）÷，其中a＝+1．
解：（+）÷
＝÷
＝
当a＝+1时，
原式＝＝1+
17．距离中考体考时间越来越近，年级想了解初三年级1512名学生周末在家体育锻炼的情况，在初三年级随机抽取了18名男生和18名女生，对他们周末在家的锻炼时间进行了调查，并收集得到了以下数据（单位：分钟）
男生：28，30，32，46，68，39，80，70，66，57，70，95，100，58，69，88，99，105
女生：36，48，78，99，56，62，35，109，29，88，88，69，73，55，90，98，69，72
统计数据，并制作了如下统计表：
时间x
0≤x≤30
30＜x≤60
60＜x≤90
90＜x
男生
2
5
7
4
女生
1
5
9
3
分析数据：两组数据的极差、平均数、中位数、众数如表所示
平均数
中位数
众数
方差
男生
66.7
a
70
617.3
女生
69.7
70.5
b
547.2
（1）请将上面的表格补充完整：a＝ 68.5 ，b＝ 69和88 ；
（2）已知该年级男女生人数差不多，根据调查的数据，估计初三年级周末在家锻炼的时间在90分钟以上（不包含90分钟）的同学约有多少人？
（3）王老师看了表格数据后认为初三年级的女生周末锻炼做得比男生好，请你结合统计数据，写出两条支持王老师观点的理由．
解：（1）将男生数据从小到大排列后，处在第9、10位的两个数的平均数为＝68.5，因此中位数a＝68.5，
女生数据出现次数最多的是69和88，因此众数是69和88，即b＝69和88．
故答案为：68.5，69和88；
（2）据表格，可得锻炼时间在90分钟以上的男生有4人，女生有3人，1512×＝294（人），
答：初三年级锻炼时间在90分钟以上的同学有294人．
（3）理由一：因为69.7＞66.7，所以女生锻炼时间的平均时间更长，因此女生周末做得更好．
理由二：因为70.5＞68.5，所以锻炼时间排序后在中间位置的女生比男生更好，因此女生周末做得更好．
18．疫情期间，为了保障大家的健康，各地采取了多种方式进行预防，某地利用无人机规劝居民回家．如图，一条笔直的街道DC，在街道C处的正上方A处有一架无人机，该无人机在A处测得俯角为45°的街道B处有人聚集，然后沿平行于街道DC的方向再向前飞行60米到达E处，在E处测得俯角为37°的街道D处也有人聚集．已知两处聚集点B、D之间的距离为120米，求无人机飞行的高度AC．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.414．）
解：如图，过点E作EM⊥DC于M．
∵AE∥CD．
∴∠ABC＝∠BAE＝45°．
∵BC⊥AC，EM⊥DC，
∴AC∥EM，
∴四边形AEMC为矩形．
∴CM＝AE＝60 米．
设 BM＝x 米．
则AC＝BC＝EM（60+x）米．DM＝（120+x）米．
在 Rt△EDM中，
∵∠D＝37°．
∴tan∠D＝＝，
解得：x＝120，
∴AC＝60+x＝60+120＝180 （米）．
∴飞机高度为180米．
答：无人机飞行的高度AC为180米．
19．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，一次函数与坐标轴交于C，D两点，且点C，D是线段AB的三等分点，OD＝4，tan∠DCO＝．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
解：（1）∵OD＝4，tan∠DCO＝＝，
∴，
∴OC＝6，
∴D（0，4），C（﹣6，0），
把D（0，4），C（﹣6，0）代入y＝kx+b中得：，解得：，
∴一次函数的解析式为：y＝x+4；
过A作AE⊥x轴于E，
∵点C、D刚好是线段AB的三等分点，
∴AC＝CD＝BD，
在△AEC和△DOC中，
，
∴△AEC≌△DOC（AAS），
∴EC＝OC＝6，AE＝OD＝4，
∴A（﹣12，﹣4），
∵反比例函数y＝的图象过A点，
∴m＝﹣12×（﹣4）＝48，
∴反比例函数的解析式为：y＝；
（2）同理得：B（6，8），
∴S△AOB＝S△BOC+S△ACO
＝•|yB|+•|yA|
＝+
＝36．
20．甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段OA表示货车离甲地的距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系；折线BCD表示轿车离甲地的距离y（千米）与时间x（时）之间的函数关系，请根据图象解答下列问题：
（1）轿车到达乙地时，求货车与甲地的距离；
（2）求线段CD对应的函数表达式；
（3）在轿车行进过程，轿车行驶多少时间，两车相距15千米．
解：（1）由图象可得，
货车的速度为300÷5＝60（千米/小时），
则轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是60×4.5＝270（千米），
即轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是270千米；
（2）设线段CD对应的函数表达式是y＝kx+b，
∵点C（2.5，80），点D（4.5，300），
∴，
解得，
即线段CD对应的函数表达式是y＝110x﹣195（2.5≤x≤4.5）；
（3）当x＝2.5时，两车之间的距离为：60×2.5﹣80＝70，
∵70＞15，
∴在轿车行进过程，两车相距15千米时间是在2.5～4.5之间，
由图象可得，线段OA对应的函数解析式为y＝60x，
则|60x﹣（110x﹣195）|＝15，
解得x1＝3.6，x2＝4.2，
∵轿车比货车晚出发1.5小时，3.6﹣1.5＝2.1（小时），4.2﹣1.5＝2.7（小时），
∴在轿车行进过程，轿车行驶2.1小时或2.7小时，两车相距15千米，
答：在轿车行进过程，轿车行驶2.1小时或2.7小时，两车相距15千米．
21．某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为16元，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系如表所示：
销售单价x（元）
…
25
30
35
40
…
每月销售量y（万件）
…
50
40
30
20
…
（1）求每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）设每月的利润为W（万元），当销售单价为多少元时，厂商每月获得的总利润为480万元？
（3）如果厂商每月的制造成本不超过480万元，那么当销售单价为多少元时，厂商每月获得的利润最大？最大利润为多少万元？
解：（1）由表格中数据可得：y与x之间的函数关系式为：y＝kx+b，
把（30，40），（40，20）代入得：
，
解得：，
故y与x之间的函数关系式为：y＝﹣2x+100；
（2）由题意得，
W＝y（x﹣16）
＝（﹣2x+100）（x﹣16）
＝﹣2x2+132x+1600；
当W＝480时，
﹣2x2+132x﹣1600＝480，
解得：x1＝26，x2＝40．
答：当销售单价为26元或40元时，厂商每月获得的总利润为480万元；
（3）∵厂商每月的制造成本不超过480万元，每件制造成本为16元，
∴每月的生产量为：小于等于＝30（万件），
∴y＝﹣2x+100≤30，
解得：x≥35，
∵W＝﹣2x2+132x﹣1600＝﹣2（x﹣33）2+578，
∴图象开口向下，对称轴右侧W随x的增大而减小，
∴x＝35时，W最大为：﹣2（35﹣33）2+578＝570（万元）．
答：当销售单价为35元时，厂商每月获得的利润最大，最大利润为570万元．
22．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，且OA＝OB，在x轴上有一动点D（m，0）（0＜m＜4），过点D作x轴的垂线交直线AB于点C，交抛物线于点E，
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）当点C是DE的中点时，求出m的值．
（3）在（2）的条件下，将线段OD绕点O逆时针旋转得到OD′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接D′A、D′B，直接写出D′A+D′B的最小值．
解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，且OA＝OB，
∴B（0，4），
将点B、A的坐标代入抛物线y＝﹣x2+bx+c得，
，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+x+4；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，将点B、A的坐标代入得，
∴，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+4，
∵过点D（m，0）（0＜m＜4）作x轴的垂线交直线AB于点C，交抛物线于点E，
∴E（m，﹣m2+m+4），C（m，﹣m+4）．
∴EC＝﹣m2+m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+2m．
∵点C是DE的中点，
∴﹣m2+2m＝﹣m+4．
解得：m1＝2，m2＝4（舍去），
∴m＝2；
（3）如图，由（2）可知D（2，0），在y轴上取一点M′使得OM′＝1，连接AM′，在AM′上取一点D′使得OD′＝OD．
∵OD′＝2，OM′•OB＝1×4＝4，
∴OD′2＝OM′•OB，
∴，
∵∠BOD′＝∠M′OD′，
∴△M′OD′∽△D′OB，
∴＝．
∴M′D′＝BD′．
∴D′A+D′B＝D′A+M′D′＝AM′，此时D′A+D′B最小（两点间线段最短，A、M′、D′共线时），
∴D′A+D′B的最小值＝AM′＝＝＝，
∴D′A+D′B的最小值．
23．定义：长宽比为：1（n为正整数）的矩形称为矩形．下面，我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图a所示．
操作1：将正方形ABEF沿过点A的直线折叠，使折叠后的点B落在对角线AE上的点G处，折痕为AH．
操作2：将FE沿过点G的直线折叠，使点F、点E分别落在边AF，BE上，折痕为CD．则四边形ABCD为矩形．
（1）证明：四边形ABCD为矩形；
（2）点M是边AB上一动点．
①如图b，O是对角线AC的中点，若点N在边BC上，OM⊥ON，连接MN．求tan∠OMN的值；
②若AM＝AD，点N在边BC上，当△DMN的周长最小时，求的值；
③连接CM，作BR⊥CM，垂足为R．若AB＝2，则DR的最小值＝ 2 ．
【解答】证明：（1）设正方形ABEF的边长为a，
∵AE是正方形ABEF的对角线，
∴∠DAG＝45°，
由折叠性质可知AG＝AB＝a，∠FDC＝∠ADC＝90°，
则四边形ABCD为矩形，
∴△ADG是等腰直角三角形．
∴AD＝DG＝，
∴AB：AD＝a：＝：1．
∴四边形ABCD为矩形；
（2）①解：如图b，作OP⊥AB，OQ⊥BC，垂足分别为P，Q．
∵四边形ABCD是矩形，∠B＝90°，
∴四边形BQOP是矩形．
∴∠POQ＝90°，OP∥BC，OQ∥AB．
∴，．
∵O为AC中点，
∴OP＝BC，OQ＝AB．
∵∠MON＝90°，
∴∠QON＝∠POM．
∴Rt△QON∽Rt△POM．
∴＝．
∴tan∠OMN＝．
②解：如图c，作M关于直线BC对称的点P，连接DP交BC于点N，连接MN．
则△DMN的周长最小，
∵DC∥AP，
∴，
设AM＝AD＝a，则AB＝CD＝a．
∴BP＝BM＝AB﹣AM＝（﹣1）a．
∴＝＝2+，
③如备用图，
∵四边形ABCD为矩形，AB＝2，
∴BC＝AD＝2，
∵BR⊥CM，
∴点R在以BC为直径的圆上，记BC的中点为I，
∴CI＝BC＝1，
∴DR最小＝﹣1＝2
故答案为：2
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