2021学年24.1.2 垂直于弦的直径试讲课课件ppt

这是一份2021学年24.1.2 垂直于弦的直径试讲课课件ppt，共33页。PPT课件主要包含了圆的定义，弦的定义，弧的定义，∵AA′⊥CD，知识点2，新知探究，CD是直径CD⊥AB，AEBE，由OBOP，求得BP等内容，欢迎下载使用。

连接圆上任意两点的线段叫做弦.
(2)圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
(1)在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．
圆上任意两点间的部分叫做弧.
1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.
2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.
3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.
赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1 400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m.求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位).
你知道赵州桥主桥拱的半径是多少吗？
剪一张圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？你能证明你的结论吗？
圆的对称性：圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
注意：不能说圆的直径是圆的对称轴，因为对称轴是直线，而直径是线段.
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
思路引导：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在直线（对称轴）的对称点也在圆上.
证明：如图，CD是⊙O的任意一条直径，AA ′是弦，使AA′⊥CD，垂足为M,
连接OA，OA′,则OA=OA′.
∴CD是AA′的垂直平分线.
∴对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A′，即⊙O关于直线CD对称.
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.
如图， ⊙O的直径CD垂直于弦AB,垂足为E.仔细观察，图形中有哪些相等的线段和弧？为什么？
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理的几个基本图形：
1.下列图形中能否得到AE=BE，为什么？
2.如图,已知⊙O的半径OB=5，OP⊥AB，垂足为P，且OP=3，则AB=____ .
解：∵ OB = 5，OP=3,
∴ BP = =4,
∵ OP⊥AB，OP为直径，
∴ AB=2 BP =8 .
在圆上任意作一条弦AB，你能否找到平分弦AB的直径吗?
思考：此时AB与CD的位置关系？
如果弦AB是过圆心的弦呢?平分弦AB的直径CD一定会垂直弦AB吗？
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：
上述五个条件中的任意 个条件，都可以推出其他 个结论.
问题解决：赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1 400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m.求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位).
所以R2=18.52+（R-7.23）2.
由题意，可知AB=37m，CD=7.23m，
解：如图，设赵州桥主桥拱的半径为R m.
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3 m.
在圆中有关弦长a，半径r，弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
涉及垂径定理时辅助线的添加方法
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：
如图，AB是圆O的弦，半径OC⊥AB于点D，若圆O的半径为5，AB=8，则CD的长是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
在Rt△OAD中，OA=5，AD=4，
∴CD=OC-OD=5-3=2．
1.下列说法正确的是(　　)A.每一条直径都是圆的对称轴B.圆的对称轴是唯一的C.圆的对称轴一定经过圆心D.圆的对称轴是经过圆内任意一点的直线
圆的对称轴是直线，不是线段.
2. AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，则下列结论不一定正确的是(　　) A.CM=DM B.BC=BD C.∠ACD=∠ADC D.OM=MB
在△ACM和△ADM,∵AM=AM,∠AMC=∠AMD=90°，CM=DM, ∴ △ACM≌△ADM，
∴∠ACD=∠ADC，
而OM与MB不一定相等，选项D不一定正确.
3.已知圆O的半径为10 cm，AB，CD是圆O的两条弦，AB//CD，AB=16 cm，CD=12 cm，则弦AB和CD之间的距离是 cm.
解：分两种情况进行讨论：
①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1，过点O作OF⊥CD，垂足为F，交AB于点E，连接OC，OA.
∵ AB//CD，∴OE⊥AB.
∵OA=OC=10cm，由勾股定理,得EO=6cm，OF=8cm，
∴EF=OF-OE=2 cm.
②当弦AB和CD在圆心异侧时,过点O作OE⊥CD,交CD于点E,延长EO交AB于点F,连接OC,OA,如图2所示，
∵ AB//CD，∴ OF⊥AB.
∵AB=16cm，CD=12cm，
由勾股定理，得OE=8cm，OF=6cm，
∴EF=OF+OE=14cm.
综上所述：AB和CD之间的距离为2cm或14cm.
∴AF=8cm，CE=6cm.
∵OA=OC=10cm，
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其他三个结论（“知二推三”）
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
两条辅助线：连半径，作弦心距
构造直角三角形，利用勾股定理计算或建立方程.
解：∵⊙O的直径CD=10 cm，AB⊥CD，
①当AC的位置如图1所示时，连接AO.
∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，
∴CM=OC+OM=8 cm，
②当AC的位置如图2所示时，
同理可得OM=3cm，
∴CM=5-3=2（cm），
解：作PC⊥x 轴于点C，交AB于点D，作PE⊥AB于点E，连接PB，如图.
∵⊙P的圆心坐标是(3，a)，∴OC=3，PC=a.
把x=3代入y=x，得y=3，
∴△OCD为等腰直角三角形，
∴∠PDE=∠ODC=45°.
∵PE⊥AB,∴△PED也为等腰直角三角形.
在Rt△PBE中，PB=3，
3.某地有一座弧形的拱桥，桥下的水面宽度为7.2m，拱顶高出水面2.4m，现有一艘宽3m，高出水面2m的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗?