江苏省盐城市2021届高三下学期5月第三次模拟考试：数学+答案解析(PDF)

这是一份江苏省盐城市2021届高三下学期5月第三次模拟考试：数学+答案解析(PDF)，共25页。试卷主要包含了05，72，e2≈7等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．
2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合A＝{x|y＝EQ \R(,x－2)}，B＝{y|y＝EQ \R(,x－2)}，C＝{(x，y)|y＝EQ \R(,x－2)}，则下列集合不为空集的是
A．A∩B B．A∩C C．B∩C D．A∩B∩C
2．若复数z满足|z－i|≤2，则z的最大值为
A．1 B．2 C．4 D．9
3．同学们都知道平面内直线方程的一般式为Ax＋By＋C＝0，我们可以这样理解：若直线l过定点P0(x0，y0)，向量EQ \\ac(\S\UP7(→),n)＝(A，B)为直线l的法向量，设直线l上任意一点P(x，y)，则EQ \\ac(\S\UP7(→),n)EQ \\ac(\S\UP7(→),P\S\DO(0)P)＝0，得直线l的方程为eq A(x－x\s\d(0))＋B(y－y\s\d(0))＝0，即可转化为直线方程的一般式．类似地，在空间中，若平面α过定点Q0(1，0，－2)，向量eq \\ac(\S\UP7(→),m)＝(2，－3，1)为平面α的法向量，则平面α的方程为
A．2x－3y＋z＋4＝0 B．2x＋3y－z－4＝0
C．2x－3y＋z＝0 D．2x＋3y－z＋4＝0
4．将函数eq f(x)＝sin\f(1,2)x的图象向左平移eq \f(π,3)个单位，得到函数g(x)的图象，若x∈(0，m)时，函数g(x)的图象在f(x)的上方，则实数m的最大值为
A．eq \f(π,3) B．eq \f(2π,3) C．eq \f(5π,6) D．eq \f(π,6)
5．已知数列eq {a\s\d(n)}的通项公式为eq a\s\d(n)＝\f(n,(n＋1)!)，则其前n项和为
A．eq 1－\f(1,(n＋1)!) B．eq 1－\f(1,n!) C．eq 2－\f(1,n!) D．eq 2－\f(1,(n＋1)!)
6．韦达是法国杰出的数学家，其贡献之－是发现了多项式方程根与系数的关系，如：设一元三次方程eq ax\s\up6(3)＋bx\s\up6(2)＋cx＋d＝0(a≠0)的3个实数根为x1，x2，x3，则eq x\s\d(1)＋x\s\d(2)＋x\s\d(3)＝－\f(b,a)，eq x\s\d(1)x\s\d(2)＋x\s\d(2)x\s\d(3)＋x\s\d(3)x\s\d(1)＝\f(c,a)，x\s\d(1)x\s\d(2)x\s\d(3)＝－\f(d,a)．已知函数eq f(x)＝2x\s\up6(3)－x＋1，直线l与f(x)的图象相切于点eq P(x\s\d(1)，f(x\s\d(1)))，且交f(x)的图象于另一点eq Q(x\s\d(2)，f(x\s\d(2)))，则
A．eq 2x\s\d(1)－x\s\d(2)＝0 B．eq 2x\s\d(1)－x\s\d(2)－1＝0
C．2x1＋x2＋1＝0 D．2x1＋x2＝0
7．设双曲线C：eq \f(x\s\up6(2),a\s\up6(2))－\f(y\s\up6(2),b\s\up6(2))＝1(a，b＞0)的焦距为2，若以点P(m，n)(m＜a)为圆心的圆P过C的右顶点且与C的两条渐近线相切，则OP长的取值范围是
A．(0，eq \f(1,2)) B．(0，1) C．(eq \f(1,2)，1) D．(eq \f(1,4)，eq \f(1,2))
8．已知正数x，y，z满足xlny＝yez＝zx，则x，y，z的大小关系为
A．x＞y＞z B．y＞x＞z C．x＞z＞y D．以上均不对
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知X ~ N(μ1，σ12)，Y ~ N(μ2，σ22)，μ1＞μ2，σ1＞0，σ2＞0，则下列结论中一定成立的有
A．若σ1＞σ2，则P(|X－μ1|≤1)＜P(|Y－μ2|≤1)
B．若σ1＞σ2，则P(|X－μ1|≤1)＞P(|Y－μ2|≤1)
C．若σ1＝σ2，则P(X＞μ2)＋P(Y＞μ1)＝1
D．若σ1＝σ2，则P(X＞μ2)＋P(Y＞μ1)＜1
10．设数列{an}的前n项和为eq S\s\d(n)，若eq a\s\d(n)＋S\s\d(n)＝An\s\up6(2)＋Bn＋C，则下列说法中正确的有
A．存在A，B，C使得{an}是等差数列
B．存在A，B，C使得{an}是等比数列
C．对任意A，B，C都有{an}一定是等差数列或等比数列
D．存在A，B，C使得{an}既不是等差数列也不是等比数列
11．已知矩形ABCD满足AB＝1，AD＝2，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折起，点B折至B′，得到四棱锥B′－AECD，若点P为B′D的中点，则
A．CP//平面B′AE
B．存在点B′，使得CP⊥平面AB′D
C．四棱锥B′－AECD体积的最大值为eq \f(\r(,2),4)
D．存在点B′，使得三棱锥B′－ADE外接球的球心在平面AECD内
12．将平面向量eq \\ac(\S\UP7(→),a)＝(x\s\d(1)，x\s\d(2))称为二维向量，由此可推广至n维向量eq \\ac(\S\UP7(→),a)＝(x\s\d(1)，x\s\d(2)，…，x\s\d(n))．对于n维向量eq \\ac(\S\UP7(→),a)，\\ac(\S\UP7(→),b)，其运算与平面向量类似，如数量积eq \\ac(\S\UP7(→),a)\\ac(\S\UP7(→),b)＝|EQ \\ac(\S\UP7(→),a)||EQ \\ac(\S\UP7(→),b)|csθ＝(θ为向量eq \\ac(\S\UP7(→),a)，\\ac(\S\UP7(→),b)的夹角)，其向量eq \\ac(\S\UP7(→),a)的模|EQ \\ac(\S\UP7(→),a)|＝，则下列说法正确的有
A．不等式()()≤()2可能成立
B．不等式()()≥()2一定成立
C．不等式n＜()2可能成立
D．若eq x\s\d(i)＞0(i＝1，2，…，n)，则不等式≥n2一定成立
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．文旅部在2021年围绕“重温红色历史、传承奋斗精神”“走进大国重器、感受中国力量” “体验美丽乡村、助力乡村振兴”三个主题，遴选推出“建党百年红色旅游百条精品线路”．这些精品线路中包含上海—大会址、嘉兴南湖、井冈山、延安、西柏坡等5个传统红色旅游景区，还有港珠澳大桥、北京大兴国际机场、“中国天眼”、“两弹一星”纪念馆、湖南十八洞村、浙江余村、贵州华茂村等7个展现改革开放和新时代发展成就、展示科技强国和脱贫攻坚成果的景区．为安排旅游路线，从上述12个景区中选3个景区，则至少含有1个传统红色旅游景区的选法有 种．
14．满足等式(1－tanα)(1－tanβ)＝2的数组(α，β)有无穷多个，试写出一个这样的数组 ．
15．若向量EQ \\ac(\S\UP7(→),a)，EQ \\ac(\S\UP7(→),b)满足|EQ \\ac(\S\UP7(→),a)－EQ \\ac(\S\UP7(→),b)|＝EQ \R(,3)，则EQ \\ac(\S\UP7(→),a)EQ \\ac(\S\UP7(→),b)的最小值为 ．
16．对于函数eq f(x)＝lnx＋mx\s\up6(2)＋nx＋1，有下列4个论断：
甲：函数f(x)有两个减区间； 乙：函数f(x)的图象过点(1，－1)；
丙：函数f(x)在x＝1处取极大值；丁：函数f(x)单调．
若其中有且只有两个论断正确，则m的取值为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D满足3EQ \\ac(\S\UP7(→),BD)＝EQ \\ac(\S\UP7(→),BC)与eq \\ac(\S\UP7(→),AD)·\\ac(\S\UP7(→),AC)＝0.
(1)若b＝c，求A的值；
(2)求B的最大值．
18．(12分)
请在①eq a\s\d(1)＝\r(,2)；②eq a\s\d(1)＝2；③eq a\s\d(1)＝3这3个条件中选择1个条件，补全下面的命题使其成为真命题，并证明这个命题(选择多个条件并分别证明的按前1个评分)．
命题：已知数列eq {a\s\d(n)}满足an＋1＝an2，若 ，则当n≥2时，an≥2n恒成立．
19．(12分)
如图，在三棱柱eq ABC－A\s\d(1)B\s\d(1)C\s\d(1)中，eq AC＝BB\s\d(1)＝2BC＝2，∠CBB\s\d(1)＝2∠CAB＝\f(π,3)，且平面ABC⊥平面eq B\s\d(1)C\s\d(1)CB.
(1)求证：平面ABC⊥平面eq ACB\s\d(1)；
A1
(2)设点P为直线BC的中点，求直线eq A\s\d(1)P与平面eq ACB\s\d(1)所成角的正弦值．
C1
B1
C
A
P
B
20．(12分)
如图，在平面直角坐标系eq xOy中，已知点P是抛物线eq C\s\d(1)：x\s\up6(2)＝2py(p＞0)上的一个点，其横坐标为x0，过点P作抛物线eq C\s\d(1)的切线l．
(1)求直线l的斜率(用x0与p表示)；
(2)若椭圆eq C\s\d(2)：\f(y\s\up6(2),2)＋x\s\up6(2)＝1过点P，l与eq C\s\d(2)的另一个交点为A，OP与eq C\s\d(2)的另一个交点为B，求证：AB⊥PB．
y
x
y
P
A
B
O
x
21．(12分)
运用计算机编程，设计一个将输入的正整数k“归零”的程序如下：按下回车键，等可能的将[0，k)中的任意一个整数替换k的值并输出k的值，反复按回车键执行以上操作直到输出k＝0后终止操作．
(1)若输入的初始值k为3，记按回车键的次数为ξ，求ξ的概率分布与数学期望；
(2)设输入的初始值为k(k∈N*)，求运行“归零”程序中输出n(0≤n≤k－1)的概率．
22．(12分)
设eq f(x)＝\f(lnx,x\s\up6(n))(n∈N*)．
(1)求证：函数f(x)一定不单调；
(2)试给出一个正整数a，使得eq e\s\up6(x)＞x\s\up6(2)lnx＋asinx对∀x∈(0，＋∞)恒成立．
(参考数据：e≈2.72，e2≈7.39，e3≈20.10)
盐城市2021届高三年级第三次模拟考试
数 学 2021.05
注意事项：
1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．
2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合A＝{x|y＝EQ \R(,x－2)}，B＝{y|y＝EQ \R(,x－2)}，C＝{(x，y)|y＝EQ \R(,x－2)}，则下列集合不为空集的是
A．A∩B B．A∩C C．B∩C D．A∩B∩C
【答案】A
【考点】集合的运算
【解析】由题意可知，集合A，B，均为数集，C为点集，则选项BCD均错误，故答案选A．
2．若复数z满足|z－i|≤2，则z的最大值为
A．1 B．2 C．4 D．9
【答案】D
【考点】复数的运算
【解析】由题意可知，设z＝a＋bi，则|z－i|＝|a＋(b－1)i|≤2，即a2＋(b－1)2≤4，不妨设a＝2csθ，b＝2sinθ＋1，则z＝a2＋b2＝4cs2θ＋2sin2θ＋4sinθ＋1＝5＋4sinθ≤9，故答案选D．
3．同学们都知道平面内直线方程的一般式为Ax＋By＋C＝0，我们可以这样理解：若直线l过定点P0(x0，y0)，向量EQ \\ac(\S\UP7(→),n)＝(A，B)为直线l的法向量，设直线l上任意一点P(x，y)，则EQ \\ac(\S\UP7(→),n)EQ \\ac(\S\UP7(→),P\S\DO(0)P)＝0，得直线l的方程为eq A(x－x\s\d(0))＋B(y－y\s\d(0))＝0，即可转化为直线方程的一般式．类似地，在空间中，若平面α过定点Q0(1，0，－2)，向量eq \\ac(\S\UP7(→),m)＝(2，－3，1)为平面α的法向量，则平面α的方程为
A．2x－3y＋z＋4＝0 B．2x＋3y－z－4＝0
C．2x－3y＋z＝0 D．2x＋3y－z＋4＝0
【答案】C
【考点】新情景问题下的直线方程的求解
【解析】由题意可知，平面α的方程为2(x－1)－3(y－0)＋1(z＋2)＝0，化简可得，2x－3y＋z＝0，故答案选C．
4．将函数eq f(x)＝sin\f(1,2)x的图象向左平移eq \f(π,3)个单位，得到函数g(x)的图象，若x∈(0，m)时，函数g(x)的图象在f(x)的上方，则实数m的最大值为
A．eq \f(π,3) B．eq \f(2π,3) C．eq \f(5π,6) D．eq \f(π,6)
【答案】C
【考点】三角函数的图象与性质应用
【解析】由题意可知，g(x)＝sin(eq \f(1,2)x＋eq \f(π,6))，令sineq \f(1,2)x＝sin(eq \f(1,2)x＋eq \f(π,6))，解得eq \f(1,2)x＋eq \f(1,2)x＋eq \f(π,6)＝kπ，k∈Z，所以x＝kπ－eq \f(π,6)，k∈Z，则当x∈(0，m)时，若要函数g(x)的图象在f(x)的上方，则m≤x＝kπ－eq \f(π,6)，当k＝0时，m≤eq \f(5π,6)，故答案选C．
5．已知数列eq {a\s\d(n)}的通项公式为eq a\s\d(n)＝\f(n,(n＋1)!)，则其前n项和为
A．eq 1－\f(1,(n＋1)!) B．eq 1－\f(1,n!) C．eq 2－\f(1,n!) D．eq 2－\f(1,(n＋1)!)
【答案】A
【考点】数列的求和：裂项相消法
【解析】由题意可知，eq a\s\d(n)＝\f(n,(n＋1)!)＝eq \f(n＋1－1,(n＋1)!)＝eq \f(1,n!)－eq \f(1,(n＋1)!)，所以Sn＝1－eq \f(1,2!)＋eq \f(1,2!)－eq \f(1,3!)＋…＋eq \f(1,n!)－eq \f(1,(n＋1)!)＝1－eq \f(1,(n＋1)!)，故答案选A．
6．韦达是法国杰出的数学家，其贡献之－是发现了多项式方程根与系数的关系，如：设一元三次方程eq ax\s\up6(3)＋bx\s\up6(2)＋cx＋d＝0(a≠0)的3个实数根为x1，x2，x3，则eq x\s\d(1)＋x\s\d(2)＋x\s\d(3)＝－\f(b,a)，eq x\s\d(1)x\s\d(2)＋x\s\d(2)x\s\d(3)＋x\s\d(3)x\s\d(1)＝\f(c,a)，x\s\d(1)x\s\d(2)x\s\d(3)＝－\f(d,a)．已知函数eq f(x)＝2x\s\up6(3)－x＋1，直线l与f(x)的图象相切于点eq P(x\s\d(1)，f(x\s\d(1)))，且交f(x)的图象于另一点eq Q(x\s\d(2)，f(x\s\d(2)))，则
A．eq 2x\s\d(1)－x\s\d(2)＝0 B．eq 2x\s\d(1)－x\s\d(2)－1＝0
C．2x1＋x2＋1＝0 D．2x1＋x2＝0
【答案】D
【考点】新情景问题下的导数的几何意义的应用
【解析】由题意可知，f′(x)＝6x2－1，所以直线l的斜率k＝f′(x1)＝6x12－1，且k＝EQ \F(f\b\bc\((\l(x\S\DO(2)))－f\b\bc\((\l(x\S\DO(1))),x\S\DO(2)－x\S\DO(1))＝EQ \F(2x\S\DO(2)\s\up3(3)－x\S\DO(2)＋1－\b\bc\((\l(2x\S\DO(1)\s\up3(3)－x\S\DO(1)＋1)),x\S\DO(2)－x\S\DO(1))＝EQ \F(\b\bc\((\l(x\S\DO(2)－x\S\DO(1)))\b\bc\((\l(2x\S\DO(1)\s\up3(2)＋2x\S\DO(1)x\S\DO(2)＋2x\S\DO(2)\s\up3(2)－1)),x\S\DO(2)－x\S\DO(1))＝2x12＋2x1x2＋2x22－1，即2x12＋2x1x2＋2x22－1＝6x12－1，化简得(2x1＋x2)(x1－x2)＝0，因为x1－x2≠0，所以2x1＋x2＝0，故答案选D．
7．设双曲线C：eq \f(x\s\up6(2),a\s\up6(2))－\f(y\s\up6(2),b\s\up6(2))＝1(a，b＞0)的焦距为2，若以点P(m，n)(m＜a)为圆心的圆P过C的右顶点且与C的两条渐近线相切，则OP长的取值范围是
A．(0，eq \f(1,2)) B．(0，1) C．(eq \f(1,2)，1) D．(eq \f(1,4)，eq \f(1,2))
【答案】B
【考点】圆锥曲线中双曲线的几何性质应用
【解析】由题意可知，c＝1，渐近线方程为：bx±ay＝0，由圆P与渐近线相切可得，r＝EQ \F(|bm＋an|,c)＝EQ \F(|bm－an|,c)，解得n＝0，所以圆的半径r＝a－m＝bm，所以m＝EQ \F(a,b＋1)，则m2＝(EQ \F(a,b＋1))2＝EQ \F(1－b\S(2),(b＋1)\s\up3(2))＝EQ \F(1－b,b＋1)＝－1＋EQ \F(2,b＋1)，因为b∈(0，1)，所以－1＋EQ \F(2,b＋1)∈(0，1)，则m∈(0，1)，所以OP∈(0，1)，故答案选B．
8．已知正数x，y，z满足xlny＝yez＝zx，则x，y，z的大小关系为
A．x＞y＞z B．y＞x＞z C．x＞z＞y D．以上均不对
【答案】A
【考点】比较大小
【解析】由题意可知，lny＞0，即y＞1，由xlny＝zx，可得z＝lny≤y－1，则z－y≤－1＜0，所以z＜y；又yez＝zx，所以(z＋1)ez≤yez＝zx＜yx，所以z＋1≤ez＜x，则z－x＜－1＜0，所以z＜x；因为xlny＝yez，所以x＝EQ \F(ye\S(z),lny)＝EQ \F(ye\S(z),z)＞EQ \F(yz,z)＝y，即x＞y，所以x＞y＞z，故答案选A．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知X ~ N(μ1，σ12)，Y ~ N(μ2，σ22)，μ1＞μ2，σ1＞0，σ2＞0，则下列结论中一定成立的有
A．若σ1＞σ2，则P(|X－μ1|≤1)＜P(|Y－μ2|≤1)
B．若σ1＞σ2，则P(|X－μ1|≤1)＞P(|Y－μ2|≤1)
C．若σ1＝σ2，则P(X＞μ2)＋P(Y＞μ1)＝1
D．若σ1＝σ2，则P(X＞μ2)＋P(Y＞μ1)＜1
【答案】AC
【考点】正态分布的应用
【解析】法一：由题意可知，对于选项AB，若σ1＞σ2，则Y分布更加集中，则在相同区间范围Y的相对概率更大，所以P(|X－μ1|≤1)＜P(|Y－μ2|≤1)，所以选项A正确，选项B错误；对于选项CD，由正态分布的性质可得，P(Y＞μ1)＝P(X≤μ2)，又P(X≤μ2)＋P(X＞μ2)＝1，所以P(X＞μ2)＋P(Y＞μ1)＝1，所以选项C正确，选项D错误；综上，答案选AC．
法二：由题意可知，可把正态分布标准化，即EQ \F(X－μ\S\DO(1),σ\S\DO(1))＝Z＝EQ \F(Y－μ\S\DO(2),σ\S\DO(2))，则Z ~ N(0，1)，对于选项AB，若σ1＞σ2，则P(|X－μ1|≤1)＝P(|Z|≤EQ \F(1,σ\S\DO(1)))，P(|Y－μ2|≤1)＝P(|Z|≤EQ \F(1,σ\S\DO(2)))，因为σ1＞σ2＞0，所以EQ \F(1,σ\S\DO(1))＜EQ \F(1,σ\S\DO(2))，所以P(|X－μ1|≤1)＜P(|Y－μ2|≤1)，所以选项A正确，选项B错误；对于选项CD，若σ1＝σ2，则P(X＞μ2)＝P(Z＞EQ \F(μ\S\DO(2)－μ\S\DO(1),σ))，P(Y＞μ1)＝P(Z＞EQ \F(μ\S\DO(1)－μ\S\DO(2),σ))，所以P(X＞μ2)＋P(Y＞μ1)＝P(Z＞EQ \F(μ\S\DO(2)－μ\S\DO(1),σ))＋P(Z≤EQ \F(μ\S\DO(1)－μ\S\DO(2),σ))＝1，所以选项C正确，选项D错误；综上，答案选AC．
10．设数列{an}的前n项和为eq S\s\d(n)，若eq a\s\d(n)＋S\s\d(n)＝An\s\up6(2)＋Bn＋C，则下列说法中正确的有
A．存在A，B，C使得{an}是等差数列
B．存在A，B，C使得{an}是等比数列
C．对任意A，B，C都有{an}一定是等差数列或等比数列
D．存在A，B，C使得{an}既不是等差数列也不是等比数列
【答案】ABD
【考点】等差与等比数列的综合应用
【解析】由题意可知，对于选项A，取A＝0，B＝C＝1，则有an＋Sn＝n＋1，此时可得到an＝1，即{an}是等差数列，所以选项A正确；对于选项B，取A＝0，B＝0，C＝1，则有an＋Sn＝1，所以n≥2时，an－1＋Sn－1＝1，两式相减可得2an＝an－1，即数列{an}是等比数列，所以选项B正确；对于选项CD，取A＝C＝0，B＝2，则有an＋Sn＝2n，所以n≥2时，an－1＋Sn－1＝2(n－1)，两式相减可得an＝EQ \F(1,2)an－1＋1，即an－2＝EQ \F(1,2)(an－1－2)，即数列{an－2}是以EQ \F(1,2)为公比的等比数列，所以{an}既不是等差数列也不是等比数列，所以选项C错误，选项D正确；综上，答案选ABD．
11．已知矩形ABCD满足AB＝1，AD＝2，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折起，点B折至B′，得到四棱锥B′－AECD，若点P为B′D的中点，则
A．CP//平面B′AE
B．存在点B′，使得CP⊥平面AB′D
C．四棱锥B′－AECD体积的最大值为eq \f(\r(,2),4)
D．存在点B′，使得三棱锥B′－ADE外接球的球心在平面AECD内
【答案】ACD
【考点】立体几何的综合应用：位置关系、体积、外接球问题
【解析】由题意可知，对于选项A，取AB′的中点为Q，连结EQ、PQ，因为CEEQ \F(1,2)D，PQEQ \F(1,2)D，所以PQCE，所以四边形CEQP为平行四边形，所以CP∥QE，又QE 平面AB′E，CP平面AB′E，所以CP∥平面AB′E，所以选项A正确；对于选项B，若CP⊥平面AB′D，则CP⊥AB′，所以QE⊥AB′，则与AB′⊥BE矛盾，所以选项B错误；对于选项C，过B′作B′O⊥AE，垂足为O，可得B′O＝eq \f(\r(,2),2)，所以VB′－AECD＝EQ \F(1,3)SAECDh＝EQ \F(1,3)EQ \F(1,2)(1＋1)1h≤EQ \F(1,2)B′O＝eq \f(\r(,2),4)，所以选项C正确；对于选项D，若三棱锥B′－ADE外接球的球心在平面AECD内，则球心为△ADE的外心，则为△ADE直角三角形，且AD为斜边，则球心O为AD的中点，所以R＝OB′＝OA＝OD＝1，则AB′⊥B′D，所以B′D＝EQ \R(,3)，而B′D∈(1，EQ \R(,5))，可知存在，则满足题意，所以选项D正确；综上，答案选ACD．
12．将平面向量eq \\ac(\S\UP7(→),a)＝(x\s\d(1)，x\s\d(2))称为二维向量，由此可推广至n维向量eq \\ac(\S\UP7(→),a)＝(x\s\d(1)，x\s\d(2)，…，x\s\d(n))．对于n维向量eq \\ac(\S\UP7(→),a)，\\ac(\S\UP7(→),b)，其运算与平面向量类似，如数量积eq \\ac(\S\UP7(→),a)\\ac(\S\UP7(→),b)＝|EQ \\ac(\S\UP7(→),a)||EQ \\ac(\S\UP7(→),b)|csθ＝(θ为向量eq \\ac(\S\UP7(→),a)，\\ac(\S\UP7(→),b)的夹角)，其向量eq \\ac(\S\UP7(→),a)的模|EQ \\ac(\S\UP7(→),a)|＝，则下列说法正确的有
A．不等式()()≤()2可能成立
B．不等式()()≥()2一定成立
C．不等式n＜()2可能成立
D．若eq x\s\d(i)＞0(i＝1，2，…，n)，则不等式≥n2一定成立
【答案】ABD
【考点】新情景问题下的数量积与模的应用
【解析】由题意，可设eq \\ac(\S\UP7(→),a)＝(x1，x2，…，xn)，eq \\ac(\S\UP7(→),b)＝(y1，y2，…，yn)，所以()()＝|EQ \\ac(\S\UP7(→),a)|2|EQ \\ac(\S\UP7(→),b)|2，()2＝(|EQ \\ac(\S\UP7(→),a)||EQ \\ac(\S\UP7(→),b)|)2＝|EQ \\ac(\S\UP7(→),a)|2|EQ \\ac(\S\UP7(→),b)|2cs2，由cs2≤1，可得()()≥()2，当且仅当＝0或π时取等号，若xi＞0，则≥＝n2，所以选项A、B、D正确；设eq \\ac(\S\UP7(→),c)＝(1，1，…，1)(n个1)，则n＝n|EQ \\ac(\S\UP7(→),a)|2，()2＝(EQ \\ac(\S\UP7(→),a)eq \\ac(\S\UP7(→),c))2＝|EQ \\ac(\S\UP7(→),a)|2|eq \\ac(\S\UP7(→),c)|2cs2＝n|EQ \\ac(\S\UP7(→),a)|2cs2，由cs2≤1，可得n≥()2，当且仅当＝0或π时取等号，所以选项C错误；综上，答案选ABD．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．文旅部在2021年围绕“重温红色历史、传承奋斗精神”“走进大国重器、感受中国力量” “体验美丽乡村、助力乡村振兴”三个主题，遴选推出“建党百年红色旅游百条精品线路”．这些精品线路中包含上海—大会址、嘉兴南湖、井冈山、延安、西柏坡等5个传统红色旅游景区，还有港珠澳大桥、北京大兴国际机场、“中国天眼”、“两弹一星”纪念馆、湖南十八洞村、浙江余村、贵州华茂村等7个展现改革开放和新时代发展成就、展示科技强国和脱贫攻坚成果的景区．为安排旅游路线，从上述12个景区中选3个景区，则至少含有1个传统红色旅游景区的选法有 种．
【答案】185
【考点】排列组合
【解析】由题意，可用间接法，总体情况为从12个景区中选3个景区EQ C\\al(\S\UP5(3),\S\DO3(12))，从7个非传统红色旅游景区中选3个景区EQ C\\al(\S\UP5(3),\S\DO3(7))，则至少含有1个传统红色旅游景区的选法有EQ C\\al(\S\UP5(3),\S\DO3(12))－EQ C\\al(\S\UP5(3),\S\DO3(7))＝185．
14．满足等式(1－tanα)(1－tanβ)＝2的数组(α，β)有无穷多个，试写出一个这样的数组 ．
【答案】(0，EQ \F(3π,4))；满足α＋β＝EQ \F(3π,4)＋kπ，k∈Z，且α，β≠EQ \F(3π,4)＋kπ，k∈Z的数组(α，β)均可．
【考点】开放性试题：三角函数的公式应用
【解析】由题意可知，可令α＝0，即有1－tanβ＝2，所以tanβ＝－1，则可令β＝EQ \F(3π,4)即可满足题意．
15．若向量EQ \\ac(\S\UP7(→),a)，EQ \\ac(\S\UP7(→),b)满足|EQ \\ac(\S\UP7(→),a)－EQ \\ac(\S\UP7(→),b)|＝EQ \R(,3)，则EQ \\ac(\S\UP7(→),a)EQ \\ac(\S\UP7(→),b)的最小值为 ．
【答案】－EQ \F(3,4)
【考点】平面向量的综合应用
【解析】法一：由题意，|EQ \\ac(\S\UP7(→),a)－EQ \\ac(\S\UP7(→),b)|2＝EQ \\ac(\S\UP7(→),a)2＋EQ \\ac(\S\UP7(→),b)2－2EQ \\ac(\S\UP7(→),a)EQ \\ac(\S\UP7(→),b)≥－2EQ \\ac(\S\UP7(→),a)EQ \\ac(\S\UP7(→),b)－2EQ \\ac(\S\UP7(→),a)EQ \\ac(\S\UP7(→),b)＝－4EQ \\ac(\S\UP7(→),a)EQ \\ac(\S\UP7(→),b)，即3≥－4EQ \\ac(\S\UP7(→),a)EQ \\ac(\S\UP7(→),b)，则EQ \\ac(\S\UP7(→),a)EQ \\ac(\S\UP7(→),b)≥－EQ \F(3,4)．
法二：由题意，EQ \\ac(\S\UP7(→),a)EQ \\ac(\S\UP7(→),b)＝EQ \F(|\\ac(\S\UP7(→),a)＋\\ac(\S\UP7(→),b)|\S(2)－|\\ac(\S\UP7(→),a)－\\ac(\S\UP7(→),b)|\S(2),4)≥－EQ \F(1,4)|EQ \\ac(\S\UP7(→),a)－EQ \\ac(\S\UP7(→),b)|2＝－EQ \F(3,4)，所以EQ \\ac(\S\UP7(→),a)EQ \\ac(\S\UP7(→),b)的最小值为－EQ \F(3,4)．
16．对于函数eq f(x)＝lnx＋mx\s\up6(2)＋nx＋1，有下列4个论断：
甲：函数f(x)有两个减区间； 乙：函数f(x)的图象过点(1，－1)；
丙：函数f(x)在x＝1处取极大值；丁：函数f(x)单调．
若其中有且只有两个论断正确，则m的取值为 ．
【答案】2
【考点】逻辑推理题：函数的性质综合应用
【解析】由题意可知，f′(x)＝EQ \F(1,x)＋2mx＋n＝EQ \F(2mx\S(2)＋nx＋1,x)，当x＞1时，f′(x)＝0最多有一个解，则函数f(x)最多有一个减区间，则甲错误；若乙正确，则f(1)＝m＋n＋1＝－1，即有m＋n＝－2，此时f′(x)＝EQ \F(2mx\S(2)－(2＋m)x＋1,x)＝EQ \F((2x－1)(mx－1),x)，若丙正确，则解得m＝1，所以n＝－3，而此时f(x)在x＝1处取极小值，且不单调，即与丙丁矛盾；若丁正确，则m＝2，n＝－4，可满足题意；综上，乙丁正确，且m＝2．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D满足3EQ \\ac(\S\UP7(→),BD)＝EQ \\ac(\S\UP7(→),BC)与eq \\ac(\S\UP7(→),AD)·\\ac(\S\UP7(→),AC)＝0.
(1)若b＝c，求A的值；
(2)求B的最大值．
【考点】解三角形与平面向量综合应用
【解析】
(1)因为EQ \\ac(\S\UP7(→),AD)EQ \\ac(\S\UP7(→),AC)＝0，所以(EQ \\ac(\S\UP7(→),AB)＋EQ \F(1,3)EQ \\ac(\S\UP7(→),BC))EQ \\ac(\S\UP7(→),AC)＝0，
即(EQ \F(2,3)EQ \\ac(\S\UP7(→),AB)＋EQ \F(1,3)EQ \\ac(\S\UP7(→),AC))EQ \\ac(\S\UP7(→),AC)＝0， ……2分
所以EQ \F(2,3)bccsA＋EQ \F(1,3)b2＝0，
因为b＝c，所以csA＝－EQ \F(1,2)， ……4分
因为0＜A＜π，所以A＝EQ \F(2π,3)． ……5分
(2)因为EQ \\ac(\S\UP7(→),AD)EQ \\ac(\S\UP7(→),AC)＝(EQ \F(2,3)EQ \\ac(\S\UP7(→),AB)＋EQ \F(1,3)EQ \\ac(\S\UP7(→),AC))EQ \\ac(\S\UP7(→),AC)＝EQ \F(2,3)bccsA＋EQ \F(1,3)b2＝0，
所以b2＋c2－a2＋b2＝0，即2b2＋c2－a2＝0， ……6分
csB＝EQ \F(a\S(2)＋c\S(2)－b\S(2),2ac)＝EQ \F(a\S(2)＋c\S(2)－\F(a\S(2)－c\S(2),2),2ac)＝EQ \F(\F(a\S(2),2)＋\F(3c\S(2),2),2ac)≥EQ \F(\R(,3),2)， ……8分
因为0＜B＜π，所以B的最大值为EQ \F(π,6)． ……10分
18．(12分)
请在①eq a\s\d(1)＝\r(,2)；②eq a\s\d(1)＝2；③eq a\s\d(1)＝3这3个条件中选择1个条件，补全下面的命题使其成为真命题，并证明这个命题(选择多个条件并分别证明的按前1个评分)．
命题：已知数列eq {a\s\d(n)}满足an＋1＝an2，若 ，则当n≥2时，an≥2n恒成立．
【考点】数列的通项公式求解与不等式的证明
【解析】
选②．
证明：由an＋1＝an2，且eq a\s\d(1)＝2，所以an＞0，
所以lgan＋1＝lgan，lgan＝EQ 2\S\UP6(n－1)lg2，an＝EQ 2\S\UP6(2\S\UP6(n－1))， ……5分
当n≥2时，只需证明EQ 2\S\UP6(n－1)≥n，
令bn＝EQ \F(n,2\S\UP6(n－1))，则bn＋1－bn＝EQ \F(n＋1,2\S\UP6(n))－EQ \F(n,2\S\UP6(n－1))＝EQ \F(1－n,2\S\UP6(n))＜0， ……10分
所以bn≤b2＝1，所以EQ 2\S\UP6(n－1)≥n成立．
综上所述，当a1＝2且n≥2时，an≥2n成立． ……12分
注：选②为假命题，不得分，选③参照给分．
19．(12分)
如图，在三棱柱eq ABC－A\s\d(1)B\s\d(1)C\s\d(1)中，eq AC＝BB\s\d(1)＝2BC＝2，∠CBB\s\d(1)＝2∠CAB＝\f(π,3)，且平面ABC⊥平面eq B\s\d(1)C\s\d(1)CB.
(1)求证：平面ABC⊥平面eq ACB\s\d(1)；
z
A1
A1
(2)设点P为直线BC的中点，求直线eq A\s\d(1)P与平面eq ACB\s\d(1)所成角的正弦值．
C1
C1
B1
B1
C
C
A
y
A
P
P
E
B
B
x
第19题图
【考点】立体几何中证明位置关系、求线面角的正弦值
【解析】
(1)证明：因为AC＝2BC＝2，所以BC＝1．
因为2∠ACB＝EQ \F(π,3)，所以∠ACB＝EQ \F(π,6)．
在△ABC中，EQ \F(BC,sinA)＝EQ \F(AC,sinB)，即EQ \F(1,sin\F(π,6))＝EQ \F(2,sinB)，
所以sinB＝1，即AB⊥BC． ……2分
又因为平面ABC⊥平面eq B\s\d(1)C\s\d(1)CB，平面ABC∩平面eq B\s\d(1)C\s\d(1)CB＝BC，AB平面ABC，
所以AB⊥平面eq B\s\d(1)C\s\d(1)CB．
又B1C平面eq B\s\d(1)C\s\d(1)CB，所以AB⊥B1C，
在△B1BC中，B1B＝2，BC＝1，∠CBB1＝EQ \F(π,3)，
所以B1C2＝B1B2＋BC2－2B1BBCcsEQ \F(π,3)＝3，即B1C＝EQ \R(,3)，
所以B1C⊥BC． ……4分
而AB⊥B1C，AB平面ABC，BC平面ABC，AB∩BC＝B，
所以B1C⊥平面ABC．
又B1C平面eq ACB\s\d(1)，所以平面ABC⊥平面eq ACB\s\d(1)． ……6分
(2)在平面ABC中过点C作AC的垂线CE，分别以CE，CA，CB1所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系：
则B(EQ \F(\R(,3),2)，EQ \F(1,2)，0)，A(0，2，0)，B1(0，0，EQ \R(,3))，
所以P(EQ \F(\R(,3),4)，EQ \F(1,4)，0)，EQ \\ac(\S\UP7(→),B\S\DO(1)A\S\DO(1))＝EQ \\ac(\S\UP7(→),BA)＝(－EQ \F(\R(,3),2)，EQ \F(3,2)，0)， ……8分
所以A1(－EQ \F(\R(,3),2)，EQ \F(3,2)，EQ \R(,3))，所以EQ \\ac(\S\UP7(→),A\S\DO(1)P)＝(EQ \F(3\R(,3),4)，－EQ \F(5,4)，－EQ \R(,3))，
平面ACB1的一个法向量为EQ \\ac(\S\UP7(→),n)＝(1，0，0)， ……10分
设直线A1P与平面ACB1所成的角为α，
则sinα＝|cs|＝EQ \F(|\\ac(\S\UP7(→),A\S\DO(1)P)·\\ac(\S\UP7(→),n)|,|\\ac(\S\UP7(→),A\S\DO(1)P)||\\ac(\S\UP7(→),n)|)＝EQ \F(\F(3\R(,3),4),\R(,\F(27,16)＋\F(25,16)＋3))＝EQ \F(3\R(,3),10)． ……12分
20．(12分)
如图，在平面直角坐标系eq xOy中，已知点P是抛物线eq C\s\d(1)：x\s\up6(2)＝2py(p＞0)上的一个点，其横坐标为x0，过点P作抛物线eq C\s\d(1)的切线l．
(1)求直线l的斜率(用x0与p表示)；
(2)若椭圆eq C\s\d(2)：\f(y\s\up6(2),2)＋x\s\up6(2)＝1过点P，l与eq C\s\d(2)的另一个交点为A，OP与eq C\s\d(2)的另一个交点为B，求证：AB⊥PB．
y
P
A
B
O
x
【考点】圆锥曲线中抛物线与椭圆的综合应用：斜率表示、证明垂直问题
【解析】
(1)由x2＝2py，得y＝EQ \F(1,2p)x2，所以y′＝EQ \F(1,p)x，
所以直线l的斜率为EQ \F(1,p)x0． ……3分
(2)设P(x0，y0)，则B(－x0，－y0)，kPB＝EQ \F(y\S\DO(0),x\S\DO(0))，
由(1)知kPA＝EQ \F(1,p)x0＝EQ \F(y\S\DO(0),2x\S\DO(0))， ……5分
设A(x1，y1)，所以EQ \F(y\S\DO(0)\s\up3(2),2)＋x02＝1，EQ \F(y\S\DO(1)\s\up3(2),2)＋x12＝1，
作差得EQ \F(\b\bc\((\l(y\S\DO(0)＋y\S\DO(1)))\b\bc\((\l(y\S\DO(0)－y\S\DO(1))),2)＋(x0＋x1)(x0－x1)＝0，
即EQ \F(y\S\DO(0)＋y\S\DO(1),x\S\DO(0)＋x\S\DO(1))EQ \F(y\S\DO(0)－y\S\DO(1),x\S\DO(0)－x\S\DO(1))＝－EQ \F(1,2)，所以kPAkAB＝－EQ \F(1,2)， ……10分
所以EQ \F(y\S\DO(0),2x\S\DO(0))kAB＝－EQ \F(1,2)，即kAB＝－EQ \F(x\S\DO(0),y\S\DO(0))，
所以kPBkAB＝－1，所以AB⊥PB． ……12分
注：其他解法参照评分．
21．(12分)
运用计算机编程，设计一个将输入的正整数k“归零”的程序如下：按下回车键，等可能的将[0，k)中的任意一个整数替换k的值并输出k的值，反复按回车键执行以上操作直到输出k＝0后终止操作．
(1)若输入的初始值k为3，记按回车键的次数为ξ，求ξ的概率分布与数学期望；
(2)设输入的初始值为k(k∈N*)，求运行“归零”程序中输出n(0≤n≤k－1)的概率．
【考点】随机事件的概率与期望
【解析】
(1)P(ξ＝3)＝EQ \F(1,3)×EQ \F(1,2)＝EQ \F(1,6)，P(ξ＝2)＝EQ \F(1,3)×EQ \F(1,2)＋EQ \F(1,3)＝EQ \F(1,2)，P(ξ＝1)＝EQ \F(1,3)， ……3分
则ξ的概率分布如下表：
所以E(ξ)＝1×EQ \F(1,3)＋2×EQ \F(1,2)＋3×EQ \F(1,6)＝EQ \F(11,6)． ……5分
(2)设运行“归零”程序中输出n(0≤n≤k－1)的概率为Pn，得出Pn＝EQ \F(1,n＋1)，……7分
法一：则Pn＝Pn＋1×EQ \F(1,n＋1)＋Pn＋2×EQ \F(1,n＋2)＋Pn＋3×EQ \F(1,n＋3)＋…＋Pk－1×EQ \F(1,k－1)＋EQ \F(1,k)，
故0≤n≤k－2时，Pn＋1＝Pn＋2×EQ \F(1,n＋2)＋Pn＋3×EQ \F(1,n＋3)＋…＋Pk－1×EQ \F(1,k－1)＋EQ \F(1,k)，
以上两式作差得，Pn－Pn＋1＝Pn＋1×EQ \F(1,n＋1)，则Pn＝Pn＋1×EQ \F(n＋2,n＋1)， ……10分
则Pn＋1＝Pn＋2×EQ \F(n＋3,n＋2)，Pn＋2＝Pn＋3×EQ \F(n＋4,n＋3)，…，Pk－2＝Pk－1×EQ \F(k,k－1)，
则PnPn＋1Pn＋2…Pk－1＝Pn＋1Pn＋2Pn＋3…Pk－1×EQ \F(n＋2,n＋1)×EQ \F(n＋3,n＋2)×EQ \F(n＋4,n＋3)×…×EQ \F(k,k－1)，
化简得Pn＝Pk－1×EQ \F(k,n＋1)，而Pk－1＝EQ \F(1,k)，故Pn＝EQ \F(1,n＋1)，
又n＝k－1时，Pn＝EQ \F(1,n＋1)也成立，故Pn＝EQ \F(1,n＋1)(0≤n≤k－1)． ……12分
法二：同法一得Pn＝Pn＋1×EQ \F(n＋2,n＋1)， ……9分
则P0＝P1×EQ \F(2,1)，P1＝P2×EQ \F(3,2)，P2＝P3×EQ \F(4,3)，…，Pn－1＝Pn×EQ \F(n＋1,n)，
则P0P1P2…Pn－1＝P0P1P2…Pn×EQ \F(2,1)×EQ \F(3,2)×EQ \F(4,3)×…×EQ \F(n＋1,n)，
化简得P0＝Pn×(n＋1)，而P0＝1，故Pn＝EQ \F(1,n＋1)(0≤n≤k－1)，
又n＝0时，Pn＝EQ \F(1,n＋1)也成立，故Pn＝EQ \F(1,n＋1)(0≤n≤k－1)． ……12分
法三：记Pm(n)表示在出现m的条件下出现n的概率，
则Pn＋1(n)＝EQ \F(1,n＋1)，Pn＋2(n)＝EQ \F(1,n＋2)Pn＋1(n)＋EQ \F(1,n＋2)＝EQ \F(1,n＋1)，
Pn＋3(n)＝EQ \F(1,n＋3)Pn＋2(n)＋EQ \F(1,n＋3)Pn＋1(n)＋EQ \F(1,n＋3)＝EQ \F(1,n＋1)， ……9分
依此类推，Pk(n)＝EQ \F(1,k)Pk－1(n)＋EQ \F(1,k)Pk－2(n)＋…＋EQ \F(1,k)Pn＋1(n)＋EQ \F(1,k)，
所以Pk(n)＝EQ \F(1,k)(EQ \F(1,n＋1)(k－n－1)＋1)＝EQ \F(1,n＋1)． ……12分
法四：记Pk(n)表示在出现k的条件下出现n的概率，
则Pk(n)＝EQ \F(1,k)Pk－1(n)＋EQ \F(1,k)Pk－2(n)＋…＋EQ \F(1,k)Pn＋1(n)＋EQ \F(1,k)，
则kPk(n)＝Pk－1(n)＋Pk－2(n)＋…＋Pn＋1(n)＋1，①
则(k－1)Pk－1(n)＝Pk－2(n)＋…＋Pn＋1(n)＋1，②
①－得kPk(n)－(k－1)Pk－1(n)＝Pk－1(n)， ……9分
则Pk(n)＝Pk－1(n)(k≥n＋2)，
则Pk(n)＝Pn＋1(n)＝EQ \F(1,n＋1)． ……12分
22．(12分)
设eq f(x)＝\f(lnx,x\s\up6(n))(n∈N*)．
(1)求证：函数f(x)一定不单调；
(2)试给出一个正整数a，使得eq e\s\up6(x)＞x\s\up6(2)lnx＋asinx对∀x∈(0，＋∞)恒成立．
(参考数据：e≈2.72，e2≈7.39，e3≈20.10)
【考点】函数与导数：函数单调性应用；恒成立问题
【解析】
(1)由eq f(x)＝\f(lnx,x\s\up6(n))得f′(x)＝EQ \F(\F(1,x)·x\S(n)－nx\S\UP6(n－1)lnx,x\S\UP6(2n))＝EQ \F(1－nlnx,x\S\UP6(n＋1))，
因n∈N*，由f′(x)＝0，得x＝EQ e\S\UP8(\F(1,n))， ……1分
当x＞EQ e\S\UP8(\F(1,n))时，f′(x)＜0；当时0＜x＜EQ e\S\UP8(\F(1,n))，f′(x)＞0；
故函数f(x)在(0，EQ e\S\UP8(\F(1,n)))上单调递增，在(EQ e\S\UP8(\F(1,n))，＋)上单调递减，
所以函数f(x)不单调． ……3分
(2)当a＝1时，可证明ex＞x2lnx＋sinx对x∈(0，＋∞)恒成立，
当x∈(0，1)时，x2lnx≤0，sinx≤1，ex＞1，不等式成立； ……4分
当x∈(1，e)时，x2lnx＋sinx＜x2＋1，令g(x)＝EQ \F(x\S(2)＋1,e\S(x))，
所以g′(x)＝EQ \F(2x－(x\S(2)＋1),e\S(x))≤0，则函数g(x)单调递减，所以g(x)≤g(1)＝EQ \F(2,e)＜1，
所以ex＞x2＋1，原不等式成立； ……7分
当x∈(e，＋)时，因x2lnx＋sinx≤x2lnx＋1，故只需证ex＞x2lnx＋1，
即证EQ \F(e\S(x),x\S(3))＞EQ \F(lnx,x)＋EQ \F(1,x\S(3))，只需证EQ \F(e\S(x),x\S(3))＞EQ \F(lnx,x)＋EQ \F(1,e\S(3))，
在(1)中令n＝1，可得f(x)≤f(e)＝EQ \F(1,e)，故EQ \F(lnx,x)＋EQ \F(1,e\S(3))≤EQ \F(1,e)＋EQ \F(1,e\S(3))，
令h(x)＝EQ \F(e\S(x),x\S(3))，所以h′(x)＝EQ \F(e\S(x)(x－3),x\S(4))＝0，解得x＝3，
当x∈(e，3)时，h′(x)＜0；当x∈(3，＋)时，h′(x)＞0，
所以h(x)≥h(3)＝EQ \F(e\S(3),27)＞EQ \F(1,2)，而EQ \F(lnx,x)＋EQ \F(1,e\S(3))≤EQ \F(1,e)＋EQ \F(1,e\S(3))＜EQ \F(1,2)，
所以原不等式也成立．
综上所述，当a＝1时，ex＞x2lnx＋sinx对x∈(0，＋∞)恒成立． ……12分
注：当a＝2或a＝3时结论也成立，请参照评分；当a≥4时结论不成立．
ξ
1
2
3
P
EQ \F(1,3)
EQ \F(1,2)
EQ \F(1,6)